Σ.Α.Τ.Μ. ΕΜΠ Γενική Γεωδαισία Άσκηση 1 1

Σ.Α.Τ.Μ. ΕΜΠ Γενική Γεωδαισία Άσκηση 1 1 Άσκηση 1 ο (Θεμελιώδη προβλήματα) Για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων των κορυφών μιας ιδιοκτησίας Α-Β-Γ-Δ-Ε (σκαρίφημα 1) στο κρατικό σύστημα αναφοράς ΕΓΣΑ '87, μετρήθηκαν από τα γνωστά σημεία Σ1, Σ2 και Σ3 (πίνακας 1), οι παρακάτω οριζόντιες γωνίες και αποστάσεις (πίνακας 2). Σκαρίφημα 1 Σημείο x (m) y (m) Σ1 600157.589 4061512.739 Σ2 600157.589 4061580.688 Σ3 600263.315 4061591.940 Πίνακας Ι Οριζόντιες Γωνίες Οριζόντιες Αποστάσεις (m) Σ1Σ2Α = 339.7736 g Σ2A = 38.360 Σ1Σ2Ε = 388.3339 g Σ2Ε = 63.599 Σ2Σ3Β = 336.4952 g Σ3Β = 53.364 Σ2Σ3Γ = 320.7229 g Σ3Γ = 79.475 Σ2Σ3Δ = 326.2378 g Σ3Δ = 110.689 Πίνακας ΙΙ

Ζητείται να υπολογιστούν: α) Οι συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ, Δ, Ε της ιδιοκτησίας στο ΕΓΣΑ 87. Επιπλέον για το σημείο Δ να υπολογιστούν τα τυπικά σφάλματα των συντεταγμένων του αν σ Σ3 Δ = ±0.005m και σ Σ2 Σ 3 Δ = ±50 cc θεωρώντας ότι οι συντεταγμένες των σημείων Σ2 και Σ3 είναι γνωστές χωρίς σφάλμα. β) Το εμβαδόν της ιδιοκτησίας στο ΕΓΣΑ '87 και στο έδαφος. γ) Η οριζόντια γωνία Ε-Β-Δ. δ) Μέσα στην ιδιοκτησία υπάρχει ένα πηγάδι. Αν οι συντεταγμένες του κέντρου του πηγαδιού είναι (600218.803, 4061536.492), να εξεταστεί αν αυτό βρίσκεται στην ίδια ευθυγραμμία με τα σημεία Α και Δ και να υπολογιστεί η οριζόντια απόσταση του σημείου αυτού με το σημείο Δ στο έδαφος. Ο συντελεστής χαρτογραφικής προβολής της περιοχής είναι m = 0.999724. MT, BT, ΓΓ, ΒΓ/δτ, γπν/11.12.13

Σ.Α.Τ.Μ. ΕΜΠ Γενική Γεωδαισία Άσκηση 1 3 Σχήμα 1.1 α) Υπολογίζουμε τις γωνίες διεύθυνσης α Σ1 Σ 2 και α Σ2 Σ 3 με το 2 ο θεμελιώδες Για την α Σ2 Σ 1 : άρα α Σ2 Σ 1 = 200 g (Δx = 0, Δy < 0) α = arctan x Σ 1 x Σ2 y Σ1 y Σ2 = arctan0 = 0 Για την α Σ2 Σ 3 : α = arctan x Σ 3 x Σ2 y Σ3 y Σ2 = arctan 105.726 11.252 = 93g. 2501 Επειδή Δx, Δy > 0, α Σ2 Σ 3 = 0 = 93 g. 2501 Για το α Σ2 A: α Σ2 Α = α Σ1 Σ 2 + β Σ1 Σ 2 A + 200 g κ 400 g = 139 g. 7736 (α Σ1 Σ 2 = 0) Για το α Σ2 Ε: α Σ2 E = α Σ1 Σ 2 + β Σ1 Σ 2 Ε + 200 g κ 400 g = 188 g. 3339 Επίσης αξιοποιούμε τη σχέση m = SΕΓΣΑ 87 S έδαφος S ΕΓΣΑ 87 = m S έδαφος. Έτσι, μετατρέπουμε s μετρημένες αποστάσεις στις αντίστοιχες στο προβολικό επίπεδο του

