Κεφάλαιο 4. Λογική Σχεδίαση

Κεφάλαιο 4 Λογική Σχεδίαση

4.1 Εισαγωγή Λογικές συναρτήσεις ονομάζουμε εκείνες για τις οποίες μπορούμε να αποφασίσουμε αν είναι αληθείς ή όχι. Χειριζόμαστε τις λογικές προτάσεις στην συγγραφή λογισμικού και στην προτασιακή λογική. Οι μεταβλητές που εκπροσωπούν λογικές προτάσεις ονομάζονται λογικές μεταβλητές. Οι συναρτήσεις που περιέχουν λογικές μεταβλητές λέγονται λογικές συναρτήσεις ή συναρτήσεις αληθείας. 4.2 Λογικές συναρτήσεις μιας μεταβλητής Έστω ότι έχουμε δίτιμες μεταβλητές, που έχουν δηλαδή πεδίο τιμών δισύνολο, (για παράδειγμα {T, F} ή {True, False} ή {Αληθής, Ψευδής} ή {High, Low}). Αντιστοιχούμε αμφιμονοσήμαντα το δισύνολο αυτό και το σύνολο {1, 0}. Μπορούμε να κάνουμε την αντιστοίχιση Αληθής = 1, Ψευδής = 0, (αυτό λέγεται θετική λογική). Μπορούμε να κάνουμε την αντιστοίχιση Αληθής = 0, Ψευδής = 1. Έχουμε τέσσερις διαφορετικές λογικές συναρτήσεις μιας λογικής μεταβλητής f0 = 0 f1 = α f2 = α f3 = 1 Πίνακας Error! No text of specified style in document.-1: Οι τέσσερις διαφορετικές λογικές συναρτήσεις Η μεταβλητή α και οι συναρτήσεις f0, f1, f2, f3 παίρνουν τιμές στο δισύνολο {0, 1} ή στο {Ψευδής, Αληθής}. Ο πίνακας τιμών και ο αληθοπίνακας για την μεταβλητή και τις συναρτήσεις της είναι οι παρακάτω: α f1 f2 f3 f4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Πίνακας Error! No text of specified style in document.-2: Πίνακας τιμών των συναρτήσεων μιας μεταβλητής α f1 f2 f3 f4 Ψευδής Ψευδής Ψευδής Αληθής Αληθής

Αληθής Ψευδής Αληθής Ψευδής Αληθής Πίνακας Error! No text of specified style in document.-3: Αληθοπίνακας των συναρτήσεων μιας μεταβλητής 4.3 Λογικές συναρτήσεις δυο μεταβλητών Γενικά υπάρχουν Q διαφορετικές s-τιμες συναρτήσεις, με t μεταβλητές r-τιμών, και Q = s rt. Εδώ έχουμε δίτιμες συναρτήσεις, (s = 2), με δύο μεταβλητές, (t = 2), δίτιμες (r = 2), άρα Q = 16. Επομένως υπάρχουν δεκαέξι λογικές συναρτήσεις δυο (λογικών) μεταβλητών. Παρακάτω φαίνεται ο πίνακας τιμών όλων αυτών των συναρτήσεων f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Πίνακας Error! No text of specified style in document.-1: Πίνακας τιμών συναρτήσεων δυο λογικών μεταβλητών Ο αριθμητικός δείκτης κάθε συνάρτησης είναι το δεκαδικό ισοδύναμο του δυαδικού περιεχόμενου του πίνακα. Δηλαδή, στην f3 αντιστοιχεί το 0011, που στο δυαδικό σύστημα είναι ο αριθμός 3. Επιλέγουμε f3 = α και f5 = β, όπου α και β είναι δυο δυαδικές μεταβλητές. (Η επιλογή είναι αυθαίρετη. Φροντίσαμε μόνο, αν βάλουμε δίπλα δίπλα τα αντίστοιχα περιεχόμενα του πίνακα, να έχουμε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς τιμών για τις α και β : α = 0 και β = 0, α = 0 και β = 1, α = 1 και β = 0, α = 1 και β = 1). Μετά από την επιλογή αυτή κάθε συνάρτηση μπορεί να περιγραφεί από συνδυασμούς πρόσθεσης,

