ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο 4-5 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ανδρέας Φ. Τερζής Πάτρα Γενάρης 5
ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΕΣ [ΠΙΝΑΚΕΣ] ΑΣΚΗΣΗ Έστω σύστηµα µπορεί να βρεθεί σε δύο καταστάσεις ενέργειας Ε και Ε που περιγράφονται µε ορθοµοναδιαίες ιδιοσυναρτήσεις ψ και ψ. Αν ο τελεστής Α έχει τις εξής ιδιότητες Αψ αψ αψ, Αψ -αψ αψ όπου α µια πραγµατική σταθερά. Να βρεθούν οι ιδιοκαταστάσεις και οι ιδιότητες του τελεστή Α. Να βρεθεί η µέση τιµή του τελεστή Α, όταν γνωρίζουµε ότι το σύστηµα βρίσκεται σε µία κατάσταση όπου οι ενέργειες Ε και Ε έχουν ίση πιθανότητα εµφάνισης. Η Αναπαράσταση τελεστή Α µε πίνακα, δίνεται από τα στοιχεία Αnm(n, Am). Έτσι έχουµε Α (, Α) (, α-α) α(, )-α(,) α. α. α, ανάλογα Α (, Α) α και Α Α -α. a a ηλαδή A. Από την διαγωνιοποίηση του Α βρίσκουµε τις ιδιοτιµές του και τις a a ιδιοσυναρτήσεις του. α λ α det ΑλΙ ( α λ)( α ) α α λ λ α Πρέπει [ ] 3± 5 α α λ 3αλ α λ 3αλ α λ, 3 5 Ιδιοτιµές λ α και η αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση υπολογίζετε ως α λ α d αλλά απαιτώντας α α λ d ( ) α λ d 5 ad d d 5 κανονικότητα d d d, d 5 5 5 (ιδιοκατάσταση µε ιδιοτιµή λ) 5 (δηλαδή Α λ ) 5 5 και για λ έχουµε α λ α d 5 α α λ d d d και καθώς d d 5 (ιδιοκατάσταση µε ιδιοτιµή λ) όπου Α λ. 5 5
A t nm c t ncme ιω A nm όπου ω nm ( En Em) / t µέση τιµή Α, χρονοεξαρτώµενη (σελίδα 76 nm, βιβλίου, σχέση (9) ) Όπου cn οι συντελεστές από την ανάπτυξη της κυµατοσυνάρτησης ( x, t) c e ( x ), µε φυσική σηµασία, cncn ίση µε την πιθανότητα να έχω n ie n t / n ιδιοκατάσταση n. Στο πρόβληµά µας, δίνεται ότι Ε και Ε ισοπίθανη άρα cc και ακόµα c c c c iωt iωt iωt iω t Έτσι A c e A c c e A c c e A c e / A f iω it iω t i t it e ( a) e ( a) e t iωt ω 3a e e 3 ( a) e ( a) a a a cos ω t A t 3a ( E E) t acos Για t a A. Επαλήθευση: για t ( x) a ( ) ( ) a (, ) A A dx, A, A( ) (, a ) (, ) α γιατί A( ) A A aa a a a σχέση (8), Τραχανάς, σελίδα 75 3
ΑΣΚΗΣΗ Θεωρούµε ορθοµοναδιαία (ορθοκανονική) βάση, {,}. Η χαµιλτονιανή του υπό µελέτη συστήµατος, υπό µορφή µήτρας είναι Ηijεδijδ(-δij). Υπάρχει κάποιο φυσικό µέγεθος που το αναπαριστούµε µε την βοήθεια ενός ερµιτιανού τελεστή Α και γνωρίζουµε ότι τα και είναι ιδιοσυναρτήσεις του, δηλαδή έχουν Αα και Αα. Αν την χρονική στιγµή t έγινε µέτρηση του φυσικού µεγέθους που περιγράφεται από το Α και βρέθηκε να έχει τιµή α, να υπολογιστεί η χρονο-εξαρτώµενη <Α>t. Η χαµιλτονιανή του κβαντικού συστήµατος έχει την µορφή: H εδ δ( δ) ε δ( ) ε, ανάλογα H εδ δ( δ) ε και H εδ δ( δ) ε δ( ) δ και H εδ δ( δ) δ ηλαδή η χαµιλτονιανή υπό µορφή πίνακα