ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

Transcript

1 ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - -

2 Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες σελίδες έγινε προσπάθει γι την - όσο το δυντό, πιο - προσεκτική επιλογή κι τξινόμηση των ερωτήσεων ξιολόγησης κι των σκήσεων νάπτυξης του Κ.Ε.Ε., γι την κλύτερη κτνόηση των βσικών εννοιών της εξετστές ύλης. Τ θέμτ ξιολόγησης κι κτνόησης της θεωρίς, συμπληρώνοντι πό επιλεγμέν θέμτ Πνελλδικών κι Πνελληνίων εξετάσεων (κτευθύνσεων κι δεσμών) πλιοτέρων ετών, κθώς κι πό επνληπτικά προτεινόμεν θέμτ σε όλη την εξετστέ ύλη, που ντλήθηκν πό την υπάρχουσ βιβλιογρφί. Ελπίζουμε η προσπάθειά μς, ν ποτελέσει έν χρήσιμο βοήθημ στ χέρι των συνδέλφων κι των μθητών μς, στους οποίους ευχόμστε κάθε επιτυχί στις επερχόμενες εξετάσεις. Ευστάθιος Π. Μυργάνης Κθηγητής ΠΕ-3 ΓΕ ιβντών Βσίλης Θ. Κργεώργος Κθηγητής ΠΕ-3 ΓΕ Μλεσίνς Μάης 5 - -

3 Α. Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». Αν z = + βi,, β R κι z =, τότε = κι β =.. Αν z = + βi κι β, τότε = i. z β 3. Αν z = κ + λi, κ, λ R, τότε Re (z) = κ. 4. Αν z = + ( - ) i κι Ιm (z) =, τότε =. 5. Αν z, z C με Re (z + z ) =, τότε Re (z ) + Re (z ) =. 6. Οι εικόνες των φντστικών ριθμών στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι πάνω στον άξον. 7. Αν i = - τότε i 3 = i. 8. Οι εικόνες των ντίθετων μιγδικών ριθμών στο μιγδικό επίπεδο είνι σημεί συμμετρικά ως προς τον άξον. 9. Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ορίζετι z =.. Αν Μ, Μ είνι οι εικόνες των μιγδικών z κι z ντιστοίχως στο μιγδικό επίπεδο κι ο άξονς είνι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήμτος Μ Μ, τότε είνι z = z.. Αν z = + βi, z C, κι z + z =, τότε z = z.. Αν Re (z) = τότε οι εικόνες των μιγδικών z στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι πάνω στην ευθεί =. 3. Αν Ιm (z + i) = 8 τότε οι εικόνες των μιγδικών z στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι στην ευθεί = Η εξίσωση - + λ =, λ R, μπορεί ν έχει ρίζες τους μιγδικούς + i κι - i. 5. Αν η εξίσωση + β + γ =,,, β, γ R έχει ρίζ τον + i, θ έχει κι 5 τον i 6. Η εξίσωση + β + γ =,, β, γ, R * έχει πάντοτε λύση στο C. 7. Αν Re (z z ) = τότε ισχύει πάντ Re (z ) Re (z ) =. 8. Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει - z = z. 9. Γι κάθε z, z C ισχύει z z = z + z.. Η εξίσωση z - z = z - z, z C, πριστάνει στο μιγδικό επίπεδο τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήμτος που έχει άκρ τ σημεί Α (z ) κι B (z ).. Η εξίσωση z - z = z - z με άγνωστο το z C κι z, z C έχει μόνο μι λύση.. Η εξίσωση z - z = ρ, ρ > πριστάνει στο μιγδικό επίπεδο κύκλο με κέντρο Κ (z ) κι κτίν ρ

4 3. Αν ένς μιγδικός ριθμός πολλπλσιστεί επί i τότε η δινυσμτική του κτίν π στρέφετι κτά γωνί. 4. Η εξίσωση z 5 = 3 έχει πέντε ρίζες, των οποίων οι εικόνες στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι σε κύκλο με κέντρο το Ο (ρχή των ξόνων) κι κτίν. 5. Η εξίσωση z 3 + i = έχει μονδική ρίζ τον z = i. 6. Αν η εξίσωση 3 + β + γ + δ =,, έχει πργμτικούς συντελεστές, τότε υτή έχει οπωσδήποτε μι πργμτική ρίζ. 7. Υπάρχει εξίσωση με πργμτικούς συντελεστές ου βθμού που έχει ρίζες τους ριθμούς + i κι + i. 8. το μιγδικό επίπεδο η εικόν του μιγδικού ριθμού + 3i είνι εσωτερικό σημείο του κύκλου z = Όλ τ σημεί της ευθείς = στο μιγδικό επίπεδο είνι εικόνες των μιγδικών ριθμών z = + i με R. 3. το μιγδικό επίπεδο του διπλνού σχήμτος η εξίσωση του κύκλου είνι z - = Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής. Η ισότητ + ( - ) i = 3 + 4i ισχύει ν κι μόνο ν Α. =3 ή =5 Β. =3 κι = 4 Γ. =3 ή =4 Δ. =3 κι =5 Ε. + = 7. Αν i = - κι (i ) 3 κ =, τότε η μικρότερη τιμή του θετικού κερίου κ είνι Α. Β. 3 Γ. 6 Δ. Ε Η εικόν κάθε φντστικού ριθμού στο μιγδικό επίπεδο κινείτι στην ευθεί με εξίσωση: Α. = Β. = - Γ. = Δ. = Ε. σε κμί πό τις προηγούμενες. 4. Οι εικόνες των μιγδικών + 3i κι 3 + i στο μιγδικό επίπεδο έχουν άξον συμμετρίς την ευθεί Α. = Β. = 3 Γ. = Δ. = - Ε. = 5. Αν η δινυσμτική κτίν του μιγδικού ριθμού z στο μιγδικό επίπεδο έχει φορέ τη διχοτόμο της ης κι 4ης γωνίς των ξόνων του μιγδικού επιπέδου, τότε ο z μπορεί ν είνι ο Α. + i Β. - + i Γ. + i Δ. - - i Ε. - - i 6. Αν η εικόν του μιγδικού z στο μιγδικό επίπεδο είνι σημείο της ευθείς =, τότε ο z δεν μπορεί ν είνι ο Α. Β. - i Γ. 5-3i Δ. i Ε. + i

5 7. Αν η εικόν του μιγδικού w = ( + ) + ( - ) i,, R, στο μιγδικό επίπεδο είνι η ρχή των ξόνων, τότε ο z = + i ισούτι με Α. - i Β. + i Γ. - - i Δ. - + i E. + i 8. Αν ν Ν, πό τις πρκάτω ισότητες δεν είνι σωστή η Α. i 4ν = Β. i 4ν+ = - i Γ. i 4ν+ = - Δ. i ν+4 = i ν Ε. i 4ν+3 = - i 9. Αν z = + βi με β κι z ο συζυγής του ποι πό τις πρκάτω προτάσεις δεν είνι σωστή; Α. z + z πργμτικός ριθμός Β. z - z φντστικός ριθμός Γ. z z φντστικός ριθμός Δ. - z z πργμτικός ριθμός Ε. z z πργμτικός ριθμός. το μιγδικό επίπεδο, οι εικόνες δύο συζυγών μιγδικών ριθμών είνι σημεί συμμετρικά Α. ως προς τον άξον Β. ως προς τον άξον Γ. ως προς την ευθεί = Δ. ως προς την ευθεί = - Ε. ως προς την ρχή των ξόνων. Η εξίσωση z - 6z + λ =, λ R, μπορεί ν έχει ρίζ τον ριθμό Α. i Β. - i Γ. + i Δ. - i Ε. 3 + i. Η εξίσωση =, R μπορεί ν έχει ρίζ τον Α i Β. - i Γ. - i Δ. 3 - i Ε i 3. Αν η εξίσωση z - κz + λ =, κ, λ Ζ έχει ρίζ τον + i τότε ισχύει Α. κ = 6 κι λ = 5 Β. κ = 4 κι λ = Γ. κ = 3 κι λ = 4 Δ. κ = 4 κι λ = 5 Ε. κ = 5 κι λ = 4 4. Αν z = + i ποι πό τις πρκάτω ισότητες δεν είνι πάντ σωστή; Α. z = z Β. z = - z Γ. z = z Δ. z = +(-) Ε. z = z 5. Αν z = 3 κι z = 4 + 3i τότε η μεγλύτερη τιμή του z z είνι Α. 5 Β. 8 Γ. 9 Δ. Ε Αν z = κι - z = 5 τότε η ελάχιστη τιμή του z z είνι Α. B. 3 Γ. 5 Δ. 7 E. 7. Αν z = 3 + i κι z = 5, τότε μι τιμή του είνι η Α. 5 B. 5 Γ. - 4 Δ. 3 E Αν οι εικόνες δύο μη μηδενικών μιγδικών ριθμών z κι z στο μιγδικό επίπεδο είνι στο ίδιο τετρτημόριο, ποι πό τις πρκάτω σχέσεις μπορεί ν ισχύει; Α. z = - z B. z = z Γ. z = - z Δ. Ιm (z ) + Im (z ) = E. κνέν πό τ πρπάνω 9. Αν το σημείο Ρ (, ) είνι εικόν του μιγδικού z = + i στο μιγδικό επίπεδο γι τον οποίο ισχύει z - 3 = 5, τότε το Ρ βρίσκετι πάνω σε Α. ευθεί B. έλλειψη Γ. κύκλο Δ. πρβολή E. υπερβολή. Η εξίσωση z - ( i) = 4 πριστάνει στο μιγδικό επίπεδο κύκλο με Α. κέντρο (-, ) κι κτίν 4 B. κέντρο (, - ) κι κτίν Γ. κέντρο (, - ) κι κτίν 4 Δ. κέντρο (, ) κι κτίν E. κέντρο (, ) κι κτίν 4-5 -

