.Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67, 6, 67, 63, 58, 63, 68. Να εξεταστεί αν η νέα µέθοδος σφάλει µε ε.σ. 0.05, δεδοµένου ότι το σ.τ. του µαγγανίου είναι 60 C. Έχουµε έναν αµφίπλευρο έλεγχο µέσου µε άγνωστη διασπορά σε µικρό δείγµα (7): Ηο: µ µ 0 Η : µ µ 0, όπου µ 0 60. Εύκολα υπολογίζουµε το δειγµατικό µέσο των παρατηρήσεων µας X X 64 καθώς και τη δειγµατική διασπορά (X X).67. - Από τους πίνακες προκύπτει ότι η κρίσιµη περιοχή (περιοχή απόρριψης της Η 0 ) είναι: X-µ 0 Κ: t > tα/,-, µε α 0.05. / Έτσι t.98, ενώ από τους πίνακες της κατανοµής t προκύπτει ότι.447, οπότε απορρίπτουµε την Η0, δηλαδή η νέα µέθοδος σφάλει. t α/,- t 0.05, 6 ) Τα παρακάτω δεδοµένα αφορούν τα φορτία θραύσης (σε t/cm ) συνθετικών νηµάτων δύο τύπων: Τύπος Ι. 0.3 0.8 0.5 0.4 0.9.0 Τύπος ΙΙ.4.5..0 0.8.7 0.9 0.7 0.6 Υποθέτοντας ισότητα διασπορών να εξεταστεί αν οι δύο τύποι νηµάτων έχουν την ίδια µέση αντοχή σε ε.σ. 0.05. Έχουµε έναν αµφίπλευρο έλεγχο ισότητας µέσων µε άγνωστες αλλά κοινές διασπορές: Ηο: µ µ Η : µ µ, µε σ σ σ.
.Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων Εύκολα προκύπτει ότι X 0.73, 0., 7 και X.08, X-X Κ: t > tα/,ν, p + (-) +( -) µε p, v + - και α 0.05. v Έτσι t.9, ενώ από τους πίνακες της κατανοµής t προκύπτει ότι 0.4, 9..45, οπότε αποδεχόµαστε την Η0, δηλαδή οι δύο τύποι νηµάτων έχουν την ίδια µέση αντοχή. t α/,- t 0.05, 4 3) Έξη συνθετικά νήµατα κόπηκαν στη µέση. Στο ένα τµήµα από κάθε ζεύγος εφαρµόστηκε µία ειδική χηµική επεξεργασία για την αύξηση της αντοχής του, ενώ το άλλο αφέθηκε όπως είχε. Με βάση τα παρακάτω δεδοµένα, όπου x εκφράζει το δείκτη αντοχής του τµήµατος µε χηµική επεξεργασία και x το δείκτη αντοχής του τµήµατος χωρίς χηµική επεξεργασία, να εξεταστεί αν αυξάνει κατά.0 τουλάχιστον µονάδες ο δείκτης αντοχής των τµηµάτων µε χηµική επεξεργασία (α0.0). x 5. 3.4 4.6 5. 3. 5.3 x.7 0.8.8.9.0 3.0 Έχουµε έναν έλεγχο διαφοράς µέσων εξαρτηµένων δειγµάτων. x 5. 3.4 4.6 5. 3. 5.3 x.7 0.8.8.9.0 3.0 ιαφορές D.5.6.8...3 Ηο: µ - µ µ D Η : µ - µ > µ D. Εύκολα προκύπτει ότι D D.5 και (D D - D) 0.083 µε 6. D-µ D Κ: t / D > t α, -, µε α 0.0. Έτσι t.3, ενώ από τους πίνακες της κατανοµής t προκύπτει ότι t α,- t 0.0, 5.476, οπότε αποδεχόµαστε την Η0, δηλαδή πράγµατι αυξάνει κατά.0 τουλάχιστον µονάδες ο δείκτης αντοχής των τµηµάτων µε χηµική επεξεργασία. 4) Σε προβλήµατα ελέγχου ποιότητας εκτός από τη διατήρηση ενός σταθερού µέσου µας ενδιαφέρει και η διατήρηση της διασποράς σε χαµηλά επίπεδα, διότι διαφορετικά
.Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων 3 αυξάνει ο κίνδυνος απόρριψης του προϊόντος. Από την παραγωγή τυχαίο δείγµα µεγέθους 6 έδωσε δειγµατική απόκλιση 5.5. Αν η µεγαλύτερη επιτρεπόµενη τυπική απόκλιση είναι σ 0 4 να εξεταστεί αν η παραπάνω υπέρβαση είναι στατιστικά σηµαντική ή όχι (α0.05). Έχουµε έναν έλεγχο διασποράς της µορφής Ηο: σ 4 σ 0 Η : σ > 4 σ 0. Κ: x (-) > Χ -, α, µε 5.5, 6 και α 0.05. σ0 Έτσι x 8.36, ενώ από τους πίνακες της κατανοµής χ προκύπτει ότι Χ 5.00, οπότε απορρίπτουµε την Η0 και άρα η υπέρβαση είναι Χ -, α 5, 0.05 στατιστικά σηµαντική. 5) υο αναλυτές Α και Β έκαναν 6 µικροαναλυτικούς προσδιορισµούς της περιεκτικότητας σε άνθρακα ενός χηµικού προϊόντος και πήραν τις ακόλουθες τιµές: Αναλυτής Α 59.09 59.7 59.7 59.3 59.0 59.4 Αναλυτής Β 59.06 59.40 59.00 59. 59.0 59.5 Να ελεγχθεί η υπόθεση Ηο: σ σ µε εναλλακτική την Η : σ σ (α0.0). Εύκολα προκύπτει ότι Α 4.8 0 3, Α 6 και Β 4.59 0 3, Β 6. Κ: F FA-, B-, α/ > ή F A < F A B A B B -, -, -α/. Αλλά F 5.75 και από τους πίνακες της κατανοµής F έχουµε ότι 0.97, ενώ Η 0. -,-,α/ 5,5,0.0 FA-,B-,α/ 5,5,0.0 F F -,-,-α/ 0.09, οπότε αποδεχόµαστε την F F 0.97 6) Κατασκευαστής ισχυρίζεται ότι το πολύ % των προϊόντων του είναι ελαττωµατικά. Σε τυχαίο δείγµα µεγέθους 900 βρέθηκαν κ7 ελαττωµατικά. Με ε.σ. α0.05 να ελεγχθεί ο ισχυρισµός του κατασκευαστή µε εναλλακτική υπόθεση την Η : p>0.0.
.Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων 4 Έχουµε τον παρακάτω έλεγχο: Η 0 : p 0.0 p 0 Η : p > 0.0 p 0. Από την εκφώνηση προκύπτει ότι 7 p 0.03 και 900. 900 Κ: Ζ p-p 0 p(-p) 0 0 > z α, µε α 0.05. Έτσι Ζ.4 και από τους πίνακες της κανονικής κατανοµής προκύπτει ότι z α.64, οπότε απορρίπτουµε την Η0 και τον ισχυρισµό του κατασκευαστή. 7) Από την παραγωγή δύο µηχανών τυχαία δείγµατα µεγέθους 450 και 400 έδωσαν αριθµό ελαττωµατικών προϊόντων 7 και αντίστοιχα. Να εξεταστεί αν υπάρχει διαφορά στα ποσοστά παραγωγής ελαττωµατικών προϊόντων από τις δύο µηχανές. Έχουµε τον παρακάτω έλεγχο: Η 0 : p p Η : p p. Από την εκφώνηση προκύπτει ότι 7 p 0.038 και p 0.03. 450 400 µε p Κ: Ζ 7 + 0.034 και α 0.05. 450 + 400 p -p p(-p) ( + ) > z α/, Έτσι Ζ 0.64 και από τους πίνακες της κανονικής κατανοµής προκύπτει ότι zα/.96, οπότε αποδεχόµαστε την Η0 για την µη ύπαρξη διαφοράς στα ποσοστά παραγωγής ελαττωµατικών προϊόντων από τις δύο µηχανές.
.Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων 5 8) Τα παρακάτω δεδοµένα εκφράζουν το χρόνο διαδροµής Χ (sec) ενός γερανού γέφυρα. Να εξεταστεί σε ε.σ. α0.05 αν ο χρόνος διαδροµής ακολουθεί την οµοιόµορφη στο διάστηµα (40,90) κατανοµή. 8, 63, 58, 67, 75, 44, 48, 77, 86, 5, 74, 69, 56, 4, 68, 73, 85, 89, 45, 65, 7, 83, 64, 48, 58, 63. Η οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα (40,90) έχει σ.π.π. την εξής: 0., x (40, 90) f(x) 90-40 0, x (40, 90) Παρατηρούµε ότι η συγκεκριµένη κατανοµή δεν έχει καµία παράµετρο ως προς εκτίµηση. Εύκολα κατασκευάζουµε τον ακόλουθο πίνακα: x - < x x O p E p 40-50 5 0. 5. 5-60 4 0. 5. 6-70 7 0. 5. 7-80 5 0. 5. 8-90 5 0. 5. Σύνολο 6.0 - Με βάση το κριτήριο χ καλής προσαρµογής έχουµε: (5 5.) (4 5.) (7 5.) (5 5.) (5 5.) Χ + + + + 0.93< Χ 5 0,0.05 9.488, 5. 5. 5. 5. 5. οπότε η υπόθεση ότι ο χρόνος διαδροµής ακολουθεί την οµοιόµορφη στο διάστηµα (40,90) κατανοµή γίνεται δεκτή. 9) Μετρήσεις του αριθµού Χ των χρηστών τερµατικών µονάδων σε µία αίθουσα τερµατικών ενός κέντρου Η/Υ ελήφθησαν σε τυχαίες χρονικές στιγµές µεταξύ 0.00 και.00 µ. Τα αποτελέσµατα δίνονται από τον παρακάτω πίνακα κατανοµών συχνοτήτων. x 0 3 4 5 6 7 8 9 0 f 3 5 9 0 7 5 4 3 Να ελεγχθεί αν ο αριθµός Χ ακολουθεί την κατανοµή Posso (α0.05).
.Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων 6 Η κατανοµή Posso έχει σ.µ.π. την εξής: x -λ λ f(x) P(Xx) e, x 0,,, x! Θυµίζουµε επίσης ότι στην συγκεκριµένη κατανοµή η άγνωστη παράµετρος λ ισούται µε την µέση τιµή της τ.µ. Χ. Έτσι εύκολα κατασκευάζουµε το ακόλουθο πίνακα: Χ O X O p E p 0 0 0.00 0.555 3 3 0.0500.500 5 0 0.5 5.65 3 9 7 0.687 8.435 4 0 40 0.898 9.490 5 7 35 0.708 8.540 6 5 30 0.8 6.405 7 4 8 0.084 4.0 8 3 4 0.0463.35 9 8 0.03.60 0 0 0.07 0.855 ΣΥΝΟΛΟ 50 5.00 - Οι πιθανότητες στην τέταρτη στήλη του πίνακα έχουν προκύψει µε βάση την σ.µ.π. της Posso, δηλαδή p 9 - p. e -λ λ, για 0,, 9 και λ X 5 4.5! 50, ενώ p 0 Παρατηρούµε ότι στον παραπάνω πίνακα υπάρχουν E < 5. Έτσι αποφασίζουµε να ενώσουµε τις 3 πρώτες (0.555+.500+5.65 8.690) και τις 4 τελευταίες (4.0+.35+.60+0.855.570) κλάσεις, οπότε προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας µε 6 συνολικά κλάσεις: Χ O E p 0-9 8.680 3 9 8.435 4 0 9.490 5 7 8.540 6 5 6.405 7-0 0.570
.Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων 7 ΣΥΝΟΛΟ 50 - Με βάση το κριτήριο χ καλής προσαρµογής έχουµε: (9 8.680) (9 8.435) (0 9.490) (7 8.540) (5 6.405) (0.570) X + + + + + 8.680 8.435 9.490 8.540 6.405.570.883 <Χ 9.488, 6,0.05 οπότε η υπόθεση ότι ο αριθµός Χ ακολουθεί την κατανοµή Posso γίνεται δεκτή.