ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β: Μια το πολύ ένδειξη είναι «κεφαλή». Γ: ύο το πολύ ενδείξεις είναι ίδιες. : ύο τουλάχιστον ενδείξεις είναι ίδιες.. Ρίχνουµε ένα ζάρι δύο φορές. (i) Να βρεθεί ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχόµενων: Α: Τουλάχιστον µία από τις ενδείξεις είναι άσσος. Β: Η πρώτη ένδειξη είναι άσσος. Γ: Το άθροισµα των δύο ενδείξεων είναι ίσο µε.. Μεταξύ των οικογενειών µε τρία παιδιά επιλέγουµε τυχαία µία οικογένεια και εξετάζουµε τα παιδιά ως προς το φύλλο και τη σειρά γέννησης τους. (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχόµενων: Α: Τα δύο πρώτα παιδιά είναι αγόρια και το τρίτο κορίτσι Β: Ένα τουλάχιστον παιδί είναι αγόρι Γ: Ένα µόνο παιδί είναι κορίτσι : Το πολύ ένα παιδί είναι κορίτσι.. Στο διπλανό πίνακα φαίνεται ο βαθµός που πήραν οι φοιτητές ενός τµήµατος στο µάθηµα της στατιστικής. Επιλέγουµε στην τύχη έναν φοιτητή, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Ο φοιτητής έχει βαθµό ή. Β: Ο φοιτητής έχει βαθµό µεγαλύτερο από. Γ: Ο φοιτητής δεν έχει βαθµό 9 ή 0. Φοιτητές Βαθµός 8 0 7 8 0 9 0. Μια αυτόµατη µηχανή παράγει βίδες. Οι βίδες ελέγχονται στη γραµµή παραγωγής και ταξινοµούνται σε καλές (κ) και ελαττωµατικές (ε). Ο έλεγχος σταµατάει αν βρεθούν ελαττωµατικές ή καλές βίδες. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Η πρώτη βίδα είναι καλή. Β: Η πρώτη βίδα είναι ελαττωµατική. Γ: Η δεύτερη και η τρίτη βίδα είναι καλή. : Μία το πολύ βίδα είναι ελαττωµατική. Ε: Τουλάχιστον δύο βίδες είναι καλές.
. Για τα ενδεχόµενα Α, Β ισχύουν: (i) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα Α, Β είναι ασυµβίβαστα. (ii) Αν επιπλέον ισχύει Ρ( Α Β) =, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων: Α, Β, Α Β, Α Β, Α Β, Α Β, Α Β, Α Β, Α Β, Α Β Β Α. ( ) ( ) 7. Για τα ενδεχόµενα Α, Β ισχύουν: = και Ρ( Α Β ) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων: Α, Β, Α Β, Α Β, Α Β, Α Β και Α Β. ( ) ( ) Ρ Α 8. Για τα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύουν: Ρ Α = και ( ) ( ) Ρ Β =. Ρ Β (i) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ( Α ), ( ) Β είναι ασυµβίβαστα.. (ii) Να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) Ρ Β και να εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα Α, 9. Για τα ενδεχόµενα Α, Β ισχύουν: Ρ( Α Β ) =, Ρ( Α Β ) Ρ( Α Β) (i) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Α, Β. (ii) Να δείξετε ότι τα ενδεχόµενα Α, Β δεν είναι ασυµβίβαστα. 0. Για τα ενδεχόµενα Α, Β ισχύουν: = και Ρ( Β) (i) Να δείξετε ότι τα ενδεχόµενα Α, Β δεν είναι ασυµβίβαστα. 7 (ii) Να δείξετε ότι: Ρ( Α Β). 0 0 = και. Έστω Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω για τα οποία Ρ Α Ρ Α Β Ρ Β 0,. Να αποδείξετε ότι: ισχύουν ( ) ( ) και ( ) (i) (ii) τα ενδεχόµενα Α, Β δεν είναι ασυµβίβαστα Ρ( Α ) (iii). Ρ Β 7 ( )
