Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης 11.1.1 Χρονική αξία του χρήματος Μιχάλης Δούμπος, Αναπλ. Καθηγητής Πολυτεχνείο Κρήτης, Σχολή Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης mdoumpos@dpem.tuc.gr
Το βασικό πλαίσιο αξιολόγησης μιας επένδυσης Τα βασικά στοιχεία που λαμβάνονται υπόψη στην αξιολόγηση ενός επενδυτικού έργου περιλαμβάνουν: Το ύψος των αποτελεσμάτων σε σχέση με το κόστος επένδυσης Τον τρόπο με τον οποίο τα αποτελέσματα της επένδυσης κατανέμονται στο χρόνο (χρονική αξία του χρήματος) Τον κίνδυνο Χρονική αξία του χρήματος Ένα κεφάλαιο σήμερα δεν έχει την ίδια αξία με το ίδιο κεφάλαιο στο μέλλον Η αξία του κεφαλαίου ορίζεται από τα επιτόκια
Η έννοια του επιτοκίου Τρεις εναλλακτικές οπτικές Βαθμός απόδοσης (rate of return): απόδοση που προσδοκά/επιθυμεί ένας επενδυτής από την υλοποίηση μιας επένδυσης Συντελεστής προεξόφλησης (discount rate): ισοδυναμία μεταξύ τρέχουσας και μελλοντικής αξίας Κόστος ευκαιρίας (opportunity cost): απώλεια µιας επενδυτικής ευκαιρίας, εξαιτίας της δέσμευσης των κεφαλαίων σε άλλες χρήσεις Κατανάλωση σήμερα ποσού 10.000 όταν μια εναλλακτική χρήση θα απέφερε 1.000 σε ένα χρόνο: κόστος ευκαιρίας = 10%
Παράγοντες που επιδρούν στα επιτόκια Πληθωρισμός (inflation): η αύξηση των τιμών στην πορεία του χρόνου Αύξηση ζήτησης έναντι των παραγωγικών δυνατοτήτων, αύξηση κόστους πρώτων υλών, ενέργειας, μισθών, φόρων, Κίνδυνος (risk): η πιθανότητα μια επένδυση να μην αποφέρει τα αναμενόμενα αποτελέσματα Το επιτόκιο είναι ένα πριμ έναντι του κινδύνου Χρονικές προτιμήσεις (time preferences) Λόγω της αβεβαιότητας, ένα κεφάλαιο σήμερα προτιμάται από το ίδιο ποσό στο μέλλον (πχ. εάν κάποιος είναι αδιάφορος μεταξύ 100 σήμερα και 105 μετά από ένα χρόνο, απαιτεί ένα πριμ επιτόκιο 5%) Η αύξηση του βαθμού προτίμησης του παρόντος (κατανάλωση) αυξάνει τα επιτόκια Ευκαιρίες παραγωγής (production opportunities): η αύξηση της αποδοτικότητας παραγωγικών επενδύσεων αυξάνει τα επιτόκια
Η σχέση που προσδιορίζει τα επιτόκια Τα επιτόκια ορίζονται στις διεθνείς αγορές βάσει των κανόνων προσφοράς & ζήτησης κεφαλαίων Βασική σχέση r = r * + IP + (DRP + LP + MP) r * = Πραγματική απόδοση μιας βέβαιης επένδυσης (real risk free interest rate): ισοδυναμία μεταξύ τρέχουσας και μελλοντικής αξίας σε συνθήκες χωρίς πληθωρισμό (ευκαιρίες παραγωγής, προτίμηση ως προς το χρόνο) IP = Πριμ πληθωρισμού (inflation premium): ο πληθωρισμός μειώνει την αξία του χρήματος DRP = Κίνδυνος