ΕΓΣΑ '87 Σ 2 Α ΕΓΣΑ 87 = m Σ 2 Α έδαφος Σ 2 Α ΕΓΣΑ 87 = 38.349m Σ 2 E ΕΓΣΑ 87 = m Σ 2 E έδαφος Σ 2 E ΕΓΣΑ 87 = 63.582m Σ 3 B ΕΓΣΑ 87 = m Σ 3 B έδαφος Σ 3 B ΕΓΣΑ 87 = 53.349m Σ 3 Γ ΕΓΣΑ 87 = m Σ 3 Γ έδαφος Σ 3 Γ ΕΓΣΑ 87 = 79.453m Σ 3 Δ ΕΓΣΑ 87 = m Σ 3 Δ έδαφος Σ 3 Δ ΕΓΣΑ 87 = 110.659m 1 ο θεμελιώδες για τις συντεταγμένες των Α και Ε: x A = x Σ2 + Σ 2 Α ΕΓΣΑ 87 sina Σ2 Α = 600188.694m y A = y Σ + Σ 2 Α ΕΓΣΑ 87 cosa Σ2 Α = 4061558.258m x E = x Σ2 + Σ 2 E ΕΓΣΑ 87 sina Σ2 E = 600169.175m y E = y Σ2 + Σ 2 E ΕΓΣΑ 87 cosa Σ2 E = 4061518.171m α Σ3 Β: 3ο θεμελιώδες (όδευση Σ 2 Σ 3 B) α Σ3 Β = α Σ2 Σ 3 + β Σ2 Σ 3 Β + 200 g 400 g = 229 g. 7453 α Σ3 Γ: 3ο θεμελιώδες (όδευση Σ 2 Σ 3 Γ) α Σ3 Γ = α Σ2 Σ 3 + β Σ2 Σ 3 Γ + 200 g 400 g = 213 g. 9730 α Σ3 Δ: 3ο θεμελιώδες (όδευση Σ 2 Σ 3 Δ) α Σ3 Δ = α Σ2 Σ 3 + β Σ2 Σ 3 Δ + 200 g 400 g = 219 g 4879

Σ.Α.Τ.Μ. ΕΜΠ Γενική Γεωδαισία Άσκηση 1 5 Τέλος, 1ο θεμελιώδες για τις συντεταγμένες των Β,Γ,Δ: x Β = x Σ3 + Σ 3 Β ΕΓΣΑ 87 sina Σ3 Β = 600239.285m y Β = y Σ3 + Σ 3 Β ΕΓΣΑ 87 cosa Σ3 Β = 4061544.309m x Γ = x Σ3 + Σ 3 Γ ΕΓΣΑ 87 sina Σ3 Γ = 600246.016m y Γ = y Σ3 + Σ 3 Γ ΕΓΣΑ 87 cosa Σ3 Γ = 4061514.393m x Δ = x Σ3 + Σ 3 Δ ΕΓΣΑ 87 sina Σ3 Δ = 600229.967m y Δ = y Σ3 + Σ 3 Δ ΕΓΣΑ 87 cosa Σ3 Δ = 4061486.425m Για να υπολογιστούν τα τυπικά σφάλματα των συντεταγμένων του σημείου Δ, θα χρησιμοποιήσουμε το νόμο μετάδοσης σφαλμάτων πρώτα για το x Δ και έπειτα για το y Δ. Είναι x Δ = x Σ3 + Σ 3 Δ sina Σ3 Δκαιy Δ = y Σ3 + Σ 3 Δ cosa Σ3 Δ(όπουΣ 3 Δ: στο ΕΓΣΑ '87) Πρώτα υπολογίζουμε το σ ασ με τη χρήση του νόμου μετάδοσης σφαλμάτων 3Δ α Σ3 Δ = α Σ2 Σ 3 + β Σ2 Σ 3 Δ 200 σ = ± ασ ( α 2 Σ 3 Δ ) σ2 3Δ a ασ + ( α 2 Σ 3 Δ 2 ) (σ 2Σ3 Σ2 Σ 3 β βσ ) 2 2Σ3Δ Σ2 Σ 3 Δ = ± 1 2 0 2 + 1 2 0.000025 σ ασ 3Δ = ±0g. 005ή σ ασ 3Δ = ±50cc (αφού1 cc = 0 g. 0001) Έτσι: σ xδ = ± ( x 2 Δ ) σ2 x xσ + ( x Δ Σ 3 3 Σ 3 Δ )2 2 σ Σ2 Δ + ( x 2 Δ ) a Σ 3Δ ( σ α Σ 3Δ pcc )2

