Στοχαστικές Στρατηγικές

Σχετικά έγγραφα
Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (2)

Στοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (3)

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές. διαδρομής (1)

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές

ΔΕΟ 13 - Ποσοτικές Μέθοδοι: Επιχειρησιακά Μαθηματικά. Κεφάλαιο 1: Συναρτήσεις μιας μεταβλητής

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ IΙ

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

Χρονικές σειρές 3 Ο μάθημα: Βασικές στοχαστικές διαδικασίες Μη στάσιμες χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΛΟΓΩ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΟΥ ΝΕΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΠΟ ΤΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Επιχειρησιακή Έρευνα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Η μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Στασιμότητα χρονοσειρών Νόθα αποτελέσματα-spurious regression Ο έλεγχος στασιμότητας είναι απαραίτητος ώστε η στοχαστική ανάλυση να οδηγεί σε ασφαλή

Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2)

p q 0 P =

ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ι Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα. Παίγνια Αποφάσεων 9 ο Εξάμηνο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π.

Ασκήσεις 3 ου Κεφαλαίου

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα. Παπάνα Αγγελική

Β. Βασιλειάδης. Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex

Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία

Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου

0 είναι η παράγωγος v ( t 0

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ενδεικτικές Λύσεις Ασκήσεων. Κεφάλαιο 3. Κοκολάκης Γεώργιος

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης - Τεστ

Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα

Ειδικά Θέματα Πιθανοτήτων και Στατιστικής Θεωρία Αποφάσεων. Μέρος Γ

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

ΤΕΙ υτικής Μακεδονίας -Τµήµα ιοίκησης επιχειρήσεων- Μάθηµα: Ποσοτικές µέθοδοι στη διοίκηση επιχειρήσεων- ΣΤ Εξάµηνο

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ

Πανεπιστήμιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή

329 Στατιστικής Οικονομικού Παν. Αθήνας

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Α μέρος: Πολυσυγγραμμικότητα. Παπάνα Αγγελική

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση Βασικές έννοιες και τυχαίο σφάλμα. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης. Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης

Διαδικασία μετατροπής σε τυπική μορφή

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ


ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Λήψη Διοικητικών Αποφάσεων ΙΙ

Πέµπτη, 22 Μαΐου 2008 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Ακαδημαϊκό έτος Α εξάμηνο (χειμερινό)


ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

Μαθήματα Διατμηματικού Π.Μ.Σ. "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσε

Δυσμενής Επιλογή. Το βασικό υπόδειγμα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ


Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Οι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson. Σύμφωνα με τα δεδομένα ο

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n

που αντιστοιχεί στον τυχαίο αριθμό 0.6 δίνει ισχύ P Y Να βρεθεί η μεταβλητή k 2.

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Χρονικές σειρές 4 o μάθημα: ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Επιχειρησιακή Έρευνα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Transcript:

Στοχαστικές Στρατηγικές 5 η ενότητα: Στοχαστικά προβλήματα αντικατάστασης εργαλείων Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο Μακεδονίας E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1

Στοχαστικά προβλήματα αντικατάστασης εργαλείων Το πρόβλημα της αντικατάστασης εργαλείων μετατρέπεται σε στοχαστικό αν υποθέσουμε ότι ισχύει κάποιο ή όλα τα παρακάτω: Ο χρόνος χρήσης του εργαλείου, Τ, είναι μια τυχαία μεταβλητή. Το κόστος χρήσης σε κάθε χρονική περίοδο είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή. Υπάρχει το ενδεχόμενο της καταστροφής του εργαλείου και κατά συνέπεια της απρόβλεπτης αντικατάστασης του. Το πρόβλημα Αν και ποια χρονική στιγμή πρέπει να αντικατασταθεί το εργαλείο έτσι ώστε το ολικό κόστος να είναι ελάχιστο. 2

Δεδομένα Έστω ότι έχουμε ένα εργαλείο ηλικίας t. Χρειαζόμαστε το εργαλείο αυτό για τα επόμενα Τ χρόνια (ή τις επόμενες Τ χρονικές περιόδους). Το πρόβλημα που εξετάζουμε είναι πόσες φορές πρέπει να αντικαταστήσουμε το εργαλείο και πότε στην χρονική περίοδο των Τ χρονικών στιγμών, έτσι ώστε το ολικό κόστος να είναι ελάχιστο. Άρα στην αρχή κάθε χρονιάς πρέπει να γνωρίζουμε τις δυνατές επιλογές μας. χρόνος 1 τ = 1. χρόνος τ.... χρόνος Τ 0 1 τ 1 τ Τ 1 Τ 3