6 . Θεωρούμε στο μιγδικό επίπεδο τον κύκλο με κέντρο το Ο (ρχή των ξόνων) κι κτίν. Από τους πρκάτω ριθμούς έχει εικόν πάνω στον κύκλο ο μιγδικός ριθμός Α. z = + 3i B. z = 3 + i 7 Γ. z = - i 8 Δ. z = 8 + 6i E. z = +i 8. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού ριθμού z στο μιγδικό επίπεδο γι τον οποίο ισχύει z - = z - i είνι Α. ο άξονς B. η ευθεί = Γ. ο άξονς Δ. η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήμτος με άκρ τ σημεί (, ) κι (, ) E. η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήμτος με άκρ τ σημεί (, ) κι (, ) 3. το μιγδικό επίπεδο ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (, ) κι κτίν 3 είνι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού z γι τον οποίο ισχύει Α. z - ( - i) = 3 B. z - ( i) = 3 Γ. z - ( i) = 9 Δ. z - ( i) = 3 E. z ( i) = 3 4. Οι μιγδικοί ριθμοί z που οι εικόνες τους στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι στο γρμμοσκισμένο τμήμ του σχήμτος είνι υτοί γι τους οποίους ισχύει Α. z < κι z i < B. z < κι z i < Γ. z > κι z i > Δ. z < κι z i < Ε. z < κι z i < 5. Οι μιγδικοί ριθμοί z που οι εικόνες τους στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι στο γρμμοσκισμένο τμήμ του σχήμ τος είνι υτοί γι τους οποίους ισχύει Α. z < κι z 3 < B. z < κι z 3 > Γ. z < κι z 3 > Δ. z < κι z 3 > 3 4 Ε. z > κι z 3 < 6. Αν η εξίσωση z = z κi επληθεύετι πό τους μιγδικούς ριθμούς που η εικόν τους στο μιγδικό επίπεδο βρίσκετι στην ευθεί =, ο πργμτικός ριθμός κ ισούτι με Α. B. - Γ. Δ. - E Αν οι εικόνες των μιγδικών z, z, z 3 στο μιγδικό επίπεδο δεν βρίσκοντι στην ίδι ευθεί, τότε το πλήθος των λύσεων του συστήμτος z z = z z = z z 3 με άγνωστο τον z είνι Α. B. 3 Γ. Δ. 4 Ε. 8. Αν z = συνθ + iημθ τότε ο z ισούτι με Α. συνθ + i ημθ B. συν θ + iημ θ Γ. - συνθ - iημθ Δ. συν (- θ) + iημ (- θ) E. - συνθ + iημθ - 6 -

7 9. Αν Α, Β είνι οι εικόνες στο μιγδικό επίπεδο των μιγδικών z κι iz ντιστοίχως τότε οι δινυσμτικές κτίνες τους σχημτίζουν γωνί 3π Α. B. π 3 5π Γ. π Δ Αν z = συν 4 π + iημ 4 π, ο z ισούτι με Α. + i B. Γ. - Δ. E. - i 3. Αν το Ρ() είνι πολυώνυμο τουλάχιστον ου βθμού με πργμτικούς συντελεστές κι η εξίσωση P () = έχει ρίζ τον ριθμό - i, θ έχει οπωσδήποτε κι τον Α. + i B. Γ. + i 33 Δ. E. - i 4 i - i 3. Αν η εξίσωση 3 + κ + λ =, κ, λ R, έχει ως λύση την = + 5i, τότε ποκλείετι ν έχει λύση την Α. = 5 B. = - 5i Γ. = Δ. = + i E. = Αν οι ριθμοί +i, 3-5i, -+3i, +7i είνι ρίζες του πολυωνύμου f () = ν ν + ν- ν- + ν- ν , ν, ν Ν *, με πργμτικούς συντελεστές. E. π Γι το ν ισχύει Α. ν = 4 B. ν = 6 Γ. 4 < ν < 8 Δ. ν 8 E. 6 ν < 8 Ερωτήσεις ντιστοίχισης. Αν z = + βi, ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε κάθε πράστση της στήλης Α ν ντιστοιχεί στην ίση της που βρίσκετι στη στήλη Β. τήλη Α Α. z Β. z + z Γ. z - z Δ. z z τήλη Β.. + β 3. + βi 4. - βi 5. βi 6. + i Α Β Γ Δ - 7 -

8 . Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε σε κάθε σχέση της στήλης Α ν ντιστοιχεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z που βρίσκετι στη στήλη Β. τήλη Α σχέση που ικνοποιεί ο μιγδικός ριθμός z Α. το πργμτικό μέρος του z είνι Β. το πργμτικό μέρος του z είνι ίσο με το φντστικό μέρος του Γ. το πργμτικό μέρος του z είνι ντίθετο του φντστικού μέρους του τήλη Β γεωμετρική περιγρφή των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο. ο άξονς. η ευθεί = 3. η ευθεί = - 4. η ευθεί = 5. η ευθεί = - Α Β Γ 3. Αν η εικόν του μιγδικού ριθμού z στο μιγδικό επίπεδο είνι το σημείο Μ (, ), ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε κάθε μιγδικός ριθμός της στήλης Α ν ντιστοιχεί στην εικόν του που βρίσκετι στη στήλη Β. τήλη Α μιγδικός ριθμός τήλη Β σημείο στο μιγδικό επίπεδο Α. z. (-, ). ( 5, ) Β. - z 3. (, 5 4 ) Γ. iz 4. (-, ) 5. ( 5, 5 4 ) Α Β Γ - 8 -

9 4. Αν z = i, ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε κάθε στοιχείο της στήλης Α ν ντιστοιχεί στο ίσο του που βρίσκετι στη στήλη Β. τήλη Α Α. z. τήλη Β Β. - z. 3. Γ. (z) - z Α Β Γ 5. Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο της στήλης Α ν ντιστοιχεί στη σχέση που βρίσκετι στη στήλη Β. τήλη Α γεωμετρική περιγρφή των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο τήλη Β σχέση που ικνοποιεί ο μιγδικός ριθμός z Α. κύκλος κέντρου Κ (, ) κι κτίνς 3 Β. μεσοκάθετος του τμήμτος με άκρ τ σημεί (, ), (, - ) Γ. κύκλος κέντρου Ο (, ) κι κτίνς 3. z i = 3. z = 3 3. z i = 3 4. z = z i 5. z = z i Α Β Γ - 9 -

10 6. τ σχήμτ της στήλης Α φίνοντι τόξ κύκλων στ οποί βρίσκετι η εικόν του μιγδικού ριθμού z στο μιγδικό επίπεδο. Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε σε κάθε σχήμ της στήλης Α ν ντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. τήλη Α τήλη Β M(z). z =, Im (z) κι Α. 4 Re (z) M(z). z - = κι Im (z) Β z = κι Re (z) Γ. 4 M(z) 4. z = κι Re (z) < Α Β Γ - -

11 Ερωτήσεις νάπτυξης. Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς κι ώστε ν ισχύουν οι ισότητες: ) 4-3i - = - 5i + 9i β) ( + ) i + = - i - 3. Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z = - - 9i κι w = - i,, R. ) Ν βρείτε τους, ώστε z = w. β) Ν βρείτε τον z. 3. Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z = ( + i) + ( - ) i - 5,, R. ) Ν τον γράψετε στη μορφή + βi. β) Ν γράψετε τον z συνρτήσει του, ν Im (z) =. γ) Ν βρείτε τη σχέση που συνδέει τ κι, ν Re (z) = Im (z). 4. Δίνοντι οι μιγδικοί z = + i, z = + i, z3 = + i, z4 = + i, Ν βρείτε το άθροισμ των πείρων όρων w = z + z + z 3 + z 4 + z Ν βρεθούν οι πργμτικοί ριθμοί, β ώστε ν ισχύει: ( + βi) = 6. Ν υπολογιστεί το R ώστε ν ισχύει: + i = i. - i 5i. i 7. ) Ν βρείτε τους μιγδικούς ριθμούς που επληθεύουν την ισότητ z z + (z - z ) = 3 + i. β) Ν βρεθεί ο μιγδικός ριθμός που ικνοποιεί την ισότητ z = z. 8. Αν z φντστικός ριθμός με z - i ν ποδείξετε ότι ο ριθμός ω = ριθμός. z 3 - i z i i 9. Γι τις διάφορες τιμές του ν Ν ν βρεθεί η τιμή της πράστσης f (ν) =. i. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν Ν ισχύει ( + i) ν = ( - i) ν.. ) Ν δείξετε ότι κάθε πργμτικός ριθμός είνι ίσος με το συζυγή του κι ντιστρόφως. β) Ν δείξετε ότι ν u = z z i κι ur, τότε ο z είνι φντστικός ριθμός. είνι ρνητικός πργμτικός γ) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο, ώστε ο ριθμός w = ν z i z ν είνι πργμτικός κι στη συνέχει ν βρείτε το ελάχιστο z κι τον ντίστοιχο μιγδικό z, που το προυσιάζει.. Δίνετι ο μιγδικός ριθμός ω. ) Ν δειχθεί ότι ν ω φντστικός ριθμός, τότε ω = - ω κι ντιστρόφως. β) Ν δείξετε ότι ν ο ριθμός ω = z -, z -, είνι φντστικός, τότε z =. z 3. Η εξίσωση z + z + β =,, β R έχει ρίζ τον μιγδικό ριθμό - i. ) Ν βρείτε την άλλη ρίζ. β) Ν βρείτε τ κι β. 4. Ν βρείτε τους μιγδικούς z = + i,, R, γι τους οποίους ισχύει: z + z + =. 5. Αν η εικόν του z = λ + (λ - ) i στο μιγδικό επίπεδο βρίσκετι στην ευθεί =4+, ν βρεθεί ο λr. 6. Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z = + i,, R κι w = z 8i. z 6