ασυνέπειας (default risk premium): αποζημίωση για την πιθανότητα ο δανειολήπτης να μην μπορέσει να ανταποκριθεί στις υποχρεώσεις του LP = Ρευστότητα (liquidity premium): αποζημίωση για πιθανές απώλειες στην περίπτωση όπου απαιτηθεί η πρόωρη ρευστοποίηση μιας επένδυσης MP = Ωρίμανση (maturity premium): όσο αυξάνει η διάρκεια μιας επένδυσης, τότε ποιο ευαίσθητη είναι σε μεταβολές του οικονομικού επιχειρηματικού περιβάλλοντος
Μελλοντική αξία (future value) Η διαδικασία που οδηγεί στη δημιουργία ενός μελλοντικού κεφαλαίου από ένα ποσό σήμερα (παρούσα αξία) αναφέρεται ως ανατοκισμός (compounding) Σε παραδοσιακές μορφές επενδύσεων (συμπεριλαμβανομένων τεχνικών έργων) ο ανατοκισμός γίνεται σε διακριτές χρονικές στιγμές (απλός ανατοκισμός) Παράδειγμα μιας περιόδου (ένα έτος) Κεφάλαιο C 0 σήμερα που επενδύεται με απόδοση r για περίοδο ενός έτους, έχει στο τέλος του έτους αξία C 1 = C 0 + Τόκος = C 0 + rc 0 = C 0 (1 + r)
Μελλοντική αξία Παράδειγμα δύο περιόδων (πχ. έτη) Κεφάλαιο C 0 επενδύεται με ετήσια απόδοση r για δύο έτη Στο τέλος του 1ου έτους έχει σχηματιστεί κεφάλαιο C 0 (1+r) Στο τέλος του 2ου έτους το διαθέσιμο κεφάλαιο είναι Αρχικό κεφάλαιο 2ου έτους + Τόκοι 2ου έτους C 0 (1+r) + [C 0 (1+r)]r = C 0 (1+r)(1+r) = C 0 (1+r) 2 Γενική περίπτωση επένδυσης κεφαλαίου C 0 για n περιόδους με απόδοση r στην κάθε περίοδο C n = C 0 (1+r) n Παράδειγμα: ποσό 1000 που επενδύεται για 5 έτη με ετήσιο επιτόκιο 7% θα οδηγήσει στη δημιουργία κεφαλαίου 1000 1,07 5 = 1402,55 Συνολική απόδοση 1402,55 = 1000(1 + ρ) ρ =(1402,55/1000) 1= 40,26% Προσοχή: η ετήσια απόδοση είναι 7% και όχι 40,26%/5 = 8,05%
4.5 4 Μελλοντική αξία 1 3.5 3 2.5 2 ιπλασιασμός κεφαλαίου 2% 4% 6% 8% 1.5 10% 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Χρόνος
Υπολογισμός τελικής αξίας στο Excel Συνάρτηση FV(r; n; PMT; C 0 ; TYPE) PMT = περιοδική εισροή/εκροή (προαιρετικό στοιχείο που μπορεί να οριστεί αντί της παρούσας αξίας C 0 ) TYPE = 0 για ληξιπρόθεσμες συναλλαγές, 1 για προκαταβλητέες (προαιρετικό στοιχείο)
Παρούσα αξία (present value) Η αναγωγή μιας μελλοντικής αξία σε τρέχοντες όρους αναφέρεται ως προεξόφληση (discounting) Παράδειγμα μιας περιόδου (ένα έτος) Ποσό C 1 που θα είναι διαθέσιμο στο τέλους του προσεχούς έτους, μπορεί αντιστοιχηθεί σε παρούσα αξία C 0, η οποία με ετήσιο επιτόκιο προεξόφλησης r υπολογίζεται ως: C 1 = C 0 (1 + r) C 0 = C 1 / (1 + r) H γενική περίπτωση n περιόδων Ποσό C n που θα είναι διαθέσιμο στο τέλους n περιόδων, μπορεί αντιστοιχηθεί σε παρούσα αξία C 0, η οποία με επιτόκιο προεξόφλησης r (για κάθε περίοδο) υπολογίζεται ως: C n = C 0 (1 + r) n C 0 = C 1 / (1 + r) n
