1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 1 ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ Σ ΟΡΘΟΩΝΙ ΣΡΙΩΝ = 90 ν Τν ηεηξάγσλν κηο θάζεηεο πιεπξάο είλη ίζν κε ηελ ππνηείλνπζ επί ηελ πξννιή ηεο πιεπξάο ζηελ ππνηείλνπζ. = ή = Σε θάζε νξζνγώλην ηξίγσλν ν ιόγνο ησλ ηεηξγώλσλ ησλ δύν θζέησλ πιεπξώλ είλη ίζνο κε ην ιόγν ησλ πξννιώλ ηνπο ζηελ ππνηείλνπζ. Σε θάζε νξζνγώλην ηξίγσλν ην ηεηξάγσλν ηεο ππνηείλνπζο είλη ίζν κε ην άζξνηζκ ησλ ηεηξγώλσλ ησλ δύν θζέησλ ηνπ πιεπξώλ. = + [Ππζγόξεην ζεώξεκ] Σε θάπνην ηξίγσλν λ ην ηεηξάγσλν κηο πιεπξάο είλη ίζν κε ην άζξνηζκ ησλ ηεηξγώλσλ ησλ άιισλ δύν πιεπξώλ, ηόηε ην ηξίγσλν είλη νξζνγώλην. = + [ληίζηξνθν ππζγόξεηνπ ] Τν ηεηξάγσλν ηνπ ύςνπο είλη ίζν κε ην γηλόκελν ησλ πξννιώλ ησλ δύν θζέησλ πιεπξώλ ζηελ ππνηείλνπζ. = Σε θάζε νξζνγώλην ηξίγσλν ην γηλόκελν ησλ θζέησλ πιεπξώλ είλη ίζν κε ην γηλόκελν ηνπ ύςνπο πνπ ληηζηνηρεί ζηελ ππνηείλνπζ επί ηελ ππνηείλνπζ. =. 1 1 1 Σε θάζε νξζνγώλην ηξίγσλν κε πιεπξέο,, γ θη ύςνο = π. ηζρύεη.
1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol Θεώξεκ κιείο γσλίο ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ Δ ΣΤΥΙ ΣΡΙΩΝ Σε ηξίγσλν ην ηεηξάγσλν πιεπξάο πέλληη πό νμεί γσλί ηζνύηη κε ην άζξνηζκ ησλ ηεηξγώλσλ ησλ άιισλ δύν πιεπξώλ ειηησκέλν θηά ην δηπιάζην ηεο κηο πιεπξάο επί ηελ πξννιή ηεο άιιεο ζε πηήλ. γ <90 ν ειδή: = + γ Θεώξεκ κιείο γσλίο Σε ηξίγσλν ην ηεηξάγσλν πιεπξάο πέλληη πό κιεί γσλί ηζνύηη κε ην άζξνηζκ ησλ ηεηξγώλσλ ησλ άιισλ δύν πιεπξώλ πμεκέλν θηά ην δηπιάζην ηεο κηο πιεπξάο επί ηελ πξννιή ηεο άιιεο ζε πηήλ. ειδή: = + γ + γ >90 ν Σε θάζε ηξίγσλν ηζρύνπλ νη πξθάησ ζρέζεηο = + γ = 90 ν < + γ < 90 ν > + γ > 90 ν Νόκνο ζπλεκηηόλσλ = + γ γ ζπλ = + γ γ ζπλ γ > + ζπλ
1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 3 Θεσξήκη δηκέζσλ 1). Σε θάζε ηξίγσλν ην άζξνηζκ ησλ ηεηξγώλσλ ησλ δύν πιεπξώλ ηνπ ηζνύηη κε ην δηπιάζην ηεηξάγσλν ηεο δηκέζνπ πνπ ληηζηνηρεί ζηελ ηξίηε πιεπξά πμεκέλν θηά ην ήκηζε ηνπ ηεηξγώλνπ ηεο πιεπξάο πηήο. (1) + γ = κ + Μ=κ ). Σε θάζε ηξίγσλν ε δηθνξά ησλ ηεηξγώλσλ δύν πιεπξώλ ηνπ ηζνύηη κε ην δηπιάζην γηλόκελν ηεο ηξίηεο πιεπξάο επί ηελ πξννιή ηεο δηκέζνπ πνπ ληηζηνηρεί ζε πηήλ. γ Μ () γ = Μ Σε θάζε ηξίγσλν ηζρύεη 4 4 4
1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 4 ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ Δ ΚΤΚΛΟ πό ζεκείν Σ εθηόο θύθινπ (Ο, ξ) κε ΣΟ =, θέξνπκε ηέκλνπζ Σ ηνπ θύθινπ ην γηλόκελν Σ Σ είλη ζηζεξό θη ίζν κε ξ. πό ζεκείν Σ εληόο θύθινπ (Ο, ξ) κε ΣΟ =, θέξνπκε ηέκλνπζ Σ ηνπ θύθινπ ην γηλόκελν Σ Σ είλη ζηζεξό θη ίζν κε ξ. Σ Ο Ο Σ η ζεκείν Σ ηνπ επηπέδνπ ηνπ θύθινπ (Ο, ξ) ην νπνίν πέρεη πό ην θέληξν ηνπ θύθινπ πόζηζε