ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β Part tme Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unp.gr

Έλεγχοι υποθέσεων

Εισαγωγή Έστω ότι ασχολούμαστε με ένα χαρακτηριστικό, το οποίο (υποθέτουμε ότι) ακολουθεί μια κατανομή F με (άγνωστη σε μας) παράμετρο θ. Εκτός από την εκτίμηση της παραμέτρου θ, η οποία γίνεται σύμφωνα με μεθόδους που αναλύσαμε στα προηγούμενα μαθήματα, αρκετές φορές μας ενδιαφέρει να «αποφασίσουμε» αν η παράμετρος αυτή λαμβάνει κάποια συγκεκριμένη τιμή στον πληθυσμό που ελέγχουμε. Για παράδειγμα, ο υπεύθυνος του εργοστασίου που παράγει ράβδους για περίφραξη ενδιαφέρεται να «αποφασίσει» αν το μέσο μήκος των παραγόμενων ράβδων είναι όντως ίσο με 00 εκατοστά (όπως υποτάσσουν οι προδιαγραφές) ή όχι.

Εισαγωγή Σε κάθε περίπτωση, δημιουργούνται δύο αντικρουόμενες «απόψεις» και θα πρέπει κάποιος να «αποφασίσει» υπέρ της μίας εκ των δύο, με βάση κατάλληλη στατιστική συμπερασματολογία. Στο παράδειγμα με τους ράβδους περίφραξης, οι δύο «απόψεις» που δημιουργούνται είναι η μέση τιμή του μήκους των ράβδων είναι 00 εκατοστά η μέση τιμή..., δεν είναι 00 εκατοστά. Υπάρχουν δηλαδή δύο «υποθέσεις» και θα πρέπει να αποφασίσουμε υπέρ κάποιας από αυτές. Ο τομέας της στατιστικής συμπερασματολογίας που ασχολείται με τέτοια προβλήματα λέγεται «Έλεγχος υποθέσεων»

Έλεγχος υποθέσεων (ορολογία) Η μία εκ των δύο αντικρουόμενων απόψεων καλείται "μηδενική υπόθεση" και συμβολίζεται με και η δεύτερη καλείται "εναλλακτική υπόθεση" και συμβολίζεται με H. H 0 Στη μηδενική υπόθεση συνήθως θεωρούμε ότι η παράμετρος που μας ενδιαφέρει λαμβάνει μια συγκεκριμένη τιμή και αυτό το συμβολίζουμε ως H 0 : 0, ενώ η εναλλακτική υπόθεση δηλώνει μια συνθήκη για την παράμετρο που μας ενδιαφέρει που "κοντράρει" τη μηδενική υπόθεση. Συνήθως εμφανίζεται σε μία από τις τρεις ακόλουθες μορφές: H : 0 ή H : 0 ή H : 0. Η πρώτη, H : 0 λέγεται και αμφίπλευρη ή δίπλευρη εναλλακτική υπόθεση, ενώ οι δύο άλλες καλούνται μονόπλευρες εναλλακτικές υποθέσεις. Ο έλεγχος της μηδενικής υπόθεσης έναντι της εναλλακτικής γίνεται με τον υπολογισμό της τιμής μιας στατιστικής συνάρτησης, χρησιμοποιώντας τις παρατηρούμενες τιμές ενός τυχαίου δείγματος από τον πληθυσμό που μας ενδιαφέρει. Η στατιστική συνάρτηση που θα χρησιμοποιηθεί, θα πρέπει να έχει γνωστή και πλήρως ορισμένη σε εμάς κατανομή όταν η μηδενική υπόθεση είναι αληθής, δηλαδή όταν η παράμετρος θ είναι όντως ίση με την τιμή θ 0 που υποθέτουμε. Σε αυτή την περίπτωση καλείται και στατιστική συνάρτηση του ελέγχου.