1 0.9 Παρούσα αξία 1 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 2% 4% 6% 8% 10% 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Χρόνος
Υπολογισμός παρούσας αξίας στο Excel Συνάρτηση PV(r; n; PMT; C n ; TYPE) Χρονική αξία του χρήματος
Συχνότητα ανατοκισμού Όταν οι τόκοι υπολογίζονται περισσότερες (m) φορές ανά χρόνο Το ανάλογο του ετήσιου επιτοκίου r για κάθε περίοδο είναι r/m Μελλοντική αξία μετά από n έτη, βάσει ετήσιου επιτοκίου r C n = C 0 (1 + r/m) mn Παρούσα αξία κεφαλαίου C n μετά από n έτη, βάσει ετήσιου επιτοκίου r C 0 = C n / (1 + r/m) mn Παράδειγμα: κεφάλαιο 100 επενδύεται με ετήσιο επιτόκιο 5%, για τρία χρόνια Τελική αξία (ανατοκισμός ανά έτος): C 3 = 100 1,05 3 = 115,76 Τελική αξία (ανατοκισμός ανά εξάμηνο): C 3 = 100 (1 + 0,05/2) 2 3 = 115,97 Προσοχή: η πραγματική ετήσια απόδοση δεν είναι ούτε 5% αλλά ούτε και 15,97%/3 = 5,32%, αφού 100 (1 + 0,0532) 3 = 116,83
Ισοδύναμο ετήσιο επιτόκιο Πραγματική ετήσια απόδοση που ισοδυναμεί σε (ονομαστικό nominal) ετήσιο επιτόκιο r και ανατοκισμό m φορές ανά έτος Παράδειγμα: επένδυση 1 με ετήσιο επιτόκιο 5% και εξαμηνιαίο ανατοκισμό: C 1 = C 0 (1 + r / m) mn = 1,025 2 = 1,0506 To ισοδύναμο ετήσιο επιτόκιο r ΙΕΕ θα πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση: 1,0506 = 1 + r ΙΕΕ r ΙΕΕ = 5,06% Γενική περίπτωση: r ΙΕΕ = (1 + r/m) m 1
Η επίδραση της συχνότητας του ανατοκισμού Ισοδύναμα ετήσια επιτόκια για r = 10% με διαφορετικές συχνότητες ανατοκισμού Ανατοκισμός m r IEE Ετήσιος 1 10,00% Εξαμηνιαίος 2 10,25% Τριμηνιαίος 4 10,38% Μηνιαίος 12 10,47% Ημερήσιος 365 10,52%
Ράντες Μια ράντα (annuity) είναι μια σειρά περιοδικών (σταθερών) χρηματικών ποσών (εισπράξεων ή πληρωμών) Ληξιπρόθεσμη ράντα (ordinary annuity): οι συναλλαγές γίνονται στο τέλος κάθε περιόδου Προκαταβλητέα ράντα (annuity due): οι συναλλαγές γίνονται στην αρχή κάθε περιόδου Διηνεκής ράντα (perpetuity): το πλήθος των περιόδων τείνει στο άπειρο Ληξιπρόθεσμη, προκαταβλητέα
Τελική αξία ληξιπρόθεσμης ράντας Τελική αξία ράντας 5 ετών, με ετήσια καταβολή 1000 και επιτόκιο 5% 0 1 2 3 4 5 1000 (1+0,05) 0 1000 (1+0,05) 1 1000 (1+0,05) 2 1000 (1+0,05) 3 1000 (1+0,05) 4 Σύνολο: 5.525,63
Τελική αξία προκαταβλητέας ράντας Τελική αξία ράντας 5 ετών, με ετήσια καταβολή 1000 και επιτόκιο 5% 0 1 2 3 4 5 1000 (1+0,05) 1 1000 (1+0,05) 2 1000 (1+0,05) 3 1000 (1+0,05) 4 1000 (1+0,05) 5 Σύνολο: 5.801,91
