Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΝΥΜΑΤΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» 1. * Αν α =, τότε α =. 2. * Αν α, µη µηδενικά διανύσµατα και θ η γωνία τους, τότε 0 θ π 3. * Ισχύει α + 0 = 0 + α = α 4. * Κάθε διάνυσµα µπορεί να γραφεί ως διαφορά του διανύσµατος θέσης του πέρατός του, από το διάνυσµα θέσης της αρχής του. 5. * Το µέτρο ενός διανύσµατος AB είναι µη αρνητικός αριθµός. 6. * Φορέας ενός διανύσµατος είναι η ευθεία πάνω στην οποία ρίσκεται. 7. * Παράλληλα ή συγγραµµικά είναι τα διανύσµατα που έχουν την ίδια διεύθυνση. 8. * Τα αντίθετα διανύσµατα είναι αντίρροπα. 9. * Τα αντίθετα διανύσµατα έχουν ίσα µέτρα. 10. * Τα οµόρροπα διανύσµατα έχουν ίσα µέτρα. 11. * Ορθογώνια είναι δυο µη µηδενικά διανύσµατα α και, αν η γωνία που σχηµατίζουν είναι 90 ο. 12. * υο διανύσµατα µε ίσα µέτρα είναι οµόρροπα. 13. * α + = α +. Από την ισότητα αυτή συµπεραίνουµε ότι τα α, είναι οµόρροπα. 14. * Το λα είναι απόλυτη τιµή πραγµατικού αριθµού. 15. * Οι συνιστώσες του γ = λα + µ είναι τα α και, όπου α, 60
µη συγγραµµικά διανύσµατα. 16. * Αν δυο διανύσµατα έχουν ίσες συντεταγµένες δεν είναι απαραιτήτως ίσα. 17. * Αν α =(3,-5) και =(-6,10) τότε α //. 18. * Το µοναδιαίο διάνυσµα που είναι οµόρροπο µε το 1 α = i + 3 j είναι το διάνυσµα x = (i + 3 j). 10 19. * Το αρύκεντρο δυο σηµείων Α,Β, στα οποία έχουν τοποθετηθεί ίσα άρη είναι το µέσον του ΑΒ. 20. * Το αρύκεντρο µιας οµοιογενούς τριγωνική πλάκας είναι το σηµείο τοµής των διαµέσων της. 21. * ύµφωνα µε το σχήµα ισχύει α = α α 22. * Το α ( + γ) είναι διάνυσµα. 23. * α p = α προ αp 24. * Αν α = 3i + 2 j, = 4i 6 j, τότε α. 25. * Για το διάνυσµα α και τον λ αρνητικό πραγµατικό αριθµό ισχύει: λα = λ α. 26. * Έστω = α + λu,λ R διανυσµατική εξίσωση της ευθείας ε. Η ευθεία ε είναι παράλληλη στο α. 27. * Έστω = 3i j + λ(2i + j), λ R διανυσµατική εξίσωση ευθείας ε. Ο είναι συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι 2 28. * Η ευθεία µε διανυσµατική εξίσωση = i + 2j + µ(i 2j), 1. µ R είναι παράλληλη µε την ευθεία που έχει εξίσωση : 61
y = - 2x + 5. 29. * Τα διανύσµατα του σχήµατος είναι οµόρροπα. 30. * Έστω ΑΒΓ ρόµος µε AB = α. Τότε ΑΒ + ΒΓ + Γ + Α = 4α. 31. * Για το µη µηδενικό διάνυσµα α, το µοναδιαίο διάνυσµα στην κατεύθυνση του α είναι το 32. * Αν τα διανύσµατα ΑΒ και Γ είναι ίσα τότε α = 1 v α. α α) τα διανύσµατα ΑΓ και Β είναι ίσα. ) τα διανύσµατα Α και ΒΓ έχουν το ίδιο µέσο. 33. * Τα διανύσµατα α, α είναι ίσα. α 34. * Τα διανύσµατα, έχουν ίσα µέτρα. α 35. * Το διάνυσµα ν = α + α α έχει τη διεύθυνση της διχοτόµου της γωνίας των α,. v 36. * Αν x = 6y, τότε η γωνία των x και y είναι ίση µε µηδέν. 37. * Αν x = 5y, τότε η γωνία των x v και y είναι 180 ο. 38. * Αν τα διανύσµατα α 0 και 0 είναι συγγραµµικά και ισχύει λα + µ = 0, τότε λ = µ = 0. 39. * Το αρύκεντρο των σηµείων Α, Β µε άρη α, αντίστοιχα δεν αλλάζει αν πολλαπλασιάσουµε τα άρη µε τον ίδιο πραγµατικό αριθµό (διάφορο του µηδενός). 62
