Προτεινόμενες Ασκήσεις στις Εισαγωγικές Έννοιες από το βιβλίο «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων», Ν. Μάργαρη Πρόβλημα. 'Ενας ραδιοφωνικός δέκτης συνδέεται με την κεραία του μ' ένα καλώδιο μή-κους m. Ο δέκτης είναι συντονισμένος στη συχνότητα των,7 ΜΗz. Μπορούμε να πούμε ότι τα στιγμιαία ρεύματα στην είσοδο του δέκτη και στην κεραία είναι κάθε χρονική στιγμή ίσα; Αν όχι, για ποιο μήκος καλωδίου μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ισχύει η ισότητα; Το μήκος κύματος της ακτινοβολίας του πομπού είναι 8 c λ, 8 m f, 7, 7 Επειδή το μήκος του καλωδίου είναι m >,8 m, οι στιγμιαίες τιμές του ρεύματος στην κεραία του δέκτη και στην είσοδο του δέκτη δεν είναι κάθε χρονική στιγμή ίσες μεταξύ τους και συνεπώς το καλώδιο ακτινοβολεί. Για να θεωρήσουμε ότι ισχύει η ισότητα, πρέπει το μήκος του καλωδίου να γίνει, 8 m Πρακτικά, για να είναι αμελητέα η ακτινοβολία του καλωδίου, το μήκος του πρέπει να είναι τουλάχιστον δέκα φορές μικρότερο από το μήκος κύματος της ακτινοβολίας. Με άλλα λόγια, το μήκος του καλωδίου πρέπει να είναι τουλάχιστον μικρότερο από,8 m (8 cm). Πρόβλημα. Για το κύκλωμα του Σχ. να γραφούν: (α) οι εξισώσεις κόμβων του και (β) οι ε- ξισώσεις όλων των δυνατών βρόχων. Να δειχθεί ότι οι εξισώσεις κόμβων είναι γραμμικά εξαρτημένες. Ακόμη, να δειχθεί ότι οι εξισώσεις των απλών βρόχων είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Σχήμα
i i i i i i Σχήμα (α) (α) Αν θεωρήσουμε θετικά τα ρεύματα που φεύγουν από τους κόμβους, οι εξισώσεις κόμβων προκύπτουν κόμβος : i( t) i( t) i( t), t () κόμβος : i (t) i (t) i (t), t () κόμβος : i (t) i (t) i (t), t () κόμβος : i ( t) i ( t) i ( t), t () Οι παραπάνω εξισώσεις είναι γραμμικά εξαρτημένες, επειδή το άθροισμα των τριών από αυτές δίνει πάντοτε την τέταρτη εξίσωση. v v v v v v Σχήμα (β) (β) Στο κύκλωμα του Σχ.(β) οι βρόχοι, και είναι απλοί, ενώ οι βρόχοι και είναι σύνθετοι. Ο βρόχος είναι ο εξωτερικός βρόχος. Αν θεωρήσουμε θετικές τις τάσεις των κλάδων των οποίων η φορά αναφοράς συμπίπτει με τη φορά αναφοράς του βρόχου, οι εξισώσεις των βρόχων προκύπτουν βρόχος : v ( t) v ( t) v ( t), t ()
βρόχος : v ( t) v ( t) v ( t), t () βρόχος : v ( t) v ( t) v ( t), t (7) βρόχος : v ( t) v ( t) v ( t) v ( t), t (8) βρόχος : v ( t) v ( t) v ( t), t (9) Αν προσθέσουμε τις Εξ.()-(7) προκύπτει η Εξ.(9). Επίσης, αν προσθέσουμε τις Εξ.() και (), προκύπτει η Εξ.(7). Τα παραπάνω σημαίνουν ότι οι Εξ.()-(9) είναι γραμμικά εξαρτημένες. Από τις παραπάνω εξισώσεις μόνον οι ()-(7), που αντιστοιχούν στους απλούς βρόχους είναι γραμμικά ανεξάρτητες, επειδή κάθε συνδυασμός τους ανά δύο δεν οδηγεί στην τρίτη εξίσωση. Πρόβλημα. Στο Σχ. τα κυκλώματα Κ και Κ συνδέονται με δύο αγωγούς. Οι φορές αναφοράς της τάσης και του ρεύματος δίνονται στο σχήμα. Η τάση ανάμεσα στους αγωγούς σύνδεσης και το ρεύμα των αγωγών έχουν τις τιμές: (α) i A, v V, (β) i A, v V (γ) i A, v V, (δ) i A, v V Σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις προσδιορίστε το κύκλωμα που παρέχει και το κύκλωμα που απορροφά ισχύ. K v K i Σχήμα Οι φορές αναφοράς της τάσης και του ρεύματος, που σημειώνονται στο Σχ., είναι συζευγμένες ως προς το κύκλωμα K. Συνεπώς η ροή της ισχύος αναφέρεται ως προς αυτό το κύκλωμα. (α) Το ρεύμα και η τάση είναι ομόσημες ποσότητες, οπότε η στιγμιαία ισχύς που αναφέρεται στο κύκλωμα Κ είναι θετική