Δίνονται τα παρακάτω στοιχεία: α(t): η τιμή ανταλλαγής που λαμβάνεται όταν ανταλλάσσουμε το εργαλείο μας, ηλικίας t στην αρχή του χρόνου με ένα καινούριο την στιγμή που αρχίζει ο νέος χρόνος δεδομένου ότι το εργαλείο μας είναι χαλασμένο p(t, x): η πιθανότητα ένα εργαλείο ηλικίας t στην αρχή του χρόνου, να έχει κόστος λειτουργίας κατά την διάρκεια του χρόνου ίσο με x (όπου x = 0, 1, 2,, Χ) q(t): η πιθανότητα ένα εργαλείο ηλικίας t στην αρχή του χρόνου, να σταματήσει να λειτουργεί στο τέλος του χρόνου Α: η τιμή αγοράς νέου εργαλείου 4

π 1 (t): η τιμή πώλησης του εργαλείου στο τέλος του χρόνου Τ, όταν το εργαλείου είναι ηλικίας t δεδομένου ότι αυτό λειτουργεί π 2 (t): η τιμή πώλησης του εργαλείου στο τέλος του χρόνου Τ, όταν το εργαλείου είναι ηλικίας t δεδομένου ότι αυτό δεν λειτουργεί γ(t): η τιμή επιδιόρθωσης ενός εργαλείου ηλικίας t β(t): η τιμή ανταλλαγής ενός εργαλείου ηλικίας t που δεν λειτουργεί στο τέλος του χρόνου 5

Ορίζουμε ως βέλτιστη συνάρτηση: f t, τ ={το ελάχιστο αναμενόμενο κόστος του εργαλείου από την αρχή του χρόνου τ μέχρι το τέλος Τ, δεδομένου ότι στο χρόνο τ έχουμε ένα εργαλείο ηλικίας t και λειτουργεί Για να ορίσουμε την επαναληπτική σχέση, δηλ. για να προσδιορίσουμε την f t, τ, πρέπει να εξετάσουμε τις δυνατές επιλογές που έχουμε στην αρχή κάθε χρονιάς και να εκτιμήσουμε το κόστος της κάθε μιας. Στο τέλος κάθε χρόνου ή στην αρχή του επόμενου, πρέπει να ληφθεί η απόφαση αν θα αντικαταστήσουμε το εργαλείο μας ή αν θα το κρατήσουμε. 6

1) Απόφαση: αγορά νέου εργαλείου Στην αρχή του χρόνου τ διαθέτω ένα εργαλείο ηλικίας t το οποίο λειτουργεί αλλά θέλω να το αντικαταστήσω με νέο. Στο τέλος του χρόνου τ πρέπει να διαθέτω ένα εργαλείο που λειτουργεί. Στο τέλος του χρόνου τ θα διαθέτω ένα εργαλείο ηλικίας 1, το οποίο μπορεί: να χαλάσει με πιθανότητα q 0 (με βάση την ηλικία του εργαλείου στην αρχή του χρόνου) Αν χαλάσει το νέο εργαλείο ηλικίας 1 έτους στο τέλος του χρόνου τ, έχουμε δύο επιλογές: να λειτουργεί κανονικά, με πιθανότητα 1 q 0 Αγορά νέου εργαλείου Επιδιόρθωση του εργαλείου 7

