66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι

1 66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι Λεπηή νκνγελήο ξάβδνο Α κήθνπο L=1 θαη κάδαο Μ=Kg, κπνξεί λα ζηξέθεηαη ζε θαηαθόξπθν επίπεδν ρωξίο ηξηβέο γύξω από νξηδόληην άμνλα πνπ πεξλά από ην άθξν ηεο Α. Σην άιιν άθξν ηεο ππάξρεη ζηεξεωκέλε ζεκεηαθή ζθαίξα κάδαο =0,5Kg. Η ξάβδνο ηζνξξνπεί ζε νξηδόληηα ζέζε θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t 0 =0 αθήλνπκε ην ζύζηεκα ειεύζεξν λα πεξηζηξαθεί. ηα ηε ρξνληθή ζηηγκή t 0 =0 πνπ ην ζύζηεκα βξίζθεηαη ζηελ νξηδόληηα ζέζε λα ππνινγηζηνύλ, Α)α) Ο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ ζπζηήκαηνο ξάβδνο ζθαίξα. β) Ο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο γηα ηε ξάβδν θαη γηα ηε ζθαίξα μερωξηζηά. γ) Η δύλακε Ν πνπ δέρεηαη ε ζθαίξα από ηε ξάβδν θαη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο ηεο ζθαίξαο θαη ηεο ξάβδνπ M, πνπ νθείιεηαη ζηε δύλακε Ν κεηαμύ ξάβδνπ θαη ζθαίξαο, θαζώο θαη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ζηξνθνξκήο πνπ νθείιεηαη ζην βάξνο ηεο ζθαίξαο θαη ηεο ξάβδνπ M αληίζηνηρα. Β) Να απαληεζνύλ ηα παξαπάλω εξωηήκαηα όηαλ ην ζύζηεκα έρεη ζηξαθεί θαηά 60 0. ) Πόζε είλαη ε ζπλνιηθή δύλακε πνπ δέρεηαη ε κάδα από ηε ξάβδν όηαλ ην ζύζηεκα γίλεη θαηαθόξπθν; ) Να ππνινγηζηεί ε δύλακε πνπ αζθείηαη ζηε ξάβδν από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο όηαλ: α) ην ζύζηεκα ξάβδνο - είλαη νξηδόληην β) ην ζύζηεκα ξάβδνο - είλαη θαηαθόξπθν θαη γ) όηαλ ην ζύζηεκα ξάβδνο - έρεη πεξηζηξαθεί θαηά γωλία θ=60 0. ίλεηαη γηα ηε ξάβδν Ι c = 1 1 Μ L θαη g=10/s. σνοπηική λύζη: U = 0 L α) Ι ξ =Ι c +M Ι ξ= 1 Μ L θαη Ι νι = Ι ξ +L Ι νι = 1 Μ L +L =1+0,5 Ι νι =1,5Kg Ση= ΔL Δt =Ι νι α γωλ = L ΔL ΔL +gl =15+5 Δt Δt =0 Kg /s. Αθόκε ΔL Δt =Ι νι α γωλ α γωλ = 40 rd/s. L φ g y g 0 0 g

β) Δt ) =Ι α γωλ =L α γωλ Δt ) =0,5 40 ( ΔL Δt ) = 0 Kg /s. Δt ) M =Ι ξ α γωλ = 1 Μ L α γωλ Δt ) Μ= 40 Kg /s. Τόηε Δt ) + Δt ) M = 0 + 40 =0 Kg /s = ΔL Δt. γ) Σηε ζθαίξα αζθνύληαη δύν δπλάκεηο ην βάξνο ηεο g θαη ε δύλακε από ηε ξάβδν. Τόηε είλαη ΣF=α ε, όπνπ α ε είλαη ε επηηξόρηνο επηηάρπλζε ηεο κάδαο ζην άθξν ηεο ξάβδνπ. Ιζρύεη α ε = Δυ γρ Δt = Δ(ωL) Δt = Δω Δt L=α γωλ L (L ην κήθνο ηεο ξάβδνπ) ή α ε = 40 /s. Ιζρύεη ΣF=α ε Ν+g=α ε Ν=(α ε -g) Ν=0,5( 40-10) Ν= 5 =1,67Ν. Αθόκε ζηε ξάβδν αζθείηαη από ηε ζθαίξα κηα δύλακε Ν αληίζεηε ηεο Ν. Δt ) g = gl=5 Kg /s θαη Δt ) Ν = Ν L= 5 Kg /s. Άξα Δt ) = Δt ) g + Δt ) Ν =5+ 5 = 0 Kg /s. Παξόκνηα γηα ηε ξάβδν κάδαο Μ, έρνπκε, Δt ) = L =15 Kg /s θαη Δt ) Ν = -Ν L= - 5 Kg /s. Τειηθά Δt ) Μ= Δt ) Μg + Δt ) Ν =15-5 = 40 Kg /s. Β)α) Ση= ΔL Δt =Ι νι α γωλ = L ΔL ζπλθ+glζπλθ Δt =(15+5) 1 ΔL Δt =10 Kg /s. Αθόκε ΔL Δt =Ι νι α γωλ α γωλ = 0 rd/s. β) Δt ) =Ι α γωλ =L α γωλ Δt ) =0,5 0 ( ΔL Δt ) = 10 Kg /s. Αθόκε Δt ) M =Ι ξ α γωλ = 1 Μ L α γωλ Δt ) Μ= 0 Kg /s. Ιζρύεη Δt ) + Δt ) M = 10 + 0 =10 Kg /s = ΔL Δt