Έλεγχος υποθέσεων (κανόνας απόφασης) Ο κανόνας απόφασης βασίζεται στις τιμές που μπορεί να πάρει η στατιστική συνάρτηση του ελέγχου που χρησιμοποιούμε. Συγκεκριμένα, η περιοχή τιμών της στατιστικής συνάρτησης του ελέγχου "χωρίζεται" σε δύο συμπληρωματικές περιοχές. Αν πάρουμε τιμή που να ανήκει στη μία περιοχή, δεν μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση, ενώ αν πάρουμε τιμή στη δεύτερη περιοχή, θα έχουμε ενδείξεις για απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης, υπέρ της εναλλακτικής. Η δεύτερη περιοχή, δηλαδή αυτή που περιέχει τις τιμές της στατιστικής συνάρτησης με τις οποίες αποφασίζουμε εναντίον της μηδενικής υπόθεσης καλείται κρίσιμη περιοχή του ελέγχου. Όπως λοιπόν είναι προφανές, η απόφασή μας λαμβάνεται με βάση την τιμή μιας στατιστικής συνάρτησης, όπως αυτή προκύπτει από τις παρατηρήσεις κάποιου διαθέσιμου τυχαίου δείγματος. Η απόφασή μας μπορεί να είναι σωστή, μπορεί και όχι! Συγκεκριμένα, τρία πράγματα μπορεί να συμβούν Να αποφασίσουμε σωστά Να απορρίψουμε την H 0, ενώ αυτή είναι αληθινή Να μην απορρίψουμε την H 0, ενώ θα έπρεπε. όπως φαίνεται και στο επόμενο σχήμα.

Τι πραγματικά ισχύει (και ποτέ σχεδόν δεν το ξέρουμε) H 0 H Τι αποφασίζουμε (με βάση την τιμή της στατιστικής συνάρτησης) H 0 H Σωστή απόφαση Λανθασμένη απόρριψη της H 0 Λανθασμένη αποδοχή της H 0 Σωστή απόφαση Στην περίπτωση που λανθασμένα απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση, λέμε ότι έχουμε διαπράξει Σφάλμα Τύπου Ι, ενώ αν λανθασμένα δεν απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση, λέμε ότι έχουμε διαπράξει Σφάλμα Τύπου ΙΙ. Η πιθανότητα να διαπράξουμε σφάλμα τύπου Ι (όταν η μηδενική υπόθεση έχει την "απλή" μορφή H 0 : 0 ), καλείται και επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου και συμβολίζεται με α. Η πιθανότητα να διαπράξουμε σφάλμα τύπου ΙI εξαρτάται από την πραγματική τιμή της παραμέτρου που εξετάζουμε (και εδώ, λόγω της μορφής που έχει η εναλλακτική υπόθεση, μπορεί να είναι περισσότερες από μία) και ουσιαστικά ορίζει μια συνάρτηση που συμβολίζεται με ( ).

Μια προσέγγιση (καλή ή κακή;) Ο υπεύθυνος του εργοστασίου που παράγει τους ράβδους για περίφραξη γνωρίζει ότι το μήκος τους κατανέμεται κανονικά με μέση τιμή 00 εκατοστά και διακύμανση 0.05. Μετά όμως από αρκετές διαμαρτυρίες για "μακρυές" ράβδους που δεν "κουμπώνουν" στα πλαίσια περίφραξης που κατεγράφησαν στο τμήμα παραπόνων της εταιρείας, θέλει να τσεκάρει ότι όντως το μέσο μήκος των ράβδων είναι 00 εκατοστά και όχι μεγαλύτερο, λαμβάνοντας ένα τυχαίο δείγμα 0 ράβδων. Αποφασίζει δε να διακόψει την παραγωγή αν η μέση τιμή των 0 ράβδων που θα μετρήσει βρεθεί μεγαλύτερη από 00.0 εκατοστά. α) Διατυπώστε τη μηδενική και την εναλλακτική υπόθεση του ελέγχου β) Εντοπίστε την στατιστική συνάρτηση του ελέγχου που θα χρησιμοποιηθεί από τον υπέυθυνο γ) Εντοπίστε την κρίσιμη περιοχή του ελέγχου δ)υπολογίστε το σφάλμα τύπου Ι που θα διαπράξει ο υπεύθυνος του εργοστασίου στον έλεγχο που θα κάνει. α) H H 0 : 00 : 00 β) Στατιστική συνάρτηση του ελέγχου: X γ) X 00. 0 δ) Πιθανότητα Σφάλματος τύπου Ι: P. H H ) P( X 00.0 00) ( 0 0 X 00 00.0 00 P ( X 00.0) P( ) P( Z 0.4) (0.4) 0.345 0.05 0.05

