Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ R Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει τον όγκο ενός ορού κυλίνδρου, από την ακτίνα της βάσης r και το ύψος του h. Η ερµοκρασία Τ ενός σηµείου της επιφάνειας της γης εξαρτάται από τις Τ=Τ,. συντεταγµένες, πλάτος και µήκος του σηµείου, έτσι γράφουµε ( ) Αυτές οι παρατηρήσεις οδηγούν φυσιολογικά στην µελέτη συναρτήσεων f : Α R R, g : Α R Rδύο ή περισσοτέρων µεταβλητών. Η µελέτη αυτή οφείλει να είναι αντίστοιχη, µε την µελέτη των συναρτήσεων µιας πραγµατικής µεταβλητής, όπου εξετάζονται έννοιες, όπως όριο, συνέχεια, διαφορισιµότητα και ολοκληρωσιµότητα συνάρτησης. Στον Απειροστικό Λογισµό ( των συναρτήσεων µιας µεταβλητής) αυτό που επέτρεψε την µελέτη των παραπάνω οριακών διαδικασιών είναι η ύπαρξη µιας απόλυτης τιµής και άρα µιας απόστασης στην πραγµατική ευεία R. Θα δούµε ευύς αµέσως ότι το ίδιο µπορεί να γίνει και στο διανυσµατικό χώρο R, N.Υπενυµίζουµε ότι τα διανύσµατα (,0,...,0 ), ( 0,,0...,0 ),..., ( 0,0,...,0,) e e e = = = του R συνιστούν µια αλγεβρική βάση την κανονική βάση του R και ότι γενικεύουν την συνήη, j, k = e, j = e, k = e του R. Το τυχόν διάνυσµα οροκανονική βάση ( ) (,..., ) R διανύσµατα = (,, ), = (,, ) του = γράφεται ( µοναδικά) ως = e + e +... + e. Για δύο R, είναι γνωστό ότι µπορούµε να ορίσουµε το εσωτερικό γινόµενο τους = + + R. Ο ορισµός αυτός µπορεί εύκολα να επεκταεί και στον R για τυχόν N. Έτσι ορίζουµε το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων = (,..., ) και ( ) =,..., του του. Σηµείωση: Στον R µε τον ανάλογο τρόπο, δηλαδή: = + +... + ( = ). = R χρησιµοποιούµε συχνά και τον συµβολισµό,, αντί Συνεχίζοντας την αναλογία µε τον R ορίζουµε ως µήκος η Ευκλείδεια νόρµα του διανύσµατος = (,..., ) τον µη αρνητικό πραγµατικό, Το ζεύγος ( ) ). = = = = +... + (= R, ονοµάζεται ο Ευκλείδειος χώρος διάστασης. Η ακόλουη απλή πρόταση περιγράφει τις βασικές ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου.
.. Πρόταση. Αν,, z R και α, β R τότε έχουµε: (ι) ( α + β ) z = α( z) + β( z) (ιι) = (ιιι) 0 (ιν) = 0 = 0 = =... = = 0. Η απόδειξη της πρότασης είναι απλή εφαρµογή του ορισµού του εσωτερικού γινοµένου. Αποδεικνύουµε τώρα µια σηµαντική ανισότητα, την ανισότητα Cuch-Schwrz.. Πρόταση. Έστω, R τότε όπου = ( ) και ( ) ( ή ( ) ( ),..., =,..., ) Απόδειξη: Αν = 0 ή = 0 τότε η ανισότητα ισχύει τετριµµένα ως ισότητα. Υποέτουµε λοιπόν ότι 0 (Ι) Έστω ότι = =. Τότε ισχύει +, =,,..., + = + = + = = = = = = Άρα ( ) Εποµένως στην περίπτωση αυτή ισχύει η ανισότητα. ' ' (ΙΙ) Γενική περίπτωση: Θέτουµε = και =,. Από την περίπτωση (Ι) έπεται ότι: ' ' = = = =. Έπεται ότι = = ' ' = = =, εφόσον Άσκηση. Αποδείξτε ότι ισότητα ισχύει στην ανισότητα Cuch-Schwrz αν και µόνο αν τα διανύσµατα και είναι συγγραµικά. ηλαδή υπάρχει λ R µε = λ Λύση: Αν = λ για κάποιο λ R, τότε εύκολα διαπιστώνουµε την ισότητα στην ανισότητα Cuch-Schwrz. Υποέτουµε ότι =. Αν ένα από τα και έστω = 0 τότε έτουµε λ = 0 και παρατηρούµε ότι = λ. Έτσι υποέτουµε επί πλέον ότι 0 και 0. Αν = ( ) και ( ),..., ισοδύναµα ως ' ' = όπου = = =,..., τότε η ισότητα = γράφεται = και έτοντας ' ' = = = =. ' ' ' ' ' ' Εποµένως = + = () = = = = ' ' =, = γράφεται ως
