ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 <λ 2 β) λ 1 >λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή σς. Άσκηση 2. Η γρφική πράστση της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο, γι έν σημείο (διφορετικό της πηγής Ο) ενός ελστικού γρμμικού μέσου στο οποίο διδίδετι έν εγκάρσιο γρμμικό ρμονικό κύμ, κτά τη θετική φορά, είνι μί ευθεί: ) ύξουσ. β) φθίνουσ. γ) πράλληλη στον άξον t. Ν δικιολογήσετε την πάντησή σς. Άσκηση 3. Η γρφική πράστση της φάσης των διφόρων σημείων ενός γρμμικού ελστικού μέσου στο οποίο διδίδετι έν εγκάρσιο ρμονικό κύμ, σε συνάρτηση με την πόστσή τους x πό την πηγή Ο, κάποι συγκεκριμένη χρονική στιγμή, είνι μί ευθεί: ) πράλληλη στον άξον x. β) φθίνουσ. γ) ύξουσ. Ν δικιολογήσετε την πάντησή σς.
Άσκηση 4. Σε γρμμικό ελστικό μέσο διδίδετι ρμονικό εγκάρσιο κύμ προς τη θετική κτεύθυνση. Αν λ το μήκος κύμτος κι Τ η περίοδος υτού του κύμτος, τότε η διφορά φάσης Δφ μετξύ δύο χρονικών στιγμών t 1 κι t 2 με t2 > t1, ενός σημείου του μέσου το οποίο ξεκινά ν τλντώνετι τη χρονική στιγμή t' < t1, δίνετι πό τη σχέση: ) Δφ = 2π(t 2 -t 1 )/Τ. β) Δφ = π(t 2 -t 1 )/Τ. γ) Δφ = 2π(t 2 -t 1 )/λ. Ν δικιολογήσετε την πάντησή σς. Άσκηση 5. Σε γρμμικό ελστικό μέσο διδίδετι ρμονικό εγκάρσιο κύμ προς τη θετική κτεύθυνση. Αν λ το μήκος κύμτος κι Τ η περίοδος υτού του κύμτος, τότε η διφορά φάσης Δφ την ίδι χρονική στιγμή μετξύ δύο σημείων του μέσου τ οποί έχουν ξεκινήσει ν τλντώνετι τη χρονική στιγμή t' < t1 κι που πέχουν πόστση Δx δίνετι πό την σχέση: ) Δφ = 2πΔx/λ. β) Δφ = πδx/λ. γ) Δφ = πδx/2τ. Ν δικιολογήσετε την πάντησή σς. Άσκηση 6. Δύο ρμονικά εγκάρσι κύμτ διδίδοντι σε ελστική χορδή κτά την θετική κτεύθυνση. Αν είνι γνωστό ότι το πλάτος κι το μήκος του δεύτερου κύμτος είνι διπλάσι του πρώτου ( A2 = 2A1, λ 2 = 2λ 1), τότε γι τ μέτρ των μέγιστων επιτχύνσεων τλάντωσης των μορίων της ελστικής χορδής θ ισχύει: ) max1 max 2 = 2 β) max1 max 2 = 4
γ) max1 max 2 = 1 2 Ν δικιολογήσετε την πάντησή σς. Άσκηση 7. Οι διπλνές γρφικές πρστάσεις νφέροντι στη μετβολή της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο δύο σημείων Α κι Β ενός γρμμικού ελστικού ομογενούς μέσου στο οποίο διδίδετι ρμονικό εγκάρσιο κύμ. Αν τ σημεί Α κι Β θεωρηθούν υλικά σημεί ίδις φ (rad) μάζς, γι την κινητική ενέργει τλάντωσης Κ την Α χρονική στιγμή t=8 s, θ ισχύει: K < K. ) A B π/3 Β K = K. β) A B 7 8 t (s) K > K. γ) A B Δίνοντι: συν 0= 1, π 1 συν =. 3 2 Ν δικιολογήσετε την πάντησή σς. Άσκηση 8. Η πρκάτω γρφική πράστση νφέρετι στη μετβολή της φάσης φ σε συνάρτηση με την πόστση x πό την πηγή γρμμικού ρμονικού κύμτος τη χρονική στιγμή t 1 =14 s. Α) Η περίοδος του κύμτος είνι ίση με: ) 1 s. β) 2 s.