είναι ε δ Η δ ε () Οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας Η n Εnn ( ΗΕΙ) βρίσκονται διαγωνιοποιώντας την (), δηλαδή έχουµε ε Ε δ det[ ΗΕΙ ] det ( Εε) δ δ ε Ε Ε ε ± δ. Οπότε έχουµε δύο ιδιοτιµές της ενέργειας Ε Ε ε δ και Ε Ε ε δ. Υπολογίζουµε την ιδιοσυνάρτηση µε ιδιοτιµή Ε, την οποία ονοµάζουµε ως c c µε ε Ε δ c ε ε δ δ c δc δc c c, δ ε i c δ ε ε δ i Ε c µε την επιπλέον απαίτηση της κανονικότητας της έχουµε c c c c c /. ηλαδή ΗΕ µε Εεδ και ( ) Ανάλογα για την Ε- έχουµε ε Ε δ c ε ε δ δ c δ ε i c δ ε ε δ i Ε c δ c δ c c c και ( )/ Η κυµατοσυνάρτηση (x,t) ιδιοσυναρτήσεων και -, δηλαδή (, ) µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των xt ce ce ie t/ iet / 4
Ισοδύναµα µπορούµε να γράψουµε την (x,t) ως γραµµικό συνδυασµό των και. ηλαδή (, ) ce ce ce ce ( xt, ) ie t/ ie t / ie t/ iet / ie t/ iet / xt ce ce Καθώς γνωρίζουµε ότι την χρονική στιγµή t, βρίσκουµε την ιδιοτιµή α, έχουµε (x,t). c c c c xt,, άρα πρέπει c c c c και c c c c c c / Αλλά από την () έχουµε για t ( ) c c ηλαδή η () γίνεται () ce ce ce ce ie t/ ie t / ie t / iet / i δ t / iet / i δ t / i δ t / iεt/ e c e iεt/ e e iεt/ δt δt e e e cos isin iε t δt δt xt, e cos isin ηλαδή ( ) / ( ) Το Α υπολογίζεται ως (, ) Αdx Α Α iεt/ iεt/ δ ( e ( kiµ ), Αe ( kiµ )) (όπου k cos t. Έχουµε Α (, Α ) / / ( i ε t iεt e e (( κ iµ ),( κ Α iµ Α )) (( κ iµ ),( κα iµα )) κα(, ) iκµα(, ) iκµα (, ) i µα(, ) κα µα και µ sin δt ) ηλαδή δt δt Α cos α sin α (3) Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µια εναλλακτική µέθοδο, όπως στην προηγούµενη iωnmt iω t iωt iω t iω t άσκηση. Α cncmanme c c A e c c A e c c A e c c A e nm, i t i t A A A e ω ω Ε A e Ε Ε Ε γιατί ω ω, ενώ Ε Ε Ε Ε ω ω και Ε Ε δ αρκεί να υπολογίσουµε τα Αij µε i, j ± Α (, Α ) (( ), Α( ) ) (( ),( Α Α ) ) (( ),( α α ) ) (, α ) (, α ) (, α ) (, α ) 5
( ) ( ) ( ) α α α, α, α, α(, ), ανάλογα α α (, )... αα Α Α και Α (, Α ) Α (, Α ) Η ισότητα Α- Α- αναµένεται καθώς γενικά πραγµατικοί αριθµοί ως ιδιοτιµές ερµιτιανού τελεστή. ( ) Α Α αλλά εδώ έχουµε α και α Έτσι α α α α αα i δt/ α α i δt/ α α α α e e Α e e a a a a cos δt / (3 ) i δt/ i δt/ το δ t δt δt Χρησιµοποιώντας την τριγωνοµετρική ταυτότητα cos cos sin εύκολα να δείξουµε ότι οι εκφράσεις (3) και (3 ) ταυτίζονται. µπορούµε Κάθε h/δ το σύστηµα πηγαίνει από την µία ιδιοκατάσταση (π.χ. µε α ιδιοτιµή για τον Α τελεστή) στην άλλη (, µε ιδιοτιµή α) 6
ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΗΓΑ ΙΑ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Έστω ηλεκτρόνιο είναι εγκλωβισµένο σε απειρόβαθρο πηγάδι δυναµικού πάχους. Αν κάποια χρονική στιγµή γνωρίζουµε ότι το ηλεκτρόνιο έχει ίδια πιθανότητα να βρίσκεται στις δυο πρώτες ενεργειακές στάθµες και µηδενική πιθανότητα σε κάποια άλλη στάθµη. Να εκτιµηθεί η µέση ενέργεια, η µέση κινητική ενέργεια και η µέση ορµή του ηλεκτρονίου. Ποια η πιθανότητα το ηλεκτρόνιο να βρεθεί στην µέση του πηγαδιού. Η κυµατοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου µέσα σε απειρόβαθρο πηγάδι είναι ie3t ( ) x, t ce ( x) c e ( x) c e ( x) c e ( x)... ie t/ ie t/ / ie 4 t/ 3 3 4 4 δίνονται από την έκφραση π Ε n n m όπου οι ενέργειες και οι ιδιοσυναρτήσεις από την έκφραση nπ n ( x) sin. Έστω η χρονική στιγµή της εκφώνησης αντιστοιχεί σε χρόνο t, ( ) 3 3 4 4 έχουµε xt, c c c c..., αλλά γνωρίζουµε ότι Καθώς για t Ρ c, Ρ και ΡΡ. c π 5 π Ε Ρ Ε Ρ Ε π m m 4m Στο απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού προφανώς η δυναµική ενάργεια είναι µηδέν, ( ) V V x dx dx o, έτσι o 5 π E V T V T T E m iet / iet / iet / πx i( EE) t / πx ( xt, ) e e e sin e sin e iet / π x i( EE) t/ π x sin e sin ^ iet / iet / e e πx πx iωt πx iωt πx P ( x, t) p ( x, t) dx sin sin e i sin e sin dx x iπ πx iωt πx πx iωt πx iπ πx πx sin e sin cos e cos dx [ sin cos dx i ω t iωt πx πx πx πx πx πx sin cos dx e cos sin dx e sin cos ] iωt cos cos cos cos cos 4 i π πx πx πx πx πx iωt e d d e π π π 7
4πx iπ iωt 3πx πx iωt 3πx cos ] e cos cos e cos 4π π 3 3 iωt iωt i 4 iωt 4 iωt 8 e e 8 E e e sin E 3 π ωt 3 3, όπου ω 3 i 3 m Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Ehrenfest, µπορούµε να εκτιµήσουµε την χρονοεξαρτήµενη µέση θέση του ηλεκτρονίου. Έχουµε d x p p dt 8 6 d x x c sinωtdt c cosωt dt m m 3mω 9π Αρκεί να βρούµε την σταθερά c, η οποία είναι προφανώς το x όταν cosωt. π π Π.χ. για t cosωt cos ω π π πx i πx iet Όταν ω t ή xt, sin e sin e ω π e ie t/ sin x isin x π π και π c x π x dx t ω / πx πx πx πx πx πx sin isin x sin isin dx sin xdx sin xdx 3 3 3 sin πx x sin πx sin πx xsin πx, καθώς τα δύο παραπάνω ολοκληρώµατα δεν είναι παρά οι µέσες θέσεις του σωµατιδίου στις δύο πρώτες καταστάσεις (θέσεις asin π x π x και πρώτη διεγερµένη asin ), για τις οποίες οι κατανοµές πιθανότητας είναι συµµετρικές ως προς το µέσον του πηγαδιού, και οι αντίστοιχες µέσες θέσεις του σωµατιδίου θα ισούνται και οι δύο µε /. Θεµελιωµένη Πρώτη ιεγερµένη Το τελευταίο γίνεται κατανοητό πιο εύκολα, όταν µετατοπίσουµε το σύστηµα αναφοράς κατά, οπότε το πηγάδι είναι συµµετρικό ως προς το. Οι κυµατοσυναρτήσεις του πλέον άρτιες ή περιττές και προφανώς το (η πιθανότητα) είναι άρτια συνάρτηση ενώ το χ 6 περιττή, έτσι το ολοκλήρωµα xdx µηδενίζεται. Έτσι βρήκαµε x, f 9π αφήνουµε στον φοιτητή να επιβεβαιώσει ότι < x <. t 8
