Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες µη ανεξάρτητες µεταξύ τους, όταν το διαθέσιµο κεφάλαιο είναι περιορισµένο σε περισσότερες από µία χρονικές περιόδους και όταν οι χρηµατικές εισροές είναι θετικές και αρνητικές σε όλη την οικονοµική διάρκεια ζωής των επενδύσεων Επισκεφθείτε τη σελίδα: http:// //hadm.sph.sc.edu/courses/econ/tutorials.html 1

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (2) Θα παρουσιαστεί το αρχικό παράδειγµα και θα επιλυθεί ως πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού Στη συνέχεια θα επιλυθεί ως πρόβληµα ακεραίου προγραµµατισµού λαµβάνοντας υπόψιν ότι οι επενδύσεις είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους Στην τρίτη παραλλαγή θα θεωρήσουµεότιυπάρχουν µορφές αλληλεξάρτησης των επενδύσεων Στον διοικητικό διάλογο θα συζητηθεί ακόµη µία εκδοχή του µοντέλου 2

Σενάριο εκκίνησης Μια επιχείρηση ενδιαφέρεται να εντοπίσει το άριστο υποσύνολο από εννέα συνολικά επενδύσεις, δηλαδή το υποσύνολο εκείνο που µεγιστοποιεί την καθαρή παρούσα αξία των επενδύσεων χωρίς να παραβιάζονται οι περιορισµοί του προϋπολογισµού της Το πρόβληµα αναφέρεται σε δύο περιόδους Καθαρή παρούσα αξία: στα δεδοµένα αντιστοιχεί στην απόδοση της κάθε επένδυσης, εφόσον αξιοποιηθεί πλήρως κατά την περίοδο των δύο ετών Χρόνος ωρίµανσης: διετής για όλες τις επενδύσεις ίνονται οι απαραίτητες χρηµατικές εκροές (outlays) για κάθε επένδυση για κάθε περίοδο Η επιχείρηση έχει στη διάθεσή της 50 χ.µ. την περίοδο 1 και 20 χ.µ. την περίοδο 2 3

Υπόλοιπα εδοµένα Στόχος: να καθοριστεί το άριστο µείγµα επενδύσεων (ποιες και σε τι ποσοστό) ώστε να µεγιστοποιείται η καθαρή παρούσα αξία για την επιχείρηση 4

Αρχικό µοντέλο (παραλλαγή πρώτη) Βασικές υποθέσεις του σεναρίου Χρειάζεται µία συνεχής µεταβλητή απόφασης για κάθε επένδυση που θα υποδεικνύει το ποσοστό αποδοχής της επένδυσης (συνεπώς επιτρέπεται µερική αποδοχή επενδύσεων) Υπάρχει ανώτερο φράγµα για κάθε επένδυση που είναι η µονάδα (δηλαδή οι µεταβλητές είναι 1) Μη αποδεκτή επένδυση σηµαίνει µηδενική τιµή στην αντίστοιχη µεταβλητή Η καθαρή παρούσα αξία της αντίστοιχης επένδυσης, έχει βρεθεί µε προεξόφληση των χρηµατικών εισροών και εκροών που δηµιουργούνται κατά τη διάρκεια της οικονοµικής ζωής της επένδυσης, µε επιτόκιο προεξόφλησης το κόστος κεφαλαίου της επιχείρησης (γνωστό µε βεβαιότητα) Oι χρηµατικές εκροές των επενδύσεων, που αναφέρονται στον πίνακα δεν προεξοφλούνται στη χρονική στιγµή 0, διότι τα διαθέσιµα ποσά του προϋπολογισµού είναι εκφρασµένα στην αξία που έχουν το αντίστοιχο έτος 5

Αρχικό µοντέλο (αντικειµενική συνάρτηση) Μεταβλητές απόφασης: x 1 = ποσοστό αποδοχής της επένδυσης 1 x 2 = ποσοστό αποδοχής της επένδυσης 2 x 8 = ποσοστό αποδοχής της επένδυσης 8 x 9 = ποσοστό αποδοχής της επένδυσης 9 Αντικειµενική Συνάρτηση: 6

Αρχικό µοντέλο (περιορισµοί) Περιορισµός χρηµατικών εκροών πρώτης περιόδου : Περιορισµός χρηµατικών εκροών δεύτερης περιόδου : Όλες οι µεταβλητές είναι και µικρότερες ή ίσες της µονάδας και µη αρνητικές : 7

