Tο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωµένο στο οριζόντιο έδαφος, ενώ το άλλο του άκρο είναι ελεύθερο. Mικρό σφαιρίδιο, µάζας m, αφήνεται σε ύψος h από το άκρο Β. Το σφαιρίδιο πέφτοντας έρχεται σε επαφή µε το ελατήριο και αρχίζει να το συµπιέζει. Eάν η κρούση µεταξύ σφαιρι δίου και ελατήριου είναι τελείως ελαστική και η αντίσταση του αέρα αµελητέα, να βρείτε επί πόσο χρόνο το σφαιρίδιο θα είναι σε επαφή µε το ελατήριο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η στατική συσπείρωση d που προκαλεί το σφαιρίδιο στο ελατήριο όταν τοποθετηθεί στο. ΛYΣH: Tο σφαιρίδιο από τη θέση Γ όπου αφήνεται ελεύθερο, µέχρι τη θέση όπου έρχεται σ επαφή µε το κατακόρυφο ελατήριο, εκτελεί ελεύθερη πτώση, δηλαδή οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα µε επιτάχυνση g. Στη συνέχεια αποκτά επαφή µε το ελατήριο και εκτελεί κατακόρυφη απλή αρµονική ταλάντωση µε κέντρο ταλάντωσης τη θέση O, στην οποία όταν αφεθεί το σφαιρίδιο ισορροπεί και µε σταθερά ταλάντωσης ίση προς τη σταθερά του ελατηρίου. H ταλάντωση αυτή έχει νόηµα, όσο χρόνο το σφαιρίδιο διατηρεί την επαφή του µε το ελατήριο, δηλαδή όταν αυτό κινείται από τη θέση στην κατώτατη θέση του Γ και από την Γ πάλι στην. O ζητούµενος χρόνος επαφής t * του σφαιριδίου µε το ελατήριο είναι διπλάσιος του χρόνου κίνησής του t Γ από τη θέση στη θέση Γ, δηλαδή ισχύει:
t * = t Γ () Για τον υπολογισµό του χρόνου t Γ λαµβάνουµε ως αρχή µέτρησης του χρόνου τη στιγµή που αρχίζει η ταλάντωση του σφαιριδίου και ως θετική φορά στην κατακόρυφη διεύθυνση κίνησής του την προς τα πάνω. Τότε η εξίσωση της αποµάκρυνσης και της ταχύτητας του σφαιριδίου θα έχουν τη µορφή: x = Aµ (t + ) ' ( () v = A$&(t + ) ) όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης, φ η αρχική της φάση και ω η γωνιακή της συχνότητα. Οι σχέσεις () εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t=0 δίνουν: d = Aµ -v = A$&' ( ) * d = µ -v $&' d = $ (3) -v όπου v η ταχύτητα του σφαιριδίου στη θέση Β. Όµως έχουµε ακόµη τις σχέσεις: v = gh, d = mg και = /m οπότε η (3) παίρνει τη µορφή: d /m - gh = d mg/md - gh = = - d h (4) Η πρώτη από τις εξισώσεις () εφαρµοζόµενη τη στιγµή που το σφαιρίδιο βρίσκεται στη θέση Γ δίνει: -A = Αηµ(ωt Γ' + φ) ηµ(ωt Γ' + φ) = - ωt Γ' + φ = 3π/ ωt Γ' = 3π/ - φ t ' = 3 - $ = ' & 3 - ( * ) m 3 - ( = ' * & ) d g (5) Η () λόγω της (5) γράφεται: ή t * = t * = d 3 g $ - & ( ' µε = - d 3 g $ + & ( ' µε = d h d h P.M. fysios
Mικρό σώµα µάζας m είναι στερεωµένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο σε µια οροφή. Eκτρέπουµε το σώµα κατακόρυφα προς τα πάνω κατά A και το αφήνουµε ελεύθερο και καθώς κατέρχεται προς τη θέση ισορροπίας του συγκρούεται µετω πικά και πλαστικά σε απόσταση A/ από αυτή, µε τεµάχιο πλαστε λίνης µάζας m. Διαπιστώνουµε ότι, αµέσως µετά την κρούση το συσσωµάτωµα ακινητοποιείται στιγµιαία. i) Nα βρείτε την ταχύτητα της πλαστελίνης λίγο πριν την κρούση. ii) Nα βρείτε την εξίσωση της ταχύτητας του συσσωµατώµατος, λαµβάνοντας ως αρχή µέτρησης του χρόνου τη στιγµή αµέσως µετά την κρούση και ως θετική φορά της διεύθυνσης ταλάντωσης, την προς τα κάτω. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Eστω v η ταχύτητα του σώµατος λίγο πριν την πλαστική του κρούση µε την πλαστελίνη και v η αντίστοιχη ταχύτητα της πλαστελίνης. Eπειδή η ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση είναι µηδενική, σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής θα ισχύει η σχέση: m v + mv = (m + m ) 0 v = -v () δηλαδή λίγο πριν την κρούση το σώµα και το τεµάχιο της πλαστελίνης έχουν αντίθετες ταχύτητες. Eξάλλου το µέτρο της v υπολογίζεται µέσω της απλής αρµονικής ταλάντωσης που εκτελούσε το σώµα πριν την κρούση του, και συγκεκριµένα µε εφαρµογή του θεωρήµατος διατήρησης της ολικής ενέργειας του σώµατος, σύµφωνα µε την οποία µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: U + K = E A$ & + mv = A A 4 + mv = A mv = 3A 4
v = A 3 m () v = A 3 m ii) Mετά την κρούση το συσσωµάτωµα εκτελεί κατακόρυφη αρµονική ταλάν τωση µε σταθερά ταλάντωσης και µε κέντρο ταλάντωσης O', που βρίσκεται κάτω από το κέντρο ταλάντωσης O του σώµατος πριν την κρούση του. Eάν x, x είναι οι επιµηκύνσεις του ελατηρίου στις θέσεις O και O' αντιστοίχως, θα ισχύουν οι σχέσεις: x x = mg = mg x = mg/ x = mg/ () H απόσταση α των θέσεων O και O' είναι: = x - x () = mg - mg = mg (3) Eξάλλου η ταλάντωση του συσσωµατώµατος παρουσιάζει αρχική φάση φ 0, µε αποτέλεσµα οι εξισώσεις της αποµάκρυνσής του και της ταχύτητάς του να έχουν τη µορφή: x = A'µ('t + ) v = A''$&('t + ) t=0 -A'= A'µ 0 = A''$& µ = - $ = 0 = 3 (4) όπου Α το πλάτος ταλάντωσης του συσσωµατώµατος και ω' η γωνιακή του συχνότητα. Άρα η τελική µορφή της ταχύτητας ταλάντωσης του συσσωµα τώµατος είναι: v = A''$ 't + 3 $ & = & + A $ & m $ m t + 3 $ & (3 ) v = mg + A $ & m m t + 3$ $ & P.M. Fysios Ένα δοκάρι µάζας M, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στην πάνω επιφάνεια του δοκαριού, η οποία είναι οριζόντια και λεία, βρίσκεται ένας κύβος µάζας M, ο οποίος είναι στερεωµένος στο ένα άκρο ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς, του οποίου το άλλο άκρο είναι κατάλληλα στερεωµένο στο δοκάρι, όπως φαίνεται στο σχήµα. Kάποια στιγµή προσπίπτει στο κέντρο µιας έδρας του κύβου βλήµα µάζας m, µε ταχύτητα v 0,
της οποίας ο φορέας ταυτίζεται µε τον γεωµετρικό άξονα του ελατη ρίου και σφηνώνεται στον κύβο. Να βρεθεί η µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου και η αντίστοιχη επιτάχυνση του δοκαριού. ΛΥΣΗ: i) Αµέσως µετά την πλαστική κρούση του βλήµατος µε τον κύβο αρχίζει η συµπίεση του ελατηρίου και τη στιγµή που αυτή παίρνει τη µεγα λύτερή τιµή της x max τo συσσωµάτωµα κύβος-βλήµα ηρεµεί ως προς το δοκά ρι, που σηµαίνει ότι τα δύο σώµατα έχουν τη στιγµή αυτή την ίδια ταχύτητα v. Εφαρµόζοντας για όλο το σύστηµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανι κής ενέργειας κατά το χρόνο που συµπιέζεται το ελατήριο, παίρνουµε: (M + m)v = (M + M + m)v + x max (M + m)v = (3M + m)v + x max () όπου v η ταχύτητα του συσσωµατώµατος βλήµα-κύβος αµέσως µετά την κρούση. Όµως το σύστηµα κατά τον πολύ µικρό χρόνο που διαρκεί η πλαστι κή κρούση του βλήµατος µε τον κύβο αλλά και κατά τον χρόνο που συµπιέ ζεται το ελατήριο είναι µηχανικά µονωµένο κατά την οριζόντια διεύθυνση, όποτε ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής κατά την διεύθυνση αυτή, δηλα δή µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις: mv 0 = (M + m)v mv 0 = (3M + m)v $ v = mv 0 /(M + m) v = mv 0 /(3M + m) $ () Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () παίρνουµε: m v 0 M + m = m v 0 3M + m + x max Mm v 0 (M + m)(3m + m) = x max x max = mv 0 M (M + m)(3m + m) (3) ii) Τη στιγµή που το ελατήριο υφίσταται τη µέγιστη συµπίεσή του η µονα δική δύναµη που ενεργεί πάνω στο δοκάρι κατα τη διεύθυνση της κίνησής του είναι η δύναµη F από το ελατήριο και σύµφωνα µε τον δεύερο νόµο του Νεύτωνα του προσδίδει επιτάχυνση a οµόρροπη της F, µε µέτρο:
a = F M = x max M (3) a = mv 0 M M (M + m)(3m + m) P.M. fysios Το σώµα Σ του σχήµατος έχει µάζα M και ηρεµεί πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Κάποια στιγµή προσπίπτει στην λεία κεκλιµένη επιφάνεια του σώµατος µικρό ελαστικό σφαι ρίδιο µάζας m, µε οριζόντια ταχύτητα v 0 και ανακλάται. Να βρε θεί η ταχύτητα που αποκτά το σώµα µετά την κρούση του µε το σφαιρίδιο. H γωνία κλίσεως της κεκλιµένης επιφάνειας του σώµα τος ως προς τον ορίζοντα είναι φ=π/4. ΛΥΣΗ: Επειδή το σύστηµα σφαιρίδιο-σώµα είναι µηχανικά µονωµένο κατά την οριζόντια διεύθυνση (άξονας x) η ορµή του διατηρείται κατά την διεύθυνση αυτή στον πολύ µικρό χρόνο Δt της ελαστικής κρούσεως του σφαιριδίου µε την κεκλιµένη επιφάνεια του σώµατος και αυτό σηµαίνει ότι µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: mv 0 = MV - mv x v x = MV/ m- v 0 () όπου V η ταχύτητα του σώµατος και v x η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτη τας που αποκτά το σφαιρίδιο, αµέσως µετά την κρούση. Εάν F είναι η δύνα µη κρούσεως επί του σφαιριδίου ο φορέας της θα είναι κάθετος επί την κεκλιµένη επιφάνεια του σώµατος, αφού αυτή είναι λεία, που σηµαίνει ότι η οριζόντια συνιστώσα της F x και η κατακόρυφη συνιστώσα της F y παρουσιά ζουν την ίδια κλίση φ=π/4 ως προς τον φορέα της F. Εφαρµόζοντας για το σώµα κατά τον χρόνο Δt και κατά την οριζόντια διεύθυνση το νόµο µεταβο λής της ορµής παίρνουµε τη σχέση: - F x t = M V x F x t = MV Fµt = MV () όπου - F x η οριζόντια συνιστώσα της δύναµης κρούσεως που δέχεται το σώ µα, αντίθετη της F x (τρίτος νόµος του Νεύτωνα). Εφαρµόζοντας τον ίδιο
νόµο για το σφαιρίδιο κατά την κατακόρυφη διεύθυνση (άξονας y) παίρνου µε τη σχέση: ( F y + m g )t = m v y F y t - mgt = mv y (3) όπου v y η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας του σφαιριδίου αµέσως µε τά την κρούση. Όµως ισχύει mgδt 0, δηλαδή F y Δt>>mgΔt, οπότε η (3) µε ικανοποιητική προσέγγιση γράφεται: F y t mv y F$t & mv y (4) Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις () και (4) παίρνουµε: Fµt F$&t = MV $ ' & ) = MV v mv y 4( mv y = MV y m (5) Εξάλλου, επειδή η κρούση είναι ελαστική η κινητική ενέργεια του συστήµα τος διατηρείται κατά τον χρόνο Δt, δηλαδή ισχύει η σχέση: mv 0 = mv x + mv y + MV (),(5) mv 0 = m MV m - v $ 0 & + m MV $ & m + MV mv 0 = M V m +mv 0 - MVv 0 + M V m + MV M MVv 0 = V m + M $ & v = V M 0 m + $ & V= mv 0 M + m P.M. fysios Mια οµογενής σφαίρα βάρους w και ακτίνας R, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, εφαπτόµενη σταθερού εµποδίου ύψους h, όπως φαίνεται στο σχήµα. Eξασκούµε στο ανώ τατο σηµείο M της σφαίρας µέσω ιδανικού ελατηρίου σταθερας οριζόντια δύναµη, της οποίας µπορούµε να αυξάνουµε το µέτρο. i) Nα δείξετε ότι είναι δυνατή η ισορροπία της σφαίρας, όταν αυτή οριακά χάνει την επαφή της µε το οριζόντιο επίπεδο, µόνο εφ' όσον η επαφή εµποδίου και σφαίρας είναι τραχεία.
