Ασκήσεις Πράξεις ιανυσµάτων

Ασκήσεις Πράξεις ιανυσµάτων 1 ίνονται τα διανύσµατα α,, x, y για τα οποία ισχύουν: x+ y= α+ 4 και 4x y= α+ Nδο τα διανύσµατα x, y είναι οµόρροπα Αν ισχύει η ισότητα MA+ 5ΡΑ = 3ΡΜ+ ΡΒ 4ΓΜ νδο τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά 3 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω το µέσο της ΑΒ, Ε σηµείο της ΒΓ ώστε να είναι BE= 3BΓ και Ζ σηµείο της ΑΓ τέτοιο ώστε 5 ΑΖ= 3ΑΓ Νδο τα σηµεία,ε,ζ είναι συνευθειακά 4 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία, Ε, Ρ του επιπέδου του τέτοια ώστε να 1 1 είναι: Α = ΑΓ, ΑΕ= ΑΒ και ΒΡ= ΒΓ 3 i) Να εκφράσετε το ΑΡ ως γραµµικό συνδυασµό των ΑΒ, ΑΓ Νδο τα σηµεία Ρ,, Ε είναι συνευθειακά i Να προσδιορίσετε σηµείο Μ του επιπέδου ώστε να ισχύει: MA ΜΒ + 3ΜΓ = 0 5 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Κ, Λ, Μ τα µέσα των πλευρών των ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντίστοιχα Νδο τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ έχουν το ίδιο αρύκεντρο 6 Να ρείτε σηµείο Ρ του επιπέδου ενός τριγώνου ΑΒΓ, ώστε να ισχύει: 3 1 AΡ 3ΡΒ+ ΡΓ = 0 (Απ ΑΡ= ΑΒ ΑΓ ) 4 4 7 Έστω Α, Β, Γ τρία σηµεία του επιπέδου Οxy Αν ισχύει O Γ = (1 x) ΟΑ+ xοβ, x R, νδο τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά 8 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο και Μ τυχαίο σηµείο της πλευράς ΒΓ Νδο υπάρχει πραγµατικός αριθµός λ τέτοιος ώστε: AM = (1 λ)αβ+ λαγ 9 Έστω Α και Β δύο σταθερά σηµεία του επιπέδου Να ρείτε σηµεία Γ και, ώστε να ισχύουν: ΓΑ + ΓΒ= 0 και Α Β= 0 Στη συνέχεια για ένα τυχαίο σηµείο Μ νδο ισχύουν οι σχέσεις: i) MA + MB= 3MΓ MA MB= M 10 ίνεται ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και τα σηµεία Ε και Ζ τέτοια ώστε 3 AE= A και A Ζ= 3AΒ Νδο τα σηµεία Ε, Γ, Ζ είναι συνευθειακά

Ασκήσεις Συντεταγµένες στο Επίπεδο 1 ίνονται τα διανύσµατα α = (1, 3), = ( 1, ), γ = ( 1, 1) Να γράψετε το γ ως γραµµικό συνδυασµό των α και ίνονται τα σηµεία Α(3, 1), Β(4, ), Γ(, 0) (Απ: γ = α + ) i) Νδο τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά Να ρείτε τους λ, µ R ώστε να ισχύουν ΑΓ = λγβ και ΑΒ = µ ΑΓ 3 ίνονται τα σηµεία Α(1, 1), Β( 3, 3) και Γ(3, 1) i) Νδο τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου (Aπ: λ = 1/, µ = 1) Να ρείτε την απόσταση του κέντρου άρους του τριγώνου από την κορυφή Α 4 ίνονται τα σηµεία Α(1, 3) και Β(3, 1) Να ρείτε: (Aπ: (GA) = 3) i) το µέτρο του ΑΒ και τις συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ το διάνυσµα θέσης του συµµετρικού του Α ως προς το Β i το διάνυσµα θέσης του σηµείου P που χωρίζει το ΑΒ σε λόγο 3 5 ίνονται τα διανύσµατα α = (1, ) και = (, 1) Τα διανύσµατα θέσης των σηµείων Α, Β, Γ ως προς την αρχή Ο των αξόνων είναι αντίστοιχα: u = (µ + 1)α+ 3, v= µα+ (3µ 1), w = α 5 i) Να ρείτε τις συντεταγµένες των διανυσµάτων ΑΒ και ΑΓ Αν τα Α,Β, Γ είναι συνευθειακά να ρείτε τον µ R 6 ίνονται τα σηµεία Α( 1, ) και Β( 3, 0) Να ρείτε: i) σηµείο Γ του x x ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές µε άση την ΑΒ Τα µήκη των διαµέσων του τριγώνου που φέρονται προς τις ίσες πλευρές, καθώς και τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής τους (Απ: i) Γ( 1, 0) (Α ) = (ΒΕ) = 5 και G 5, 3 3 ) 7 Νδο το τρίγωνο που έχει κορυφές τα σηµεία Α(3, 1), Β(0, ) και Γ(1, 0) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές

Ασκήσεις Συντεταγµένες στο Επίπεδο 1 ίνονται τα σηµεία Α(-3, 4) και Β(3, 0) Να ρείτε: i) Τις συντεταγµένες του σηµείου Μ της ευθείας ΑΒ για τo οποίο ισχύει (ΒΜ)=(ΜΑ) Τις συντεταγµένες του συµµετρικού του Μ ως προς Α 8 (Απ: M 1,, P 16 5, 3 3 ) Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο µε ΑΒ = (, 7 ) και ΑΓ = (1,1) Αν Α είναι η εσωτερική διχοτόµος της γωνίας Αˆ, να ρείτε τις συντεταγµένες του διανύσµατος Α 3 ίνονται τα διανύσµατα u =(3, 1) και v =(0, 1) Να ρείτε διάνυσµα α =(x, y) τέτοιο ώστε να ισχύει α = u + α v (Απ: α =(3, 4)) 4 Το διάνυσµα α έχει το ίδιο µήκος µε το =(4, 3) και τη διεύθυνση του γ =(1, 3 ) Να υπολογισθούν οι συντεταγµένες του 5 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηµείο Μ της ΒΓ ώστε να είναι ΜΒ= ΜΓ 1 i) Νδο ΑΜ= ΑΒ+ ΑΓ 3 3 Αν Α(1, ), Β(, 4) και Γ(7, 11) να ρείτε τις συντεταγµένες του Μ και έπειτα το µήκος (ΑΜ) (Απ: Μ(4, 6) και (ΑΜ) = 5) 6 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές τα σηµεία Α( 1, 4), Β(5, ) και αρύκεντρο G(0, 3) Να ρείτε i) Τις συντεταγµένες της κορυφής Γ Το µήκος της διαµέσου Γ (Απ: i) Γ( 4, 15) ( Γ) = 6 10 ) 7 ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε: Α(, ), Β(1, 3) και ( 4, 3) Αν Κ, Λ είναι συµµετρικά του Α ως προς Β και αντίστοιχα, νδο τα σηµεία Κ, Γ, Λ είναι συνευθειακά 8 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και το ύψος του Α Αν Μ είναι το µέσο του Α και Ρ σηµείο της ΑΒ ώστε να ισχύει Γ, Μ, Ρ είναι συνευθειακά 1 ΑΡ= ΑΒ, νδο τα σηµεία 3

Ασκήσεις Εσωτερικό Γινόµενο 1 A Για τα διανύσµατα α, να αποδείξετε τις ισοδυναµίες i) α+ = α + α α = α+ α B Αν για τα διανύσµατα α,, γ ισχύουν α + + γ = 0 και νδο α και γ α γ = = 3 5 ίνονται τα διανύσµατα α,, γ για τα οποία ισχύουν: α + γ = 0 και α γ = = Νδο α και α + = 0 4 3 ίνονται τα διανύσµατα α,, γ του επιπέδου για τα οποία ισχύουν: α = = γ = 1 και α + γ = Νδο α = = γ 4 i) Για οποιαδήποτε διανύσµατα α και νδο α α Πότε ισχύει η ισότητα; ίνεται η παράσταση Α = 6x 8y µε x + y = 5 Να ρεθεί η ελάχιστη και η µέγιστη τιµή της παράστασης Α 5 Αν για κάθε λ R τα διανύσµατα u = α + λ και v = λ α είναι κάθετα µεταξύ τους και α = 1, νδο i) α = 1 i 3 α + 4 = 5 6 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Α(1, 1), Β(3, λ + ) και Γ(λ, 3) i) Να ρείτε τις τιµές του λ R για τις οποίες το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο Για τις τιµές του λ που ρήκατε στο ερώτηµα (i) νδο το τρίγωνο ΑΒΓ είναι και ισοσκελές 7 Αν τα διανύσµατα α και είναι κάθετα µεταξύ τους και έχουν ίσα µέτρα, νδο τα διανύσµατα u = α + και v = α είναι κάθετα και έχουν ίσα µέτρα 8 ίνονται τα διανύσµατα α,, x, y µε y 0 x y για τα οποία ισχύουν: α= y y x y και = y x Νδο y i) α Αν x y τότε = 0

Ασκήσεις Εσωτερικό Γινόµενο 1 Αν α = 1, = 3, γ = και α + γ = 0 Νδο: i) α γ + γ α = 1 = 3 α και γ = α ίνονται τα σηµεία Α(4, ) και Β(3, 5) Να ρείτε σηµείο Μ της ευθείας ε: 7x + y 3 = 0 ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ 3 ίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α και για τα οποία ισχύει α = 3 i) Νδο προ α= 3 Να ρείτε τον πραγµατικό αριθµό x για τον οποίο να ισχύει προ (xα+ ) = (x 1) (Απ: x = 1) 4 ίνονται τα διανύσµατα α = (, 1) και = (3, 4) Να ρείτε τις συντεταγµένες του διανύσµατος προ α 5 ίνονται τα µη συγγραµµικά διανύσµατα α και α i) Νδο προ α= α α α, Αν είναι α =, = 1 και ( ) προ α (α + ) + προ (α ) 5 + = α + 4 (Απ: 6 ίνονται τα διανύσµατα α= i + j, = 3i j και γ= i + 3 j i) Να ρείτε την προολή του πάνω στο α = προ α = π 3 4, ) 5 5 να δειχθεί ότι Να αναλυθεί το γ σε δύο µη µηδενικές κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (Απ: i) προ α = (1, ) v = ( 1, ) και w = (, 1)) 7 ίνονται τα διανύσµατα α = (1, ), = (4, 1) και u = (, 6) Να αναλυθεί το u σε δύο συνιστώσες, µια παράλληλη στο α και µια κάθετη στο (Απ: v = ( 7, 14) και w = (5, 0))

Ασκήσεις Εσωτερικό Γινόµενο 1 Αν α = 4, =, α = 6 και προ (4α x) = 0 να ρεθεί ο x R (α+ ) ίνονται τα µοναδιαία διανύσµατα α, και ότι η γωνία που σχηµατίζουν ισούται µε π/3 Να ρεθεί διάνυσµα x του επιπέδου των α και ώστε να ισχύει x α = 3 και x =