Ανακεφαλαίωση 8

Επίλυση Συνδυασµένη αναφορά αποτελεσµάτων WinQSB 9

Σχόλια για την άριστη λύση Η µέγιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης είναι 70,2727 χ.µ. και από την άριστη λύση προκύπτει, ότι οι επενδύσεις 1, 3, 4 και 9 είναι σαφώς ελκυστικές επενδύσεις για την επιχείρηση Οι επενδύσεις 6 και 7 είναι οι σηµαντικότητά τους) που πρέπει να αναληφθούν Επειδή οι τιµές των µεταβλητών x 6 τελευταίες (ως προς την και x 7 δεν είναι ακέραιες, οι επενδύσεις 6 και 7 είναι εφικτές µόνο εφόσον βρεθεί ένας τρίτος ο οποίος θα καλύψει το υπόλοιπο ποσοστό της επένδυσης (joint venture) Baseline 10

Ανάλυση ευαισθησίας αντικειµενικών συντελεστών Οι αντικειµενικοί συντελεστές που παριστάνουν την καθαρή παρούσα αξία κάθε επένδυσης έχουν διαστήµατα ευαισθησίας, τα οποία σε µερικές περιπτώσεις είναι αρκετά στενά προς κάποια κατεύθυνση Τέτοιες περιπτώσεις είναι εκείνες των συντελεστών c 2, c 7, και c 8 Ενδιαφέρον παρουσιάζει η ανάλυση των c2 και c8 που αναφέρεται στις µη βασικέςµεταβλητές x 2 και x 8 Baseline 11

Επίλυση του µοντέλου για c2 = 20,41 (αύξηση > 20,05%) Ητιµή c2 =20,41 βρίσκεται έξω από τα όρια αριστότητας της αρχικής λύσης (αύξηση µεγαλύτερη από 20,05%). Η µεταβλητή x7 µηδενίζεται και γίνεται βασική η x2. Υπενθυµίζεται ότι η επένδυση 7 είναι η λιγότερο ελκυστική από αυτές που θα µπορούσαν να αναληφθούν. Baseline 12

Επίλυση του µοντέλου για c8 = 10,51 (αύξηση > 5%) Ητιµή c2 = 10,51 είναι έξω από τα όρια ευαισθησίας (αύξηση µεγαλύτερη από 5%) ιαπιστώνουµε και πάλι ότι µηδενίζεται η x7, παραχωρώντας τη θέση της στην x8 Baseline 13

Ανάλυση ευαισθησίας των δεξιών µελών Επίλυση για b1 = 49 (εντός του εύρους εφικτότητας) Οπεριορισµός C1 αφορά στο διαθέσιµο κεφάλαιο κατά την πρώτη περίοδο. ιάστηµα εφικτότητας το (48, 92). Η µεταβολή είναι εντός του διαστήµατος. Μείωση του διαθέσιµου κεφαλαίου κατά την πρώτη περίοδο οδηγεί σε µείωση του z κατά τη σκιώδη τιµή και αύξηση της τιµής της x6 σε βάρος της x7 Baseline 14

Ανάλυση ευαισθησίας των δεξιών µελών Παραµετρική ανάλυση για το b2 Αν αυξηθεί κατά µία χ.µ. το b 2, το 1/6 της χρηµατικής µονάδας ( 0,1667) θα αυξήσει την τιµή τουz κατά 0,1667 1,8636=0,3106 χ.µ. Επειδή το επόµενο διάστηµα ευαισθησίας είναι το (21,1667, 22,3333) µε σκιώδη τιµή 0,9615, τα υπόλοιπα 5/6 της χρηµατικής µονάδας θα αυξήσουν την τιµή τουz κατά 0,8334 0,9615 δηλαδή κατά 0,8013 χ.µ. Άρα, έχουµε συνολική αύξηση ίση µε 0,3106 + 0,8013 = 1,1119 χ.µ. Επίσης, εισέρχεται η x 5 καιαποχωρείηχαλαρή µεταβλητή s 8 (που αντιστοιχεί στον περιορισµό x 6 1) Baseline 15

Γραφική παράσταση της παραµετρικής ανάλυσης για το δεξιό µέλος του περιορισµού C2 (b2) 20 20,167 22,333 Baseline 16