γ) ηα ηε ζθαίξα έρνπκε ΣF=α ε, όπνπ α ε =α γωλ L ή α ε= 0 /s. Τόηε ΣF=α ε Ν x +gεκ0 0 =α ε Ν x =(α ε-g εκ0 0 ) Ν x =0,5( 0-5) Ν x = 5 6 Ν. Ν= 5 Ν. Σηε ξάβδν αζθείηαη από ηε ζθαίξα κηα δύλακε Ν αληίζεηε ηεο Ν. Τόηε Δt ) g = glζπλ60 0 = 5 Kg /s θαη Δt ) Νx = Ν x L= 5 6 Kg /s. Άξα Δt ) = Δt ) g + Δt ) Ν = 5 + 5 6 =10 Kg /s. Παξόκνηα γηα ηε ξάβδν κάδαο Μ, έρνπκε, Δt ) = L ζπλ600 = 15 Kg /s Δt ) Μ= Δt ) Μg + Δt ) Νx = 15-5 6 = 0 Kg /s. θαη Δt ) Ν = - Ν x L= - 5 6 Kg /s. Τειηθά ) Όηαλ ε ξάβδνο γίλεη θαηαθόξπθε είλαη ΔL Δt =Ι νι α γωλ =0 θαη α γωλ =0 rd/s θαη α ε = α γωλ L=0 /s υ γρ. Όκωο έρνπκε θεληξνκόιν επηηάρπλζε α θ = L α θ =ω L. Ιζρύεη, ΣF=α θ Ν-g=α θ Ν=(α θ +g) Ν=(ω L+g). 0 Α..Μ.Δ: αξρ +U αξρ = ηει +U ηει (M+)gL= 1 I νιω + L 5= 1 1,5 ω +15 ω = 80 (rd/s). Τειηθά Ν=(ω L+g) Ν=0,5( 80 +10) Ν= 55 =18,Ν. ΠΑΡΑΣΗΡΗΗ: Όηαλ ε ξάβδνο έρεη πεξηζηξαθεί θαηά θ=60 0 έρνπκε: Α..Μ.Δ: αξρ +U αξρ = ηει +U ηει (M+)gL= 1 I νιω + L(1-1 ζπλ00 )+gl(1- ζπλ0 0 ) 5= 1 1,5 ω +0-0 4 +5-5 1 1,5 ω =10 ω = 40 (rd/s). Ν y -gζπλ0 0 =α θ Ν y =(α θ +g ζπλ0 0 ) Ν y =(ω L+g ζπλ0 0 ) Ν y =0,5( 40 +5 ) Ν y = 55. Αθόκε ζε εθείλε ηε ζέζε είλαη Ν x = 5 6 6 Ν. Τειηθά γηα ην κέηξν ηεο δύλακεο πνπ δέρεηαη ε κάδα από ηε ξάβδν έρνπκε Ν= + Ν= 5 x y 91Ν=16Ν.

