Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

3 η Διάλεξη-Περιεχόμενα (1/2) Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash Λύση ακολουθιακής κυριαρχίας και σημεία ισορροπίας Nash Αλγοριθμική εύρεση σημείων ισορροπίας Ισορροπία Nash σε συνεχή παίγνια

3 η Διάλεξη-Περιεχόμενα (2/2) Ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές σε παίγνια σταθερού αθροίσματος Αλγόριθμος εύρεσης ισορροπίας σε παίγνια σταθερού αθροίσματος. Εξασφαλισμένη έκβαση παιγνίου σταθερού αθροίσματος Στρατηγική MAXIMIN και MINIMAX σε παίγνια σταθερού αθροίσματος

Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash (1/5) Υποθέτουμε ότι για ένα παίγνιο 2 παικτών, το οποίο αναλύθηκε από έναν ειδήμονα, μας προτείνεται το ζεύγος στρατηγικών Σ* για τον Ι και Τ* για τον ΙΙ. Υποθέτουμε ακόμη ότι οι 2 στρατηγικές είναι όντως οι καλύτερες για τους 2 παίκτες, αλλά αυτοί δεν μπορούν για κάποιους λόγους να δεσμευθούν αμοιβαία ότι θα τις ακολουθήσουν. Σημείωση: η επόμενη ύλη αφορά σε παίγνια μη σταθερού αθροίσματος, εκτός και αν δηλωθεί ρητά διαφορετικά.

Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash (2/5) Ο παίκτης Ι μπορεί να σκεφτεί ως εξής: αν όντως ο αντίπαλός μου επιλέξει την στρατηγική Τ*, τότε εγώ πρέπει να επιλέξω την στρατηγική που μεγιστοποιεί τα κέρδη μου δοθείσης της Τ*. Πρέπει δηλαδή να λύσω το πρόβλημα max Σ (Σ, Τ*). Αν η στρατηγική που μου προτάθηκε, δηλ. η Σ* δεν ταυτίζεται με την λύση του προηγούμενου προβλήματος, πρέπει να αναθεωρηθεί.

Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash (3/5) Ανάλογες σκέψεις μπορεί να κάνει και ο παίκτης ΙΙ. Τελικά, για να θεωρηθούν 2 στρατηγικές ως εύλογες για την έκβαση ενός παιγνίου 2 παικτών, υπό την έννοια ότι οι παίκτες δεν θα έχουν κίνητρο να αποκλίνουν από αυτές, θα πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: K I (Σ*, Τ*) >= Κ Ι (Σ, Τ*), για κάθε Σ. K IΙ (Σ*, Τ*) >= Κ ΙI (Σ*, Τ), για κάθε Τ. Ένα ζεύγος στρατηγικών Σ*, Τ* που ικανοποιεί τις προηγούμενες σχέσεις ονομάζονται σημείο (ή ζεύγος) ισορροπίας (κατά Nash).

Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash (4/5) Περιφραστικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι το σημείο ισορροπίας Nash είναι μια ευσταθής έκβαση του παιγνίου, που καθορίζεται από κάποιες συγκεκριμένες στρατηγικές, υπό την έννοια ότι οι παίκτες δεν έχουν κανέναν λόγο να αποκλίνουν από τις στρατηγικές αυτές. Πρόκειται δηλαδή για ένα ιδανικό σημείο για όλους τους παίκτες. Ο ορισμός επεκτείνεται και για Ν παίκτες. Σε ένα παίγνιο μπορεί να υπάρχει ένα, πολλά ή κανένα σημείο ισορροπίας. (Δείτε τα επόμενα παραδείγματα)

Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash (5/5) Θα πρέπει να τονιστεί ότι στο σημείο ισορροπίας κατά Nash, ο παίκτης 1 (αντίστοιχα ο 2) δεν έχει κατ ανάγκη το μέγιστο κέρδος. Επίσης, αν το παίγνιο έχει περισσότερα από ένα σημεία ισορροπίας κατά Nash, αυτά δεν έχουν κατ ανάγκη για έναν παίκτη το ίδιο κέρδος. Τέλος, δοθέντος ενός σημείου ισορροπίας κατά Nash, με κέρδη Α και Β για τους 2 παίκτες, ενδέχεται να υπάρχει και άλλο σημείο ισορροπίας κατά Nash με μεγαλύτερα κέρδη από Α και Β και για τους δύο παίκτες.