Φυσικά το ίδιο αποτέλεσµα θα βρούµε αν υπολογίσουµε το <x> από το ολοκλήρωµα ( x, t) x(, ) πx πx 8 xsin sin dx. 9π x t dx. Το αφήνουµε ως εξάσκηση στον φοιτητή, µε την υπόδειξη ότι Τέλος η πιθανότητα, P x t x, t x, t dx π iωt π π iωt π dx sin e sin sin e sin dx Γενικά η P(x,t) είναι χρονοεξαρτώµενη, ας το επιβεβαιώσει αυτό ο φοιτητής δοκιµάζοντας να βρει το P(x,t) και P(x,t). 3 4 9
ΑΣΚΗΣΗ Να µελετηθούν οι καταστάσεις σκέδασης και οι δέσµιες καταστάσεις σε δέλτα πηγάδι δυναµικού, V(x)cδ(x) (c>) Αρχικά µελετάµε τις καταστάσεις σκέδασης δηλαδή καταστάσεις όπου η ενέργεια είναι θετική Ε>. Έχουµε ( ) ikx x e Ae ikx (προσπίπτων και ikx ανακλώµενο) και II ( x) Be I me, όπου k Από την συνέχεια των κυµατοσυναρτήσεων στο x (ισοδύναµο των δύο περιοχών Ι και ΙΙ ) έχουµε I() II() A B () Λόγω της παρουσίας του δέλτα δυναµικού οι παράγωγοι δεν είναι συνεχείς. Από την E m εξίσωση Schrödinger έχουµε V ( x) ολοκληρώνονται από ε έως ε, ε ε ε ε dx V x dx dx m m c x x dx έχουµε ( ) Ε ( ε) ( ε) δ( ) ( ) ε ε ε ε ε Ε( x) dx ( ε) ( ε) c ( ) ( x) Edx m, θεωρούµε το όριο όταν ε, ε τότε προφανώς ε ε ε ( x) dx E ( x) dx Ε ε ε ε (αφού (x) συνεχής) και έχουµε την συνθήκη mc mc ( ) ( ) ( ) II ( ) I ( ) ( ) οπότε έχουµε mc mc ik( B A) B λb (όπου λ ) λ ik( A A) λ( A) ikaλλa ( ik λ) Aλ A καθώς λ ik λ λ λ P A AA λ ik λ ik λ k και 4κ Τ- οπότε ο συντελεστής λ 4κ 4 ανάκλασης (πιθανότητα ανάκλασης) είναι R c c E (προσοχή το c έχει διαστάσεις m δυναµικής ενέργειας επί απόσταση). Ακριβώς το ίδιο αποτέλεσµα θα πάρουµε αν µελετήσουµε τις καταστάσεις σκέδασης δυναµικού V(x)cδ(x) (c>) (για Ε>, οπότε και έχουµε σκέδαση)
γ me. Στην συνέχεια µελετάµε τις καταστάσεις µε Ε< δηλαδή τις δέσµιες καταστάσεις. Οι κυµατοσυναρτήσεις στις περιοχές Ι και ΙΙ, για να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµες, είναι της µορφής ΙΑe γx και µορφής ΙΙΑe -γx, όπου Η συνέχεια των κυµατοσυναρτήσεων στο x δίνει Ι() ΙΙ() άρα ΑΒ. Ενώ για τις παραγώγους έχουµε ύ λ II ( ) I ( ) λ( ) Bγ Aγ λa αϕο Aλ λa γ A B me mc me m c mc E για Ε<. όπου είναι η µοναδική δέσµια κατάσταση x γ e γ. Απαιτώντας η κυµατοσυνάρτηση να είναι κανονικοποιηµένη βρίσκουµε ( ) x Μικρός αυτοσχεδιασµός για να δούµε αν υπάρχει δέσµια κατάσταση για Ε. Τώρα η συνάρτηση Schrödinger γίνεται ΑxΒ, αλλά για να έχουµε ( ± ) ± πρέπει (x)β, δηλαδή ΙΒΙ και ΙΙΒΙΙ. Από την ( ) ( ) B B και ( ) ( ) λb B B B B ( x) II I I I II I II I II I II, µόνο αποδεκτή λύση καθώς παντού η πιθανότητα Ρ(x). Άρα έχουµε µία και µία δέσµια κατάσταση Αν θεωρήσουµε το δέλτα πηγάδι δυναµικού, ως οριακή περίπτωση τετραγωνικού πηγαδιού, όπου