Το κόστος της απόφαση της αγοράς νέου εργαλείου είναι: α t : Τιμή ανταλλαγής εργαλείου ηλικίας t το οποίο δουλεύει q 0 : Η πιθανότητα το νέο εργαλείο να χαλάσει στο τέλος του χρόνου τ, όταν θα είναι ηλικίας 1 έτους Αγορά νέου εργαλείου στο τέλος του χρόνου τ διότι χάλασε το νέο εργαλείο ηλικίας 1 έτους που αγοράσαμε στην αρχή του χρόνου τ β 1 : Τιμή ανταλλαγής εργαλείου ηλικίας 1 το οποίο δεν δουλεύει Α α t + X x=0 A β 1 + f 0, τ + 1 x p 0, x + q 0 min{ γ 1 + f 1, τ + 1 } + 1 q 0 f(1, τ + 1) Α: Τιμή αγοράς νέου εργαλείου Μέσο αναμενόμενο κόστος λειτουργίας νέου εργαλείου Επιδιόρθωση του νέου εργαλείου ηλικίας 1 έτους στο τέλος του χρόνου τ 1 q 0 : Η πιθανότητα το νέο εργαλείο να μην χαλάσει στο τέλος του χρόνου τ, όταν θα είναι ηλικίας 1 έτους 8

2) Απόφαση: κρατάμε το εργαλείο ηλικίας t Στην αρχή του χρόνου τ διαθέτω ένα εργαλείο ηλικίας t το οποίο λειτουργεί και θέλω να το κρατήσω για άλλη μια χρονική περίοδο. Στο τέλος του χρόνου τ πρέπει να διαθέτω ένα εργαλείο που να λειτουργεί. Στο τέλος του χρόνου τ θα διαθέτω ένα εργαλείο ηλικίας t + 1, το οποίο μπορεί: να χαλάσει με πιθανότητα q t (με βάση την ηλικία του εργαλείου στην αρχή του χρόνου) Αν χαλάσει, στο τέλος του χρόνου τ, το εργαλείο ηλικίας t + 1, έχουμε δύο επιλογές: να λειτουργεί κανονικά, με πιθανότητα 1 q t Αγορά νέου εργαλείου Επιδιόρθωση του εργαλείου 9

Το κόστος της απόφαση να κρατήσουμε το εργαλείο ηλικίας t είναι: q t : Η πιθανότητα το εργαλείο να χαλάσει στο τέλος του χρόνου τ, όταν θα είναι ηλικίας t + 1 Αγορά νέου εργαλείου στο τέλος του χρόνου τ διότι χάλασε το νέο εργαλείο ηλικίας t + 1 στο τέλος του χρόνου τ β t + 1 : Τιμή ανταλλαγής εργαλείου ηλικίας t + 1 το οποίο δεν δουλεύει X x=0 A β t + 1 + f 0, τ + 1 x p t, x + q t min{ γ t + 1 + f t + 1, τ + 1 } + 1 q t f(t + 1, τ + 1) Μέσο αναμενόμενο κόστος λειτουργίας του εργαλείου ηλικίας t Επιδιόρθωση του εργαλείου ηλικίας t + 1 έτους στο τέλος του χρόνου τ 1 q t : Η πιθανότητα το εργαλείο να μην χαλάσει στο τέλος του χρόνου τ, όταν θα είναι ηλικίας t + 1 10

Mε βάση την αρχή της βελτιστοποίησης, προκύπτει η επαναληπτική σχέση: f t, τ = min{α α t + 1 q 0 X x=0 X x=0 A β 1 + f 0, τ + 1 x p 0, x + q 0 min{ γ 1 + f 1, τ + 1 f(1, τ + 1), x p t, x + q t min 1 q t f(t + 1, τ + 1)} A β t + 1 + f 0, τ + 1 γ t + 1 + f t + 1, τ + 1 + } + Απόφαση: αγορά νέου εργαλείου Απόφαση: κρατάμε το εργαλείο ηλικίας t χρόνος τ ----- τ ----- χρόνος τ + 1 ----- τ -----.... χρόνος Τ 1 ----- τ ----- τ 1 τ τ + 1 Τ 1 Τ 11

Για t = 0, υπάρχει μια μόνο επιλογή αφού έχω καινούριο εργαλείο στην αρχή του χρόνου τ, κρατάω το εργαλείο ηλικίας t = 0 για την επόμενη χρονική περίοδο. Η επαναληπτική σχέση στην περίπτωση αυτή είναι: f 0, τ = min{ X x=0 A β 1 + f 0, τ + 1 x p 0, x + q 0 min{ γ 1 + f 1, τ + 1 1 q 0 f(1, τ + 1)} } + Απόφαση: κρατάμε το εργαλείο ηλικίας t=0 χρόνος τ ----- τ ----- χρόνος τ + 1 ----- τ -----.... χρόνος Τ ----- τ ----- τ 1 τ τ + 1 Τ 1 Τ 12