Ανάλυση ευαισθησίας των δεξιών µελών Οι σκιώδεις τιµές των περιορισµών C3 έως C11 Οι σκιώδεις τιµές των επενδύσεων παρέχουν τη δυνατότητα κατάταξης των επενδύσεων ανάλογα µε την ελκυστικότητά τους Συχνά, οι σκιώδεις τιµές δίνουν διαφορετική κατάταξη απόεκείνηπουδίνουν άλλα κριτήρια αξιολόγησης Η διαφορά οφείλεται στο ότι άλλα κριτήρια δεν λαµβάνουν υπ όψιν τις περιορισµένες ποσότητες των πόρων και επιπλέον υποθέτουν ότι οι επενδύσεις είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους. Αντίθετα, οι σκιώδεις τιµές, δείχνουν τις αλληλεξαρτήσεις που υπάρχουν µεταξύ των επενδύσεων, έστω και έµµεσα, αφού στον γραµµικό προγραµµατισµό οι επενδύσεις θεωρούνται ως δραστηριότητες που ανταγωνίζονται µεταξύ τους για την απόκτηση των περιορισµένων πόρων (ποιων??) Επιπλέον, στη σκιώδη τιµή µιας επένδυσης ενσωµατώνονται πληροφορίες, που αφορούν τόσο στην καθαρή παρούσα αξία της όσο και στην αξία των πόρων (π.χ. οριακή αξία κεφαλαίου) που καταναλώνονται για αυτήν Baseline 17

Οι σκιώδεις τιµές των περιορισµών που αντιστοιχούν στις βασικές µεταβλητές και ειδικότερα στο άνω φράγµα τους Για παράδειγµα, ησκιώδηςτιµή της επένδυσης 1, που είναι ίση µε 6,7727, υπολογίζεται αν από την καθαρή παρούσα αξία της επένδυσης αφαιρεθούν οι αξίες των κεφαλαίων που αναλώνονται στα δύο έτη Έτσι, λαµβάνοντας υπ όψιν τους δύο πρώτους περιορισµούς και παριστάνοντας τις σκιώδεις τιµές µε τοσυµβολισµό y i*, όπου i ο δείκτης του περιορισµού, τότε έχουµε για την επένδυση 1 την ακόλουθη σκιώδη τιµή: Για όλες τις βασικές µεταβλητές (περιορισµοί C5, C6, C8, C9 και C11) έχουµε: Baseline 18

Οι σκιώδεις τιµές των περιορισµών που αντιστοιχούν στις βασικές µεταβλητές - συνέχεια Όσο µεγαλύτερη είναι η σκιώδης τιµή που αντιστοιχεί σε µία επένδυση, τόσο πιο ελκυστική θεωρείται η επένδυση αυτή για την επιχείρηση Έτσι, η σειράµε την οποία επιλέγονται οι επενδύσεις στην άριστη λύση είναι: επένδυση 4, 1, 3, 9, 6 και 7 Πώς ερµηνεύετε την µηδενικήσκιώδητιµή γιατιςµεταβλητές x 6 και x 7 (περιορισµοί C8 και C9)?? Baseline 19

Οι σκιώδεις τιµές των περιορισµών που αντιστοιχούν στις µη βασικές µεταβλητές (µη ελκυστικές επενδύσεις) Για τις µη βασικέςµεταβλητές x 2, x 5 και x 8 (περιορισµοί C4, C7, C10) έχουµε : Oι τιµές που προέκυψαν είναι τα κόστη ευκαιρίας των µη βασικώνµεταβλητών που αντιστοιχούν στις επενδύσεις αυτές Τα κόστη ευκαιρίας µπορούµε να τα θεωρήσουµε ως τη ζηµία για την επιχείρηση από την τοποθέτηση µίας χρηµατικής µονάδας στην αντίστοιχη επένδυση Επεκτείνοντας τα συµπεράσµατά µας και στις µη ελκυστικές επενδύσεις, η πρώτη «επιλαχούσα» επένδυση είναι η επένδυση 8 µε τοµικρότερο κατ απόλυτη τιµή κόστος ευκαιρίας Οι άλλες δύο επενδύσεις απέχουν πολύ από το να θεωρηθούν υπό κάποιες συνθήκες ότι θα µπορούσαν να επιλεγούν. Baseline 20