το V και το a mc E < Επειδή όµως πρέπει το εµβαδόν να είναι σταθερό, δηλαδή V ( x) dx c δ ( x) dx c, θα πρέπει το V να είναι ανάλογο του /α. Τις ιδιοενέργειες του τετραγωνικού πηγαδιού τις βρίσκουµε από την γραφική λύση nπ της cosθ θ λ λ, όπου λ a V. Στην περίπτωση του δέλτα δυναµικού a και nπ καθώς λ a V a a και λ όταν a, τότε έχουµε > n εκτός από το a λ. n, και έχουµε µόνο µια λύση µε θ~ Στηριζόµενος στην παραπάνω επιχειρηµατολογία, ελέγξτε ποια από τα παρακάτω τετραγωνικά πηγάδια δυναµικού έχουν µία µόνο δέσµια κατάσταση. (a) Πολύ πλατύ πηγάδι ( a, U πεπερασµένο)
(b) Πολύ στενό πηγάδι ( a, U πεπερασµένο) (c) Πολύ ρηχό πηγάδι ( U, α πεπερασµένο) (d) Πολύ βαθύ πηγάδι ( U, α πεπερασµένο) Π.χ. Έχουµε ακριβώς το επιχείρηµα της δέλτα συνάρτησης για το ρηχό καθώς λ (µια κατάσταση) ενώ το πλατύ a λ και έχουµε θ~π/ λ U και
ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗ Να αποδειχθεί ότι στο φυσικό σύστηµα µονάδων, οι αποστάσεις είναι πολλαπλάσια του mω και οι ενέργειες του ω. Για τον αρµονικό ταλαντωτή η εξίσωση του Schrödinger είναι: d ω m dx m x E (χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger). Θέλουµε να κάνουµε την εξίσωση Schrödinger αδιάστατη, προφανώς διαιρούµε µε κάποια ποσότητα ενέργειας Ε (άγνωστη αρχικά!). Τώρα η συνάρτηση γράφεται: d x E E () {όπου το E E είναι καθαρός αριθµός} E x mω d me Προφανώς τα me και E mω έχουν διαστάσεις απόστασης στο τετράγωνο για να είναι και το αριστερό σκέλος της εξίσωσης αδιάστατο (καθαρός αριθµός) όπως και το δεξί (για να ακριβολογούµε η εξίσωση δεν είναι αδιάστατη, αλλά έχει τις διαστάσεις της, όπου είναι / απόστασης. Φυσικά θα πρέπει οι παραπάνω ποσότητες να αντιστοιχούν σε κάποια τετραγωνική x απόσταση x x E ω και E ω me mω. Έτσι η () γράφεται ως mω mω mω d x d E x E (3) αδιάστατη εξίσωση x x dx d x Schrödinger, όπου γνωρίζουµε ότι τα αποτελέσµατα µας θα είναι καθαροί αριθµοί και όταν χρειαστεί να πάρουν τις ορθές µονάδες τους θα πολλαπλασιαστούν µε ω οι ενέργειες και µε mω οι αποστάσεις. Η εξίσωση (3) ονοµάζεται εξίσωση Schrödinger του αρµονικού ταλαντωτή στο φυσικό σύστηµα µονάδων, γιατί φορµαλιστικά την παίρνουµε από την () µε αντικατάσταση των m ω...φυσικά θα µπορούσατε να ακολουθήσετε την µεθοδολογία του βιβλίου σας που είναι και η µεθοδολογία που ακολουθούν «άπαντες» στην ελληνική και διεθνή βιβλιογραφία. Προσωπικά την βρίσκω µεγάλη σε έκταση και «λίγη» σε περιεχόµενο. E 3