p vi W () Αυτό σημαίνει ότι το κύκλωμα K απορροφά ισχύ, την οποία προφανώς παρέχει το κύκλωμα Κ. (β) Το ρεύμα και η τάση είναι ετερόσημες ποσότητες. Έτσι, η στιγμιαία ισχύς που αναφέρεται στο κύκλωμα Κ είναι αρνητική p vi W () Αυτό σημαίνει ότι το κύκλωμα K παρέχει ισχύ, την οποία απορροφά το κύκλωμα Κ. (γ) Ομοίως το ρεύμα και η τάση είναι ετερόσημες ποσότητες, οπότε η στιγμιαία ισχύς που αναφέρεται στο κύκλωμα Κ είναι αρνητική p vi W () Άρα, το κύκλωμα K παρέχει ισχύ, την οποία απορροφά το κύκλωμα Κ. (δ) Το ρεύμα και η τάση είναι ομόσημες ποσότητες, οπότε η στιγμιαία ισχύς που αναφέρεται στο κύκλωμα Κ είναι θετική p vi7 W () Συνεπώς το κύκλωμα K απορροφά ισχύ, την οποία παρέχει το κύκλωμα Κ. Πρόβλημα. Στο κύκλωμα του Σχ. δίνονται τα ρεύματα κλάδων i = A, i = A, i 7 = A και i 8 = A και οι τάσεις κλάδων v = v = v = v = v 9 = V. Αφού υπολογιστούν τα ρεύματα και οι τάσεις των υπόλοιπων κλάδων, δείξτε ότι ισχύει το θεώρημα του Tellegen. Θεωρούνται συζευγμένες φορές αναφοράς. 7 8 9 Σχήμα Από τις εξισώσεις κόμβων του κυκλώματος προκύπτουν κόμβος : i i i i A
κόμβος : i i i i i i i i A 7 7 κόμβος : i i i i A 7 9 9 7 κόμβος : i i i i i i i i A 8 9 8 9 κόμβος : i i i i A 8 8 8 9 7 Σχήμα (α) Από τις εξισώσεις των βρόχων, που σημειώνονται στο Σχ.(α), προκύπτουν βρόχος : v v v v v v V βρόχος : v v v v v v V βρόχος : v v v v v v V 7 9 7 9 βρόχος : v v v8 v8 v v V Τέλος, η συνολική ισχύς των κλάδων του κυκλώματος είναι 9 j j j p v i v i v i v i v i v i v i v i v i v i 7 7 8 8 9 9 = ίση με μηδέν, γεγονός που σημαίνει ότι το κύκλωμα είναι συγκεντρωμένο και ισχύει το θεώρημα του Tellegen.
Πρόβλημα. Στο κύκλωμα του Σχ. οι τάσεις και τα ρεύματα κλάδων είναι: v V, v, V, v 9, 8V, v, V, v, V, v 9, 8V i, A, i A, i 9, A, i, A, i, A, i 9, 8A Δείξτε ότι το κύκλωμα δεν είναι συγκεντρωμένο. Ποιος κλάδος του κυκλώματος ακτινοβολεί ενέργεια; Θεωρούνται συζευγμένες φορές αναφοράς. Σχήμα ΛΥΣΗ Σχήμα (α) Υπολογίζοντας τη συνολική ισχύ των κλάδων του κυκλώματος του Σχ.(α) p v ji j vi vi vi vi vi vi j () =,+, 98, 87, 79, 9, 8, 98, διαπιστώνουμε ότι δεν ισχύει το θεώρημα του Tellegen. Γράφοντας τις εξισώσεις βρόχων του κυκλώματος του Σχ.(α) διαπιστώνουμε ότι βρόχος : v v v, 9, 8 ισχύει ()
βρόχος : v v v, 9, 8, ισχύει () βρόχος : v v v,, 9, 8 δεν ισχύει () Από τις Εξ.() και () συνάγεται ότι οι κλάδοι,,, και ικανοποιούν τον περιορισμό του νόμου των τάσεων του Kirchhoff. Αφού οι κλάδοι και ικανοποιούν τον περιορισμό του νόμου των τάσεων, συνάγεται ότι τάση του κλάδου δεν είναι αυτή που υπαγορεύεται από αυτόν τον νόμο. Άρα, ο κλάδος ακτινοβολεί ενέργεια.