Δύο ισοδύναμες διατυπώσεις σημείου ισορροπίας Nash Σημείο ισορροπίας Nash είναι οι στρατηγικές που ακολουθούν οι παίκτες: 1) Όταν με δεδομένες τις υπόλοιπες στρατηγικές ο παίκτης ακολουθεί στρατηγική που του αποφέρει το καλύτερο δυνατόν για αυτόν. 2) Κανένας παίκτης δεν έχει κίνητρο να αποκλίνει από την στρατηγική του σημείου, με δεδομένη την στρατηγική του άλλου παίκτη.

Σημείο ισορροπίας και σημείο αυστηρής ισορροπίας κατά Nash Η προηγούμενη 2 η διατύπωση του σημείου ισορροπίας κατά Nash, μας οδηγεί στην διάκριση: Ένα σύνολο στρατηγικών αποτελεί ένα σημείο ισορροπίας κατά Nash όταν αν ένας παίκτης αλλάζοντας την στρατηγική του (με δεδομένες τις στρατηγικές των υπολοίπων παικτών) το κέρδος του δεν θα αυξηθεί (θα μείνει ίδιο ή θα μειωθεί, άρα δεν έχει κίνητρο να την αλλάξει). Αν όμως, αλλάζοντας την στρατηγική του (με δεδομένες τις στρατηγικές των υπολοίπων παικτών) το κέρδος του θα μειωθεί τότε έχουμε ένα σημείο αυστηρής ισορροπίας κατά Nash. Σε αυτή την περίπτωση, όχι μόνο δεν έχει κίνητρο να αλλάξει την στρατηγική του, αλλά έχει αντικίνητρο να μην την αλλάξει. (το κέρδος του όχι μόνο δεν θα αυξηθεί, αλλά θα μειωθεί).

1 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash Στην 2 η Διάλεξη, στο 1 ο παράδειγμα, το ζεύγος σ2, τ2 είναι το μοναδικό σημείο ισορροπίας. Η λύση αυστηρής ακολουθιακής κυριαρχίας που αναπτύχθηκε (απαλοιφή της σ1 και στην συνέχεια της τ1) οδηγεί στο σημείο Nash. Όταν η ακολουθιακή λύση είναι αυστηρή, τότε οδηγεί πάντα στο σημείο ισορροπίας.

2 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash Στην 2 η Διάλεξη, στο 2 ο Παράδειγμα, η ακολουθιακή λύση (Βόρεια, Βόρεια) είναι σημείο ισορροπίας Nash. Η λύση ακολουθιακής κυριαρχίας (Βόρεια, Βόρεια), αν και όχι αυστηρή, οδηγεί στο σημείο ισορροπίας, αλλά αυτό δεν ισχύει πάντα. Όταν η ακολουθιακή λύση δεν είναι αυστηρή, ενδέχεται να μην οδηγήσει στο σημείο ισορροπίας.

3 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash (1/2) Δύο εταιρείες εξετάζουν την κάθοδο σε δύο διαφορετικές αγορές Α, Β. Αν και οι δύο κατέλθουν στην ίδια αγορά, τα κέρδη θα είναι αμελητέα και για τις δύο λόγω του ανταγωνισμού. Αν όμως κατέλθουν σε διαφορετικές αγορές δε θα υπάρξει ανταγωνισμός και επομένως θα είναι και οι δύο κερδοφόρες. Δεχόμαστε ότι η αγορά Α είναι πιο προσοδοφόρα από τη Β.