ΑΣΚΗΣΗ Θεωρούµε σύστηµα µονοδιάστατου αρµονικού ταλαντωτή, για το οποίο γνωρίζουµε ότι δεδοµένη χρονική στιγµή η κατάσταση του είναι µια επαλληλία της θεµελιώδους και της πρώτης διεγερµένης κατάστασης. Να προσδιορισθεί επακριβώς η κατάσταση του συστήµατος αν γνωρίζουµε ότι x p. Πόση η E την ίδια χρονική στιγµή. Να βρεθεί το (x,t). Η πιο γενική µορφή της κυµατοσυνάρτησης είναι ( x) c c ιδιοκαταστάσεις του αρµονικού ταλαντωτή για n και n και και cc, όπου και c, c τέτοια ώστε cc P iφ P πιθανότητες να έχουµε και. Προφανώς η γενική λύση είναι c e P iφ και c e P, όπου Φ και Φ σταθερές, αλλά τότε i i i i( ) ( x) e Φ P e Φ P e Φ ( P e Φ Φ i P ) και ο όρος e Φ δεν έχει καµία φυσική σηµασία, έτσι η πιο γενική λύση είναι c P, c P. Έχουµε ( ) ( ) cc xdx cc xdx cc xdx cc xdx x c c x c c dx i i e e cc Φ Φ dx cc dx PP PP cosϕ όπου λάβαµε υπόψη ότι τα ολοκληρώµατα ix i καθώς το ix i είναι περιττή συνάρτηση και την /4 x / σχέση x καθώς π e /4 / π e x. p c c i c c dx x Για την µέση ορµή έχουµε ( ) ( ) ' ' c c i ( c c)( c c ) dxi ( c c) c dx PP PP iφ iφ i e e PP sinϕ / / και / / n n x /, µε π ( x ) ( ) (), όπου χρησιµοποιήσαµε τις σχέσεις /4 x / n π n! Hn e και την ορθοκανονικότητα των n. e / και γενικό τύπο την 4
Τώρα x PP cosϕ και p PP sinϕ x p ( PP ) PP P( P) P P και 4 π iϕ π π cosϕ sinϕ ϕ e cos isin 4 4 4 i Άρα ( ) i i xt, e e e e ( i) i t ( x, t) e ω ( i) i ( e ω στο φυσικό σύστηµα) Έτσι ( ) Ενώ x ie t/ ie t/ ie t/ i( EE) t/ 3 E PE PE, στο φυσικό σύστηµα µονάδων όπου m ω. Έτσι E ω ω, x x και p x mω mω 5
ΙΠΛΟ ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΠΗΓΑ Ι ΥΝΑΜΙΚΟΥ Παρατηρούµε ότι VVR-V είναι ίσο µε το V(x), το δυναµικό του διπλού κβαντικού πηγαδιού. Θα προσπαθήσουµε να γράψουµε την κυµατοσυνάρτηση του διπλού πηγαδιού ως γραµµικό συνδυασµό των κυµατοσυναρτήσεων των δύο απλών πηγαδιών, καθώς αυτή θα είναι και η ακραία λύση όταν τα δύο πηγάδια βρίσκονται σε άπειρη απόσταση µεταξύ τους. Προφανώς η µεθοδολογία που ακολουθούµε προσεγγιστική και θα είναι τόσο πιο ακριβής όσο µεγαλύτερη είναι η απόσταση µεταξύ των δύο πηγαδιών. Αναζητούµε λοιπόν λύσεις της µορφής a br (), όπου a και b µιγαδικοί συντελεστές και και R οι κυµατοσυναρτήσεις του απλού κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό V και VR αντίστοιχα. ηλαδή d H V ( x) E () mdx d HR R V R x R ER R (), mdx και ( ) d E (3). mdx ενώ έχουµε H V ( x) d mdx Η (3) γράφεται ισοδύναµα V VR V ( a b R ) E( a b R ) d d R R [ ] [ ] a V a V V b V R b V V R ae be R mdx mdx 6