12 ) Ν γράψετε στη μορφή + βi τον μιγδικό w. β) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο, ν Im (w) =. γ) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο, ν Re (w) =. δ) Ν βρείτε τη μέγιστη τιμή του z, ν Re (w) = κι τoν z, που το προυσιάζει. 7. Ν συμπληρώσετε το διπλνό σχήμ με το σημείο Μ (z) κι στη συνέχει ν βρείτε τ σημεί Μ ( z ), Μ 3 (-z), Μ 4 (- z ) κι το εμβδόν του τετρπλεύρου Μ Μ Μ 3 Μ 4. M(z) Ο μιγδικός z = + i ν νλυθεί σε άθροισμ δύο μιγδικών z, z που οι εικόνες τους βρίσκοντι ντίστοιχ στις ευθείες = - κι = -. i 9. Ν βρεθεί το μέτρο των μιγδικών ριθμών: ) z = β) z = i - 3i 3. Ν βρεθεί ο μιγδικός ριθμός z που ικνοποιεί την ισότητ: z + z = + i.. Αν z C κι z 9 = 3 z, ποδείξτε ότι z = 3. ν 5, ν Ν.. Ν βρείτε τους μιγδικούς ριθμούς z γι τους οποίους ισχύει: z = = z - κι στη συνέχει ν z ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις. 3. Ν λυθεί στο C η εξίσωση: z + z + i =. 4. Αν γι το μιγδικό ριθμό z ισχύει: - z > z, δείξτε ότι Re (z) <. 5. Ν ποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγδικών z στο μιγδικό επίπεδο που ικνοποιούν τη σχέση z - = z - 4 βρίσκοντι σε κύκλο κέντρου Ο (, ) κι κτίνς. 6. Ο μιγδικός z ικνοποιεί τις σχέσεις: - Re (z) (), Im (z) () κι z (3). Ν γρμμοσκιάσετε στο μιγδικό επίπεδο το χωρίο που ντιπροσωπεύει το σύνολο των εικόνων του z κι ν βρείτε το εμβδόν του. 7. Ν βρεθεί στο μιγδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού z γι τον οποίο ισχύει: ) z - i = 3 β) z -- i < 4 γ) < z - i < 8. Ο κύκλος του διπλνού σχήμτος εφάπτετι του άξον των τετμημένων κι είνι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού ριθμού z = + i,,r στο μιγδικό επίπεδο. Από τις πρκάτω εξισώσεις, ν επιλέξετε δύο που τον ντιπροσωπεύουν: i) ( - 3) + ( - ) = 9 ii) 3 + = 4 iii) z - 3 i = 4 iv) = v) z i = κι ν δικιολογήσετε την επιλογή σς. K

13 9. το διπλνό σχήμ η μεσοκάθετος (ε) του ευθυγράμμου τμήμτος ΑΒ είνι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού ριθμού z = + i,, R στο μιγδικό επίπεδο. Από τις πρκάτω εξισώσεις, ν επιλέξετε τρεις που τον ντιπροσωπεύουν: i) - i = + 4 ii) z - i = z - 4 iii) z - - z - 4 = Α (ε) Μ Β iv) = 4 - v) Re (z) = Im (z) vi) 8Re (z) = 5 + Im (z) κι ν δικιολογήσετε την επιλογή σς. 3. το διπλνό σχήμ το ΟΑΒΓ είνι τετράγωνο. Αν Α, Β κι Γ είνι οι εικόνες των μιγδικών z = 3 + 4i, z = + i κι z 3 = κ + λi ντιστοίχως στο μιγδικό επίπεδο: ) Ν δειχθεί ότι 3κ + 4λ =. β) Ν βρεθούν οι z κι z Α 3 4 Β Γ 3. Ν λυθούν στο σύνολο C οι εξισώσεις: ) (z - ) + = β) (z - ) 3 = γ) (z - ) 4 + = 3. Ν δείξετε ότι γι κάθε κέριο ν ισχύει: 3ν 3 - i =. 33. Εστω OA η δινυσμτική κτίν του μιγδικού z κι OB η δινυσμτική κτίν του z = z w, όπου w = + i. 3 ) Ν δείξετε ότι w 3 = -. β) Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είνι ισόπλευρο. γ) Ν δείξετε ότι z 3 = - z 3 κι z + z = z z. 34. Αν w είνι μι μη πργμτική ρίζ της εξίσωσης w 3 =, ν δείξετε ότι: ) + w + w = β) w = w γ) ( + w) 3 = - δ) ( + w ) = w ε) ( - w) ( - w ) ( - w 4 ) ( - w 5 ) = 9 στ) ( + w w + w + w ) ( w + w ) 3 = 8 ζ) ( + w) ν+ + ( w ) ν+4 = - 3 -

14 35. ) Ν πργοντοποιήσετε το πολυώνυμο Ρ (z) = z 3-3z + 4z -. β) Ν πρστήσετε στο μιγδικό επίπεδο τ σημεί που είνι εικόνες των ριζών του. γ) Τι είδους τρίγωνο σχημτίζουν οι εικόνες των ριζών; Ν βρείτε το εμβδόν του. 36. Αν οι συντελεστές του πολυωνύμου f () = 3 + β + γ + δ είνι πργμτικοί ριθμοί κι το - i είνι πράγοντάς του, ν ποδείξετε ότι το + είνι πράγοντς του f (). τη συνέχει ν προσδιορίσετε τ, β, γ, δ γνωρίζοντς κόμ ότι f () = κι f () =. 37. Δίνετι η εξίσωση z 3 + 3z + 3z - 7 =. Ν ποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της στο μιγδικό επίπεδο είνι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. 38. Δίνετι η εξίσωση z + βz + γ =, z C, με ρίζες τους συζυγείς μιγδικούς ριθμούς z κι z. Ν ποδείξετε ότι: ) οι ριθμοί β κι γ είνι πργμτικοί β) η εξίσωση z + βz - γ = έχει ρίζες πργμτικές. 39. Αν Ρ (z) = z 3 + z + 4z + 8 =, τότε ν λύσετε την εξίσωση Ρ (z) = κι ν βρείτε την εξίσωση του κύκλου που περνάει πό τις εικόνες των τριών ριζών του Ρ (z). 4. Δίνετι η εξίσωση z - = z - 3i, z C. ) Ν δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο είνι η μεσοκάθετος (ε) του ευθυγράμμου τμήμτος ΑΒ με άκρ Α (, ) κι Β (, 3), με εξίσωση (ε): =. β) Ν βρεθεί το ελάχιστο z. γ) Ν γίνει η γρφική πράστση της (ε) κι ν βρεθεί η εικόν του z, ώστε το z ν είνι ελάχιστο. 4. Αν z μιγδικός κι f (ν) = i ν z, ν Ν * τότε ν δειχθεί ότι f (4λ) + f (4λ + ) + f (4λ + ) + f (4λ + 3) =, λ Ν *. 4. Αν z μιγδικός ριθμός με Re =, τότε: z 4 ) Ν δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z, είνι ο κύκλος με εξίσωση z - =. β) Ν δειχθεί ό,τι ν ισχύει Im (z) =, τότε Re (z) = + 3 ή Re (z) = - 3. γ) Ν βρεθεί η ελάχιστη κι η μέγιστη τιμή του z 4i. δ) Αν οι εικόνες των z,z κινούντι στον κύκλο z - =, ώστε z z 4, τότε ν βρεθεί το z z. 43. Έστω οι μιγδικοί ριθμοί z κι w με z 3i, οι οποίοι ικνοποιούν τις σχέσεις: z -3i + z + 3i = κι w z 3i z 3i. ) Ν βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών ριθμών z. β) Ν ποδείξετε ότι z 3i z 3i. γ) Ν ποδείξετε ότι ο w είνι πργμτικός ριθμός κι ότι ισχύει w. δ) Ν ποδείξετε ότι: z w z