Συµπεραίνουµε ότι οι αριµοί στην τριγωνική ανισότητα, δηλαδή ' ' ' ',..., είναι οµόσηµοι αφού ισχύει η ισότητα ' ' ' ' = = =. Επίσης από την () έπεται ' ' ' ' ότι αναγκαία: = +, =,,..., () ' ' ' ' (α) Αν το κοινό πρόσηµο των αριµών,..., είναι ετικό τότε οι ισότητες () ' ' ' ' ' ' συµπεραίνουν ότι ( ) ( ) ' ' = + = 0 = για κάε =,,.., ή = = = και λ =. ' ' ' ' (β) Αν το κοινό πρόσηµο των,..., είναι αρνητικό τότε βρίσκουµε ότι ' ' ( ' ' ) ( ' ' ) 0 ' ' = + + = = για κάε =,,.., συνεπώς = = = και λ =. Παρατηρήση Αν,..., R τότε +... + = +... + οι,..., είναι οµόσηµοι. Πράγµατι για = έχουµε ότι ( ) ( ) + = + ( ) ( ) + = + + = + + + = + + = 0 συνεπώς οι, είναι οµόσηµοι. Αντίστροφα αν 0 τότε προφανώς + = +. Το γενικότερο αποτέλεσµα έπεται τώρα µε επαγωγή στο πλήος των αριµών Γεωµετρική σηµασία της ανισότητας Cuch-Schwrz. Από την ανισότητα Cuch-Schwrz έπεται ότι για µη µηδενικά διανύσµατα και στον R το πηλίκο ανήκει στο διάστηµα [,] δηλαδή. Έτσι ορίζεται η γωνία µεταξύ των και µε τον τύπο cos =, [ 0, π ] Εξάλλου αν και ανήκουν στον R τότε η ανισότητα Cuch-Schwrz έπεται από τον νόµο των συνηµίτονων της τριγωνοµετρίας:. z - Από τον νόµο των συνηµίτονων για το τρίγωνο µε κορυφή το Ο(0,0,0) και πλευρές τα διανύσµατα και βρίσκουµε ότι : = + cos () όπου η γωνία των και. Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου η () µετά
4 από πράξεις γίνεται: Συνεπώς cos = = cos.. Αν τα και είναι συγγραµµικά, δηλαδή αν π, άρα cos = και έτσι =. = λ για κάποιο λ R τότε = 0 ή Αν τα και δεν είναι συγγραµµικά ( δηλαδή γραµµικά ανεξάρτητα) τότε ( 0, π) και άρα cos <, εποµένως < Έτσι καταλήγουµε στον τύπο για το εσωτερικό γινόµενο των µη µηδενικών διανυσµάτων, R, cos 0, π η µοναδική γωνία µεταξύ και. ύο διανύσµατα, R { 0} Α =, όπου [ ] π λέγονται ορογώνια αν = 0 =. Παράδειγµα. Έστω ΑΒΓ το τρίγωνο µε κορυφές Α(,,8 ), ( 4,, 4) Γ 4 4 = =. 69 5 65 Β Γ(.,5). Να βρεεί η γωνία Β και ΒΑΓ =α του τριγώνου. Παρατηρούµε ότι η ζητουµένη γωνία είναι η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων ΑΒ και ΑΓ όπου ΑΒ=ΟΒ ΟΑ = ( 4,, 4) (,,8 ) = (, 4, ) και ΑΓ =ΟΓ ΟΑ= (,,5) (,,8) = ( 4, 0, ) και Ο = ( 0,0,0) R. Εποµένως ΑΒ ΑΓ ( 4) + ( 4) 0+ ( ) ( ) cos = = ΑΒ ΑΓ + 4 + 4 + ( ) ( ) ( ) ( ) Έστω Προβολές, R µη µηδενικά διανύσµατα όπως στο σχήµα α c α-c Θα υπολογίσουµε το διάνυσµα προβολή c του α επί του µε χρήση του εσωτερικού γινοµένου. Παρατηρούµε ότι c= t για κάποιο t R. Επειδή το διάνυσµα c= t είναι ορογώνιο προς το έχουµε
5 t = 0 t = 0 t = 0 t =. Συνεπώς ( ) c= t= Το διάνυσµα c συµβολίζεται µε proj = proj, συνεπώς Παρατηρούµε ότι proj = = και το διάνυσµα είναι οµόρροπο µε το και έχει µήκος ίσο µε. Ο αριµός ονοµάζεται και βαµωτή προβολή του επί του και συµβολίζεται µε comp. Έπεται ότι cos comp = = = cos. Άρα το µήκος της προβολής του επί του ισούται µε comp = cos Το έργο της δύναµης ως εσωτερικό γινόµενο: Το έργο W που παράγεται από µια σταερή δύναµη F η οποία δρα πάνω σε ένα αντικείµενο, το οποίο µετακινεί κατά µήκος της ευείας F (ε), από το σηµείο Ο στο σηµείο Q F ορίζεται ως το εσωτερικό γινόµενο W = F Q. projf Εποµένως W = F Q cos = ( F cos) Q ( Q ) Q = comp F Q Το εµβαδόν παραλληλογράµµου:, R 0,0, το παραλληλόγραµµο που παράγεται από τα διανύσµατα { } Αν ( ) α+ α ( ) () και είναι το σύνολο Π = λ + µ : 0 λ, µ R. Από το { } σχήµα έπεται ότι το εµβαδόν Ε του Π ισούται µε Ε= s = cos = ( ) = =