πολλαπλασιασμού και συμπληρωμάτων των α, β, 0 και 1, όπως ορίζονται αυτά στην Άλγεβρα Boole. Κάθε λογική συνάρτηση έχει το δικό της όνομα, που αναφέρουμε στον επόμενο πίνακα. Οι συναρτήσεις χρησιμεύουν ως συνδετικά ανάμεσα από απλές λογικές μεταβλητές για να σχηματίζονται απλές λογικές προτάσεις, και στην συνέχεια, ανάμεσα από τις απλές λογικές προτάσεις, για να σχηματίζονται σύνθετες λογικές προτάσεις f0 0 = αα μηδενική 0 f1 αβ ΚΑΙ α AND β f2 αβ ΚΑΙ-ΟΧΙ, α δεν συνεπάγεται β α AND (NOT β) f3 α Μεταβλητή α α f4 α β β δεν συνεπάγεται α β AND (NOT α) f5 β Μεταβλητή β β f6 Αποκλειστικό Ή α XOR β α β = α β + αβ f7 α + β Ή α OR β f8 ΟΧΙ-Ή α NOR β (α + β) = α β = α β f9 α β + αβ = ( α β ) Ισοδυναμία f10 β ΟΧΙ-Β, Συμπλήρωμα του β NOT β f11 β συνεπάγεται α α + β = ( β α ) f12 α ΟΧΙ-Α, Συμπλήρωμα του α NOT α f13 α συνεπάγεται β α + β = ( α β ) f14 ΟΧΙ-ΚΑΙ α NAND β (αβ) = α + β = α β f15 1 = α + α Μοναδιαία 1 Πίνακας Error! No text of specified style in document.-2: Πίνακας τύπων των 16 λογικών συναρτήσεων δύο μεταβλητών α και β Είδαμε στον πίνακα τύπων των λογικών συναρτήσεων δυο μεταβλητών ότι με συνδυασμούς των πράξεων πολλαπλασιασμού (συνάρτηση AND), πρόσθεσης (συνάρτηση OR) και συμπλήρωσης (συνάρτηση NOT) μπορέσαμε να σχηματίσουμε οποιαδήποτε συνάρτηση

από τις 16. Δηλαδή συνδυασμοί των τριών αυτών συναρτήσεων αντικαθιστούν κάθε άλλη. Υπάρχουν κάποιες λογικές συναρτήσεις που μπορούν να αντικαταστήσουν όλες τις άλλες. Κάθε λογική συνάρτηση που μπορεί να αντικαταστήσει όλες τις άλλες ονομάζεται γενική (universal) συνάρτηση, (για παράδειγμα η NAND, η NOR, η Συνεπάγεται). Ισχύει ότι η συνάρτηση με δείκτη x είναι το συμπλήρωμα της συνάρτησης με δείκτη (15 - x), για x = 0, 1,, 15. Τα ηλεκτρονικά κυκλώματα που λειτουργούν όπως οι λογικές συναρτήσεις τα ονομάζουμε λογικές πύλες. Οι γενικές πύλες, που αντικαθιστούν όλες τις πύλες, έχουν χρησιμέψει στην βιομηχανική παραγωγή ολοκληρωμένων κυκλωμάτων, επειδή διευκολύνεται η διαδικασία κατασκευής από την χρησιμοποίηση ενός μόνο είδους πύλης. 4.4 Η πύλη NAND Η πύλη NAND (ΟΧΙ-ΚΑΙ) δίνει την αντίθετη έξοδο από την AND, δηλαδή δίνει λογικό 1 όταν υπάρχει τουλάχιστο ένα λογικό 0 στις εισόδους. Ο πίνακας αληθείας της πύλης είναι Είσοδοι Έξοδος A B A NAND B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Πίνακας Error! No text of specified style in document.-1 Ο πίνακας αληθείας της NAND Το κυκλωματικό σχεδιάγραμμα είναι το εξής

Εικόνα 4.4-1 Το κυκλωματικό σχεδιάγραμμα της NAND 4.5 Η πύλη NOR Η πύλη NΟR (ΟΧΙ-Η') δίνει την αντίθετη έξοδο από την OR, δηλαδή δίνει λογικό 1 όταν και οι δύο είσοδοι είναι 0. Ο πίνακας καταστάσεων και το κυκλωματικό σχεδιάγραμμα είναι τα εξής: Ο πίνακας αληθείας της πύλης είναι Είσοδοι Έξοδος A B A NOR B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Πίνακας Error! No text of specified style in document.-1 Ο πίνακας αληθείας της NOR Το κυκλωματικό σχεδιάγραμμα είναι το εξής Εικόνα 4.5-1 Το κυκλωματικό σχεδιάγραμμα της NOR 4.6 Η πύλη XOR Η πύλη XOR εκτελεί την λογική πράξη XOR (ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΟ Η') μεταξύ των εισόδων της. Η πράξη XOR στην άλγεβρα Boole συμβολίζεται