ii) Mε την παραπάνω προϋπόθεση να βρείτε την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σύστηµα, ώστε η σφαίρα να ετοιµάζεται να υπερπηδήσει το εµπόδιο. ΛYΣH: i) Aς δεχθούµε ότι µεταξύ σφαίρας και εµποδίου δεν υπάρχει τριβή και ότι η σφαίρα ισορροπεί οριακά µε την επίδραση της οριζόντιας δύναµης, µόλις εφαπτόµενη του οριζόντιου εδάφους. Στην περίπτωση αυτή η σφαίρα δέχεται το βάρος της w, του οποίου ο φορέας διέρχεται από το κέντρο της K, τη δύναµη A από το εµπόδιο, της οποίας ο φορέας επίσης διέρχεται από το K, διότι δεχθήκαµε λεία επαφή µεταξύ σφαίρας και εµποδίου και τέλος δέχεται οριζόντια δύναµη από το ελατήριο ίση προς την δύναµη F που ενεργεί στο ελευθερο άκρο του, της οποίας όµως ο φορέας δεν διέρχεται από το κέντρο της, που σηµαίνει ότι είναι αδύνατη η ισορροπία της σφαίρας. ii) Aν η επαφή του εµποδίου µε τη σφαίρα είναι τραχεία, είναι δυνατόν ο φορέας της αντίδρασης A να διέρχεται απο το σηµείο τοµής M των w και F, γεγονός που µπορεί να εξασφαλίσει την ισορροπία της σφαίρας. Mε την προϋπόθεση ότι η F έχει την ελάχιστη τιµή που αντιστοιχεί σε οριακή επα φή της σφαίρας µε το οριζόντιο επίπεδο, µπορούµε να γράψουµε τη συνθήκη ισορροπίας των ροπών, ως προς το σηµείο επαφής Γ της σφαίρας µε το εµπό διο, δηλαδή θα έχουµε: F(R - h) - wx = 0 F = wx R - h = w R - (R - h) R - h F = w h(r - R - h + Rh) R - h = w h(r - h) R - h () Η ενέργεια W που απαιτείται για την έναρξη της διαδικασίας υπερπήδησης του εµποδίου, είναι ίση µε την ενέργεια ελαστικής παραµόρφωσης του ελα τηρίου µέσω του οποίου εξασκείται εξασκείται η δύναµη F επί της σφαίρας. Έτσι θα έχουµε τη σχέση: W = x = F = F () W = w h(r - h) (R - h) = w h (R - h) όπου x η επιµήκυνση του ελατηρίου από τη φυσική του κατάσταση. P.M. fysios
Δύο δίσκοι Δ και Δ έχουν την ίδια ακτίνα R και αντίστοιχες µάζες m, m. O δίσκος Δ είναι συµπαγής, ενώ ο Δ φέρει κυκλική κοιλότητα οµοκεντρική προς τον δίσκο. Τά κέντρα των δίσκων συνδέονται µε αβαρή ράβδο, η οποία επιτρέπει την περιστροφή κάθε δίσκου περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Το σύστηµα αφή νεται επί κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο σχήµα και τότε οι δύο δίσκοι αρχίζουν να κυλίονται πάνω στο επίπεδο εκ της ηρεµίας. Να βρεθεί η συνθήκη, ώστε η ράβδος να συµπιέζεται µεταξύ των δύο δίσκων στη διάρκεια της κύλισής τους. Δίνονται οι ακτίνες αδράνειας Κ, Κ των δίσκων Δ και Δ αντιστοίχως, οριζόµενες µέσω των σχέ σεων Ι =m Κ και Ι =m Κ, όπου Ι, Ι οι ροπές αδράνειας των δύο δίσκων ως προς τους άξονες περιστροφής τους. ΛΥΣΗ: i) Η ράβδος που συνδέει τα κέντρα των δύο δίσκων εκτελεί µετα φορική κίνηση κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου υπό την επίδραση των δυνάµεων F A και F που δέχεται στις άκρες της Α και Β από τους δίσκους Δ και Δ αντιστοίχως (το βάρος της θεωρείται ασήµαντο). Εξετάζοντας την κίνηση του κέντρου µάζας της ράβδου µπορούµε, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, να γράψουµε τη σχέση: F A + F = m a 0 F A = - F () όπου a η επιτάχυνση της ράβδου ίση µε την κοινή επιτάχυνση των κέντρων µάζας των δύο δίσκων και m Ρ η µάζα της ράβδου, που θεωρείται περιπου µηδενική. Από την () προκύπτει ότι οι δυνάµεις F A και F είναι αντίθετες