15 44. Γι τους μιγδικούς z κι w ισχύουν ντιστοίχως z z + i (z - z) = κι w 3 i = w 4i. Ν δειχθεί ότι: ) ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο είνι κύκλος C με κέντρο Κ (, ) κι κτίν ρ =. β) το σύνολο των σημείων των εικόνων του w στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι στην ευθεί με εξίσωση = +. γ) η ευθεί (ε) του ερωτήμτος (β) τέμνει τον κύκλο C του ερωτήμτος () σε δύο σημεί ντιδιμετρικά. δ) ν t, t είνι οι μιγδικοί που οι εικόνες τους στο μιγδικό επίπεδο είνι οι τομές των (ε) κι 3ν ν C, τότε ισχύει: t + t = 3ν+. t t 45. Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z κι w γι τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: z - + z + = 4 () κι w 5 w = () ) Ν ποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών ριθμών z στο επίπεδο είνι κύκλος με κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ρ =. β) Αν z, z είνι δύο πό τους πρπάνω μιγδικούς ριθμούς z με z -z =, τότε ν βρείτε το z + z. γ) Ν ποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών ριθμών w στο επίπεδο είνι η έλλειψη με εξίσωση κι στη συνέχει ν βρείτε τη μέγιστη κι την ελάχιστη τιμή του w. 9 4 δ) Γι τους μιγδικούς ριθμούς z,w που επληθεύουν τις σχέσεις () κι () ν δείξετε ότι: z-w Δίνοντι οι μιγδικοί z, με z -, ώστε ο ριθμός z - w= ν είνι φντστικός. Ν δείξετε ότι: z + ) z = β) O ριθμός z - z 4 είνι πργμτικός. γ) Ισχύει + z+ z 4 όπου z, z δύο πό τους πρπάνω μιγδικούς ριθμούς. z z δ) Οι εικόνες των μιγδικών ριθμών u, γι τους οποίους ισχύει i uui= - -w, w νήκουν στην w ισοσκελή υπερβολή - =. 47. Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z,z,z με 3 z z z3 κι z z z3 ) Ν ποδείξετε ότι: i. zz z3z z z. 3 ii. z z 4 κι Re(z z ). β) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z,z,z στο μιγδικό επίπεδο, κθώς κι το είδος 3 του τριγώνου που υτές σχημτίζουν. 48. Έστω ότι οι μιγδικοί ριθμοί z, z είνι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βθμού με πργμτικούς συντελεστές γι τις οποίες ισχύουν z + z = κι z z = 5. ) Ν βρείτε τους μιγδικούς ριθμούς z, z. β) Αν γι τους μιγδικούς ριθμούς w ισχύει η σχέση w z + w z = z z, ν ποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγδικό επίπεδο είνι ο κύκλος με εξίσωση (+) + =

16 γ) Από τους μιγδικούς ριθμούς w του ερωτήμτος (β) ν βρείτε εκείνους γι τους οποίους ισχύει Re(w) + Im(w) =. δ) Αν w, w είνι δύο πό τους μιγδικούς w του ερωτήμτος (β) με την ιδιότητ w w = 4, ν ποδείξετε ότι w + w =. 49. Δίνοντι οι μιγδικοί z = +βi κι z z, όπου,β IR με β, ώστε (z z ) IR. z ) Ν ποδείξετε ότι z z =. β) Ν προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο. γ) Αν ο ριθμός z είνι φντστικός κι β >, ν υπολογίσετε το z κι ν δείξετε ότι z i z i. 5. Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z, γι τους οποίους ισχύει: (z )(z ) z. ) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών z κι ν ποδείξετε ότι z 3. β) Αν οι μιγδικοί ριθμοί z, z που οι εικόνες τους νήκουν στον πρπάνω γεωμετρικό τόπο είνι ρίζες της εξίσωσης w + βw + γ =, με w μιγδικό ριθμό, β,γ IR, κι Im (z ) Im(z ) =, τότε ν ποδείξετε ότι: β = 4 κι γ = 5. γ) Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς,, που νήκουν στο γεωμετρικό τόπο του ερωτήμτος (). Αν ο μιγδικός ριθμός v, ικνοποιεί τη σχέση: v 3 + v + v + =, τότε ν ποδείξετε ότι: v <

17 Β. Α Ν Α Υ Η Ι. ΥΝΑΡΤΗΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». Αν Α = Ν - {, }, τότε η ντιστοιχί f : Α {, } με, ν το είνι πρώτος ριθμός f () = είνι συνάρτηση., ν το είνι σύνθετος ριθμός. Γι τη συνάρτηση f () = ln, >, ισχύει f () = f () + f () γι κάθε, >. 3. Γι τη συνάρτηση f () = e, R, ισχύει f ( + ) = f () f () γι κάθε, R. 4. Η γρφική πράστση της συνάρτησης f βρίσκετι κάτω πό τον άξον. 5. Δίνετι η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξον μπορούν ν βρεθούν, ν θέσουμε όπου = κι λύσουμε την εξίσωση. 6. Δύο συνρτήσεις f, g είνι ίσες, ν υπάρχουν κάποι R, ώστε ν ισχύει f () = g (). 7. Γι ν ορίζοντι το άθροισμ κι το γινόμενο δύο συνρτήσεων f κι g θ πρέπει τ πεδί ορισμού τους ν έχουν κοινά στοιχεί. 8. Αν η συνάρτηση f είνι -, οι συνρτήσεις g, h έχουν πεδίο ορισμού το R κι ισχύει f (g()) = f (h()) γι κάθε R, τότε οι συνρτήσεις g κι h είνι ίσες. 9. Η συνάρτηση f () =,, είνι στθερή.. Αν το σύνολο τιμών της f είνι το διάστημ (, β), τότε η f δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο.. Μι συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R, είνι γνησίως ύξουσ κι έχει σύνολο τιμών το (, + ). Τότε η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ στο R. f. Δίνετι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού έν διάστημ Δ. Αν ο λόγος - είνι θετικός γι κάθε, Δ, με, τότε η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο Δ. 3. Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ σ έν διάστημ Δ, τότε η συνάρτηση (- f) είνι γνησίως φθίνουσ στο Δ. f ( ) - f ( ) 4. Η συνάρτηση f () = είνι γνησίως φθίνουσ στο σύνολο (-, ) (, + ). 5. Αν μι περιττή συνάρτηση f προυσιάζει μέγιστο στο σημείο, τότε θ προυσιάζει ελάχιστο στο σημείο

18 6. Αν μι άρτι συνάρτηση f προυσιάζει κρόττο στο σημείο, τότε προυσιάζει το ίδιο είδος κροτάτου στο σημείο Αν μι συνάρτηση f είνι άρτι, τότε μπορεί ν είνι Αν μι συνάρτηση f είνι -, τότε είνι πάντοτε περιττή. 9. Η συνάρτηση f () = ν, ν Ν * είνι: i) άρτι, ν ο ν είνι άρτιος ii) περιττή, ν ο ν είνι περιττός.. Αν η συνάρτηση f είνι -, τότε ισχύουν: i) f (f - ()) = γι κάθε που νήκει στο σύνολο τιμών της f ii) f - (f ()) = γι κάθε D f.. Έστω η συνάρτηση f () =, [, + ). Τότε κάθε κοινό σημείο των γρφικών πρστάσεων των C f κι C - f νήκει στην ευθεί =.. Αν μι συνάρτηση είνι άρτι, τότε υπάρχει η ντίστροφή της. 3. Αν οι συνρτήσεις f κι g έχουν πεδίο ορισμού το R τότε ισχύει πάντ fog = gof. 4. Δίνετι μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R κι μι συνάρτηση I, γι την οποί ισχύει Ι () =, γι κάθε R. Τότε ισχύει (Iof) () = (foi) (), γι κάθε R. 5. Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι γνησίως μονότονες στο R, τότε η συνάρτηση gof είνι: i) γνησίως ύξουσ, ν οι f, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίς ii) γνησίως φθίνουσ, ν οι f, g έχουν διφορετικό είδος μονοτονίς. 6. Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο Δ με f () < γι κάθε Δ, τότε η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ Δ. 7. Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι - στο R, τότε κι η συνάρτηση gof είνι - στο R. 8. Αν η συνάρτηση fοg είνι - στο R, τότε η συνάρτηση g είνι - στο R. Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής. Αν η πολυωνυμική εξίσωση f () = έχει ρίζες τους ριθμούς -, 3, τότε η εξίσωση f (3) = έχει ρίζες τους ριθμούς Α., -3 Β. 3, - Γ. - 3, Δ. -, 6 Ε., - 6. Η συνάρτηση g της οποίς η γρφική πράστση είνι συμμετρική ως προς τον άξον, της C f με τύπο f () = - έχει τύπο Α. g () = + B. g () = - - Γ. g () = - Δ. g () = ln ( - ) E. g () = ln ( - ) 3. Η συνάρτηση της οποίς η γρφική πράστση είνι συμμετρική της γρφικής πράστσης της = f () ως προς τον άξον είνι η Α. = f (-) B. = - f () Γ. = f () Δ. = f () E. = - f (-) 4. Το πλήθος των σημείων τομής της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f () = με τον άξον είνι Α. 6 B. 5 Γ. 4 Δ. 3 E