3 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash (2/2) Η κανονική μορφή του παιγνίου είναι: Επιβεβαιώνεται εύκολα ότι υπάρχουν 2 σημεία ισορροπίας: (Α, Β) και (Β, Α). Προφανώς ο παίκτης Ι επιδιώκει το σημείο (Α, Β) ενώ ο ΙΙ επιδιώκει το (Β, Α). Δεν είναι όμως σαφής από την ανάλυση η εξέλιξη του παιγνίου, καθώς στην προσπάθειά τους να εξασφαλίσουν οι παίκτες την αγορά Α, μπορεί να καταλήξουν στο (Α, Α), το οποίο είναι δυσμενές και για τους δύο.

4 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash Επιβεβαιώνεται εύκολα ότι το σημείο ισορροπίας κατά Nash είναι το (talk, talk) με κέρδη για τους παίκτες -6 και -6 αντίστοιχα. Με δεδομένη την στρατηγική του άλλου παίκτη, κανείς δεν έχει κίνητρο να αλλάξει στρατηγική και να επιλέξει π.χ. refuse. Είναι αξιοσημείωτο ότι το Nush equilibrium δεν είναι οπωσδήποτε καλό για τους παίκτες. Αποτελεί απλώς ένα σημείο στο οποίο εγκλωβίζεται το παίγνιο (μεταβαίνει σε μια κατάσταση) είτε καλή είτε κακή. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα είναι κακή για τους παίκτες. Σημειώνεται ότι στο δίλημμα των κρατουμένων δεν υπάρχει συννενόηση μεταξύ τους (απουσία συνεργασίας) Το δίλημμα των κρατουμένων

5 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash Το κυνήγι του ελαφιού και του λαγού (1/4) Δύο κυνηγοί καταδιώκουν έφιπποι ένα ελάφι.(stage). Αν συνεχίσουν την καταδίωξη τελικά συλλαμβάνουν το ελάφι. Ξαφνικά περνάνε κάποιοι λαγοί (hare). Αν κάποιος κυνηγός σταματήσει την καταδίωξη του ελαφιού για να κυνηγήσει έναν λαγό, τότε θα πιάσει τον λαγό αλλά το ελάφι θα διαφύγει. Η αποτύπωση του παιγνίου φαίνεται παραπάνω, μαζί με τα κέρδη των κυνηγών σε κάθε περίπτωση. Καταρχάς, δεν υπάρχουν κυριαρχούμενες στρατηγικές. Υπάρχουν 2 σημεία αυστηρής κυριαρχίας Nash: (stag, stag) και (hare, hare). Φυσικά και οι 2 κυνηγοί προτιμούν το σημείο (stag, stag).

5 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash Το κυνήγι του ελαφιού και του λαγού (2/5) Αν ο κάθε κυνηγός αποφασίσει ατομικά, μπορεί να έχει ένα εγγυημένο κέρδος ίσο με 1, απλώς καταδιώκοντας έναν λαγό. Αν και οι 2 κυνηγοί ενεργήσουν έτσι, τότε το παίγνιο φτάνει στο σημείο ισορροπίας Nash - μη συνεργασίας (hare, hare) με κέρδη (1, 1). Ένα καλύτερο σημείο ισορροπίας Nash είναι το (stag, stag) στο οποίο θα φτάσει το παίγνιο με την συνεργασία των 2 κυνηγών (συνεργατική ισορροπία Nash), δηλαδή αν με κάποιο τρόπο συμφωνήσουν να καταδιώξουν και οι 2 το ελάφι.