με ένα συν μέσα σε ένα κύκλο ( ).Για παράδειγμα εαν η πύλη έχει 2 εισόδους (a και b) και μία έξοδο (c) θα γίνει η πράξη c = ab + a b Ο πίνακας αληθείας της λογικής πύλης ΧOR φαίνεται στο εξής σχήμα Είσοδοι Έξοδος A B A XOR B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Πίνακας Error! No text of specified style in document.-1 Ο πίνακας αληθείας της XOR Το κυκλωματικό σχεδιάγραμμα είναι το εξής Εικόνα 4.6-1 Το κυκλωματικό σχεδιάγραμμα της XOR 4.7 Η πύλη XNOR Η πύλη ΧNΟR δίνει την αντίθετη έξοδο από την ΧOR, δηλαδή δίνει λογικό 1 όταν οι δύο είσοδοι είναι στην ίδια λογική στάθμη. Ο πίνακας καταστάσεων και το κυκλωματικό σχεδιάγραμμα είναι τα εξής: Είσοδοι Έξοδος A B A XNOR B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Πίνακας Error! No text of specified style in document.-1 Ο πίνακας αληθείας της XNOR

Εικόνα 4.7-1 Το κυκλωματικό σχεδιάγραμμα της XNOR 4.8 Χάρτες Karnaugh Οι χάρτες Karnaugh είναι ένας τρόπος αναπαράστασης των λογικών συναρτήσεων. Ο χάρτης Karrnaugh είναι ένας πίνακας όπου το κάθε τετράγωνο αναπαριστά ένα συνδυασμό των μεταβλητών, δηλαδή κάθε τετράγωνο ενός χάρτη Karnaugh αντιστοιχεί σε έναν ελάχιστο όρο της λογικής συνάρτησης που αναπαριστά.

Η αναπαράσταση μίας λογικής συνάρτησης με χάρτη Karnaugh γίνεται θέτοντας 1 σε κάθε τετράγωνο του χάρτη Karnaugh που αντιστοιχεί σε ελάχιστο όρο όπου η συνάρτηση έχει τιμή 1 και θέτοντας 0 (ή τίποτα) σε κάθε τετράγωνο του χάρτη Karnaugh που αντιστοιχεί σε ελάχιστο όρο όπου η συνάρτηση έχει τιμή 0. Σε πολλές περιπτώσεις, μερικοί συνδυασμοί των μεταβλητών εισόδου δεν έχουν νόημα και δεν πρόκειται να συμβούν. Αυτοί οι συνδυασμοί καλούνται συνθήκες αδιαφορίας γιατί δεν ενδιαφέρει η τιμή της συνάρτησης για τους συνδυασμούς αυτούς. Στον πίνακα αληθείας και στο χάρτη Karnaugh μίας τέτοιας συνάρτησης οι τιμές της συνάρτησης στις συνθήκες αδιαφορίας συμβολίζονται με X. 4.9 Απλοποιηση Λογικης Συναρτησης Με Χαρτη Karnaugh Για να κάνουμε απλοποίηση μιας λογικής συνάρτησης με πίνακα (ή χάρτη) Karnaugh ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Η λογική συνάρτηση θα πρέπει να είναι σε πλήρη μορφή, ως λογικό άθροισμα ελαχιστόρων ή λογικό γινόμενο μεγιστόρων. Συνήθως χρησιμοποιούμε την μορφή του αθροίσματος ελαχιστόρων. Αν η συνάρτηση δεν είναι σε πλήρη μορφή θα πρέπει να τη φέρουμε σε τέτοια μορφή, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της άλγεβρας Boole.