γ) 4 s. Β) Το μήκος του κύμτος είνι ίσο με: ) 10 cm. β) 12 cm. γ) 14 cm. Ν θεωρήσετε ότι η πηγή του κύμτος βρίσκετι στην θέση x 0 = 0 κι τη χρονική στιγμή t 0 = 0 ξεκινά ν τλντώνετι πό τη θέση ισορροπίς της με θετική τχύτητ. Άσκηση 9. Το σημείο Ο ρχίζει τη χρονική στιγμή t=0 ν εκτελεί πλή ρμονική τλάντωση, που περιγράφετι πό την εξίσωση y=aημωt. Το κύμ που δημιουργεί, διδίδετι κτά μήκος ομογενούς γρμμικού ελστικού μέσου κι κτά τη θετική φορά. Αν είνι γνωστό ότι: 1) το σημείο Ο περνάει πό τη θέση ισορροπίς του 30 φορές το λεπτό, 2) η ολική ενέργει τλάντωσης της πηγής Ο είνι 2 10-4 J, 3) κάθε στοιχειώδες τμήμ του ελστικού μέσου θεωρείτι υλικό σημείο μάζς m=1 g κι 4) το κύμ φτάνει στο σημείο Σ, που πέχει πό το Ο πόστση 4 m, τη χρονική στιγμή t=2 s, ν υπολογίσετε: ) την περίοδο του κύμτος. β) το πλάτος του κύμτος. γ) την τχύτητ διάδοσης κι το μήκος κύμτος. δ) Ν γράψετε την εξίσωση υτού του κύμτος. Δίνετι π 2 =10. (Θέμ Γ) Άσκηση 10. Εγκάρσιο γρμμικό κύμ που διδίδετι σε έν ομογενές ελστικό μέσον κι κτά την θετική κτεύθυνση έχει εξίσωση y = 4 10-2 ημ(πt-5πx), (S.I.). Η πηγή O δημιουργίς υτού του κύμτος βρίσκετι στη θέση x=0 του άξον x x. Θεωρούμε ότι έν σημείο Σ του ελστικού μέσου βρίσκετι σε πόστση d=0,3 m πό το Ο. ) N υπολογισθούν το πλάτος Α, η περίοδος Τ κι το μήκος λ του κύμτος.
β) Αν η πηγή του κύμτος ρχίζει ν τλντώνετι τη στιγμή t = 0: 1) Ποιά χρονική στιγμή φτάνει το κύμ στο σημείο Σ; 2) Ν βρεθεί η φάση κι η πομάκρυνση του Σ τη στιγμή t 1 = 2 s. γ) N γρφεί η εξίσωση της πομάκρυνσης του σημείου Σ πό τη θέση ισορροπίς του σε συνάρτηση με το χρόνο. δ) Ν βρεθεί η πόστση κτά τη διεύθυνση διάδοσης του κύμτος ενός ελχίστου (κοιλάδς) κι του μεθεπόμενου μεγίστου (όρους). (Θέμ Γ) Άσκηση 11. Εγκάρσιο γρμμικό κύμ που διδίδετι σε έν ελστικό ομογενές μέσον κτά την θετική κτεύθυνση κι έχει εξίσωση: y = 6 10-2 ημ(2πt-10πx), (S.I.). Η πηγή O πργωγής υτού του κύμτος βρίσκετι στη θέση x=0 του ημιάξον Οx κι τη χρονική στιγμή t0 = 0 ξεκινά ν τλντώνετι πό τη θέση ισορροπίς της με θετική τχύτητ. ) N υπολογισθούν το πλάτος Α, η περίοδος Τ, το μήκος λ κι η τχύτητ διάδοσης u του κύμτος. β) N γρφεί η εξίσωση της τχύτητς τλάντωσης κι της φάσης ενός σημείου Σ που πέχει x Σ = 0,4 m πό το Ο σε συνάρτηση με τον χρόνο κι ν γίνουν οι γρφικές τους πρστάσεις. γ) Αν το Σ θεωρηθεί υλικό