Οριακές συνθήκες Οι οριακές συνθήκες ορίζονται για την τελευταία χρονική περίοδο όπου στο τέλος της χρονιάς αυτής δεν μας ενδιαφέρει να έχουμε άλλο το εργαλείο (ή αν λειτουργεί το εργαλείο μας), δηλ. ορίζονται για τον τελευταίο χρόνο Τ. χρόνος τ ----- τ ----- χρόνος τ + 1 ----- τ -----.... χρόνος Τ ----- τ ----- τ 1 τ τ + 1 Τ 1 Τ 13

Οριακές συνθήκες για την τελευταία χρονική περίοδο Τ: q t : Η πιθανότητα το εργαλείο να χαλάσει στο τέλος του χρόνου Τ, όταν θα είναι ηλικίας 1 Απόφαση: αγορά νέου εργαλείου X f t, Τ = min{α α t + x=0 x p 0, x + q 0 π 2 1 + 1 q 0 π 1 1, X x p t, x + q t π 2 t + 1 + 1 q t π 1 t + 1 } x=0 Απόφαση: κρατάμε το εργαλείο ηλικίας t π 2 (1): η τιμή πώλησης του εργαλείου στο τέλος του χρόνου Τ, ηλικίας 1 και δεδομένου ότι αυτό δεν λειτουργεί π 2 (t + 1): η τιμή πώλησης του εργαλείου στο τέλος του χρόνου Τ, ηλικίας t + 1 και δεδομένου ότι αυτό δεν λειτουργεί π 1 (1): η τιμή πώλησης του εργαλείου στο τέλος του χρόνου Τ, ηλικίας 1 και δεδομένου ότι αυτό λειτουργεί π 1 (1): η τιμή πώλησης του εργαλείου στο τέλος του χρόνου Τ, ηλικίας t + 1 και δεδομένου ότι αυτό λειτουργεί 14

Άσκηση Σε στοχαστικό πρόβλημα αντικατάστασης εργαλείων δίνονται οι συναρτήσεις: α(t): η τιμή ανταλλαγής, στην αρχή του χρόνου, εργαλείου που λειτουργεί, ηλικίας t, με ένα καινούριο, β(t): η τιμή ανταλλαγής χαλασμένου εργαλείου ηλικίας t, με ένα καινούριο, στο τέλος του χρόνου, ε(t): η τιμή επιδιόρθωσης, στο τέλος του χρόνου, χαλασμένου εργαλείου ηλικίας t, σ(t): η τιμή γενικής συντήρησης, στο τέλος του χρόνου, εργαλείου ηλικίας t, που λειτουργεί, οπότε το εργαλείο θεωρείτε έπειτα νέο (ηλικίας 0), Α: η τιμή αγοράς νέου εργαλείου, p(t, x): η πιθανότητα εργαλείο ηλικίας t στην αρχή του χρόνου, να έχει κόστος λειτουργίας κατά την διάρκεια του χρόνου ίσο με x (x = 0,1,, Χ), q(t): η πιθανότητα εργαλείο ηλικίας t στην αρχή του χρόνου, να είναι χαλασμένο στο τέλος του χρόνου. Χρειαζόμαστε το εργαλείο για Τ χρόνια και δεν διαθέτουμε δικό μας εργαλείο εξαρχής. Ορίστε την βέλτιστη συνάρτηση, επαναληπτική σχέση και οριακές συνθήκες. 15

Θα χρησιμοποιήσουμε την προς τα πίσω μέθοδο του ΔΠ. Ορίζουμε την βέλτιστη συνάρτηση: f t, τ ={το ελάχιστο αναμενόμενο κόστος λειτουργίας του εργαλείου από την αρχή του χρόνου τ μέχρι το τέλος Τ, δεδομένου ότι στην αρχή του χρόνο τ έχουμε ένα εργαλείο ηλικίας t και λειτουργεί Στην αρχή ενός χρόνου τ, έχουμε τις επιλογές: 1) Απόφαση: Αγορά νέου εργαλείου 2) Απόφαση: Κρατάμε το εργαλείου ηλικίας t 16