Ειδικότερα για συνάρτηση σε μορφή λογικού αθροίσματος, που συνήθως αντιμετωπίζουμε, για τους όρους που δεν είναι πλήρεις (ελαχιστόροι) τους μετασχηματίζουμε εφαρμόζοντας τις ιδιότητες: Α 1=Α και Β+Β =1. Παράδειγμα: Έστω ότι έχουμε τη συνάρτηση F(A,B,C) = AB + ABC + A B C. Ο πρώτος όρος, AB, δεν είναι πλήρης (ελαχιστόρος). Όμως μπορούμε να τον μετασχηματίσουμε ως εξής: AB = AB1 = AB(C+C ) = ABC + ABC. Ετσι η συνάρτηση F σε πλήρη μορφή γίνεται F=ABC+ABC +ABC +A B C. Επιπλέον επειδή ισχύει: A+A+...+A=A, η τελική μορφή της συνάρτησης είναι F=ABC + ABC + A B C. 2. Ο πίνακας Karnaugh έχει διαστάσεις ανάλογες με το πλήθος των ανεξάρτητων μεταβλητών. Έτσι, για δυο ανεξάρτητες μεταβλητές έχουμε πίνακα δυο διαστάσεων που περιέχει 2 2 = 4 κυψέλες, όσοι δηλαδή και οι ελαχιστόροι. Αντίστοιχα, για τρεις ανεξάρτητες μεταβλητές έχουμε πίνακα τριών διαστάσεων, που περιέχουν 2 3 = 8 κυψέλες, αφού θα έχουμε 8 ελαχιστόρους και για τέσσερις μεταβλητές θα έχουμε πίνακα τεσσάρων διαστάσεων με 16 ελαχιστόρους και επομένως 2 4 = 16 κυψέλες. Κάθε μια κυψέλη αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο ελαχιστόρο, που κι αυτός αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο συνδυασμό τιμών των ανεξάρτητων μεταβλητών. Η αρίθμηση των γραμμών και των στηλών των κυψελών ακολουθεί τον κώδικα GRAY: 00, 01, 11, 10

3. Η συμπλήρωση του πίνακα γίνεται με βάση είτε τη λογική συνάρτηση (σε πλήρη μορφή), είτε του πίνακα αλήθειας της συνάρτησης. Και τα δυο είναι ισοδύναμα: αν έχουμε τη συνάρτηση σε μορφή αθροίσματος ελαχιστόρων, κάθε ένας ελαχιστόρος αντιστοιχεί σε ένα 1 στον πίνακα αλήθειας και αντίστροφα, κάθε ένα 1 του πίνακα αλήθειας, αντιστοιχεί σε έναν ελαχιστόρο στη λογική συνάρτηση. Επομένως αφού κάθε κυψέλη του πίνακα αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο ελαχιστόρο, μεταφέρουμε από τον πίνακα αλήθειας τις τιμές ( 0 ή 1 ) που έχει η συνάρτηση για κάθε ένα ελαχιστόρο, στην αντίστοιχη κυψέλη. Από τη συνάρτηση μπορούμε να συμπληρώσουμε κατευθείαν τον πίνακα βάζοντας ένα 1 για κάθε ελαχιστόρο που υπάρχει στη συνάρτηση, στην αντίστοιχη κυψέλη του πίνακα. Οι υπόλοιπες κυψέλες του πίνακα παίρνουν τιμή 0. Μας συμφέρει να συμπληρώσουμε τον πίνακα με βάση την κατάσταση που εμφανίζεται λιγότερο συχνά. Αν π.χ. στον πίνακα αλήθειας εμφανίζονται μόνο δυο 0, τοποθετούμε πρώτα αυτά στις κατάλληλες θέσεις του πίνακα και μετά συμπληρώνουμε τις υπόλοιπες θέσεις με 1, επιταχύνοντας έτσι τη διαδικασία.

Παράδειγμα: Έστω ότι έχουμε τη συνάρτηση F(A,B,C) = Σ(3, 5, 6, 7) = m3 + m5 + m6 + m7 = A'BC + AB'C + ABC' + ABC. Ο πίνακας αλήθειας και ο πίνακας Karnaugh της συνάρτησης είναι: 4. Το επόμενο στάδιο είναι να ομαδοποιήσουμε τα 1. Αυτό σημαίνει να φτιάξουμε ομάδες από γειτονικά 1. Για να είναι δυο 1 γειτονικά, πρέπει να είναι διπλανά μεταξύ τους, οριζόντια ή κάθετα, όχι διαγώνια. (Σημείωση: συχνά διαγώνιο 1 ή ομάδες από διαγώνια 1, υποκρύπτουν πύλες XOR ή XNOR). Το σχήμα που προκύπτει από την ομαδοποίηση πρέπει να είναι είτε τετράγωνο, είτε ορθογώνιο. Ούτε T, ούτε Γ. Μαθηματικά αυτό σημαίνει ότι δυο 1 είναι γειτονικά όταν, και μόνον όταν, μόνο μια μεταβλητή των δυο υπό εξέταση ελαχιστόρων έχει διαφορετική τιμή. Η' με άλλα λόγια, όταν μόνο μια μεταβλητή των δυο υπό εξέταση ελαχιστόρων είναι σε κανονική μορφή στον έναν ελαχιστόρο και σε συμπληρωματική μορφή στον άλλο ελαχιστόρο.