Διαδικασία ελέγχου υποθέσεων (γενικά). Ορίζουμε, σύμφωνα με το πρόβλημα, τη μηδενική υπόθεση και την εναλλακτική της.. Ορίζουμε το επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου (πιθανότητα λανθασμένης απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης). 3. Ορίζουμε τη στατιστική συνάρτηση του ελέγχου που θα χρησιμοποιήσουμε (πρέπει η κατανομή της να είναι καθορισμένη όταν ισχύει η μηδενική υπόθεση) 4. Οριοθετούμε την κρίσιμη περιοχή του ελέγχου (δηλαδή τις τιμές αυτές της στατιστικής συνάρτησης που όταν "εμφανιστούν" θα πρέπει να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση. 5. Υπολογίζουμε την τιμή της στατιστικής συνάρτησης του ελέγχου με βάση το δείγμα μας και αποφασίζουμε σχετικά με την απόρριψη ή μη της μηδενικης υπόθεσης, σύμφωνα με την κρίσιμη περιοχή του (4). Σημείωση: Για να οριστεί η κρίσιμη περιοχή, λαμβάνουμε υπόψη το επίπεδο σημαντικότητας () και τη μορφή της εναλλακτικής υπόθεσης ().

Εφαρμογές Σε ό,τι ακολουθεί εννοείται ότι έχουμε λάβει ένα τυχαίο δείγμα X X,..., X από τον πληθυσμό μας, n

Έστω ότι ένα χαρακτηριστικό που μελετάμε ακολουθεί την N(, ) με γνωστή διακύμανση. Έλεγχος της H0 : 0 σε επίπεδο σημαντικότητας a

Εναλλακτική υπόθεση : H : 0 Στατιστική συνάρτηση του ελέγχου: T X 0 T ~ N(0,) / n H 0 Απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση αν η Τ λάβει μεγάλες θετικές ή μεγάλες αρνητικές τιμές. Πόσο μεγάλες; Για επίπεδο σημαντικότητας α, t z a/ t z a/ ή Κρίσιμη περιοχή του ελέγχου: t za / όπου: t x 0 / n a a / a / z a/ z a /

Εναλλακτική υπόθεση : H : 0 Στατιστική συνάρτηση του ελέγχου: T X 0 T ~ N(0,) / n H 0 Απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση αν η Τ λάβει μεγάλες θετικές τιμές. Πόσο μεγάλες; Για επίπεδο σημαντικότητας α, t z a Κρίσιμη περιοχή του ελέγχου: t z a όπου: t x 0 / n a a z a

Εναλλακτική υπόθεση : H : 0 Στατιστική συνάρτηση του ελέγχου: T X 0 T ~ N(0,) / n H 0 Απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση αν η Τ λάβει μεγάλες αρνητικές τιμές. Πόσο μεγάλες; Για επίπεδο σημαντικότητας α, t z a Κρίσιμη περιοχή του ελέγχου: t z a όπου: t x 0 / n a a z a

Έλεγχοι υποθέσεων Χρήσιμο τυπολόγιο

Μηδενική υπόθεση 0 0 p 0 p 0 0 Πληθυσμιακές υποθέσεις N (, ), γνωστό N (, ), άγνωστο N (, ), άγνωστο μεγάλο δείγμα Bn (, p) μεγάλο δείγμα t Συνάρτηση του ελέγχου t t t x 0 / n x 0 s / n ( n ) s t 0 x 0 s / n Εναλλακτική υπόθεση 0 0 0 Κρίσιμη περιοχή t za/ t z a t z a a 0 t t n, / 0 t t n, a t t n, a 0 0 0 0 pˆ p 0 0 p0( p0) n 0 0 0 n, ( a / ) t ή t t t n, a n, a a t z / t za t za p p t za/ p p 0 t za p t za p 0 n, a /

Εφαρμογή Μέρος ΙΙ, σελ 53 και Μέρος V σελ 4 συνέχεια...