4 ) Σο σλικό ζημείο ενός μητανικού ζηερεού ποσ κινείηαι όπως ένα σλικό ζημείο με μάζα ίζη με ηη μάζα ηοσ ζηερεού όηαν αζκούνηαι ζ ασηό όλες οι δσνάμεις ποσ αζκούνηαι ζηο ζηερεό ονομάζεηαι κέντρο μάζας ηοσ ζηερεού. Όηαλ ε ζπληζηακέλε ηωλ δπλάκεωλ πνπ αζθνύληαη ζ έλα πιηθό ζεκείν είλαη κεδέλ ηόηε απηό ηζνξξνπεί. Τόηε έλα πιηθό ζεκείν ηνπ κεραληθνύ ζηεξενύ πνπ ζα ηζνξξνπεί όηαλ ε ζπληζηακέλε ηωλ δπλάκεωλ είλαη κεδέλ, είλαη απηό γηα ην νπνίν θαη ε ζπληζηακέλε ηωλ ξνπώλ ωο πξνο απηό είλαη κεδέλ. Απηό ην ζεκείν ηνπ ζηεξενύ ζα ζπκπεξηθέξεηαη αθξηβώο όπωο θαη έλα πιηθό ζεκείν ζην νπνίν ε ζπληζηακέλε δύλακε είλαη κεδέλ. Οπνηνδήπνηε άιιν ζεκείν ζα πεξηζηξέθεηαη γηα ΣF=0 θαη δελ ζα είλαη αθίλεην. Απηό ην ζεκείν είλαη ην θέληξν κάδαο ηνπ ζπζηήκαηνο ξάβδνο - κάδα. Έζηω ινηπόλ όηη είλαη ην ζεκείν από ην νπνίν όηαλ δηέξρεηαη ν άμνλαο πεξηζηξνθήο ηόηε ην ζύζηεκα ξάβδνο - κάδα ηζνξξνπεί νξηδόληηα. Ν M,L Τόηε ηζρύεη ΣF=0 +g-=0 =(M+) g. g Δλώ από ηε ζπλζήθε ηζνξξνπίαο γηα ηε ζηξνθηθή θίλεζε θαη ωο πξνο ην ζεκείν έρνπκε: Ση () =0 η W +η - η w =0, όπνπ η =0. Άξα Μ g x 1 - g x =0 x = M x 1. Όκωο ηζρύεη x 1 +x = L ή x 1+ M x 1= L ή x 1= +M L = 1 14 ή x = L +x 1= 4 7.

5 α) ηα λα βξνύκε ηελ θαηαθόξπθε αληίδξαζε Ν από ηνλ άμνλα πεξηζηξνθήο (ζην ) όηαλ ε ξάβδνο είλαη οριζόνηια πξέπεη λα βξνύκε ηελ επηηάρπλζε α εy ηνπ θέληξνπ κάδαο, ηνπ ζπζηήκαηνο. Τόηε έρνπκε α εy =α γωλ x = 40 4 7 α εy= 160 /s θαη γηα ην ζύζηεκα ξάβδνο - κάδα ζηελ αξρηθή νξηδόληηα ζέζε έρνπκε ΣF=(M+) α εy (M+) g-ν=(m+) α εy 5-Ν=,5 160 5-Ν= 80 Ν= 5 =8,. β) Όηαλ ε ξάβδνο γίλεη καηακόρσθη α γωλ =0 rd/s θαη α ε = α γωλ x =0 /s. Όκωο έρνπκε θεληξνκόιν επηηάρπλζε υγρ α θ = x α θ=ω x. Ιζρύεη, ΣF=(M+) α θ Ν-(M+) g=(m+)α θ Ν=(M+) (α θ +g) Ν=(M+) (ω x +g) όπνπ ω = 80 (rd/s). εy g Τειηθά Ν=,5( 80 4 7 +10) Ν= 65 =88,Ν. M g g

6 γ) Όηαλ ε ξάβδνο πεξηζηξαθεί θαηά 60 0 α γωλ = 0 rd/s.rd/s θαη y φ α ε = = 0 4 7 = 80 /s. Όκωο έρνπκε θαη θεληξνκόιν επηηάρπλζε υγρ α θ = x α θ=ω x κε ω = 40 (rd/s). Άξα α θ =ω x = 40 4 7 α θ = 160 U = 0 /s. Από ην ζρήκα έρνπκε α εx =α ε εκθ= 80 α εx= 40 θαη α εy =α ε ζπλθ= 80 1 α εy= 40 /s. Δπίζεο α θx =α θ ζπλθ = 160 θαη α θy =α θ εκθ = 160 εx ε κ κx φ φ εy κy 1 α θx= 80 α θy= 80 7 /s. /s, /s, α γωλ x Ιζρύεη, ΣF y =(M+) (α θy -α εy ) Ν y -(M+) g=(m+) (α θy -α εy ) Ν y =(M+) ( α θy -α εy +g) Ν y =,5 ( 80 7-40 +10) Ν y= 05. Αθόκε ηζρύεη, ΣF x =(M+) (α θx +α εx ) Ν x =,5 ( 80 + 40 ) Ν x =0. Τόηε Ν= x+y Ν=76,7Ν κε εθζ= =1,97 ή ζ=60. y x ix-ix@sch.gr