ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΥΤΕΡΑ IOYNIOY 4 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ 4 ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 8 A. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ ; Μονάδες 4 A3. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο Α ολικό μέγιστο, το f ; Μονάδες 3 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α Για κάθε z ισχύει z z = Imz μονάδες β Αν f =+ ή, τότε = f μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα. μονάδες δ Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και α, β, γ Δ, τότε ισχύει β γ β fd = fd + fd α α γ μονάδες ε Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ. μονάδες Μονάδες ΘΕΜΑ Β Δίνεται η εξίσωση z + z+ z 4 =, z B. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 9 B. Αν z=+ και z=- είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι ίσος με 3 39 z = w 3 z Μονάδες 8 B3. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών u για τους οποίους ισχύει u+ w = 4z z όπου w, z, z οι μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος Β. Μονάδες 8
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση h = n +, R Γ. Να μελετήσετε την h ως προς την κυρτότητα. Μονάδες 5 Γ. Να λύσετε την ανίσωση h h < +, Μονάδες 7 Γ3. Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο +, καθώς και την πλάγια ασύμπτωτή της στο. φ h, Γ4. Δίνεται η συνάρτηση = + n Μονάδες 6 Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της φ, τον άξονα ' και την ευθεία = Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f, αν =, αν = Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο = και, στη συνέχεια, ότι είναι γνησίως αύξουσα. Δ. Δίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή. Μονάδες 7 α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f fu du = έχει ακριβώς μία λύση, η οποία είναι η = μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ β Ένα υλικό σημείο M ξεκινά τη χρονική στιγμή = από ένα σημείο A, f με < και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = f, με =, y = y,. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου M είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης του y, αν υποτεθεί ότι ' > για κάθε. μονάδες 4 Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση g = f +,, + Μονάδες Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία θέση τοπικού μεγίστου. Μονάδες 7 ΟΔΗΓΙΕΣ για τους εξεταζομένους. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα Ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις 3 ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης:. π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 4 ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξθ ςχολικοφ βιβλίου: ςελ. 5 Α. Οριςμόσ ςχολικοφ βιβλίου: ςελ. 73, αν θ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο εςωτερικό του Δ Α3. Οριςμόσ ςχολικοφ βιβλίου: ςελ. 5, όταν f f για κάκε A Α4. Λ αφοφ z z Im z Σ ςελ. 78 Σ ςχόλιο ςελ. 6 Σ κεώρθμα ο ςελ. 33 Λ ςχόλιο ςελ. 54 ΘΕΜΑ Β Β. z z z 4 y 4 y 4 y πρζπει και =, y= Επομζνωσ z =+ και z =- B. 3 z 3 z 39 39 3 39 3 39 3
Β3. u 4 z z u 3 4 4 u 3 3 4 u 3 5 γεωμετρικόσ τόποσ των εικόνων του u είναι κφκλοσ με: Κ,3, R=5 ΘΕΜΑ Γ Γ. h=, h h ' h '' για κάκε Γ. h, h ' hh' h ' hh' hh' h h' h' h' h' h' Γ3. h u u Άρα y= οριηόντια ςτο u u u
h Άρα θ y= [ ] [ ] Γ4. h, h h h E d, για κάκε h h h E d d d d d ' d ' [ ] [ ] d [ ] d [ ]
ΘΕΜΑ Δ Δ. f.. f Άρα θ f είναι ςυνεχισ ςτο f ' g με g, R g ' Άρα: g ' - + g Ζχω g g, R Άρα: f ' + + f Δθλαδι θ f είναι ςυνεχισ και γνθςίωσ αφξουςα ςτο R.
Δ. ος τρόπος G f u du με G ' f Άρα G δθλ. - G f u du Άρα: f ' f u du G f ' G f ' f ' ος τρόπος α f ςυνεχισ ςτο R και άρα: f R f, f, Αφοφ f f Άρα f, R Αν υπάρχει R με f ' f ' Τότε: f u du άτοπο. Αν υπάρχει R με f ' f ' Τότε: f u du άτοπο. Άρα: f ' f ' f ' Προφανισ ρίηα χ=
Ζςτω R, ' ' + + Άρα θ χ= μοναδικι ρίηα. β Ζχω f y άρα:,, y Θζλω ' ' y Άρα ζχοντασ y f ' ' ' ' ' f y f Άρα από Δ. α, άρα y δθλαδι ζχω το ςθμείο Μ,. Δ3. f g ] [ ' g K K ' K
K K K Από Θ. Bolzano υπάρχει:, : K K ' - + K Στο, θ κ είναι - άρα θ ρίηα είναι μοναδικι - - - - + - - + + + K - - + + g - + - + Τ.Ε. Τ.Μ. Τ.Ε.