Σχέδιο Ο υπέυθυνος του εργοστασίου καλεί, ξεχωριστά τον έναν από τον άλλο, τους 0 υπαλλήλους που γνωρίζουν στατιστική και τους ζητά να τσεκάρουν αν το μέσο μήκος των ράβδων είναι ίσο με 00 και όχι διάφορο από 00, με βάση τα δεδομένα που συνέλεξαν και με πιθανότητα λανθασμένης απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης ίση με 0.. Τους είπε δε ότι το μήκος των ράβδων κατανέμεται κανονικά. 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 99.75 99.99 99.7 00.0 99.3 99.93 99.7 99.86 00.07 99.65 00.9 99.99 99.85 99.64 99.83 99.83 99.55 99.96 00.3 00.38 99.7 00.09 00.7 99.99 00.8 00.6 00.6 00.4 99.98 00.44 3 00.36 99.6 99.74 00.36 99.96 99.8 00. 00.5 99.4 00.0 00.05 00.04 00.9 99.5 00.3 Υπάλληλος 4 00.55 99.8 00. 99.97 99.86 00.04 00.4 00. 00.38 00.0 99.89 99.5 99.75 99.47 99.98 5 99.87 00. 99.76 00.07 00.06 00.05 00.56 99.6 00.4 99.38 00. 00.04 00.3 99.89 00. 6 00.47 00.09 99.64 00. 99.79 99.64 00.8 00.09 00.45 99.83 99.4 00.4 00.64 99.7 99.96 7 99.94 00.47 99.87 99.68 00.3 00. 99.48 00.05 00.0 99.85 00.55 00.06 00.5 00.08 00.4 8 99.39 99.93 00.0 00.9 00.6 99.78 99.86 00.08 00.35 99.67 00.37 99.9 00.58 00.0 00.4 9 99.45 99.66 00.3 00.5 00.5 00.4 99.94 00.46 99.78 00.04 00.03 99.84 99.67 00.03 00.6 0 99.66 00.44 00.09 99.8 00.09 99.46 00.9 99.85 00.06 00. 00.6 00.35 00.08 99.85 00.6

Τί θα χρειαστούν; Τη μηδενική και την εναλλακτική υπόθεση Το επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου α H H 0 : 00 : 00 0. Την κατάλληλη συνάρτηση του έλεγχου T X S 0 / n X S 00 / 5 Την κρίσιμη περιοχή του ελέγχου t t.76 4,0. 05 Να υπολογίσουν τα, από τα δεδομένα τους με χρήση των τύπων: x x n s n x n για να υπολογίσουν την τιμή της συνάρτησης του ελέγχου και να δούν αν είναι στην κρίσιμη περιοχή s n ( x x)

x s t t.76 Απόρριψη μηδενικής υπόθεσης; Υπάλληλος 3 4 5 6 7 8 9 0 99.8667 0.367 -.904 NAI NAI 00.07 0.8984.63 OXI OXI 99.99667 0.346-0.040 OXI OXI 99.98667 0.94-0.77 OXI OXI 00.043 0.305658 0.53 OXI OXI 00.0087 0.3473 0.097 OXI OXI 00.0633 0.8834 0.867 OXI OXI 00.0367 0.30054 0.473 OXI OXI 00.0367 0.34866 0.438 OXI OXI 00.063 0.30493 0.787 OXI OXI Θυμηθείτε ότι ο υπεύθυνος γνωρίζει ότι η μέση τιμή του πληθυσμού είναι 00