5 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash Το κυνήγι του ελαφιού και του λαγού (3/5) Αξίζει να σημειωθεί ότι αν το παίγνιο βρεθεί στο μη συνεργατικό σημείο ισορροπίας (hare, hare) είναι πολύ δύσκολο στην συνέχεια να μεταβεί στο καλύτερο (και για τους 2) σημείο της συνεργατικής ισορροπίας (stag, stag): παρατηρήστε ότι αν κάποιος από τους 2 κυνηγούς αλλάξει την στρατηγική του (από μόνος του) από hare σε stag το κέρδος του πέφτει στο 0, δηλαδή χειροτερεύει. Άρα πιθανότατα δεν θα το κάνει, συνεπώς είναι μάλλον ανεπανόρθωτη βλάβη να πέσει το παίγνιο σε κατάσταση κακού σημείου ισορροπίας Nash. Η διαφορά από το δίλημμα των κρατουμένων είναι ότι τώρα, αν οι 2 κυνηγοί συνεργαζόμενοι βρεθούν στο καλό σημείο Nash (stag, stag) κανείς τους δεν θα αποπειραθεί να «κλέψει» (αλλάζοντας στρατηγική), σε αντίθεση με τους κρατουμένους (που θα μπουν στον πειρασμό να «κλέψουν»)

Η σχέση του προβλήματος ελαφιού-λαγών και δυσμενούς κατάστασης μιας Οικονομίας (1/3) Σε μια δυσχερή Εθνική Οικονομία (οικονομική κρίση), οι επιχειρήσεις δεν προσλαμβάνουν προσωπικό επειδή έχουν έλλειψη πελατών. Και έχουν έλλειψη πελατών επειδή άλλες επιχειρήσεις δεν προσλαμβάνουν επίσης προσωπικό, το οποίο θα αποτελούσε τους πελάτες των υπόλοιπων επιχειρήσεων. (φαύλος κύκλος). Η Οικονομία τότε έχει περιέλθει σε ένα σημείο ισορροπίας Nash (κακό σημείο ισορροπίας Nash). Μια πρώτη προσέγγιση θα ήταν: πολλές επιχειρήσεις να προσλάβουν πολύ προσωπικό, το οποίο θα γινόταν πελάτες για τις υπόλοιπες επιχειρήσεις και έτσι θα γινόταν ένα restart της Οικονομίας, με ορατό το ενδεχόμενο να μεταβεί σε καλό σημείο ισορροπίας Nash, όπου όλες οι επιχειρήσεις θα ήταν ικανοποιημένες.

Η σχέση του προβλήματος ελαφιού-λαγών και δυσμενούς κατάστασης μιας Οικονομίας (2/3) Δυστυχώς είναι μάλλον αδύνατη αυτή η λύση (όπως και με τους κυνηγούς που δεν μπορούν να ξεφύγουν από το κακό σημείο (hare, hare)), διότι οι πρώτες επιχειρήσεις που θα προσλάβουν πολύ προσωπικό θα διαπιστώσουν ότι δεν το χρειάζονται και θα δουν τα κέρδη τους να μειώνονται ακόμη περισσότερο, με αποτέλεσμα την χρεοκοπία, η οποία θα έχει αντίκτυπο και στην γενικότερη Οικονομία.

Η σχέση του προβλήματος ελαφιού-λαγών και δυσμενούς κατάστασης μιας Οικονομίας (3/3) Την λύση για την επανεκκίνηση μιας δυσχερούς Οικονομίας πρότεινε οjohn Maynard Keynes: Το κράτος οφείλει να κάνει δαπάνες (να επενδύσει), για παράδειγμα σε έργα υποδομής. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα κάποιες επιχειρήσεις να προσλάβουν προσωπικό που θα εργαστεί για την εκτέλεση των έργων υποδομής. Το προσωπικό αυτό θα αποτελέσει τους πελάτες άλλων επιχειρήσεων, οι οποίες θα αναγκαστούν να προσλάβουν επιπλέον προσωπικό για να εξυπηρετήσουν την πελατεία τους κ.ο.κ. Έτσι θα αναθερμανθεί η Οικονομία. Να αναλογιστείτε γιατί (αφού φαίνεται τόσο απλό) δεν το εφαρμόζουν αβίαστα οι εκάστοτε κυβερνήσεις.