σημείο με μάζ m = 10-3 Kg ν εκφρστεί η κινητική του ενέργει σε συνάρτηση με το χρόνο. δ) Πόσο πέχουν μετξύ τους δύο σημεί Μ κι Ν που έχουν την ίδι χρονική στιγμή φάσεις φ Μ =2π/3 rad κι φ Ν =π/2 rad; ε) Ν πρστθεί το στιγμιότυπο του κύμτος y=f(x) την χρονική στιγμή t=2,75 s. (Θέμ Δ) Άσκηση 12. Η φάση γρμμικού ρμονικού κύμτος που διδίδετι σε ομογενές ελστικό μέσο με πλάτος 5πx A=0,4 m, δίνετι πό τη σχέση: ϕ= 5πt 3 (S.I). Κάποι χρονική στιγμή t 1 η φάση ενός σημείου Κ με πόστση πό την πηγή x Κ =3,9 m, είνι ίση με 2,5 π rad. ) Ν υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t 1. β) Μέχρι που θ έχει διδοθεί το κύμ εκείνη τη στιγμή;
γ) Αν τ στοιχειώδη τμήμτ του ελστικού μέσου θεωρηθούν υλικά σημεί μάζς m=2 10-3 kg το κθέν, πόση είνι η ολική ενέργει τλάντωσης κθενός πό υτά; δ) Ν πρστθεί το στιγμιότυπο του κύμτος y=f(x) τη χρονική στιγμή t 1 κι ν υπολογίσετε την πευθείς πόστση μετξύ του σημείου Κ κι ενός άλλου σημείου Λ με x Λ =3,6 m τότε. (Θέμ Γ) Άσκηση 13. Μι πηγή Ο ρχίζει ν εκτελεί, τη χρονική στιγμή t=0, πλή ρμονική τλάντωση. Το πργόμενο πό την πηγή γρμμικό ρμονικό κύμ, διδίδετι σε ελστικό ομογενές μέσο, προς τη θετική φορά x x. Τ σημεί του μέσου τλντώνοντι εξιτίς του κύμτος κι έχουν 2 4 t x εξίσωση επιτάχυνσης: = π 10 ηµ 2π 2 4 (S.I.). ) Ν υπολογίσετε τη γωνική συχνότητ του κύμτος. β) Ν βρείτε την μέγιστη τχύτητ τλάντωσης των μορίων του ελστικού μέσου κι την τχύτητ διάδοσης υτού του κύμτος. γ) Πότε θ βρίσκετι γι 1 η φορά στην νώτερη θέση της τλάντωσής του έν σημείο Κ που βρίσκετι σε πόστση x K =10 m πό την πηγή Ο; δ) Ν υπολογίσετε την τχύτητ τλάντωσης ενός άλλου σημείου Λ που βρίσκετι σε πόστση x Λ =13m πό την πηγή Ο, κάποι στιγμή που το Κ θ βρίσκετι στην νώτερη θέση της τλάντωσής του; (Θέμ Δ) Άσκηση 14. Η διπλνή γρφική πράστση νφέρετι στη μετβολή της φάσης φ σε συνάρτηση με το χρόνο ενός σημείου Μ ελστικού μέσου x Μ =18 cm στο οποίο διδίδετι εγκάρσιο ρμονικό φ (rad) κύμ πλάτους Α=10 cm προς τη θετική κτεύθυνση. Το σημείο Μ πέχει πό την πηγή Ο πργωγής κυμάτων πόστση x M =18 cm κι μπορεί ν θεωρηθεί υλικό σημείο μάζς m=2 10-3 kg. H πηγή του π/4 κύμτος βρίσκετι στη θέση x 0 = 0 κι 6 8 t (s) ξεκινά ν τλντώνετι πό τη θέση ισορροπίς τη χρονική στιγμή t 0 = 0 με u > 0. ) Ν υπολογίσετε την περίοδο κι το μήκος του κύμτος. β) Ν γρφεί η εξίσωση του κύμτος.