Άσκηση. Η διάρκεια ζωής λαμπτήρων πυρακτώσεως κατανέμεται κανονικά με διακύμανση 9 ώρες. α. Ο υπεύθυνος του εργοστασίου, αξιολογώντας την παραγωγή, πιστεύει ότι η μέση διάρκεια ζωής των λαμπτήρων που κατασκευάζονται είναι μικρότερος από 000 ώρες. Για να "ελέγξει" την υπόθεσή του λαμβάνει το παρακάτω τυχαίο δείγμα 6 παρατηρήσεων: 000, 998, 995, 005, 999, 999, 990, 00, 006, 978, 99, 004, 000, 00, 00, 005 Να έλεγξετε την υπόθεση του υπεύθυνου σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.. β. Να ελέγξετε ξανά την υπόθεση του υπεύθυνου σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 γ. Ας θεωρήσουμε ότι ο υπεύθυνος έλαβε τυχαίο δείγμα 30 παρατηρήσεων το οποίο του έδωσε ίδια (δειγματική) μέση τιμή με το δείγμα που χρησιμοποιήθηκε στο Ερώτημα (α). Να ελέγξετε ξανά την υπόθεση του υπεύθυνου σε επίπεδα σημαντικότητας α = 0. και α = 0.05. Άσκηση. Η διάρκεια ζωής λαμπτήρων πυρακτώσεως κατανέμεται κανονικά με μέση τιμή μ και διακύμανση σ. Ο υπεύθυνος του εργοστασίου, αξιολογώντας την παραγωγή, πιστεύει ότι η μέση διάρκεια ζωής των λαμπτήρων που κατασκευάζονται είναι διαφορετικός από τις 000 ώρες που αναγράφονται στις προδιαγραφές. Για να "ελέγξει" την υπόθεσή του λαμβάνει το παρακάτω τυχαίο δείγμα 6 παρατηρήσεων: 000, 998, 995, 005, 999, 999, 990, 00, 006, 978, 99, 004, 000, 00, 00, 005 Να ελέγξετε την υπόθεση του υπεύθυνου σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 και α = 0.0. Άσκηση 3. Η διάρκεια ζωής λαμπτήρων πυρακτώσεως κατανέμεται κανονικά με μέση τιμή μ και διακύμανση σ. Ο υπεύθυνος του εργοστασίου, αξιολογώντας την παραγωγή, πιστεύει ότι η διακύμανση της διάρκειας ζωής των λαμπτήρων που κατασκευάζονται είναι 4 ώρες, ενώ κάποιος από το τμήμα ποιοτικού ελέγχου διατείνεται ότι είναι μεγαλύτερη και θα πρέπει να ελαττωθεί. Να ερευνήσετε για το ποιος μπορεί να έχει δίκιο, χρησιμοποιώντας το παρακάτω τυχαίο δείγμα 6 παρατηρήσεων από την τρέχουσα παραγωγή: 000, 998, 995, 005, 999, 999, 990, 00, 006, 978, 99, 004, 000, 00, 00, 005 Χρησιμοποιήστε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 και α = 0.0.

Άσκηση 4. Η διάρκεια ζωής λαμπτήρων πυρακτώσεως ακολουθεί κάποια κατανομή με μέση τιμή μ και διακύμανση σ. Ο υπεύθυνος του εργοστασίου, αξιολογώντας την παραγωγή, πιστεύει ότι η μέση διάρκεια ζωής των λαμπτήρων που κατασκευάζονται είναι διαφορετικός από τις 000 ώρες που αναγράφονται στις προδιαγραφές. Για να "ελέγξει" την υπόθεσή του λαμβάνει τυχαίο δείγμα 400 παρατηρήσεων. Από τις παρατηρήσεις του δείγματός υπολογίζει 400 ( x 00 και x 00) 359. Να ελέγξετε την υπόθεση του υπεύθυνου σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 και α = 0.0. Άσκηση 5. Κάποιος υποστηρίζει ότι, εξαιτίας μιας ιδιαίτερα αποδοτικής αντικαπνιστικής εκστρατείας, το ποσόστο των ανθρώπων που καπνίζουν είναι πλέον μικρότερο από 30%. Για να ελέγξουμε την υπόθεσή του αυτή ρωτήσαμε τυχαία 6 άτομα, για τον αν καπνίζουν ή όχι. Οι παρατηρήσεις μας (: καπνιστής, 0: μη καπνιστής) είναι:, 0, 0, 0,,, 0, 0,,, 0, 0, 0, 0, 0, Να ελέγξετε την υπόθεση που διατυπώθηκε σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 και α = 0.0. Πόσο αξιόπιστα είναι τα συμπεράσματά μας; Άσκηση 6. Ο υποψήφιος Α. διατείνεται ότι θα λάβει ποσοστό μεγαλύτερο από 40% στις επόμενες δημοτικές εκλογές. Για να ελέγξουμε την υπόθεσή του αυτή ρωτήσαμε 00 ψηφοφόρους του δήμου του και οι 35 μας είπαν ότι θα τον υποστηρίξουν. Να ελέγξετε την "εκτίμηση" του υποψήφιου Α. σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 και α = 0.0.

Ανάλυση Παλινδρόμησης Η έννοια της Παλινδρόμησης

Εξέταση της σχέσης μεταξύ μεταβλητών Σε διάφορα προβλήματα της Στατιστικής το ενδιαφέρον μας εστιάζεται στην ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο τρόπο οι μεταβλητές αυτές σχετίζονται μεταξύ τους.