( R ) R ( ) (( ) ( R )) (( R ) ( )) ae a V V be R b V V R ae be R () () a E E V V b E E V V R (4) Πολλαπλασιάζουµε την εξίσωση (4) µε και R από αριστερά, ( ) ( R ) ( R ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a E E a V V b E E R b V V R (4α) a E E R a R V V b E E b R V V R (4β) R R Στην συνέχεια θα επικεντρωθούµε στις καταστάσεις όπου E, E V, δηλαδή θα ασχοληθούµε µε την θεµελιώδη κατάσταση των πηγαδιών V και VR. Αν ακόµα έχουµε πολύ ασθενή σύζευξη, δηλαδή οι όροι R, ( V V ) και ( ) R R R V V R µπορούν να παραληφθούν (βλέπε άρθρο A.Yarin et.al., σελίδα 367, σχέση (9), το άρθρο µπορείτε να το κατεβάσετε από την ιστοσελίδα του διδάσκοντα). Επειδή ακόµα το διπλό πηγάδι είναι συµµετρικό, αναµένουµε E E ( ε ) και ( V V ) R R ( V V ) ( δ ) θα R R δώσουµε µία γραφική λύση για την ισότητα των ( V V ) R και ( ) R V V R V V R V R, όπου Έχουµε ( ) περιοχή) Ανάλογα ( ) R R dx dx R R (αριστερή R V V V R, όπου R dx dx R R (δεξιά περιοχή) Για την θεµελιώδη κατάσταση είναι προφανές ότι dx > R άρα ( ) ( ) δ V V R R V V < R Οι εξισώσεις (4α) και (4β) γράφονται ae ( E) bδ και aδ b( E E), αντικαθιστώντας ΕREε υπό µορφή πίνακα έχουµε ε E δ a ε E δ det δ ε E b δ ε E R (4) E± ε ± δ (ιδιοτιµές) οι ιδιοκαταστάσεις ενέργειας µε ιδιοσυναρτήσεις (βλέπε Άσκηση, Αναπαράσταση τελεστών µε µήτρες) ( R )/ και ( R )/ Η συµµετρική ιδιοκατάσταση µε ιδιοενέργεια εδ, είναι η θεµελιώδης κατάσταση (δ<) και η αντισυµµετρική ιδιοκατάσταση µε ενέργεια ε-δ (µεγαλύτερη της εδ). Η χρονική εξέλιξη του συστήµατος µπορεί να µελετηθεί από την ανάπτυξη της κυµατοσυνάρτησης ως συνάρτηση των ιδιοκαταστάσεων ( ) xt ce n ce ce ient / ie t/ iet /, n (πάλι βλέπε άσκηση ) 7
Μία εναλλακτική µεθοδολογία, ξεκινά από την σχέση (4), που µπορεί να γραφεί ως ε δ a a E που είναι η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger, (ΗΕ) γραµµένη δ ε b b υπό µορφή µήτρας. Για να πάµε στην χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödinger, χρειαζόµαστε να αντικαταστήσουµε την Ε(ενέργεια) µε τον τελεστή ενέργειας i. Έτσι t a a έχουµε i ε δ i a εa δb (Α) και (Β) b δ ε b i b δ a ε b Προσθέτουµε (Α)(Β) ι ( ) ( ε δ)( ( ) ( ) ( ) ( )( a b a b) και αφαιρώντας (Α)-(Β) ι a b ε ab δ a b ε δ a b), µε λύσεις προφανώς i( ) t/ a b c e ε δ i( ) t/ a b c e ε δ, δηλαδή Και η κυµατοσυνάρτηση είναι (, ) iδt/ iδt/ iεt/ ce ce a e και x t a b R iδt iε t/ ce ce b e / iδt/ Έστω αρχικά το ηλεκτρόνιο είναι εντοπισµένο στο αριστερό πηγάδι οπότε έχουµε α(t) και b(t) και για τα c c c c c και c έχουµε a και b c c iεt/ iεt/ Άρα a e cos δt/ και b e sin δt/. Η πιθανότητα να βρίσκεται το ηλεκτρόνιο στο αριστερό πηγάδι είναι P aa δt cos / και η P bb δt R sin /. και Το ηλεκτρόνιο κινείται περιοδικά από το ένα πηγάδι στο άλλο. Η περίοδος της κίνησης αυτής είναι αντιστρόφως ανάλογη του δ (δ, ουσιαστικά είναι το ολοκλήρωµα αλληλοεπικάλυψης των και µέσα σε ένα από τα δύο πηγάδια). Αναµένεται αυτή η συµπερ ιφορά; R 8