. Για τα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύουν: Ρ( Α ) + Ρ( Β ) = και Ρ( Α Β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Α Β Α Β Β Α. και ( ) ( ) (i) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα Α, Β είναι ασυµβίβαστα. (ii) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων: Γ : «εν πραγµατοποιείται κανένα από τα ενδεχόµενα Α, Β» :«Πραγµατοποιείται το ενδεχόµενο Α και όχι το Β» Ε :«Πραγµατοποιείται ακριβώς ένα από τα ενδεχόµενα Α, Β».. Για τα ενδεχόµενα Α, Β ισχύουν: =, Ρ( Β ) = και Ρ( Α Β). Η πιθανότητα να γνωρίζει κάποιος αγγλικά είναι 0%, να γνωρίζει γαλλικά είναι % και να γνωρίζει και τις δύο γλώσσες είναι %. Για ένα άτοµο πού επιλέγεται τυχαία ποια είναι η πιθανότητα (i) Να γνωρίζει αγγλικά ή γαλλικά. (ii) Να γνωρίζει µόνο αγγλικά ή µόνο γαλλικά.. Στο µάθηµα της Γεωµετρίας, από τους 0 µαθητές ενός τµήµατος, 0 είχαν κανόνα, είχαν διαβήτη και είχαν κανόνα ή διαβήτη. Για ένα άτοµο πού επιλέγεται τυχαία ποια είναι η πιθανότητα (i) Να έχει κανόνα και διαβήτη. (ii) Να έχει κανόνα και να µην έχει διαβήτη. (iii) Να έχει µόνο κανόνα ή µόνο διαβήτη.. Από τους 8 µαθητές ενός τµήµατος, τα µισά από τα αγόρια και τα µισά από τα κορίτσια έχουν προσωπικό ηλεκτρονικό υπολογιστή ( PC ). Αν η πιθανότητα να µην έχει ηλεκτρονικό υπολογιστή ένα αγόρι είναι, να βρείτε: (i) Τον αριθµό των αγοριών και των κοριτσιών του τµήµατος. (ii) Την πιθανότητα, στην τυχαία επιλογή ενός µαθητή, του ενδεχοµένου Α: «είναι κορίτσι ή έχει ηλεκτρονικό υπολογιστή». 7. Σε µία πόλη το 0% των κατοίκων αγοράζει εφηµερίδα, το 0% αγοράζει περιοδικό και το 0% αγοράζει εφηµερίδα και περιοδικό. Επιλέγουµε τυχαία έναν κάτοικο. Να βρείτε την πιθανότητα: (i) Να µην αγοράζει ούτε εφηµερίδα ούτε περιοδικό. (ii) Να αγοράζει περιοδικό και να µην αγοράζει εφηµερίδα. (iii) Να αγοράζει µόνο εφηµερίδα ή µόνο περιοδικό. 8. Από µία έρευνα που έγινε διαπιστώθηκε ότι το 70% των οδηγών δεν φορά ζώνη ασφαλείας, το 0% των οδηγών δεν έχει πυροσβεστήρα και το 0% των οδηγών δεν φορά ζώνη ασφαλείας και δεν έχει πυροσβεστήρα. Ελέγχουµε τυχαία έναν οδηγό και θεωρούµε τα ενδεχόµενα:
Α : «Ο οδηγός δεν φορά ζώνη ασφαλείας» Β : «Ο οδηγός δεν έχει πυροσβεστήρα». Να διατυπώσετε λεκτικά και να υπολογίσετε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α Β, Α Β, Α Β, Α Β και Α Β. 9. Έστω Α, Β είναι τα ενδεχόµενα ένας συγκεκριµένος γιατρός να βρίσκεται στις Ρ Α 0, Ρ Β = 0,, να 8 πµ στο ιατρείο του ή στο σπίτι του αντίστοιχα. Αν ( ) = και ( ) βρείτε την πιθανότητα στις 8 πµ ο γιατρός να µη βρίσκεται στο ιατρείο ούτε στο σπίτι του. 0. Έστω Α, Β, Γ ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Α Β Γ. Αν 7 = και Ρ( Γ) =, να υπολογίσετε τις πιθανότητες: 8 8 8 Ρ Α Β Ρ Α Β Ρ Α Γ Ρ Β Γ Ρ Α Β Γ. ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). Έστω Ω= {,,,...,0} είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Έστω επίσης δύο ενδεχόµενα του Ω τέτοια ώστε: Α Β,,,,,8,0, Β Α, Α Β=,8. = { }, = { } και { } (i) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Α και Β (ii) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί το Α και όχι το Β (iii) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β.. Ένα κουτί περιέχει ν µπάλες από τις οποίες οι 8 είναι άσπρες (α) και οι υπόλοιπες είναι κόκκινες (κ) ή πράσινες (π). Επιλέγουµε από το κουτί µια µπάλα στην τύχη. Η πιθανότητα η µπάλα να είναι κόκκινη είναι: ν Ρ( κ) = ν Ενώ η πιθανότητα η µπάλα να είναι πράσινη είναι: ν Ρ( κ) ν (i) Να βρείτε το ν. (ii) Πόσες κόκκινες και πόσες πράσινες µπάλες υπάρχουν στο κουτί; (iii) Να βρείτε την πιθανότητα η µπάλα που επιλέξαµε να είναι άσπρη ή πράσινη. (iv) Να βρείτε την πιθανότητα η µπάλα που επιλέξαµε να είναι κόκκινη αν γνωρίζουµε ότι δεν είναι πράσινη.