Παραλλαγή δεύτερη Η διαµόρφωση του προβλήµατος των Lorie και Savage ως πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού µας παρέχει τη δυνατότητα της εκτενούς ανάλυσης που προηγήθηκε Στις περιπτώσεις που δεν επιτρέπεται ή δεν έχει νόηµα η µερική ανάληψη µίας επένδυσης, θα πρέπει να καταφύγουµε στην τεχνική του ακέραιου προγραµµατισµού Οι µεταβλητές απόφασης θα είναι στην περίπτωση αυτή δυαδικές (binary), αφού παίρνουν την τιµή 1 όταν επιλέγεται (πλήρως) µία επένδυση και την τιµή 0 όταν δεν επιλέγεται (πρόβληµα 0-1 γραµµικού προγραµµατισµού) 21

Το µοντέλο της δεύτερης παραλλαγής και 22

Επίλυση της δεύτερης παραλλαγής µε το WinQSB 23

Παραλλαγή δεύτερη - σχόλια για την άριστη λύση Η άριστη λύση είναι x 1 = 1, x 3 = 1, x 4 = 1, x 6 = 1 και x 9 = 1, δηλαδή επιλέγονται οι επενδύσεις 1, 3, 4, 6 και 9, ενώ οι υπόλοιπες απορρίπτονται. Η µέγιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης είναι z = 70 χ.µ. Για να πετύχουµε ακέραια λύση απορρίπτεται η x 7, δηλαδή η λιγότερο ελκυστική από τις προηγούµενες επιλεχθείσες µερικώς, και τα αντίστοιχα κεφάλαια κατανέµονται στην επένδυση x 6. Η χρήση του µοντέλου ακεραίου (0-1) προγραµµατισµού χωρίς την προηγούµενη εφαρµογή του µοντέλου Γ.Π δεν µας δίνει τη δυνατότητα της ανάλυσης ευαισθησίας που προηγήθηκε. Σε κάθε περίπτωση που δεν επιτρέπεται ή δεν έχει νόηµα η µερική ανάληψη µίας επένδυσης, θα πρέπει να καταφύγουµε στην τεχνική του ακέραιου προγραµµατισµού 24

Παραλλαγή τρίτη Στα προηγούµενα παραδείγµατα θεωρήθηκε ότι οι επενδύσεις είναι ανεξάρτητες (τυπικά) µεταξύ τους. Φυσικά υπήρχε ένας βαθµός αλληλεξάρτησης αφού ανταγωνίζονται για τα διαθέσιµα κεφάλαια Στην παρούσα παραλλαγή (συνέχεια της δεύτερης) θα υποθέσουµε ότιυπάρχουνµορφές αλληλεξάρτησης 25

Παραλλαγή τρίτη - συνέχεια Συνήθεις σχέσεις αλληλεξάρτησης: Αµοιβαίως αποκλειόµενες επιλέγεται οπωσδήποτε µόνο µία Αµοιβαίως αποκλειόµενες επιλέγεται το πολύ µία Επιλογή µίας επένδυσης µόνο αν επιλεγεί και κάποια άλλη Επιλογή µίας επένδυσης µόνο αν επιλεγεί και κάποια άλλη (µία) από ένα σύνολο Επιλογή µίας επένδυσης µόνο αν έχουν επιλεγεί και κάποιες άλλες (περισσότερες από µία) Αν επιλεγούν κάποιες επενδύσεις µαζί, τότε αυτό µεταβάλλει την τιµή κάποιας παραµέτρου, π.χ. τις εισροές ή τις εκροές τους 26

Παραλλαγή τρίτη µαθηµατική διατύπωση των µορφών αλληλεξάρτησης (1) Σηµαντική υπενθύµιση : Οι µεταβλητές είναι δυαδικές Οι επενδύσεις 1 και 5 είναι αµοιβαίως αποκλειόµενες αλλά µία από αυτές πρέπει να επιλεγεί: Οι επενδύσεις 2, 8 και 9 είναι αµοιβαίως αποκλειόµενες και το πολύ µία µπορεί να επιλεγεί: Ηεπένδυση3 µπορεί να επιλεγεί µόνον αν επιλεγεί και επένδυση 6: δηλαδή: 27

Παραλλαγή τρίτη µαθηµατική διατύπωση των µορφών αλληλεξάρτησης (2) Ηεπένδυση4 µπορεί να επιλεγεί µόνο αν επιλεγεί είτε η επένδυση 5 είτε η επένδυση 9: δηλαδή: Ηεπένδυση7 µπορεί να επιλεγεί µόνο αν επιλεγούν και 1 και η 9: δηλαδή: 28