Παρούσα αξία ληξιπρόθεσμης ράντας Παρούσα αξία ράντας 5 ετών, με ετήσια καταβολή 1000 και επιτόκιο 5% 0 1 2 3 4 5 1000/(1+0,05) 1 1000/(1+0,05) 2 1000/(1+0,05) 3 1000/(1+0,05) 4 1000/(1+0,05) 5 Σύνολο: 4.329,48
Παρούσα αξία προκαταβλητέας ράντας Παρούσα αξία ράντας 5 ετών, με ετήσια καταβολή 1000 και επιτόκιο 5% 0 1 2 3 4 5 1000/(1+0,05) 0 1000/(1+0,05) 1 1000/(1+0,05) 2 1000/(1+0,05) 3 1000/(1+0,05) 4 Σύνολο: 4.545,95
Γενικές περιπτώσεις Τελική αξία ράντας n περιοδικών πληρωμών ύψους α, με επιτόκιο r για κάθε περίοδο n n (1 r) 1 (1 r) 1 Ληξ/σμη: Cn a Προκ/τέα: Cn a (1 r) r r Παρούσα αξία ράντας n περιοδικών πληρωμών ύψους α, με επιτόκιο r για κάθε περίοδο n n 1 (1 r) 1 (1 r) Ληξ/σμη: C0 a Προκ/τέα: C0 a (1 r) r r Διηνεκής ράντα (perpetuity): το πλήθος των περιόδων τείνει στο άπειρο Παρούσα αξία ληξιπρόθεσμης διηνεκούς ράντας: C 0 = a / r Παρούσα αξία προκαταβλητέας διηνεκούς ράντας: C 0 = a(1+r) / r Η τελική αξία δεν ορίζεται
Παράδειγμα αποπληρωμής τοκοχρεολυτικού δανείου Δάνειο αξίας 100.000, διάρκειας 5 ετών, με επιτόκιο 6% και ετήσια καταβολή δόσης Υπολογισμός δόσης: n 5 1 (1 r) 1 (1 0,06) C0 a 100.000 a a 23.739,64 r 0, 06 Αρχικό υπόλ. Δόση Τόκος Χρεολύσιο Τελικό υπόλ. Έτος Y 0 (1): α (2): rυ 0 (3) = (1) (2) Y 0 (3) 1 100000 23739,64 6000,00 17739,64 82260,36 2 82260,36 23739,64 4935,62 18804,02 63456,34 3 63456,34 23739,64 3807,38 19932,26 43524,08 4 43524,08 23739,64 2611,44 21128,20 22395,89 5 22395,89 23739,64 1343,75 22395,89 0,00
Υπολογισμοί στο Excel Παρούσα & τελική αξία Οι συναρτήσεις PV, FV όπως προηγούμενα, αλλά ορίζοντας το ύψος κάθε καταβολής χωρίς τα C 0 & C n
Υπολογισμοί στο Excel Υπολογισμός επιτοκίου μιας ράντας, βάσει του πλήθους (n) και ύψους (α) των περιοδικών πληρωμών, καθώς και της παρούσας (C 0 ), του ταμειακού υπολοίπου και του τύπου της ράντας Συνάρτηση rate(n; α; C 0 ; FV; TYPE) FV = ταμειακό υπόλοιπο στο τέλος της περιόδου (προαιρετικό στοιχείο)
Υπολογισμοί στο Excel Υπολογισμός της σταθερής καταβολής μιας ράντας, βάσει του επιτοκίου (r), του πλήθους (n) των πληρωμών, της παρούσας (C 0 ), του ταμειακού υπολοίπου και του τύπου της ράντας Συνάρτηση pmt(r; n; C 0 ; FV; TYPE)
Υπολογισμοί στο Excel Υπολογισμός του πλήθους των καταβολών μιας ράντας, βάσει του επιτοκίου (r), της σταθερής δόσης (α), και της παρούσας (C 0 ) ή τελικής αξίας (C n ) Συνάρτηση nper(r; α; C 0 ; FV; TYPE)