19 5. Δίνετι η συνάρτηση f () = 3 + κ + λ - 5. Αν f () = 8 κι f (- ) = 4, η τιμή της πράστσης κ + λ είνι ίση με Α. B. 8 Γ. 3 Δ. - E. 6. Η συνάρτηση f () = οποίους, <, έχει πεδίο ορισμού τους πργμτικούς ριθμούς γι τους Α. > Β. < - Γ. - Δ. < Ε. > - 7. Η γρφική πράστση C f μις γνησίως ύξουσς συνάρτησης f στο R, φίνετι στο διπλνό σχήμ. Τότε η εξίσωση f () = έχει Α. δύο τουλάχιστον ρίζες B. μί μόνο ρίζ Γ. κμί ρίζ Δ. περισσότερες πό δύο ρίζες E. μί ρίζ θετική 8. Γι τις συνρτήσεις f κι g που οι γρφικές τους πρστάσεις φίνοντι στο διπλνό σχήμ, είνι λάθος ο ισχυρισμός Α. f () > g () γι κάθε R Cg C f B. f () < g () ν < Γ. f () > g () ν > Δ. f ( ) = g ( ) Ε. η f είνι γνησίως ύξουσ στο R κι η g είνι γνησίως φθίνουσ στο R 9. Η μονοτονί μις συνάρτησης f φίνετι στον πίνκ. f () + + f () = - - f () = Τότε δεν ισχύει ότι Α. Η f έχει πεδίο ορισμού το διάστημ (, + ) B. Η f είνι γνησίως ύξουσ στ διστήμτ (, ] κι [, + ) Γ. Η f είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ [, ] Δ. Η f έχει μέγιστο το κι ελάχιστο το - E. Η f έχει κριβώς δύο ρίζες στο (, + ). Γι τη συνάρτηση f, που η γρφική της πράστση φίνετι στο διπλνό σχήμ, δεν ισχύει ότι: Α. Έχει πεδίο ορισμού το σύνολο R B. Έχει σύνολο τιμών το διάστημ [-, ] Γ. Είνι περιττή Δ. Έχει ελάχιστο το - κι μέγιστο το E. Είνι γνησίως μονότονη στο R

20 . Γι τη συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο διπλνό σχήμ, ισχύει ότι Α. είνι - B. είνι γνησίως ύξουσ στο (, + ) Γ. ντιστρέφετι Δ. είνι γνησίως φθίνουσ στο (, + ) Ε. κνέν πό τ προηγούμεν. Έστω μι συνάρτηση f, η οποί ντιστρέφετι. Τότε οι γρφικές πρστάσεις της f κι της f - είνι συμμετρικές Α. ως προς την ευθεί = B. ως προς την ευθεί = Γ. ως προς τον άξον Δ. ως προς την ρχή των ξόνων E. ως προς τον άξον 3. Η συνάρτηση f () = e - έχει ντίστροφη την Α. g () = ln B. h () = ln Γ. φ () = ln Δ. σ () = ln E. t () = ln ( - ) 4. Από τις πρκάτω συνρτήσεις δεν έχει ντίστροφη η συνάρτηση π π Α. = ημ, [-, ] B. = 3 + Γ. = Δ. = e E. = ln ( - 3), > Αν η συνάρτηση g έχει ντίστροφη την f, τότε το g (f()) είνι ίσο με Α. B. g () f () Γ. Δ. E. κνέν πό τ πρπάνω 6. το διπλνό σχήμ δίνετι η γρφική πράστση της ντίστροφης συνάρτησης f - μις συνάρτησης f. Τότε λάθος είνι ο ισχυρισμός Α. πεδίο ορισμού της f είνι το [γ, δ] B. σύνολο τιμών της f είνι το [, β] Γ. f - (ζ) = Δ. f () = ζ E. Η f έχει ελάχιστο το γι = ζ δ C f β γ 7. Αν f () = με D f = [, + ) κι >, τότε Α. Η f ντιστρέφετι κι ισχύει f - () = B. Η f ντιστρέφετι κι ισχύει f - () =, Df - = R *, D f - = [, + ) Γ. Η f ντιστρέφετι κι ισχύει f - () =, Df - = [, + ) Δ. Η f ντιστρέφετι κι ισχύει f - () =, D f - = [, + ) E. Η f δεν ντιστρέφετι - -

21 8. Αν f () = 3 με > -, τότε η f - έχει τύπο Α. f - () = ( - ) 3 B. f - () = 3 - Γ. f - () = 3 Δ. f - () = - 3 E. f - () = ( + ) 3 9. Αν f () = ln κι g () = 6 -, τότε το πεδίο ορισμού της fog είνι Α. (-, 4] B. [- 4, 4] Γ. (-, 4) (4, + ) Δ. (- 4, 4) E. (, 4). Δίνοντι οι συνρτήσεις h () =, g () =. Αν f = goh, τότε η γρφική πράστση της f είνι Α. θ θ B. Γ. Δ. - E. κμί πό υτές Ερωτήσεις νάπτυξης. Ν βρείτε το ευρύτερο δυντό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζετι κθεμιά πό τις πρκάτω συνρτήσεις: ) f () = ( -) 4 - β) f () = γ) f () = δ) f () = log ( + - ) + log ε) f () = συν ημ - + εφ -, [, π] στ) f () = e ln - -

22 . Δίνετι η συνάρτηση f () = +. ) Ν εξετάσετε ποιες πό τις συνρτήσεις του πρκάτω πίνκ είνι ίσες με τη συνάρτηση f. f () = - f () = f 3 () = f 4 () = ( + ) f 5 () = lne + ln (+) f 6 () = e β) Ν βρείτε το ευρύτερο δυντό υποσύνολο του R στο οποίο οι πρπάνω συνρτήσεις είνι όλες ίσες. 3. Δίνοντι οι συνρτήσεις f () =, g () = - ( -) ) Ν βρείτε τ πεδί ορισμού των f, g β) Γι ποι τιμή του ισχύει f = g;, 4. Δίνοντι οι συνρτήσεις : f () =,, R, >. κι g () = ln, 3-3, 3 Ν βρείτε τις συνρτήσεις: ) f + g β) f g γ) g f κι δ) fog - 5. Δίνετι η συνάρτηση f () = ln. ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f κι ν ποδείξετε ότι είνι περιττή. β) Ν ποδείξετε ότι f ( ) + f ( ) = f, γι κάθε, του πεδίου ορισμού της. γ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι ντιστρέψιμη κι ν βρείτε την ντίστροφή της. δ) Ν μελετήσετε τη μονοτονί της f. ε) Ν λύσετε την νίσωση: e f()+ + e f() + e. 6. Δίνετι η συνάρτηση f () = κι ν κάνετε τη γρφική της πράστση. ln. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f, ν πλοποιήσετε τον τύπο της 7. Δίνετι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημ [, ]. Ποιο είνι το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων: ) f ( ) β) f (3-5) γ) f (ln) 8. Δίνετι συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύει f ( + ) + f ( - ) = f () + f () γι κάθε, R. ) Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της f διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. β) Ν ποδείξετε ότι η f είνι άρτι. γ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε R ισχύει ότι f ( ) = f (). 9. Αν γι μι συνάρτηση f ισχύει f () - 3f ( ) =,, ν βρείτε το f ().. (ημείωση: Μι συνάρτηση f είνι άρτι, ότν γι κάθε D f, ισχύει - D f κι f (-) = f (), γι κάθε D f, ενώ είνι περιττή ότν f (-) = - f () γι κάθε D f. ) ) Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R, ν δείξετε ότι η συνάρτηση g () = f () + f (-) είνι άρτι. β) Αν μι συνάρτηση f είνι περιττή κι προυσιάζει μέγιστο γι =, ν δείξετε ότι η f προυσιάζει ελάχιστο γι = -. γ) Αν μι συνάρτηση f είνι περιττή, με πεδίο ορισμού το R, κι η f είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [, β] με, β >, ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ κι στο διάστημ [- β, - ]. - -

23 . Η γρφική πράστση C f μις συνάρτησης f φίνετι στο διπλνό σχήμ. Από υτό ν βρείτε: ) το πεδίο ορισμού της f β) το σύνολο τιμών της f γ) το διάστημ κι το είδος μονοτονίς της f δ) τ κρόττ της f ε) τον τύπο της f, ν είνι γνωστό ότι: 5 στο διάστημ [-, ) είνι υπερβολή της μορφής = κι στο διάστημ [, ) είνι πρβολή της μορφής = ) Γι κάθε >, ν δείξετε ότι +. β) Ν βρείτε τ κρόττ της συνάρτησης f () = + με >. 3. Έστω f, g δύο συνρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημ Δ, οι οποίες πίρνουν θετικές τιμές γι κάθε Δ κι οι οποίες είνι γνησίως ύξουσες στο Δ. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση h = γνησίως φθίνουσ στο Δ., είνι f g - 4. Δίνοντι οι συνρτήσεις: f () =, g () = -. ) Ν βρείτε τ πεδί ορισμού τους. β) Ν βρείτε τις συνρτήσεις f + g, f g. γ) Ν εξετάσετε ν γι τις πρπάνω συνρτήσεις f, g οι συνρτήσεις fog κι gof είνι ίσες. 5. Ποι κμπύλη είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης g () = f (f (f ())), ν f () = ; - 6. Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g ορισμένες στο R, οι οποίες είνι γνησίως μονότονες κι έχουν το ίδιο είδος μονοτονίς (είνι κι οι δύο γνησίως ύξουσες ή κι οι δύο γνησίως φθίνουσες). ) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση fog είνι γνησίως ύξουσ. β) Ν εξετάσετε τη μονοτονί των συνρτήσεων fof κι gog. γ) Ν εξετάσετε τη μονοτονί της συνάρτησης f () = ln [ln ()], >. 7. Έστω μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R, γι την οποί ισχύει (fof)() - f () =, γι κάθε R. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφη της f κι ισχύει f () f - () =, γι κάθε f (R). 8. Δίνετι η συνάρτηση f () =. Ν ποδείξετε ότι η f είνι κι ν βρείτε την f