που σηµαίνει ή ότι έχουν τον ίδιο φορέα αντίθετες φορές και ίδιο µέτρο ή συνιστούν ζεύγος δυνάµεων. Το δευτερο όµως αποκλείεται διότι η ράβδος δεν έχει περιστροφική κίνηση περί το κέντρο µάζας της. Επειδή όµως είναι απαίτηση της άσκησης η ράβδος να συµπιέζεται (συνθλίβεται) µεταξύ των δύο δίσκων οι δύνάµεις F A και F πρέπει να έχουν τη φορά που φαίνεται στο σχήµα. Εξετάζοντας στη συνέχεια τον δίσκο Δ παρατηρούµε ότι αυτός κυλίεται υπό την επίδραση του βάρους του w που αναλύεται στην παράλ ληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w x και την κάθετη προς αυτό
συνιστώσα w y, τη δύναµη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και την στατική τριβή T και τέλος τη δύναµη F από τη ράβδο, η οποία είναι αντίθετη της F A όπως προβλέπεται από τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα (βλέπε σχήµα). Ανάλογες δυνάµεις δέχεται και ο δίσκος Δ, µε την επισήµανση ότι η δύναµη επαφής από τη ράβδο ως αντί θετη της F είναι ίση µε - F. Εφαρµόζοντας για τη µεταφορική κίνηση του δίσκου Δ το δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε τη σχέση: w x - T + F = m a m gµ - T + F = m a () Eφαρµόζοντας για την περιστροφική κίνηση του δίσκου Δ τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε τη σχέση: T R = I '= m K ' T = m K '/R = m K a/r (3) όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου, της οποίας το µέτρο λόγω της κύλισής του είναι ίσο µε a/r. Συνδιάζοντας τις σχέσεις () και (3) έχουµε: m gµ - m a K a + F = m R a m gµ + F = m a + K & $ R ( (3) ' Eξετάζοντας µε εντελώς ανάλογο τρόπο την κίνηση του δίσκου Δ καταλή γουµε στη σχέση: m gµ - F = m a + K & $ R ( (4) ' Οι σχέσεις () και (4) Διαιρούµενες κατά µέλη δίνουν: m gµ + F m gµ - F = m ( + K / R ) m ( + K / R ) m m g + K $ R & 'µ(+fm +K $ R & =m m g +K $ R & 'µ( - Fm +K $ R & ' F m + K $ R & + m + K $ * ) R &, = m m g-µ. K () +, R - K F= ( ) m m gµ K ( - K ) ( ) + m K + m K (5) R m + m Όµως πρέπει F>0 και λόγω της (5) προκύπτει Κ >Κ. Για να συµπιέζεται εποµένως η ράβδος πρέπει ο προπορευόµενος δίσκος Δ να έχει µεγαλύτερη ακτίνα αδράνειας από τον δίσκο Δ που τον ακολουθεί. Αν ισχύει Κ =Κ. τότε η ράβδος θα βρίσκεται στη φυσική της κατάσταση, ενώ για Κ <Κ η ράβ δος θα εφελκύεται, δηλαδή το µήκος της τείνει να αυξηθεί.
Παρατήρηση: H ασκηση αποτελεί παραλλαγή του τέταρτου θέµατος ΦΥΣΙΚΗΣ που δόθη κε φέτος στις γενικές εξετάσεις. Όµοιότητα µε την παραπάνω άσκηση παρου σιάζει το εξής θέµα: Δίνονται δύο οµογενείς σφαίρες της ίδιας ακτίνας R, εκ των οποί ων η µία είναι συµπαγής µε µάζα m ενώ η άλλη έχει µάζα m και φέρει κοιλότητα οµοκεντρική προς τη σφαίρα. Κάποια στιγµή οι δύο σφαίρες αφήνονται επί κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσε ως φ ως προς τον ορίζοντα µε την συµπαγή σφαιρα να εφάπτεται της άλλης και να βρίσκεται δεξιότερα αυτής, όπως φαίνεται στο σχήµα. Εάν οι δύο σφαίρες κυλίονται πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο να βρείτε τη συνθήκη ώστε συνεχώς να είναι µεταξύ τους σε επα φή. Δίνονται οι ακτίνες αδράνειας Κ, Κ των δύο σφαιρών, οριζόµενες µέσω των σχέσεων Ι =m Κ και Ι =m Κ, όπου Ι, Ι οι ροπές αδρά νειάς τους ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο τους. P.M. fysios