Εξέταση της σχέσης μεταξύ μεταβλητών: Παραδείγματα Η ηλικία και το βάρος ενός παιδιού έχουν κάποια θετική εξάρτηση/συσχέτιση μεταξύ τους (όσο μεγαλύτερη η ηλικία του παιδιού τόσο μεγαλύτερο βάρος θα έχει). Η διάρκεια ζωής των ζώντων οργανισμών σε μια περιοχή και το επίπεδο μόλυνσης της περιοχής έχουν αρνητική εξάρτηση μεταξύ τους (όσο πιο μεγάλη είναι η μόλυνση της περιοχής τόσο μικρότερη είναι η διάρκεια ζωής των οργανισμών που ζουν στην περιοχή).

Εξέταση της σχέσης μεταξύ μεταβλητών: Παραδείγματα Η συνολική παραγωγή ενός αγρού εξαρτάται από την ποσότητα λιπάσματος που χρησιμοποιήθηκε, από τη θερμοκρασία και την υγρασία της περιοχής κτλ. Το ύψος των αποδοχών των υπαλλήλων μιας εταιρείας εξαρτάται από τα χρόνια υπηρεσίας στην εταιρεία, από το επίπεδο μόρφωσής τους κτλ.

Η Ανάλυση Παλινδρόμησης Ο κλάδος της Στατιστικής που εξετάζει τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων μεταβλητών με απώτερο στόχο την πρόβλεψη μιας απ αυτές μέσω των άλλων λέγεται α ν ά λ υ σ η π α λ ι ν δ ρ ό μ η σ η ς (regresson analyss).

Απλή παλινδρόμηση Στην απλή παλινδρόμηση, χρησιμοποιούμε μόνο μια μεταβλητή Χ, και μια δεύτερη μεταβλητή Υ η οποία μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από μία συνάρτηση του X πχ. Υ να εκφράζεται μέσω της Χ ως Υ 3Χ+5 X: ανεξάρτητη μεταβλητή (ndependent or nput varable) Υ: εξαρτημένη μεταβλητή (dependent or response varable)

Απλή και πολλαπλή Ανάλυση παλινδρόμησης Η παλινδρόμηση στην οποία υπάρχει μόνο μια ανεξάρτητη μεταβλητή καλείται απλή παλινδρόμηση ενώ αν υπάρχουν περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές λέγεται πολλαπλή παλινδρόμηση.

Απλή και πολλαπλή Ανάλυση παλινδρόμησης : παραδείγματα Η εύρεση της σχέσης μεταξύ της συνολικής παραγωγής ενός αγρού και της ποσότητας λιπάσματος που χρησιμοποιήθηκε (απλή παλινδρόμηση) Η εύρεση της σχέσης μεταξύ της συνολικής παραγωγής ενός αγρού και της ποσότητας λιπάσματος που χρησιμοποιήθηκε, της θερμοκρασίας της περιοχής και της υγρασίας της περιοχής (πολλαπλή παλινδρόμηση)

Απλή παλινδρόμηση Για την εύρεση του κατάλληλου μοντέλου για την περιγραφή της σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών που μας ενδιαφέρουν, συνήθως ξεκινάμε κατασκευάζοντας το διάγραμμα διασποράς (scatter plot) στο επίπεδο των παρατηρήσεων που διαθέτουμε. Σε ένα τέτοιο διάγραμμα οι τιμές της μεταβλητής Χ τοποθετούνται στον οριζόντιο άξονα και της μεταβλητής Υ στον κατακόρυφο άξονα.

Απλή γραμμική παλινδρόμηση Η απλούστερη περίπτωση παλινδρόμησης είναι η απλή γραμμική παλινδρόμηση (smple lnear regresson), κατά την οποία χρησιμοποιούμε μόνο μια μεταβλητή Χ, και μια δεύτερη μεταβλητή Υ η οποία μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από μία γραμμική συνάρτηση του X. X: ανεξάρτητη μεταβλητή (ndependent or nput varable) Υ: εξαρτημένη μεταβλητή (dependent or response varable)