24 9. Δίνοντι οι συνρτήσεις f () = κι h () =, με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημ Δ = (, + ). Α. ) Ν βρείτε μι συνάρτηση g ώστε fog = h. β) Ν βρείτε μι συνάρτηση φ ώστε φof = h. B. ) Ν βρείτε τις f -, g -, h - (ντίστροφες των f, g, h). β) Ν βρείτε τις f - og - κι g - of -. γ) Ν ποδείξετε ότι g - of - = h -.. Δίνοντι οι συνρτήσεις f()= κι g()= Α. Ν βρείτε τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων f, g, gof. B. Ν λύσετε την εξίσωση g f e. 4 ln. Γ. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι γνησίως ύξουσ σε κθέν πό τ διστήμτ του πεδίου ορισμού της κι ν λύσετε την νίσωση g 4. Δ. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι ντιστρέψιμη στο (,+ ) κι ν βρείτε την ντίστροφή της.. Δίνετι συνάρτηση f: ΙR ΙR με f(+) = f() + f(), γι κάθε, ΙR κι η c f τέμνει τον άξον σε μονδικό σημείο. Α. Ν δείξετε ότι : i. f() = ii. η f είνι περιττή στο ΙR iii. f(-) = f() - f(), γι κάθε, ΙR iv. η f είνι ντιστρέψιμη στο ΙR Β. Αν επιπλέον η c f βρίσκετι πάνω πό τον άξον γι κάθε <, τότε: i. ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο ΙR ii. ν λύσετε την νίσωση: f(e -ln) f(e +) > - f( +ln). Έστω f: ΙR ΙR ώστε (fof)() + (f()) 3 = ( +), γι κάθε ΙR. Α. Ν δείξετε ότι η f είνι ντιστρέψιμη στο ΙR. Β. Ν λυθούν οι εξισώσεις : i. f( 3 +) = f(4-) ii. f(f( -)) = - (f( -)) 3 Γ. Αν η f είνι γνησίως μονότονη στο ΙR με f()=, τότε: i. ν δείξετε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο ΙR. ii. ν λύσετε την νίσωση f(e -4e ) f(3e -). 3. ) Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο Δ, ν ποδείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφή της κι οι εξισώσεις f - () = f() κι f() =, είνι ισοδύνμες. β) Δίνοντι οι z,w κι η συνάρτηση f, με τύπο: f() = z + - w. i. Ν ποδείξετε ότι η f ντιστρέφετι. ii. Αν η εξίσωση f - () = f() έχει μονδική ρίζ, ν ποδείξετε ότι :. z - w = - 4 β. z + w 4 γ. ν z = 3 4, τότε ν ορίσετε την f

25 ΙΙ. ΟΡΙΑ - ΥΝΕΧΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». Μι συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο, ένν πργμτικό ριθμό. Ανγκστικά το νήκει στο πεδίο ορισμού της.. Τ πλευρικά όρι μις συνάρτησης f, ότν το πίρνει τιμές κοντά στο, συμπίπτουν πάντοτε. 3. Το όριο μις συνάρτησης f στο εξρτάτι πό την τιμή της συνάρτησης στο σημείο υτό. 4. Αν μι συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο, τότε υτό είνι μονδικό. 5. Αν f () =, τότε υπάρχει συνάρτηση φ με φ () = κι f () = + φ (). 6. Αν (f () + g ()) =, τότε οι συνρτήσεις f, g έχουν πάντοτε όριο στο. 7. Αν γι τις συνρτήσεις f, g : A R υπάρχει το [f () g ()], τότε πάντοτε [f () g ()] = f () g () 8. Έστω η συνάρτηση f () = -. Ισχύει f () = = f (). 9. Μι συνάρτηση f έχει στο = 4 όριο το - 4. Τότε η f πίρνει ρνητικές τιμές γι κάποι κοντά στο 4.. Αν f () =,, τότε πάντοτε ισχύει f () =.. Αν το f () είνι θετικός ριθμός, τότε η f πίρνει θετικές τιμές κοντά στο.. Έστω f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν διάστημ που περιέχει το. Τότε ισχύει πάντοτε f () = f (). 3. Αν f () = β, g () = γ κι f () β κοντά στο, τότε g (f ()) = γ. β 4. Ισχύει ότι 5. Αν f () ημ () =, τότε = με,. f (3) 6. Αν f () + e -, γι κάθε R, τότε το 7. Αν 8. Αν f () = + κι g () < κοντά στο, τότε πάντ ισχύει = 3. f () =. (f ()g ()) = -. f () = +, τότε =. f () - 5 -

26 9. Αν f () = κι f () > κοντά στο, τότε f () = +.. Αν f () =, τότε =. f (). Αν η συνάρτηση f : [, + ) R είνι γνησίως ύξουσ, τότε πάντοτε ισχύει f () = +.. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, β], η εξίσωση f () = δεν έχει ρίζ στο (, β) κι υπάρχει ξ (, β) ώστε f (ξ) <, τότε θ ισχύει f () < γι κάθε (, β). 3. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, β], κι πίρνει δύο διφορετικές τιμές f ( ), f ( ) με, [, β], τότε πίρνει όλες τις τιμές μετξύ των f ( ) κι f ( ). 4. Αν γι μι συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει f ( ) = κι f ( ) = 4, τότε υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f ( ) = e. 5. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [, β], τότε το σύνολο τιμών της είνι [f (), f (β)]. 6. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ [, β], τότε το σύνολο τιμών της είνι [f (β), f ()]. 7. Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [, β] με f () f (β), πίρνει μόνο τις τιμές μετξύ των f () κι f (β). 8. Aν ( - ) ( + 5) f () (3 + ), τότε η f είνι συνεχής στο. 9. Aν η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (, + ), τότε το σύνολο τιμών της είνι το διάστημ ( f ()). 3. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο διάστημ [, β]. Αν η f είνι - στο [, β], τότε είνι κι γνησίως μονότονη στο [, β]. 3. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο με f ( ), τότε κοντά στο οι τιμές της f είνι ομόσημες του f ( ). 3. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ Δ, τότε η ντίστροφή της είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο f (Δ). 33. Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού έν διάστημ Δ είνι συνεχής κι - στο Δ, τότε η συνάρτηση f - είνι συνεχής στο f (Δ). 34. Κάθε συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R έχει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή. 35. Έστω η συνάρτηση f () =,. Ισχύει ότι η f είνι συνεχής στο R - {}. -, 36. Η συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο σχήμ, είνι συνεχής στο D f

27 37. Η συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο σχήμ, είνι συνεχής Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g δεν είνι συνεχής στο, τότε η συνάρτηση f + g δεν είνι συνεχής στο. 39. Αν οι συνρτήσεις f, g δεν είνι συνεχείς στο σημείο του κοινού πεδίου ορισμού τους, τότε η συνάρτηση f + g δεν είνι συνεχής στο. 4. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής σ έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε κι η f είνι συνεχής στο. Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής. Αν η γρφική πράστση μις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήμ, τότε λάθος είνι Α. f () = 4 B. - - f () = Γ. f () = Δ. f (- ) = - E. f () = 4 4. Αν f () g () με (, 3) κι οι συνρτήσεις f, g έχουν όριο πργμτικό ριθμό στο, τότε ισχύει ότι Α. Γ. f () > f () g () Β. f () > κι g () < g () Δ. f () g () Ε. τίποτ πό τ πρπάνω 3. Αν h () f () g () με (, ) κι Α. Δ. 4. Αν Α. Δ. 3 f () = Β. h () = [f () - g ()] = 3 Γ. f () = 3 Ε. τίποτ πό τ πρπάνω f () = κι [f () g ()] = B. g () = +, τότε πάντοτε ισχύει ότι [f () g ()] = + Γ. g () = 3, τότε ισχύει ότι [h () - f ()] = 3 [f () g ()] > [f () g ()] < E. γι το όριο της συνάρτησης fg στο έχουμε προσδιόριστη μορφή 5. Από τις πρκάτω ισότητες ν βρείτε υτήν που είνι λάθος Α. Δ. - 3 = + B. = - Γ. - - συν = + E. 3 ημ = + =

