Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Transcript

1 Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι με τον ίδιο ριθμό. Ότν δύο ποσά κι είνι ντιστρόφως νάλογ το γινόμενο των ντίστοιχων τιμών τους είνι στθερό. Δηλδή =. ( 0). Από τη σχέση = με 0 προκύπτει ότι το = χ εκφράζετι ως συνάρτηση του. Η γρφική της συνάρτησης = χ με 0 είνι μι κμπύλη γρμμή που ονομάζετι ισοσκελής υπερβολή κι ποτελείτι πό δύο κλάδους που είνι συμμετρικοί ως προς το Ο κι βρίσκοντι: - Στο ο κι στο ο τετρτημόριο των ξόνων, ότν > 0. - Στο ο κι στο ο τετρτημόριο των ξόνων, ότν < 0.

2 < 0 > 0

3 Αν >0, έχει άξον συμμετρίς την ευθεί =. Αν <0, έχει άξον συμμετρίς την ευθεί = -. Έχει οριζόντιες σύμπτωτες τους ημιάξονες Ο, Ο κι κτκόρυφες σύμπτωτες τους ημιάξονες Ο, Ο. Μελέτη της συνάρτησης f() =, 0. συνάρτηση υτή ορίζετι γι κάθε πργμτικό ριθμό, με 0 δηλδή το πεδίο ορισμού είνι το Α R* Είνι περιττή, δηλδή η γρφική της πράστση θ έχει το Ο(0,0) κέντρο συμμετρίς. Αν >0, είνι γνησίως φθίνουσ στο (-, 0) κι στο (0, + ). Αν <0, είνι γνησίως ύξουσ στο (-, 0) κι στο (0, + ). Ειδικές περιπτώσεις της Αν =>0, τότε Αν =-<0, τότε f() = f() = f() =, 0:

4 Εφρμογές Ν βρείτε την εξίσωση της υπερβολής του διπλνού σχήμτος. Επειδή είνι υπερβολή που νήκει στ ο ο τετρτημόριο, θ έχει εξίσωση της μορφής f( ), > 0. Αφού διέρχετι πό το σημείο (, ), θ επληθεύετι πό υτό : = =. Άρ f( ) = Στο ίδιο σύστημ συντετγμένων ν πρστήσετε γρφικά τις συνρτήσεις i) φ() =, f() = + κι g() = ii) ψ() =, h() = κι q() = + i) C ϕ είνι γνωστή πό τη θεωρί. = C f προκύπτει πό τη μεττόπιση της C ϕ κτά μονάδες προς τ πάνω. - - C f C φ C g 5 - C g προκύπτει πό τη μεττόπιση της C ϕ κτά μονάδες προς τ κάτω.

5 5 ii) C ψ είνι γνωστή πό τη θεωρί. C h προκύπτει πό τη μεττόπιση της C ψ κτά μονάδες προς τ κάτω. C q C q προκύπτει πό τη μεττόπιση της C ψ κτά μονάδες προς τ πάνω. - - C ψ C h Στο ίδιο σύστημ συντετγμένων ν πρστήσετε γρφικά τις συνρτήσεις i) φ() =, f() = ii) ψ() =, h() = i) C ϕ είνι γνωστή πό τη θεωρί. C f προκύπτει πό τη μεττόπιση της C ϕ κτά μονάδες προς τ δεξιά. κι g() = + κι q() = + C g - C φ C f C g προκύπτει πό τη μεττόπιση της C ϕ κτά μονάδες προς τ ριστερά

6 ii) C ψ είνι γνωστή πό τη θεωρί. C h προκύπτει πό τη μεττόπιση της C ψ κτά μονάδες προς τ δεξιά. C q - C ψ C h C q προκύπτει πό τη μεττόπιση της - C ψ κτά μονάδες προς τ ριστερά. - i) Στο ίδιο σύστημ συντετγμένων ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f() = κι g() = κι με τη βοήθει υτών ν λύσετε τις νισώσεις κι > ii) Ν επιβεβιώσετε κι λγεβρικά τ πρπάνω συμπεράσμτ. i) Το σημεί τομής των δύο συνρτήσεων είνι το Α(, ). Από τυχίο σημείο Μ() του άξον, φέρνουμε κτκόρυφη ευθεί, που τέμνει τη C g στο Κ κι τη C f στο Λ. Τότε είνι (ΜΚ) = g() κι (ΜΛ) = f(). Η νίσωση γράφετι - C f A(. ) Κ Λ M() C g

7 7 f() g() (ΜΛ) (ΜΚ) () Οι τιμές του γι τις οποίες ισχύει η () είνι < 0 ή. Ομοίως, οι τιμές του γι τις οποίες ισχύει ii) > δηλδή (ΜΛ) > (ΜΚ), είνι 0 < < κι ( ) 0 0 κι 0 < 0 ή (ο εκτός των ριζών) Ομοίως, > 0 < < i) Στο ίδιο σύστημ συντετγμένων ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f() = κι g() = κι με τη βοήθει υτών ν λύσετε τις νισώσεις κι > 7

8 8 ii) Ν επιβεβιώσετε κι λγεβρικά τ πρπάνω συμπεράσμτ. i) Το σημεί τομής των δύο συνρτήσεων είνι το Α(, ). Από τυχίο σημείο Μ() του άξον, φέρνουμε κτκόρυφη ευθεί, που τέμνει τη C g στο Κ κι τη C f στο Λ. Τότε είνι (ΜΚ) = g() κι (ΜΛ) = f(). Η νίσωση γράφετι f() g() (ΜΛ) (ΜΚ) () Οι τιμές του γι τις οποίες ισχύει η () είνι < 0 ή. Ομοίως, οι τιμές του γι τις οποίες ισχύει > δηλδή (ΜΛ) > (ΜΚ), είνι 0 < < C g - C f A(. ) Λ Κ M() ii) κι ( ) 0 0 κι ( )( + + ) 0 () Είνι Δ = = < 0, άρ + + > 0 Οπότε, () 0 κι ( ) 0 < 0 ή Ομοίως, > 0 < < 8

9 9 Οι κάθετες πλευρές ΑΒ κι ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ μετβάλλοντι έτσι, ώστε το εμβδόν του ν πρμένει στθερό κι ίσο με τετργωνικές μονάδες. Ν εκφράσετε το μήκος της ΑΓ συνρτήσει του μήκους της ΑΒ κι στη συνέχει ν πρστήσετε γρφικά τη συνάρτηση υτή. Είνι Ε = = = = με, > 0 Έτσι ορίζετι η συνάρτηση = f() = με > 0, της οποίς η γρφική πράστση είνι ο κλάδος του ου τετρτημορίου της υπερβολής f() = 9