Απλή γραμμική παλινδρόμηση: ένα παράδειγμα Ένας αγρότης ενδιαφέρεται να προσδιορίσει τον τρόπο με τον οποίο η ποσότητα Χ του λιπάσματος που χρησιμοποιείται σε ένα αγροτεμάχιο επηρεάζει την παραγωγή Υ του αγροκτήματος. Για το σκοπό αυτό πειραματίζεται με ν=0 όμοια αγροτεμάχια (ίδιου εμβαδού, σε περιοχές που επικρατούν παρόμοιες κλιματολογικές συνθήκες κλπ) έτσι ώστε οι όποιες διαφοροποιήσεις παρατηρούνται στην παραγωγή των αγρών να οφείλονται κατά κύριο λόγο στις διαφορετικές ποσότητες λιπάσματος που χρησιμοποιήθηκαν. Στο διπλανό πίνακα δίνεται η παραγωγή Υ (σε χιλιάδες κιλά) για ν=0 όμοια αγροτεμάχια καθώς και η ποσότητα Χ του λιπάσματος που χρησιμοποιήθηκε στο καθένα (σε εκατοντάδες κιλά).

Απλή γραμμική παλινδρόμηση: ένα παράδειγμα Διάγραμμα διασποράς των δεδομένων

Απλή γραμμική παλινδρόμηση: ένα παράδειγμα Διάγραμμα διασποράς των δεδομένων και 3 ευθείες προσέγγισης Μ. Κούτρας - X. Ευαγγελάρας

Προσδιορίζοντας την ευθεία που ταιριάζει περισσότερο στα σημεία: Οι κατακόρυφες αποκλίσεις y (x ν,y ν ) y 0 x (x,y ) (x,y ) y x x ( 0 x ) y 0 x, x ν x,,...,

Προσδιορίζοντας την ευθεία που ταιριάζει περισσότερο στα σημεία Μιά μέθοδος που χρησιμοποιείται για την εύρεση της εξίσωσης της καλύτερης ευθείας που προσαρμόζεται σε (δισδιάστατα) δεδομένα, είναι η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Η πρώτη αναφορά με ολοκληρωμένη ανάπτυξη της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων εμφανίζεται το 805 σε μια εργασία του Γάλλου μαθηματικού Legendre, (75-833) και αμέσως μετά από το Γερμανό μαθηματικό Gauss, (777-855) στην αστρονομική του πραγματεία Theora Motus για τον προσδιορισμό της τροχιάς του μικρού πλανήτη Δήμητρα. Ο Gauss μάλιστα αναφέρει ότι χρησιμοποίησε την αρχή των ελαχίστων τετραγώνων πριν από το 794 (σε ηλικία μόλις 7 ετών), και έτσι «φαίνεται» να προηγείται του Legendre ως προς την ανακάλυψη της μεθόδου.

H μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (Least squares method) Σύμφωνα με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, η ευθεία που προσαρμόζεται καλύτερα στα δεδομένα (ν σημεία στο επίπεδο) είναι, αυτή που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των (κατάλοιπων) αποκλίσεων ε, δηλαδή το ( 0 x ) y.

H μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (Least squares method) Γιατί άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων ε και όχι απλό άθροισμα των αποκλίσεων ε ;

Οι εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων (Least squares estmators) y ( 0 x )

Οι εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων: εναλλακτικές εκφράσεις x y x x y y x x 0 ˆ ˆ, ) ( ) )( ( ˆ, x x y y

Οι εκτιμήτριες ελαχίστων τετραγώνων: εναλλακτικές εκφράσεις xx xy S S ˆ, x S S y xx xy 0 ˆ, x x y y ) )( ( y y x x S xy, ) ( xx x x S x y x x y y x x 0 ˆ ˆ, ) ( ) )( ( ˆ

Η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων Η ευθεία y ˆ ˆ x 0 καλείται ευθεία ελαχίστων τετραγώνων ή ευθεία παλινδρόμησης της Υ (πάνω) στη Χ. Αντικαθιστώντας το παίρνει τη μορφή ˆ 0 ˆ x η ευθεία ελαχίστων τετραγώνων y y y ( x x), ˆ η οποία φανερώνει ότι διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες ( x, y) και έχει συντελεστή διεύθυνσης το ˆ.