5. Στόχος μας είναι να επιλέξουμε λίγες και μεγάλες ομάδες (με το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος από 1 ).. Οσο πιο μεγάλη είναι μια ομάδα, τόσο πιο πολλές μεταβλητές απλοποιούνται. Οι ομάδες μπορούν να περιλαμβάνουν πλήθος 1 που μπορεί να εκφραστεί ως μια δύναμη του 2 μόνο, δηλαδή 2 =1 (ένα 1 μόνο του), 2 1 =2 (ζευγάρι), 2 2 =4 (τετράδα), 2 3 =8 (οκτάδα), 2 4 =16 (δεκαεξάδα). Δεν επιτρέπονται ομάδες που αποτελούνται από 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 από 1. 6. Αντίστοιχα, σε κάθε περίπτωση απλοποιείται πλήθος μεταβλητών ίσο με το εκθέτη του 2 κάθε φορά. Δηλαδή, όταν έχουμε ένα 1 μόνο του (2 0 ), δεν έχουμε καμιά απλοποίηση, όταν έχουμε ζευγάρι (2 1 ) απλοποιείται μια μεταβλητή, όταν έχουμε τετράδα (2 2 ) απλοποιούνται δυο μεταβλητές κλπ. 7. Σε κάθε ομάδα απλοποιούνται εκείνες οι μεταβλητές οι οποίες αλλάζουν τιμή μέσα στην συγκεκριμένη ομάδα (δηλ. που στη μια κυψέλη είναι σε κανονική μορφή και σε άλλη είναι σε συμπληρωματική μορφή). 8. Η τελική απλοποιημένη συνάρτηση είναι στη μορφή λογικού αθροίσματος λογικών γινομένων ή/και ανεξάρτητων μεταβλητών και κάθε ομάδα αντιστοιχεί σε έναν όρο στην τελική απλοποιημένη συνάρτηση. 9. Κάθε ομάδα μπορεί να περιλαμβάνει 1 που περιλαμβάνονται και σε άλλη ομάδα (κοινά 1 ), όμως κάθε ομάδα πρέπει να περιλαμβάνει οπωσδήποτε τουλάχιστον ένα μη κοινό 1. Δεν πρέπει δηλαδή να φτιάξουμε ομάδα με 1 που όλα ανήκουν και σε άλλες ομάδες. Αυτό συμφέρει όταν η χρησιμοποίηση κοινών 1 σε μια ομάδα απλοποιεί

επιπλέον μεταβλητές, διαφορετικά είναι είναι διαδικασία χωρίς όφελος. Παράδειγμα: Για την προηγούμενη συνάρτηση, F(A,B,C) = Σ(3, 5, 6, 7) = A BC + AB C + ABC + ABC, σχηματίζονται τρία ζευγάρια και η απλοποιημένη μορφή της συνάρτησης είναι: F(A, B, C) = BC + AB + AC Στο παράδειγμα αυτό βλέπουμε ότι, αν δεν είχε χρησιμοποιηθεί το κοινό 1, θα είχαμε ένα λογικό γινόμενο δυο μεταβλητών και δυο λογικά γινόμενα τριών μεταβλητών (δηλ. στην ομαδοποίηση θα είχαμε ένα ζευγάρι από 1 και δυο 1 μόνα τους).

10. Στην περίπτωση που έχουμε συνθήκες αδιαφορίας (αδιάφορους όρους, που συμβολίζονται με Χ στον πίνακα αλήθειας), αυτές αντιμετωπίζονται με τέτοιο τρόπο (δηλαδή τις θεωρούμε σαν 1 ή 0 ), ώστε να πετυχαίνουμε το καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα ομαδοποίησης, δηλαδή τις λιγότερες σε πλήθος ομάδες με τα περισσότερα σε πλήθος 1 και X μαζί. (Δεν είναι υποχρεωτικό να πάρουμε όλα τα Χ σαν 1 ή όλα σαν 0. ) Παράδειγμα Παράδειγμα

Παράδειγμα F(A,B,C,D) = Σ(m0, m1, m2, m3, m9, m10, m11, m13, m14) = A B + B C + AC D + ACD Παράδειγμα F(A,B,C,D) = Σ(m0, m2, m4, m6, m10, m13) + X(7, 11, 15) = A D + AB C + ABD Παράδειγμα F(A, B, C, D) = Σ(m0, m2, m4, m6, m12, m13, m14) + X(7, 11, 15) = A D + AB