Αλγοριθμική εύρεση σημείου ισορροπίας κατά Nash Σε παίγνια δύο παικτών, ο προσδιορισμός των (τυχόν) σημείων ισορροπίας Nash γίνεται αλγοριθμικάδιαγραμματικά: 1. Για κάθε στρατηγική του Ι υπογραμμίζουμε στον πίνακα του παιγνίου την βέλτιστη επιλογή του ΙΙ, δεχόμενοι ότι ο ΙΙ γνωρίζει την επιλογή του Ι. 2. Επαναλαμβάνουμε, αντιστρέφοντας τους ρόλους των Ι και ΙΙ. 3. Τα στοιχεία με 2 υπογραμμίσεις είναι σημεία ισορροπίας Nash, αφού ικανοποιούν και τις 2 σχέσεις του ορισμού.

4 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash Εκτελώντας τον διαγραμματικό αλγόριθμο, επιβεβαιώστε ότι στο παρακάτω παίγνιο το μοναδικό σημείο ισορροπίας είναι το (Β, Γ). Επιβεβαιώστε ότι δεν υπάρχουν αυστηρά κυριαρχούμενες στρατηγικές.

5 ο Παράδειγμα ισορροπίας Nash Εκτελώντας τον διαγραμματικό αλγόριθμο, επιβεβαιώστε ότι στο παρακάτω παίγνιο το μοναδικό σημείο ισορροπίας κατά Nash είναι το (Α, Β). Για τις κυριαρχούμενες στρατηγικές: η Α του παίκτη Ι κυριαρχείται από την Β (ασθενώς). Η στρατηγική Β του παίκτη ΙΙ κυριαρχείται από την Γ (ασθενώς). Αν προχωρήσουμε στις αντίστοιχες απαλοιφές, τότε το παίγνιο που προκύπτει δεν έχει πλέον το αρχικό σημείο ισορροπίας. Αυτό συνέβη λόγω της απαλοιφής ασθενώς και όχι αυστηρώς κυριαρχούμενων στρατηγικών.

Ισορροπία Nash και ισορροπία κυρίαρχων στρατηγικών (1/4) Έστω παίγνιο με δύο παίκτες που έχουν κέρδη Π1(S1, S2) και Π2(S1, S2) αντίστοιχα, όταν ο 1 ακολουθεί την S1 και ο 2 την S2. Μια ισορροπία με αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές στο σημείο (S1*, S2*) έχει τις ιδιότητες: Π1(S1*, S2) > Π1(S1, S2) για κάθε S1, S2 Π2(S1, S2*) > Π2(S1, S2) για κάθε S1, S2 Η πρώτη σχέση (αντίστοιχα η δεύτερη) μας λέει ότι η στρατηγική S1* είναι η καλύτερη από όλες τις S1 που μπορεί να επιλέξει ο παίκτης 1ανεξάρτητα από την στρατηγική S2 που μπορεί να επιλέξει ο παίκτης 2, δηλαδή για όλες τις S2.

Ισορροπία Nash και ισορροπία κυρίαρχων στρατηγικών (2/4) Το σημείο (S1*, S2*) είναι σημείο ισορροπίας κατά Nash όταν ισχύουν οι ιδιότητες: Π1(S1*, S2*) >= Π1(S1, S2*) για κάθε S1 Π2(S1*, S2*) >= Π2(S1*, S2) για κάθε S2. Η πρώτη (αντίστοιχα η δεύτερη) σχέση δηλώνει ότι η στρατηγική S1* που ακολουθεί ο παίκτης 1 στην ισορροπία κατά Nash είναι η καλύτερη από κάθε άλλη S1, με δεδομένη την στρατηγική S2* του παίκτη 2. Δεν ισχύει δηλαδή για κάθε S2 του παίκτη 2, όπως στο σημείο ισορροπίας αυστηρής κυριαρχίας.