ΣΟ =, ν ζηζεξόο ξηζκόο ξ νλνκάδεηη δύλκε ηνπ ζεκείνπ Σ σο πξνο ηνλ θύθιν (Ο, ξ). λ λ λ ξ > 0, ηόηε ην ζεκείν Σ ξίζθεηη εθηόο ηνπ θύθινπ. ξ = 0, ηόηε ην ζεκείν Σ ξίζθεηη επί ηνπ θύθινπ. ξ < 0, ηόηε ην ζεκείν Σ ξίζθεηη εληόο ηνπ θύθινπ. λ Σ είλη ζεκείν εθηόο θύθινπ (Ο, ξ), ηόηε ε δύλκε ηνπ ζεκείνπ Σ σο πξνο ηνλ θύθιν (Ο, ξ) είλη ίζε κε ΣΔ, όπνπ ΣΔ ην εθπηόκελν ηκήκ πό ην Σ ζηνλ θύθιν. Ο Σ Δ ΣΔ = ξ = Σ Σ
1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 5 Δκδά ζηθώλ ζρεκάησλ ΔΜ ΠΟΛΤΩΝΩΝ Τεηξάγσλν πξιιειόγξκκν Δ = π Δ = π π = ύςνο Τξίγσλν πξιιειόγξκκν γ Δ = π Δ = π π = ύςνο Τξπέδην π Δ = ξόκνο δ1 δ Δ = 1 Τν εκδόλ νπνηνπδήπνηε ηεηξάπιεπξνπ κε θάζεηεο δηγώληεο δ 1, δ είλη ίζν κε Δ = 1
1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 6 ΔΜ ΣΡΙΩΝΟΤ (Ο, ξ) ν εγγεγξκκέλνο ζην ηξίγσλν θύθινο θη η = ε εκηπεξίκεηξνο ηνπ ηξηγώλνπ ξ ηόηε ην εκδόλ ηνπ ηξηγώλνπ είλη Δ = η ξ Ο (Ο, R) ν πεξηγγεγξκκέλνο ζην ηξίγσλν θύθινο ηόηε ην εκδόλ ηνπ ηξηγώλνπ είλη Ο R Δ = 4 R Τν εκδόλ ηνπ ηξηγώλνπ είλη Δ = 1 εκ = 1 γ εκ = = 1 γ εκ θη θόκ Δ = 1 π = 1 π = 1 γ π γ Σε θάζε ηξίγσλν ηζρύεη ν λόκνο ησλ εκηηόλσλ: R
1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 7 ΔΜΙΚΟΙ ΛΟΟΙ ύν όκνη ηξίγσλ κε ιόγν νκνηόηεηο ι, έρνπλ ιόγν εκδώλ ίζν κε ι Τ ηξίγσλ θη είλη όκνη κε ιόγν νκνηόηεηο ι. Άξ ηζρύεη: E( AB ) ( ' ' ') λ δύν ηξίγσλ έρνπλ κη γσλί ίζε ή δύν γσλίεο ηνπο είλη πξπιεξσκηηθέο ηόηε ηζρύεη όηη, ν ιόγνο ησλ εκδώλ ηνπο είλη ίζνο κε ην ιόγν ηνπ γηλνκέλνπ ησλ πιεπξώλ πνπ πεξηέρνπλ ηηο ίζεο ή πξπιεξσκηηθέο γσλίεο ηνπο. = + = 180 ν Ιζρύεη ' ή ηόηε ' 180 O E E ( ) ( ' ' ') = ' ' ' '
1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 8 Πξηεξήζεηο λ δύν ηξίγσλ έρνπλ κη πιεπξά ίζε, ηόηε ν ιόγνο ησλ εκδώλ ηνπο είλη ίζνο κε ην ιόγν ησλ πςώλ πνπ ληηζηνηρνύλ ζηηο ίζεο ηνπο πιεπξέο. λ δύν ηξίγσλ έρνπλ δύν ίζ ύςή, ηόηε ν ιόγνο ησλ εκδώλ ηνπο είλη ίζνο κε ηνλ ιόγν ησλ πιεπξώλ πνπ ληηζηνηρνύλ ζη δπν ύςε. Η δηάκεζνο ελόο ηξηγώλνπ ρσξίδεη ην ηξίγσλν ζε δύν ηζεκδηθά ηξίγσλ. Σε έλ ηξπέδην νη δηγώληνη ην ρσξίδνπλ ζε ηέζζεξ ηξίγσλ, θη ηζρύεη: Τ ηξίγσλ πνπ νξίδνληη πό ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηγσλίσλ θη ηηο άζεηο ηνπ ηξπεδίνπ είλη όκνη. Δλώ η άιι δύν ηξίγσλ πνπ νξίδνληη πό ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηγσλίσλ ηνπ θη πό ηηο κεπξάιιειεο πιεπξέο ηνπ είλη ηζεκδηθά. Τν εκδόλ ηζνπιεύξνπ ηξηγώλνπ πιεπξάο είλη Δ = Σε θάζε ηξίγσλν ηζρύεη : π = π = γ π γ = Δ. 4 3 Σε πξιιειόγξκκν κε πιεπξέο, θη ληίζηνηρ ύςε π 1 θη π ηζρύεη όηη π 1 = π = Δ λ δύν πνιύγσλ είλη όκνη κε ιόγν νκνηόηεηο ι, ηζρύεη όηη ν ιόγνο ησλ εκδώλ ησλ δύν νκνίσλ ζρεκάησλ είλη ίζνο κε ην ηεηξάγσλν ηνπ ιόγνπ νκνηόηεηο.