Παράδειγμα: Υπολογισμός των ε.ε.τ. Ένας αγρότης ενδιαφέρεται να προσδιορίσει τον τρόπο με τον οποίο η ποσότητα Χ του λιπάσματος που χρησιμοποιείται σε ένα αγροτεμάχιο επηρεάζει την παραγωγή Υ του αγροκτήματος. Για το σκοπό αυτό πειραματίζεται με ν=0 όμοια αγροτεμάχια (ίδιου εμβαδού, σε περιοχές που επικρατούν παρόμοιες κλιματολογικές συνθήκες κλπ) έτσι ώστε οι όποιες διαφοροποιήσεις παρατηρούνται στην παραγωγή των αγρών να οφείλονται κατά κύριο λόγο στις διαφορετικές ποσότητες λιπάσματος που χρησιμοποιήθηκαν. Στο διπλανό πίνακα δίνεται η παραγωγή Υ (σε χιλιάδες κιλά) για ν=0 όμοια αγροτεμάχια καθώς και η ποσότητα Χ του λιπάσματος που χρησιμοποιήθηκε στο καθένα (σε εκατοντάδες κιλά).

Παράδειγμα: Υπολογισμός των ε.ε.τ.

Παράδειγμα: Υπολογισμός των ε.ε.τ.

Παράδειγμα: Υπολογισμός των ε.ε.τ.

Παράδειγμα: Ερμηνεία των ε.ε.τ.

Παράδειγμα: Ερμηνεία των ε.ε.τ.

Η ερμηνεία των εκτιμητριών ελαχίστων τετραγώνων Στην εξίσωση ελαχίστων τετραγώνων η τιμή της εκτιμήτριας ˆ 0 ˆ ˆ ˆ x y 0 της παραμέτρου 0 παριστάνει την τεταγμένη του σημείου στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα (τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής Υ όταν ). Όταν το x 0 ˆ0 0 τότε η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ο συντελεστής διεύθυνσης ˆ της ευθείας yˆ ˆ ˆ 0 x παριστάνει τη μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής Υ όταν το Χ μεταβληθεί κατά μια μονάδα. Έτσι, όταν το x αυξηθεί κατά μια μονάδα τότε το ŷ αυξάνεται κατά ˆ μονάδες όταν ˆ 0 ή ελαττώνεται κατά ˆ μονάδες όταν ˆ 0. yy

Παράδειγμα: Ερμηνεία των ε.ε.τ.

Ασκήσεις

Ένα υλικό συσκευάζεται από ένα εργοστάσιο σε μεγάλα κουτιά ο Αριθμός αριθμός των οποίων ποικίλει ανάλογα με την παραγγελία. Ο κουτιών Εργατοώρες διπλανός πίνακας δίνει τον αριθμό των κουτιών που 60 30 συσκευάστηκαν (ώστε να καλυφθούν οι παραγγελίες που δέχτηκε 40 6 0 365 το εργοστάσιο) και τις εργατοώρες που χρειάστηκαν για 0 60 55 πρόσφατες παραγγελίες που εκτελέστηκαν. 80 63 α. Ποια από τις δύο μεταβλητές (αριθμός κουτιών, εργατοώρες) 00 335 μπορεί να θεωρηθεί ως ανεξάρτητη μεταβλητή Χ και ποια ως 00 335 40 464 εξαρτημένη Υ; 80 587 β. Να κατασκευασθεί το αντίστοιχο διάγραμμα διασποράς των 70 45 δεδομένων. γ. Να υπολογισθεί με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων η ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης της Υ πάνω στη Χ. Στη συνέχεια. να δοθεί η ερμηνεία της κλίσης ˆ και του σταθερού όρου ˆ 0 της ευθείας παλινδρόμησης.. να γίνει πρόβλεψη για τον αριθμό των εργατοωρών που θα χρειασθούν για να ικανοποιηθεί μια παραγγελία που απαιτεί τη συσκευασία 85 κουτιών.

Β.

Γ. x y x x y 60 30 3600 3800 40 6 600 6440 3 0 365 4400 43800 4 60 55 5600 8400 5 80 63 6400 040 6 00 335 0000 33500 7 00 335 0000 33500 8 40 464 9600 64960 9 80 587 3400 05660 0 70 45 4900 750 Άθροισμα 050 3500 8500 450 Ερμηνεία; ˆ x y ( x )( y ) 04500503500 08500050 x ( x ) y 35 3x 3 ˆ ˆ 0 y x 3500 3 050 350 35 35 0 0