6 Αν = (, ) και (, ) = τότε επειδή ισχύει η ταυτότητα του Lgrge: ( )( ) ( ) ( ) + + + =. Έπεται σε συνδυασµό µε την () ότι Ε= = det.το ανάλογο αυτού του αποτελέσµατος ισχύει και στις τρείς διαστάσεις, η απόδειξή του αφήνεται ως άσκηση. Σηµειώνουµε ότι η γενική µορφή της ταυτότητας Lgrge α αποδειχεί λίγο αργότερα ( στην παράγραφο όπου ορίζεται το Εξωτερικό γινόµενο στον R ). Μια πολύ ενδιαφέρουσα συνέπεια της ανισότητας Cuch-Schwrz είναι η τριγωνική ανισότητα: + + για κάε Β + Α Γ, R. Η ανισότητα αυτή είναι γεωµετρικά προφανής στην περίπτωση R =. Αφού η κάε πλευρά του του ( ) τριγώνου είναι µικρότερη του αροίσµατος των δύο άλλων. Γεωµετρικά έπεται ότι ΟΓ ΟΑ + ΟΒ. ίνουµε τώρα µια αναλυτική απόδειξη της τριγωνικής ανισότητας που βασίζεται στην ανισότητα Cuch-Schwrz. Έπεται ότι,.. Πρόταση: Αν, R τότε + +. Απόδειξη: Από την ανισότητα Cuch-Schwrz έχουµε: ( ) ( ) + = + + = + + + = + + = + + ( ) συµπεραίνουµε την ζητούµενη ανισότητα. = +. Άρα παίρνοντας τετραγωνικές ρίζες Άσκηση: Αποδείξτε ότι για, R Απόδειξη: Γράφουµε = ( ) + (), ( ) = + () Από την () έπεται ότι + και άρα () Ανάλογα από την () έπεται ότι + και συνεπώς (4) Από τις () και (4) έπεται η ζητούµενη ανισότητα. Παρατήρηση: Συνοψίζοντας έχουµε ότι οι βασικές ιδιότητες της συνάρτησης «µήκους» : R R που ορίσαµε στον R είναι οι ακόλουες: (α) 0 και = 0 = 0 (β) λ = λ, λ R, R και (γ) + +,, R ( τριγωνική ανισότητα ).
7 Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση µήκους η Ευκλείδεια νόρµα στον R έχει ιδιότητες ανάλογες µε αυτές της απόλυτης τιµής στον R ( εξάλλου αν = τότε = για κάε R ). Έτσι µπορούµε να ορίσουµε ως απόσταση µεταξύ δύο σηµείων και του R το µήκος του διανύσµατος d, =. Η έννοια αυτή, δηλαδή ( ) της απόστασης είναι που µας επιτρέπει, να ορίσουµε τις έννοιες, του ορίου ακολουίας και γενικότερα, του ορίου συνάρτησης στον R κατά αναλογία µε το R ( = ). Παραδείγµατα,..., R =. Να υπολογιστεί το sup {... :... }.Έστω ( ) + + + + =. Λύση : Από την ανισότητα C-S έχουµε:, εφόσον = +... + =. Έτσι το σύνολο {... :... } Α = + + + + = που δεν είναι κενό είναι άνω φραγµένο από τον αριµό και συνεπώς supα=μ. Αν = 0 = 0 για κάε,,..., Α = και άρα Μ = supα = 0. Υποέτουµε ότι 0, τότε έτουµε = και παρατηρούµε ότι = =, άρα - α/ α = τότε βέβαια { 0} = = =. Έπεται ότι mα= δηλαδή Μ = = + +. Με παρόµοιους συλλογισµούς προκύπτει ότι:. α χ, χ =... Σηµείωση. Η βασική ιδέα εδώ είναι ότι ισότητα έχουµε στην ανισότητα C-S ακριβώς αν τα διανύσµατα και είναι συγγραµµικά, δηλαδή αν = λ για κάποιο λ R. Από εδώ προκύπτει και η τιµή του λ =. (Εφόσον α έχουµε = λ = λ = λ = = = λ = λ = ) )Έστω ( ),..., = R. Να υπολογιστεί το { λ λ } sup +... + : +... + =, όπου λ > 0, =,,..., είναι δοσµένοι ετικοί αριµοί. Λύση. Αν = 0 = 0 για κάε =,,..., τότε το σύνολο {... : λ... λ } Α = + + + + = είναι προφανώς το µονοσύνολο { 0} συνεπώς sup{ 0} = 0. Υποέτουµε λοιπόν ότι 0. Α= και Θέτουµε