1) Απόφαση: Αγορά νέου εργαλείου Στο τέλος του χρόνου, το εργαλείο μπορεί να δουλεύει ή να μην δουλεύει. Αν στο τέλος ενός χρόνου το εργαλείο δουλεύει, τότε έχουμε τις επιλογές: 1) Συντήρηση του εργαλείου 2) Κρατάμε το εργαλείο ως έχει Αν στο τέλος ενός χρόνου το εργαλείο χαλάσει, τότε έχουμε τις επιλογές: 1) Αγορά νέου εργαλείου 2) Επιδιόρθωση 17

2) Απόφαση: Κρατάμε το εργαλείο ηλικίας t Στο τέλος του χρόνου, το εργαλείο μπορεί να δουλεύει ή να μην δουλεύει. Αν στο τέλος ενός χρόνου το εργαλείο δουλεύει, τότε έχουμε τις επιλογές: 1) Συντήρηση του εργαλείου 2) Κρατάμε το εργαλείο ως έχει Αν στο τέλος ενός χρόνου το εργαλείο χαλάσει, τότε έχουμε τις επιλογές: 1) Αγορά νέου εργαλείου 2) Επιδιόρθωση 18

Σύμφωνα με όλα τα παραπάνω και με βάση την αρχή της βελτιστοποίησης, προκύπτει η επαναληπτική σχέση για t > 0: f t, τ = min{α α t + 1 q 0 X x=0 X x=0 A β 1 + f 0, τ + 1 x p 0, x + q 0 min{ ε 1 + f 1, τ + 1 σ 1 + f 0, τ + 1 min{ f 1, τ + 1 x p t, x + q t min 1 q t συντήρηση κρατάμε το εργαλείο ως έχει Αγορά νέου εργαλείου }, σ t + 1 + f 0, τ + 1 min{ f t + 1, τ + 1 A β t + 1 + f 0, τ + 1 ε t + 1 + f t + 1, τ + 1 συντήρηση επιδιόρθωση Αγορά νέου εργαλείου }} επιδιόρθωση + κρατάμε το εργαλείο ως έχει } + Απόφαση: αγορά νέου εργαλείου Απόφαση: κρατάμε το εργαλείο ηλικίας t 19

Για t = 0 (διαθέτω δικό μου καινούριο εργαλείο (ηλικίας 0 χρόνων)): f t, τ = X x=0 x p 0, x + q 0 min 1 q 0 Αγορά νέου εργαλείου A β 1 + f 0, τ + 1 ε 1 + f 1, τ + 1 επιδιόρθωση συντήρηση σ 1 + f 0, τ + 1 min{ f 1, τ + 1 }} κρατάμε το εργαλείο ως έχει + Απόφαση: κρατάμε το εργαλείο ηλικίας t=0 20

Για την πρώτη χρονιά (τ = 1), όπου δεν διαθέτουμε δικό μας εργαλείο: f, 1 = Α + X x=0 x p 0, x + q 0 min 1 q 0 Αγορά νέου εργαλείου σ 1 + f 0, τ + 1 min{ f 1, τ + 1 A β 1 + f 0, τ + 1 ε 1 + f 1, τ + 1 επιδιόρθωση συντήρηση }} κρατάμε το εργαλείο ως έχει + Απόφαση: αγορά νέου εργαλείου 21

Οριακές συνθήκες για την τελευταία χρονική περίοδο Τ (δεν μας ενδιαφέρει αν το εργαλείο χαλάσει ή λειτουργεί στο τέλος του χρόνου Τ, δεν δίνονται από την εκφώνηση τιμές πώλησης ενός εργαλείου χωρίς ανταλλαγή με νέο εργαλείο): Απόφαση: αγορά νέου εργαλείου X X f t, Τ = min{α α t + x=0 x p 0, x, x=0 x p t, x } Απόφαση: κρατάμε το εργαλείο ηλικίας t 22

Βιβλιογραφία 1) Π.-Χ. Βασιλείου (2001) Εφαρμοσμένος Μαθηματικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Ζήτη. 2) Π.-Χ. Βασιλείου, Γ. Τσακλίδης, Ν. Τσάντας (1998) Ασκήσεις στην Επιχειρησιακή Έρευνα, Εκδόσεις Ζήτη. 23