γ) Ν πρστθεί γρφικά η εξίσωση της πομάκρυνσης του σημείου Μ κθώς κι ενός άλλου σημείου Ν, που βρίσκετι δεξιά του Μ κι πέχει πό υτό πόστση d=λ/2, πό την θέση ισορροπίς τους σε συνάρτηση με το χρόνο σε κοινό διάγρμμ. δ) Ν υπολογίσετε τη δυνμική ενέργει τλάντωσης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t=8 s. (Θέμ Δ) Άσκηση 15. Η διπλνή γρφική πράστση νφέρετι στη μετβολή της φάσης φ σε συνάρτηση με την πόστση x πό την πηγή γρμμικού ρμονικού κύμτος, που διδίδετι σε ομογενές ελστικό μέσο κτά τη θετική κτεύθυνση x x, πλάτους Α=2 cm κάποι χρονική στιγμή t 1. H τχύτητ διάδοσης του κύμτος είνι u=0,5 cm/s. 2π φ (rad) ) Ν υπολογίσετε την περίοδο κι το μήκος του κύμτος. 5 9 x (cm) β) Ν γρφεί η εξίσωση του κύμτος. γ) Ν προσδιοριστεί η χρονική στιγμή t 1. δ) Ν γίνει η γρφική πράστση 1) της τχύτητς τλάντωσης των διφόρων σημείων του ελστικού μέσου σε συνάρτηση με την θέση τους x την χρονική στιγμή t 1 κι 2) της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο γι το σημείο M με x Μ =5 cm. Σημείωση: Η πηγή του κύμτος βρίσκετι στη θέση x 0 =0 κι τη χρονική στιγμή t=0, ξεκινά ν τλντώνετι πό τη θέση ισορροπίς της με θετική τχύτητ. (Θέμ Δ) Άσκηση 16. Οι πρκάτω γρφικές πρστάσεις νφέροντι στην τλάντωση δύο σημείων Α κι Β ενός ομογενούς γρμμικού ελστικού μέσου στο οποίο διδίδετι εγκάρσιο ρμονικό κύμ προς τη θετική κτεύθυνση με τχύτητ u=2 m/s.
) Ν υπολογίσετε το πλάτος Α του κύμτος β) Ν προσδιορίσετε τις θέσεις x A κι x B των σημείων Α κι Β. γ) Ν βρείτε το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του σημείου Α. δ) Ποι είνι η φάση του σημείου Α την χρονική στιγμή t1=12 s; Δίνετι: π 2 =10. Η πηγή του κύμτος βρίσκετι στην θέση x 0 =0 κι την χρονική στιγμή t = 0 ξεκινά ν τλντώνετι πό τη θέση ισορροπίς της με θετική τχύτητ. (Θέμ Γ) Άσκηση 17. Γρμμικό ρμονικό εγκάρσιο κύμ με πλάτος Α=4 10-3 m κι περίοδο Τ=2 s, διδίδετι σε ομογενές ελστικό μέσο με τχύτητ u=2 cm/s. Η πηγή πργωγής υτού του κύμτος βρίσκετι στη θέση x=0, ρχή του ημιάξον Ox κι τη χρονική στιγμή t = 0 ξεκινά ν τλντώνετι πό τη θέση ισορροπίς της με στθερή τχύτητ. Κάθε μόριο του ελστικού μέσου μπορεί ν θεωρηθεί υλικό σημείο μάζς m=1 10-3 kg. ) Ν γράψετε την εξίσωση υτού του κύμτος. β) Ν υπολογίσετε τη φάση του σημείου Σ που βρίσκετι στη θέση x Σ =3 cm την στιγμή t 1 =4,5 s. γ) Ν σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύμτος την χρονική στιγμή t 1 κθώς κι τη χρονική στιγμή t 2 =t 1 +T/4. δ) Ν σχεδιάσετε τη γρφική πράστση της κινητικής ενέργεις των διφόρων σημείων του ελστικού μέσου τη χρονική στιγμή t 1 σε συνάρτηση με την πόστσή τους x πό το σημείο O τη χρονική στιγμή t 1. (Θέμ Δ) Άσκηση 18. Στο πρκάτω διάγρμμ φίνετι η γρφική πράστση της δυνμικής ενέργεις τλάντωσης ενός μορίου K ενός ομογενούς ελστικού μέσου στο οποίο διδίδετι γρμμικό ρμονικό εγκάρσιο κύμ σε συνάρτηση με το χρόνο. Η τχύτητ διάδοσης του κύμτος είνι
u=2 m/s κι έχει μηδενική ρχική φάση. Κάθε μικρό τμήμ του σχοινιού μπορεί ν θεωρηθεί υλικό σημείο μάζς m=2 10-3 kg. ) Πόσο πέχει πό την πηγή του κύμτος το σημείο Κ στο οποίο νφέρετι η πρπάνω γρφική πράστση; β) Ν βρείτε το πλάτος κι το μήκος κύμτος υτού του κύμτος. γ) Ν γράψετε την εξίσωση του κύμτος. δ) Ν κάνετε τη γρφική πράστση της δυνμικής ενέργεις τλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο κι γι έν άλλο μόριο Μ του ελστικού μέσου που βρίσκετι στη θέση x=16 m. Ν θεωρήσετε: π 2 10. (Θέμ Δ)