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρεις φορές. Η πιθανότητα να εµφανιστούν δύο ενδείξεις «κεφαλή» και µία «γράµµατα» είναι: Α. 8 Β. Γ. 8. Ε. 8. Ρίχνουµε ένα νόµισµα και ένα ζάρι. Η πιθανότητα του ενδεχοµένου: Η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος αριθµός και η ένδειξη του νοµίσµατος είναι «κεφαλή» είναι: Α. Β. Γ.. Ε.. Ρίχνουµε δύο ζάρια. Η πιθανότητα του ενδεχοµένου Α: «Οι δύο ενδείξεις είναι διαδοχικοί αριθµοί», είναι: Α. Β. 8 Γ.. 9 Ε.. Μια οικογένεια έχει τρία παιδιά. Η πιθανότητα του ενδεχοµένου Α: «Ένα παιδί είναι κορίτσι και δύο παιδιά είναι αγόρια», είναι: Α. Β. Γ.. 7 Ε. 7. Σε µία κούρσα τρέχουν τρία άλογα Α, Β και Γ. Η πιθανότητα να κερδίσει το άλογο Α είναι διπλάσια από την πιθανότητα να κερδίσει το άλογο Βκαι η πιθανότητα να κερδίσει το άλογο Β είναι τριπλάσια από την πιθανότητα να κερδίσει το άλογο Γ. Η πιθανότητα να κερδίσει την κούρσα το άλογο Α είναι: - Α. 0 Β. Γ. 0. Ε.. Σε µία τάξη το 0% των µαθητών είναι κορίτσια και το 0% είναι αγόρια. Το 0% των κοριτσιών και το 0% των αγοριών έχουν µαύρα µαλλιά. Επιλέγουµε στην τύχη έναν µαθητή. Η πιθανότητα ο µαθητής να είναι αγόρι ή να έχει µαύρα µαλλιά είναι: Α. Β. Γ. 0. 9 0 Ε. 0. 7. ύο οµάδες Α και Β παίζουν µεταξύ τους ένα παιχνίδι. Η πιθανότητα να µην χάσει η οµάδα Α είναι 7 και η πιθανότητα να µην χάσει η οµάδα Β είναι. Η πιθανότητα να έρθει το παιχνίδι ισόπαλο είναι: Α. 8 Β. Γ.. Ε. 8 8. Σε 0 µαθητές ενός σχολείου, 8 µαθητές φορούν γυαλιά και µαθητές δεν φορούν γυαλιά. Οι µισοί από τους µαθητές που φορούν γυαλιά και οι µισοί από τους
µαθητές που δεν φορούν γυαλιά έχουν καστανά µάτια. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Η πιθανότητα ο µαθητής να φορά γυαλιά ή να έχει καστανά µάτια είναι: Α. Β. 8 Γ. 7 0. Ε. 9 0 9. Από µια τάξη το 0% των µαθητών πέρασαν στα Μαθηµατικά, το 0% πέρασαν στη Φυσική και το 0% έµειναν και στα δύο µαθήµατα. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Η πιθανότητα ο µαθητής αυτός να έχει µείνει στα Μαθηµατικά και να έχει περάσει στη Φυσική είναι: Α. Β. Γ.. Ε. 0 0. Από άτοµα, 8 άτοµα ξέρουν Γαλλικά, 9 άτοµα δεν ξέρουν Γερµανικά και άτοµα δεν ξέρουν ούτε Γαλλικά ούτε Γερµανικά. Επιλέγουµε τυχαία ένα άτοµο. Η πιθανότητα το άτοµο αυτό να ξέρει µόνο Γερµανικά είναι: Α. Β. 8 Γ.. 8 Ε. 7. Έστω Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τέτοια ώστε = και Ρ( Α Β) 8 8 είναι: Η πιθανότητα Ρ( Α Β ) Α. 8 Β. Γ. 8. Ε. 8. Έστω Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τέτοια ώστε = και Ρ( Α Β ) Η πιθανότητα Ρ( Β ) είναι: Α. Β. Γ.. Ε. 7 8. Έστω Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τέτοια ώστε = και Ρ( Α Β) Η πιθανότητα Ρ( Β Α) είναι: Α. Β. Γ. 7. 7 Ε. 7. Έστω Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τέτοια ώστε = και Ρ( Α Β) είναι: Η πιθανότητα Ρ( Α Β) Α. 0 Β. 0 Γ. 7 0. 9 0 Ε. 0
. Έστω Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τέτοια ώστε =, Ρ( Β ) = και Ρ( Α Β) 8 Ρ Α Β είναι: Η πιθανότητα ( ) Α. 8 Β. Γ. 8. Ε. 7 8. Έστω Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τέτοια ώστε Ρ( Α ) =, Ρ( Α Β) = και Ρ( Α Β ) Η πιθανότητα Ρ( Β ) είναι: Α. Β. Γ.. Ε. 7. Α, Β, Γ είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, τέτοια ώστε Α Β Γ. Αν =, Ρ( Β Α) = και Ρ( Γ ) =, τότε η πιθανότητα Ρ( Γ Β ) είναι: 8 Α. 7 Β. Γ.. Ε. 8. 7