Ισορροπία Nash και ισορροπία κυρίαρχων στρατηγικών (3/4) Από τις δύο προηγούμενες διαφάνειες είναι φανερό ότι η ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές είναι πολύ πιο αυστηρή από αυτήν του Nash. Συνεπώς: ένα σημείο ισορροπίας αυστηρά κυρίαρχων στρατηγικών είναι και σημείο ισορροπίας Nash, ενώ το αντίστροφο δεν αληθεύει.

Ισορροπία Nash και ισορροπία κυρίαρχων στρατηγικών (4/4) Αν επιχειρήσουμε να βρούμε το σημείο ισορροπίας αυστηρά κυρίαρχων στρατηγικών, (με την υπόθεση ότι υπάρχουν και ότι δίνουν το σημείο ισορροπίας) τότε αυτό θα είναι και σημείο ισορροπίας κατά Nash. Μπορεί όμως το σημείο ισορροπίας κατά Nash να υπάρχει, αλλά να μην μπορεί να το εντοπίσει η μέθοδος απαλοιφής αυστηρά κυρίαρχων στρατηγικών, είτε γιατί δεν υπάρχουν είτε διότι δεν είναι αρκετό το πλήθος τους.

Ισορροπία Nash σε συνεχή παίγνια (1/3) Θυμίζουμε ότι ένα παίγνιο καλείται συνεχές όταν τα σύνολα των στρατηγικών των παικτών του δεν είναι διακριτά αλλά συνεχή διαστήματα, π.χ. [0, 1]. Τα συνεχή παίγνια έχουν πολλές εφαρμογές στην Οικονομική Επιστήμη. Αν τα συνεχή σύνολα στρατηγικών είναι διαφορίσιμα (παραγωγίσιμα) ως προς τις στρατηγικές, τότε η ανάλυση των συνεχών παιγνίων διευκολύνεται με την χρήση του Διαφορικού Λογισμού.

Ισορροπία Nash σε συνεχή παίγνια (2/3) Οι δύο γνωστές συνθήκες που ορίζουν την ισορροπία Nash στα διακριτά παίγνια, στα συνεχή παίγνια διαμορφώνονται ως εξής: 1. 2. Ο προσδιορισμός του σημείου ισορροπίας γίνεται συνήθως με βάση την επίλυση των 2 παραπάνω αναγκαίων σχέσεων.

Ισορροπία Nash σε συνεχή παίγνια (3/3) Οι συνθήκες μηδενισμού των μερικών παραγώγων πρώτης τάξης της προηγούμενης διαφάνειας είναι αναγκαίες. Οι ικανές συνθήκες είναι: Δεύτερη μερική παράγωγος ως προς χ της Κι(χ, y) και δεύτερη μερική παράγωγος ως προς y της KII(x, y) να παίρνουν αρνητική τιμή στο σημείο που μηδενίζονται οι πρώτης τάξης μερικές παράγωγοι ως προς χ και y (δηλαδή στο στάσιμο σημείο)

1 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς παιγνίου (1/4) Έστω οι εξής συναρτήσεις κέρδους σε συνεχές παίγνιο δύο παικτών: Να βρεθεί το σημείο ισορροπίας κατά Nash.

1 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς παιγνίου (2/4) Λύση Από την συνάρτηση κέρδους του παίκτη Ι, παραγωγίζοντας ως προς χ έχουμε: και εξισώνοντας με το 0 λαμβάνουμε: (i)

1 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς παιγνίου (3/4) Από την συνάρτηση κέρδους του παίκτη ΙI, παραγωγίζοντας ως προς y έχουμε: και εξισώνοντας με το 0, λαμβάνουμε: (ii)