Παραλλαγή τρίτη µαθηµατική διατύπωση των µορφών αλληλεξάρτησης (3) Αν επιλεγούν οι επενδύσεις 4 και 6 τότε οι συντελεστές τους στην αντικειµενική συνάρτηση (ΚΠΑ) θα αυξηθούν κατά 20% ενώ οι χρηµατικές εκροές τους στις δύο περιόδους θα µειωθούν κατά 15% Για να εκφράσουµε την ταυτόχρονη αποδοχή χρησιµοποιούµε µία καινούργια δυαδική µεταβλητή (έστω x 10 ) H x 10 θα παίρνει τιµή µονάδα όταν επιλέγονται και η 4 και η 6 Αν συµβεί το παραπάνω τότε οι µεταβλητές x 4 και x 6 πρέπει να µηδενίζονται (γιατί??) Ο συντελεστής της x 10 στην αντικειµενική συνάρτηση θα είναι: Οι συντελεστές της x 10 στους δύο περιορισµούς του προϋπολογισµού είναι : 29

Παραλλαγή τρίτη µαθηµατική διατύπωση των µορφών αλληλεξάρτησης (4) Τέλος, εισάγουµε τονπεριορισµό : ο οποίος διασφαλίζει ότι συµβαίνει ένα από τα ακόλουθα ενδεχόµενα : 30

Το µοντέλο της τρίτης παραλλαγής 31

Επίλυση της τρίτης παραλλαγής µε το WinQSB Άριστη λύση: x 1 = 1, x 2 = 1, x 10 = 1 και z = 58,4 χ.µ. Για να µεγιστοποιήσει η επιχείρηση την συνολική καθαρή παρούσα αξία µε βάση τους περιορισµούς που τέθηκαν, πρέπει να επιλέξει τις επενδύσεις 1 και 9, καθώς και τη σύνθετη επένδυση 10 που είναι στην πραγµατικότητα οι επενδύσεις 4 και 6 µαζί. 32

Επίλυση µε τοlindo Εισαγωγή δεδοµένωνγιατοαρχικόπαράδειγµα QSB Results 33

Επίλυση µε τοlindo Αποτελέσµατα για το αρχικό παράδειγµα QSB Results 34

Επίλυση µε τοexcel Εισαγωγή δεδοµένων και επίλυση αρχικού παραδείγµατος QSB Results 35

Επίλυση µε το Excel Εισαγωγή δεδοµένων - Live Lorie and Savage x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 Επένδυση 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 ΚΠΑ 14,00 17,00 17,00 15,00 40,00 12,00 14,00 10,00 12,00 32,40 Αριστερό µέλος Περιορισµοί Τεχνολογικοί Συντελεστές Φορά 1η περίοδος 12,0 54,0 6,0 6,0 30,0 6,0 48,0 36,0 18,0 10,2 40,20 < 50 2η περίοδος 3,0 7,0 6,0 2,0 35,0 6,0 4,0 3,0 3,0 6,8 12,80 < 20 1και 5 1,0 1,0 1,00 = 1 2 ή 8 ή 9 1,0 1,0 1,0 1,00 < 1 3 αν 6 1,0-1,0 0,00 < 0 4 αν 5 ή 9 1,0-1,0-1,0-1,00 < 0 7 αν 1 και 9-1,0 2,0-1,0-2,00 < 0 4 και 6 µαζί 1,0 1,0 1,0 1,00 < 1 Μέγιστη ΚΠΑ 58,40 εξιό µέλος QSB Results 36

Επίλυση µε το Excel Αναφορά Αποτελεσµάτων QSB Results 37

ιοικητικός ιάλογος (τέταρτη παραλλαγή) Τελικά, υπάρχει η δυνατότητα µερικής επιλογής κάποιων επενδύσεων µε περιορισµούς όπως αυτούς της τρίτης παραλλαγής; Μπορούµε να βοηθήσουµε την επιχείρηση να εντοπίσει το βέλτιστο χαρτοφυλάκιο στην περίπτωση; Υπόδειξη: Στην περίπτωση αυτή έχουµε συνεχείς µεταβλητές που αντιστοιχούν στα ποσοστά αποδοχής των επενδύσεων και δυαδικές µεταβλητές που υποδεικνύουν την επιλογή ή όχι µίας επένδυσης. Απαιτείται µία επιπρόσθετη δυαδική µεταβλητή για κάθε συνεχή µεταβλητή. Προσθέτουµε περιορισµούς της µορφής: Ποιά η χρησιµότητα των παραπάνω περιορισµών ; 38

Τέταρτη παραλλαγή το µοντέλο 39