40. * Ισχύει : α 2 = α. 41. * Αν τα διανύσµατα α, είναι συγγραµµικά τότε α = α. 42. * Αν για τα διανύσµατα α,, γ, δ ισχύουν 2α + γ = 2 + 5δ και 5α + = 5δ γ, τότε τα διανύσµατα α, δεν είναι συγγραµµικά. 43. * Το εσωτερικό γινόµενο δυο µοναδιαίων διανυσµάτων είναι ίσο µε το συνηµίτονο της γωνίας τους. 44. * Αν α = = 1 και α = 1, τότε τα α, είναι αντίθετα. 45. * Αν το διάνυσµα α + είναι συγγραµµικό µε το διάνυσµα γ, τότε τα διανύσµατα α, είναι συγγραµµικά µε το γ. 46. * Αν τα α, είναι συγγραµµικά µε το γ, τότε το διάνυσµα α + είναι συγγραµµικό µε το γ. 47. * Έστω το παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Τότε: i) ΑΒ = Γ ii) iii) ΑΒ + Α = ΑΓ ΑΒ + ΒΓ = ΑΒ + Α 48. * Αν ΑΓ = 5ΑΒ τότε ΓΑ = 5ΒΑ. Α 49. * ε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ ισχύει ΑΒ = ΑΓ. Β Γ 50. * Αν για τα µη συνευθειακά σηµεία Α,Β,Γ, του επιπέδου ισχύει η ισότητα ΑΒ ΑΓ = ΓΑ Γ, τότε το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο. 63
51. * Αν xi + yj = 0, τότε x = y = 0 52. * Αν ΑΒ = 0, τότε τα σηµεία Α,Β έχουν τις ίδιες συντεταγµένες. 53. * ε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α ισχύει: 1 ΑΒ ΒΓ = ΒΓ ΓΑ = ΓΑ ΑΒ = α 2 2 2 2 54. * Αν α 9 =, τότε α = 3 ή α = 3 55. * Η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α,Β είναι παράλληλη στο διάνυσµα ΒΑ. 56. * Αν µια ευθεία είναι παράλληλη στο διάνυσµα u = (5,7), έχει συντελεστή διεύθυνσης 7 5. 57. * Αν οι ευθείες ε 1,ε 2 διέρχονται από τα σηµεία Α,Β αντίστοιχα και είναι παράλληλες στα διανύσµατα u, v αντίστοιχα, τότε u = v. 58. * ε ορθοκανονικό σύστηµα σύστηµα Οxy µε µοναδιαία διανύσµατα i, j, οι διχοτόµοι της πρώτης και της τέταρτης γωνίας είναι κάθετες. 59. * το ορθογώνιο ΑΒΓ αν u = AB και ν = Α, τότε ισχύει: u + v = u v. 60. * Αν α = = 0, το διάνυσµα α ΜΑ + ΜΒ είναι σταθερό και ανεξάρτητο του Μ. ν Α u Γ Β 61. * Η ευθεία µε παραµετρικές εξισώσεις x = 9 + t, y = 9 - t, t R διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 64
x = 2κ 62. * Οι ευθείες ε: 2x - 3y + 1 = 0 και δ:, κ R είναι y = 3κ κάθετες. 63. * Έστω σηµεία Α (2, 3), Β (-1, 5), Γ (7, -2), (1, 2), Ε (x, 8), Ζ (5, 8) και Η (8, y). Τότε: α) Τα διανύσµατα AB και Γ είναι συγγραµµικά. ) Αν τα διανύσµατα ΓΕ και AB είναι συγγραµµικά τότε η τετµηµένη του Ε είναι - 8 γ) Τα διανύσµατα AB και Ζ είναι κάθετα. δ) Αν τα διανύσµατα ΓΗ και AB είναι κάθετα η τεταγµένη του Η είναι - 2 1 64. * Για τα αντίρροπα διανύσµατα α και ισχύει: α + = α. 65. * Αν 2 α = 3γ + 2, α 0, 0, τότε το γ µπορεί να εκφραστεί ως γραµµικός συνδυασµός των α και. 66. * Τα διανύσµατα α = (-2, 1) και = (-10, 5) είναι παράλληλα. 67. * Aν xi + yj 0, τότε x + y 0 68. * Αν α + = 0, τότε τα α και είναι αντίθετα. 69. * Τα διανύσµατα που έχουν την ίδια διεύθυνση µε τη διχοτόµο της πρώτης γωνίας των αξόνων ενός ορθοκανονικού συστήµατος συντεταγµένων Oxy, είναι της µορφής x = λ(i + j),λ R. 70. * Τα διανύσµατα που έχουν την ίδια διεύθυνση µε τη διχοτόµο της δεύτερης γωνίας των αξόνων ενός ορθοκανονικού συστήµατος συντεταγµένων Οxy είναι της µορφής 65
x = λ( i + j),λ R. 71. * Το µοναδιαίο οµόρροπο διάνυσµα του x = i + j είναι το 1 y x 2 72. * Για τα οµόρροπα διανύσµατα α και έχουµε: α = α. 73. * Αν ΑΓ = ΒΓ τότε τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 74. * Αν i, j µοναδιαία, τότε ( i + j) ( i + j) = 0. 75. * Οι ευθείες µε διανυσµατικές εξισώσεις: = 3i + 5 j + λ(i + 6 j),λ R και = 2i + j + µ( i + 3 j),µ R είναι παράλληλες. 76. * Η ευθεία = 2i + 3 j + λ(5i + 7 j),λ R διέρχεται από το σηµείο Α(-2,3). 66