28 6. Αν f () = π, τότε το - συν (f ()) είνι ίσο με Α. B. π Γ. Δ. - E. 7. Δίνετι η συνάρτηση f () = - 5 6, - 3, 3. Τότε ισχύει 3 Α. η f δεν είνι συνεχής στο 3 B. η f είνι συνεχής στο 3 Γ. η f γι > 3 είνι γνησίως φθίνουσ Δ. δεν υπάρχει το f () E. 8. Έστω μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R η οποί είνι συνεχής κι -. Τότε η f Α. είνι πάντοτε γνησίως ύξουσ B. δεν μπορεί ν είνι άρτι Γ. είνι πάντοτε περιττή Δ. f () = f (- ) E. είνι στθερή συνάρτηση εφ (π), 9. Αν η συνάρτηση f () = είνι συνεχής στο, τότε το κ είνι ίσο με κ, Α. Β. Γ. π Δ. π Ε. - π f () f (). Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, β] κι ισχύει f () f (β) >, τότε πό τις πρκάτω προτάσεις σωστή είνι πάντοτε η Α. f() γι κάθε [, β] Β. δεν υπάρχει ξ (, β) ώστε f (ξ) = Γ. η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, β] Δ. η C f δεν τέμνει ποτέ τον άξον Ε. κμί πό τις προηγούμενες προτάσεις. Αν η συνάρτηση f έχει γρφική πράστση που φίνετι στο σχήμ, τότε η εξίσωση f () = έχει Α. κμί ρίζ Β. κριβώς τρεις ρίζες f(β) Γ. μόνο μί ρίζ Δ. το πολύ μί ρίζ Ε. τουλάχιστον τέσσερις ρίζες Ο f() β. Αν η γρφική πράστση της συνάρτησης f φίνετι στο σχήμ, τότε δεν ισχύει ότι Α. στο διάστημ (, ) η f () > Β. στο διάστημ (, 3 ) η f () < Γ. στο διάστημ ( 3, 4 ) η f () > Δ. στ διστήμτ (-, ) κι ( 4, + ) η f () < Ε. στο διάστημ (, 4 ) η f () = έχει τουλάχιστον δύο ρίζες 3 4 Ο - 8 -

29 3. Η γρφική πράστση της συνεχούς συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήμ. Το σύνολο τιμών της f είνι Α. [f (), f (β)] Β. (f ( ε ), f ( μ )) Γ. [f (β), f ()] Δ. [f ( ε ), f ( μ )] Ε. κνέν πό τ προηγούμεν f( μ) f(β) f() f( ε ) μ ε β 4. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο [, β] κι γνησίως φθίνουσ. Τότε το σύνολο τιμών της f είνι Α. [f (), f (β)] Β. [f (β), f ()] Γ. [β, ] Δ. (f (β), f ()) Ε. το R 5. Δίνετι μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R κι οι προτάσεις: Ι. f συνεχής ΙΙ. f άρτι ΙΙΙ. f γνησίως μονότονη Η ντίστροφη της f υπάρχει, ότν ισχύει Α. η Ι Β. η ΙΙ Γ. οι Ι κι ΙΙ Δ. η ΙΙΙ Ε. η Ι ή η ΙΙ 6. Αν f () 3 + γι < - 4, τότε το f () (ν υπάρχει) είνι ίσο με - Α. + B. - Γ. Δ. - Ε Αν f () =, τότε η τιμή f ( 4 ) προσεγγίζετι με ικνοποιητική κρίβει πό τον ριθμό 4 7 Α.,4 B. 4 Γ.,75 Δ.,5 E Από τις πρκάτω ισότητες λάθος είνι η Α. συν = B. συν = Γ. ημ = Δ. ημ = E. εφ = Ερωτήσεις νάπτυξης. Ν υπολογίσετε τ πρκάτω όρι: ) β) γ) ( - ) δ) συν. Ν βρεθούν οι πργμτικοί ριθμοί, β ώστε η συνάρτηση f () = πργμτικό ριθμό στο = Ν βρείτε το θετικό κέριο ν ώστε:. 4. Αν ισχύει β. ημ ημ... ημν = 8 ημ ημ... ημν =. f() γι κάθε IR, ν βρείτε τ όρι:. ν - ημ - συν, - -, ν έχει όριο ln ( β), - f () f() 4 β

30 5. Δίνετι η συνάρτηση f με D f = (, ) (, + ) ώστε: Ν υπολογίσετε τ όρι: ) f () ημ - f () - f () β) - π ( -) - = π. 6. Ν υπολογίσετε τ όρι: ) ημ(ημ) - β) π ημ(συνχ) π γ) π ημ( συνχ) (π ) 7. Αν f() g() 4 6 (f ()) (g()). 4 (f ()) (g()) κι γι κάθε f() = 8. Δίνοντι οι συνρτήσεις f () = κι g () = 4-5 τις συνρτήσεις f, g, gof στο = -. g() =, τότε ν ποδείξετε ότι -. Ν εξετάσετε ως προς τη συνέχει - 9. ) Ν δείξετε ότι : f () = () ν κι μόνο ν f ( + h) = () h β) Αν γι τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R ισχύει f ( + ) = f () + f (), γι κάθε,r κι είνι συνεχής στο, ν δείξετε ότι είνι συνεχής σε όλο το R.. Δίνετι η συνάρτηση f () = ln ( - ln). ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Ν βρείτε τ όρι της f στ άκρ του D f. γ) Ν δείξετε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο D f. δ) Ν βρείτε το σύνολο τιμών της f φού πρώτ ποδείξετε ότι είνι συνεχής.. Αν f () γι κάθε R, ν ποδείξετε ότι η f είνι συνεχής στο., ν. Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο: f () =. 3 -, ν ) Ν μελετήσετε την f ως προς τη συνέχει. β) Ν εξετάσετε τη μονοτονί της f κι ν ποδείξετε ότι είνι -. γ) Ν βρείτε την ντίστροφή της συνάρτηση f -. δ) Ν εξετάσετε τη μονοτονί της f Δίνετι η συνάρτηση f () =,., ) Ν υπολογίσετε τ όρι: f (), f (), β) Υπάρχει τιμή του γι την οποί η f ν είνι συνεχής; f (), f (). 4. Ν δείξετε ότι η εξίσωση n + e = έχει μί κριβώς ρίζ στο (, )

31 5. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f () = κι g () = συν τέμνοντι σε έν τουλάχιστον σημείο του διστήμτος (, 4 π ). 6. Δίνετι μι συνεχής συνάρτηση f στο διάστημ [, 8] γι την οποί ισχύουν ότι f () =, f () = -, f (4) =, f (6) = - 4 κι f (8) =. ) Ν βρείτε πόσες φορές τουλάχιστον, η γρφική πράστση της f θ τέμνει τον άξον στο (, 8). β) Αν η f είνι γνησίως φθίνουσ στ διστήμτ [, ] κι [4, 6] κι γνησίως ύξουσ στ διστήμτ [, 4] κι [6, 8], τότε ν βρείτε πόσες ρίζες θ έχει η εξίσωση f () =. 7. Θεωρούμε την εξίσωση: κ + λ + μ =, κ, λ, μ - ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση έχει κριβώς δύο ρίζες στο διάστημ (-, ). β) Αν οι δύο ρίζες είνι οι ρ, ρ, ν δείξετε ότι: 8. Έστω f μι συνεχής συνάρτηση στο [, ] με f () = f (). μ - λ + = ρ ρ κ ) Ν ποδείξετε ότι η h () = f () - f ( + ) είνι συνεχής στο [, ].. β) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f () = f ( + ) έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ [, ). 9. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, β] κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [, β]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, β) τέτοιο ώστε: f (ξ) = f () f (β) f 3 ( β ). Δίνετι η συνάρτηση f () = ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο πεδίο ορισμού της. γ) Ν εξετάσετε την f ως προς τη συνέχει. δ) Ν βρείτε το σύνολο τιμών της. ε) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικό έτσι ώστε f ( ) = 3.. Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημ [, β]. Αν το σύνολο τιμών της f είνι το [, β], τότε ν δείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον σημείο [, β] τέτοιο ώστε f ( ) = κι ν ερμηνεύσετε γεωμετρικά το συμπέρσμ υτό.. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (, + ) με f () = γ R κι f () = δ R, ν ποδείξετε ότι υπάρχει μόνο έν > τέτοιος ώστε : f ( ) + e + + n =. 3. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι η εξίσωση f () = έχει μονδικές ρίζες το 3 κι το 7. ) Αν υπάρχει ώστε f ( ) > με < 3, ν δείξετε ότι η f () > γι κάθε < 3. β) Αν υπάρχει ώστε f( ) < με 3 < < 7, ν δείξετε ότι f () < γι κάθε : 3 < <