1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 9 ΠΟΛΤΩΝ Κλνληθό πνιύγσλν είλη ην πνιύγσλν πνπ έρεη όιεο ηνπ ηηο πιεπξέο θη όιεο ηνπ ηεο γσλίεο ίζεο. Όι η θλνληθά πνιύγσλ γξάθνληη ζε θύθιν. λ-γσλν Κεληξηθή γσλί λ-γώλνπ σ λ = 360o θ λ σ λ ι λ λ σλί λ-γώλνπ θ λ = 360 σ λ Πιεπξά λ γώλνπ ι λ πόζηεκ λ-γώλνπ λ θηίλ πεξηγεγξκκέλνπ θύθινπ R R Πεξίκεηξνο λ-γώλνπ P λ = λ ι λ Δκδόλ λ-γώλνπ Δ λ = 1 P λ λ. Κλνληθό ηξίγσλν Τξίγσλν σ 3 = 10 ν θ 3 = 60 ν ι 3 = R 3 3 = R 3 ι 3
1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 10 Κλνληθό ηεηξάγσλν Τεηξάγσλν σ 4 = 90 ν θ 4 = 90 ν ι 4 = R R 4 = 4 ι 4 Κλνληθό εμάγσλν εμάγσλν σ 6 = 60 ν θ 6 = 100 ν ι 6 = R λ = R 3 6 ι 6 Πξηεξήζεηο Η εμσηεξηθή γσλί ελόο πνιπγώλνπ είλη ίζε κε ηελ θεληξηθή ηνπ γσλί. ύν θλνληθά πνιύγσλ κε ίζν πιήζνο πιεπξώλ είλη όκνη. Κάζε λ-γσλν εθηόο πό ηνλ πεξηγεγξκκέλν θύθιν έρεη θη εγγεγξκκέλν θύθιν ν νπνίνο εθάπηεηη ησλ πιεπξώλ ηνπ. Τύπνο ηνπ ξρηκήδε: ι λ = R R 4 R. η εγγεγξκκέλν θη πεξηγεγξκκέλν λ-γσλ ζε θύθιν θηίλο R ηζρύεη: ' Δ λ = 1 R λ R.
1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 11 ΜΗΚΟ ΣΟΞΟΤ ΚΤΚΛΙΚΟ ΣΟΜΔ Κπθιηθό ηνκέ νλνκάδνπκε ηελ πεξηνρή ηνπ θύθινπ πνπ νξίδεηη πό δύν θηίλεο θη ην ηόμν ηνπ θύθινπ ζην νπνίν ληηζηνηρεί ε επίθεληξε γσλί κ ν ηελ νπνί νξίδνπλ. Κπθιηθό ηκήκ είλη ε πεξηνρή ηνπ ηνκέ πνπ νξίδεηη πό ηελ ληίζηνηρε ρνξδή θη ην ηόμν Μήθνο θύθινπ L = π R Μήθνο ηόμνπ S = π R 360 Δκδόλ θύθινπ Δ = π R Δκδόλ θπθιηθνύ ηνκέ Δ = π R 360 κ ν Όηλ ην ηόμν ηνπ θπθιηθνύ ηνκέ εθθξάδεηη ζε θηίλη, ηόηε ηζρύεη = 180 Οπόηε ε ζρέζε πνπ δίλεη ην εκδόλ ηνπ θπθιηθνύ ηνκέ γξάθεηη: Δ = 1 R. Τν εκδόλ ηνπ θπθιηθνύ ηκήκηνο ην ππνινγίδνπκε θηξώληο πό ην εκδόλ ηνπ θπθιηθνύ ηνκέ ην εκδόλ ηνπ ηξηγώλνπ Ο δειδή δίδεηη πό ηελ ζρέζε : Δ ηκ = Δ η Δ (Ο) = π R 1 360 R εκκ ν.