Σ.Α.Τ.Μ. ΕΜΠ Γενική Γεωδαισία Άσκηση 1 6 σ xδ = ± 1 2 0 + (sina Σ3 Δ) 2 2 2 σ Σ3 Δ + (Σ 3 Δ cosa Σ3 Δ) (σ α 2 Σ 3 Δ p cc ) = ± 0.00000227 + 0.000068676 σ xδ = ±0.008m σ yδ = ± ( y 2 Δ ) σ2 y yσ + ( y Δ Σ 3 3 Σ 3 Δ )2 2 σ Σ3 Δ + ( y 2 Δ ) a Σ 3Δ ( σ α Σ 3Δ pcc )2 σ yδ = ± (cosa Σ3 Δ) 2 2 2 σ Σ3 Δ + ( Σ 3 Δ sina Σ3 Δ) ( σ 2 α Σ 3Δ p cc ) σ yδ = ± 0.00002273 + 0.00000686 σ yδ = ±0.005m όπου p cc = 636620

Σ.Α.Τ.Μ. ΕΜΠ Γενική Γεωδαισία Άσκηση 1 7 β) Ο υπολογισμός εμβαδού πολυγώνου με ορθογώνιες συντεταγμένες δίνεται από τον τύπο: 2Ε = Σ xn (y n 1 y n+1 ) I) Εμβαδόν στο ΕΓΣΑ'87 2E = x A (y E y B ) + x B (y A y Γ ) + x Γ (y B y Δ ) + x Δ (y Γ y Ε ) + x Ε (y Δ y Α ) 2E = 15687732.08 + 26329496.24 + 34744640.39 2967668.815 43111952.35 2E = 6783.385m 2 E = 3391.693m 2 Το εμβαδόν, λοιπόν, της ιδιοκτησίας ισούται με 3392.110m 2 στο προβολικό επίπεδο του ΕΓΣΑ'87. ΙΙ) Εμβαδόν στην επιφάνεια αναφοράς (έδαφος) Διαιρούμε το εμβαδόν (ΕΓΣΑ '87) με το τετράγωνο του συντελεστή χαρτογραφικής προβολής της περιοχής m. Έτσι: Ε έδαφος = 3391.693 m 2 = 3391.693 0.999724 2 = 3393.566m2 E έδαφος = 3393.566m 2 γ) Η οριζόντια γωνία ΕΒΔ ^ θα υπολογιστεί ως εξής: ΕΒΔ ^ = α ΒΔ α ΒΕ + 400 g (διαφορά γωνιών διεύθυνσης της τελικής μείον της αρχικής πλευράς) [βλ. Σχήμα 1.1] Για τα αβδ, αβε εφαρμόζουμε το 2 ο θεμελιώδες πρόβλημα για το καθένα. α ΒΔ : α = arctan x Δ x Β y Δ y B = arctan 9.318 57.884 = 10g. 1610

Σ.Α.Τ.Μ. ΕΜΠ Γενική Γεωδαισία Άσκηση 1 8 Όμως Δ x, Δ y < 0 άρα α ΒΔ = 200 g + α a ΒΔ = 210 g. 1610 α ΒE : α = arctan x E x Β y E y B = arctan 70.110 26.138 = 77g. 2820 Όμως Δ x, Δ y < 0 άρα α ΒE = 200 g + α a ΒE = 277 g. 2820 Έτσι, ΕΒΔ ^ = α ΒΔ α ΒΕ + 400 g = 67 g. 1210 + 400 g ΕΒΔ ^ = 332 g. 8790 δ) Για να διαπιστωθεί αν το πηγάδι Π βρίσκεται στοην ίδια ευθυγραμμία με το Α και Δ, θα πρέπει τα Α, Π, Δ να είναι συνευθειακά. Για να συμβεί αυτό πρέπει: α ΑΠ = α ΠΔ. Θα χρησιμοποιήσουμε το 2 ο θεμελιώδες για τα α ΑΠ, α ΠΔ. α ΑΠ : α = arctan x Π x Α y Π y Α = arctan 30.109 21.766 = 60g. 1518 Δ x > 0, Δ y < 0, α ΑΠ = 200 g α a ΑΠ = 139 g. 8482 α ΠΔ : α = arctan x Δ x Π y Δ y Π = arctan 11.164 50.067 = 13g. 9669 Δ x > 0, Δ y < 0, α ΠΔ = 200 g α a ΠΔ = 186 g. 0331 Παρατηρούμε ότι α ΑΠ α ΠΔ, οπότε τα σημεία Α, Π, Δ δεν είναι συνευθειακά Όσο για την οριζόντια απόσταση ΠΔ:

Σ.Α.Τ.Μ. ΕΜΠ Γενική Γεωδαισία Άσκηση 1 9 S ΠΔ ΕΓΣΑ 87 = (x Δ x Π ) 2 + (y Δ = y Π ) 2 = 51.297m (στο ΕΓΣΑ '87) n = S ΠΔ(ΕΓΣΑ 87) S ΠΔ(έδαφος) S ΠΔέδαφος = S ΠΔ(ΕΓΣΑ 87) m S ΠΔ (έδαφος) = 51.311m