32 4. Αν f είνι μι συνάρτηση, τότε λέγοντς χορδή της f εννοούμε έν ευθύγρμμο τμήμ του οποίου τ άκρ νήκουν στη γρφική πράστση της f. Έστω ότι η f είνι μι συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [, ], ώστε f () = f () =. ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει οριζόντι χορδή της f με μήκος. β) N ποδείξετε ότι υπάρχει οριζόντι χορδή της f με μήκος ν, όπου ν =, 3, 4, 5. Ν διερευνήσετε τις τιμές των πρκάτω ορίων : ) 3 (μ - ) (μ ), ν μ R β) μ ( - - λ -μ), ν λ, μ R γ), ν > δ), ν > ε) 4 ( ), ν < 6. Ν βρείτε τ πρκάτω όρι: ) (ημ ) β) (ημ ) γ) (ημ ρ ), με ρν * κι ρ κ 7. Δίνετι η συνάρτηση f () = n, κ >. ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Ν βρείτε τ όρι f (), f (). γ) Ν δείξετε ότι η f () - n > κι ν βρείτε το όριο (f () - n). 8. Δίνετι συνάρτηση f συνεχής κι γνησίως μονότονη στο ΙR, που διέρχετι πό τ σημεί Α(,) κι Β(3,4). Ν ποδείξετε ότι : ) η συνάρτηση f είνι ντιστρέψιμη στο ΙR κι ν λύσετε την νίσωση f(f - (6-f( -))+) f(f(f()+)-). f ( β) γι κάθε, (,3) ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικό ξ(,3) ώστε ) 3f ( ) f(ξ). 5 γ) ν υπάρχει μιγδικός z με z + z - = f(β) κι z + z - = f () τότε ν ποδείξετε ότι η εξίσωση 3 f(β) + f() = έχει μονδική ρίζ στο (-,). 9. Δίνετι συνάρτηση f συνεχής στο ΙR ώστε ν ισχύει: (f()) f() =, γι κάθε ΙR. ) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f ντιστρέφετι κι ν βρείτε την ντίστροφή της. β) Αν ισχύει f( z ) f( z4i ) f(), τότε ν δείξετε ότι η εικόν του μιγδικού z, κινείτι στην ευθεί ε: + 3 =. γ) N ποδείξετε ότι: I. η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο ΙR. II. ν λύσετε την νίσωση f(ln+) + (f(ln+)) 3 ln. δ) N ποδείξετε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση g:[,3] [,], τέμνει την ευθεί (ε) του ερωτήμτος (β) σε έν τουλάχιστον σημείο του [,3]. 3. Δίνετι συνεχής συνάρτηση f:r R, με (f ()) f() ημ = + συν, γι κάθε R, κι f() =. ) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση g() = f() - ημ διτηρεί στθερό πρόσημο στο R. β) Ν βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f γι κάθε R

33 γ) Ν υπολογίσετε τ πρκάτω όρι : f() I. Α = II. Β = [f() ]. III. Γ = f()--ημ -συν δ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f() = k, έχει μονδική ρίζ στο [, π ], γι κάθε τιμή του k, π Δίνετι η συνάρτηση f, με τύπο f() = e + ln +. ) Ν βρείτε τ όρι f() κι f (). β) Ν ποδείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f -. γ) Αν g()=e f(), τότε ν δείξετε ότι η εξίσωση g() = k έχει μονδική ρίζ, γι κάθε k>. 3 δ) N λύσετε την νίσωση: e e 3 ln() ln( 3). 3. ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε μιγδικό z, w ισχύει: z w z w Re(zw). β) Δίνετι συνάρτηση f:r R, που είνι γνησίως μονότονη κι οι μιγδικοί ριθμοί z = 3 + f()i κι z = f - () + 3i, που ικνοποιούν τη σχέση z z Re(z z ). Ν ποδείξετε ότι: i. z = z ii. οι συνρτήσεις f κι g, όπου g() = f(-f()) -, είνι γνησίως φθίνουσες στο R. iii. ν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R, με σύνολο τιμών το R, τότε η εξίσωση f - () + f() =, έχει μονδική ρίζ στο (,3). 33. Δίνετι συνάρτηση f συνεχής στο [,4] με f() f(), f(3) f(4) κι f() + f() = f(3) + f(4). Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν ντιστρέφετι. 34. Δίνοντι z, w με. Ν ποδείξετε ότι w i z. w i z i w,zi. iz β. Αν z, ν δείξετε ότι οι εικόνες του w κινούντι στον άξον. γ. Ν ποδείξετε ότι ο w είνι φντστικός ν, κι μόνο ν, ο z είνι φντστικός. δ. Αν f είνι μι συνεχή συνάρτηση στο [,β], με f() >, z = if() κι w = if(β), ν δείξετε ότι η γρφική πράστση της f έχει έν τουλάχιστον κοινό σημείο με τον άξον. 35. Διπιστώθηκε ότι έν μέγεθος Q, ως συνάρτηση του χρόνου t, δίνετι πό τη σχέση: Q(t) = κ ( - e -t ), όπου κ μι θετική στθερά. ) Ν βρείτε το Q (t) κι ν εξηγήσετε τι πριστάνει η στθερά κ. t β) Ν πρστήσετε γρφικά τη συνάρτηση Q, ότν t

34 III. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ( Ι ) (ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΗ) Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». Μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, ν το f () - f. Αν ισχύει - ( ) είνι πργμτικός ριθμός. f () - f - ( ) = + ή -, τότε η f δεν είνι πργωγίσιμη στο. 3. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R, τότε ισχύει f h 4. Αν ισχύει ( h) - f ( ) = h - πργωγίσιμη στο. f () - f - h ( ) f ( - h) - f ( ). h h f () - f - ( ), τότε η συνάρτηση f δεν είνι 5. Αν f () = e e - e, τότε f ( ) =. h h 6. Η συνάρτηση f () = είνι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της. 7. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο, τότε ορίζετι πάντ η εφπτομένη της C f στο σημείο της Μ (, f ( )). 8. H εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο της Μ (, f ( )), δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την C f. 9. Αν μι ευθεί (ε) έχει με τη γρφική πράστση μις συνάρτησης μόνο έν κοινό σημείο, τότε είνι οπωσδήποτε εφπτομένη της.. Μι συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [, β] μπορεί ν έχει κτκόρυφη εφπτομένη μόνο σε άκρο του πεδίου ορισμού της.. Αν η f είνι συνεχής στο, τότε η ευθεί = μπορεί ν είνι κτκόρυφη εφπτομένη της C f.. Αν μι συνάρτηση f δεν είνι πργωγίσιμη στο, τότε η γρφική της πράστση μπορεί ν δέχετι μόνο κτκόρυφη εφπτομένη. 3. Μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο διάστημ Δ με f (), γι κάθε Δ. Τότε η γρφική της πράστση δεν δέχετι οριζόντι εφπτομένη. 4. Γι μι συνάρτηση f ισχύει f () = ( - ) e. Τότε η C f στο σημείο (, f ()) δέχετι οριζόντι εφπτομένη. 5. Η εφπτομένη της γρφικής πράστσης μις στθερής συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο της, συμπίπτει με τη γρφική πράστση της συνάρτησης. 6. Η εφπτόμενη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f () = + β, σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού της, συμπίπτει με τη γρφική πράστση της συνάρτησης

35 7. Η γρφική πράστση μις C f συνάρτησης f δίνετι στο σχήμ. Η πράγωγος της f στο = είνι ίση με. C f 8. Η συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση δίνετι στο σχήμ, έχει εφπτομένη στο (, f ( )). f( ) 9. Οι εφπτομένες των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f () =, g () = + 3, h () = - στ σημεί τομής τους με την ευθεί =, είνι πράλληλες.. Η συνάρτηση, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο f()= σχήμ, έχει πράγωγο στο =.. Αν δυο συνρτήσεις τέμνοντι, τότε στο κοινό τους σημείο δέχοντι κοινή εφπτομένη.. Η ευθεί στο σχήμ (ε) είνι εφπτομένη της C f. Ισχύει f () =. C f (ε) 3. ) Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο, τότε θ είνι συνεχής στο. β) Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο, τότε θ είνι πργωγίσιμη στο. γ) Αν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής στο, τότε δεν είνι πργωγίσιμη στο. δ) Αν μι συνάρτηση f δεν είνι πργωγίσιμη στο, τότε δεν είνι συνεχής στο. 4. Αν η f είνι πργωγίσιμη στο, τότε η f είνι συνεχής στο. 5. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο σημείο, τότε [f ()] = f (). 6. Η συνάρτηση f () =, >, είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ( ) = Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R, τότε ισχύει (f (f ())) = (f ()). 8. Αν το άθροισμ f + g δύο συνρτήσεων είνι πργωγίσιμη συνάρτηση στο, τότε κι οι συνρτήσεις f κι g είνι πργωγίσιμες στο. 9. Αν η f(g()) είνι πργωγίσιμη, τότε οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες

36 dc 3. Ισχύει =, όπου c στθερά κι R. d 3. Γι μι συνάρτηση f η οποί είνι πργωγίσιμη στο R ισχύει ) ν η f είνι άρτι, τότε η f είνι περιττή β) ν η f είνι περιττή, τότε η f είνι άρτι γ) ν η f είνι περιοδική, τότε η f είνι περιοδική με την ίδι περίοδο. 3. Αν η συνάρτηση f είνι πολυωνυμική ν-οστού βθμού, με ν>, τότε η συνάρτηση f είνι επίσης πολυωνυμική ν- βθμού. 33. Οι πολυωνυμικές συνρτήσεις είνι πργωγίσιμες στο R. 34. ε κάθε χρονική στιγμή ο ρυθμός μετβολής της τχύτητς ενός κινητού είνι η επιτάχυνση υτού. 35. Αν f () = 4, τότε υπάρχουν σημεί της C f με πράλληλες εφπτομένες. 36. Αν = + β, τότε ο ρυθμός μετβολής των τιμών του εξρτάτι πό τις τιμές της μετβλητής. 37. Αν f () = 3, τότε ισχύει πάντ f () = το σχήμ η γρφική πράστση της g προκύπτει πό μι κτκόρυφη μεττόπιση της C f. Ισχύει f () = g (), γι κάθε στο κοινό πεδίο ορισμού τους. c f c g 39. Έστω f() = -, τότε οι γρφικές πρστάσεις των f κι f είνι υτές που φίνοντι στο σχήμ. - c f c f 4. Αν η γρφική πράστση της g προκύπτει πό την C f με κτκόρυφη μεττόπιση κι ισχύει f () =, τότε θ είνι κι g () =. C g C f