1 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς παιγνίου (4/4) Κατά την ισορροπία Nash, οι δύο προηγούμενες σχέσεις (i) και (ii) ισχύουν ταυτόχρονα. Θεωρώντας λοιπόν ότι ορίζουν ένα σύστημα εξισώσεων και επιλύοντάς το, βρίσκουμε τις παρακάτω τιμές των στρατηγικών x και y, οι οποίες ορίζουν το σημείο ισορροπίας κατά Nash στο συνεχές παίγνιο, αφού η δεύτερης τάξης μερική παράγωγος ως προς χ (αντίστοιχα y) της KI (αντίστοιχα της ΚΙΙ) στο στάσιμο σημείο είναι αρνητική:

2 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς παιγνίου (1/4) Έστω οι εξής συναρτήσεις κέρδους σε συνεχές παίγνιο δύο παικτών: Να βρεθεί το σημείο ισορροπίας κατά Nash, αν υπάρχει.

2 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς Λύση παιγνίου (2/4) Από την συνάρτηση κέρδους του παίκτη Ι, παραγωγίζοντας ως προς χ έχουμε: και εξισώνοντας με το 0, λαμβάνουμε: (i)

2 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς παιγνίου (3/4) Από την συνάρτηση κέρδους του παίκτη ΙI, παραγωγίζοντας ως προς y έχουμε: και εξισώνοντας με το 0, λαμβάνουμε: (ii)

2 ο Παράδειγμα ισορροπίας συνεχούς παιγνίου (4/4) Κατά την ισορροπία Nash, οι δύο προηγούμενες σχέσεις (i) και (ii) ισχύουν ταυτόχρονα. Θεωρώντας λοιπόν ότι ορίζουν ένα σύστημα εξισώσεων και επιλύοντάς το, βρίσκουμε τις παρακάτω τιμές των στρατηγικών x και y, οι οποίες ΔΕΝ ορίζουν σημείο ισορροπίας Nash (γιατί;): Πράγματι, οι τιμές αυτές δίνουν κέρδη ΚΙ(-1, -1) = 1,37 και ΚΙΙ(-1, -1) = 0. Όμως, αν χ = 0 και y = -1 τότε: ΚΙ(0, -1) = 2,72 > 1,37. Αυτό επίσης δείχνει ότι το σημείο (-1, -1) δεν είναι σημείο ισορροπίας κατά Nash.

Ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές σε παίγνια σταθερού αθροίσματος (1/3) Ότι αναφέρθηκε μέχρι τώρα για την ισορροπία Nash, αφορούσε σε παίγνια μη σταθερού αθροίσματος. Ας θεωρήσουμε ένα παίγνιο 2 παικτών σταθερού αθροίσματος. Έστω i οι στρατηγικές του παίκτη I και j οι στρατηγικές του παίκτη II, με i = 1, 2,.., M και j = 1, 2,.., N Έστω a i,j τα κέρδη του παίκτη Ι αν στο παίγνιο ακολουθηθούν οι στρατηγικές i και j από τους παίκτες I και II αντίστοιχα. Αφού το παίγνιο είναι σταθερού αθροίσματος, τα κέρδη του παίκτη II είναι c - a i,j, με c σταθερά ανεξάρτητη των i και j.

Ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές σε παίγνια σταθερού αθροίσματος (2/3) Τα κέρδη και των 2 παικτών είναι γνωστά, αν δοθεί μόνο ο πίνακας των κερδών του παίκτη Ι, ο οποίος έχει διάσταση Μ x N. Για να ικανοποιεί ένα ζεύγος στρατηγικών i, j τις συνθήκες ισορροπίας Nash (που μελετήσαμε για παίγνια μη σταθερού αθροίσματος) θα πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: a i,j a i,j, για κάθε i και c a i,j c - a i,j, για κάθε j Οι παραπάνω σχέσεις συνοψίζονται ως: a i,j a i,j a i,j για κάθε i, j.

Ισορροπία με αμιγείς στρατηγικές σε παίγνια σταθερού αθροίσματος (3/3) Λόγω της προηγούμενης σχέσης, το ζεύγος των στρατηγικών i, j, οι οποίες ορίζουν το σημείο ισορροπίας Nash σε παίγνιο σταθερού αθροίσματος, ονομάζεται και σημείο minimax ή σαγματικό σημείο (η γραφική του παράσταση μοιάζει με σάγμα σέλα) ή απλώς σημείο ισορροπίας. Η ορολογία minimax δικαιολογείται καθώς το σημείο είναι το ελάχιστο ως προς τα στοιχεία της γραμμής i και το μέγιστο ως προς τα στοιχεία της στήλης j.

Αλγόριθμος εύρεσης ισορροπίας σε παίγνια σταθερού αθροίσματος. Ο αλγόριθμος μοιάζει με αυτόν που εφαρμόζεται στα παίγνια μη σταθερού αθροίσματος. 1. Για κάθε γραμμή υπογραμμίζουμε το ελάχιστο στοιχείο της γραμμής. 2. Για κάθε στήλη σημειώνουμε με άνω παύλα το μέγιστο στοιχείο της στήλης. 3. Τα στοιχεία που έχουν ταυτόχρονα και υπογράμμιση και άνω παύλα είναι τα σαγματικά σημεία (σημεία ισορροπίας).

Παραδείγματα εύρεσης ισορροπίας παιγνίων σταθερού αθροίσματος

Παραδείγματα εύρεσης ισορροπίας παιγνίων σταθερού αθροίσματος Υπογραμμίζουμε το ελάχιστο κάθε γραμμής και θέτουμε άνω παύλα στο μέγιστο κάθε στήλης. Παίγνιο 1: Ένα σημείο ισορροπίας, το (1, 2) με κέρδος 2 για τον παίκτη Ι. Παίγνιο 2:Κανένα σημείο ισορροπίας. Παίγνιο 3:Τέσσερα σημεία ισορροπίας: (1,1), (1, 4), (4, 1) και (4, 4). Κέρδος 4 για τον παίκτη Ι. Το στοιχείο (4, 2) έχει επίσης κέρδος 4 χωρίς να είναι σημείο ισορροπίας.

Εξασφαλισμένη έκβαση παιγνίου σταθερού αθροίσματος (1/2) Ορίζουμε ως εξασφαλισμένη έκβαση του παιγνίου για τον παίκτη Ι το V I = max i {min j a i,j }, δηλαδή το μεγαλύτερο στοιχείο μεταξύ των μικρότερων κάθε γραμμής. Αυτό αποτελεί ένα επίπεδο εξασφαλισμένου κέρδους για τον παίκτη Ι. Ομοίως, για τον παίκτη ΙΙ ορίζουμε V II = min j {max i a i,j }, δηλαδή το μικρότερο στοιχείο μεταξύ των μεγαλύτερων κάθε στήλης. Από τις δύο παραπάνω προτάσεις συνεπάγεται ότι για το τελικό αποτέλεσμα του παιγνίου V (δηλαδή για το κέρδος του παίκτη Ι) ισχύει: V I V V II

Εξασφαλισμένη έκβαση παιγνίου σταθερού αθροίσματος (2/2) Από την προηγούμενη ανισότητα προκύπτει ότι : V I V II Επίσης, αν V I = V II τότε υπάρχει σημείο ισορροπίας και αντιστρόφως. Προφανώς αν V I < V II δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας.

Στρατηγική Maximin και Minimax σε παίγνια σταθερού αθροίσματος (1/3) Αφού το maximin = minimax υπάρχει σημείο ισορροπίας: (Α2, Β2).

Στρατηγική Maximin και Minimax σε παίγνια σταθερού αθροίσματος (2/3) Παίγνιο με 2 σημεία ισορροπίας: (Α1, Β1) και (Α1, Β2)

Στρατηγική Maximin και Minimax σε παίγνια σταθερού αθροίσματος (3/3) Αφού maximin <> minimax, δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας.