ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις ιδιότητες όπως στο R, με το μηδέν (0) να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, και το ένα (), να είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i κάθε στοιχείο του C γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή α+βi, όπου α,β R Η έκφραση α+βi, α,β R είναι ακριβώς αυτό που λέμε μιγαδικό αριθμό. Είναι η ένωση δύο αριθμών του πραγματικού α, και του βi, τον οποίο ονομάζουμε φανταστικό αριθμό. Το α είναι το πραγματικό του μέρος και συμβολίζεται με Re()α και το β είναι το φανταστικό του μέρος και συμβολίζεται με Ιm()β ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ α+βi γ+δi αγ και βδ Από τον ορισμό της ισότητας συμπεραίνουμε ότι ο μιγαδικός α+βi γράφεται κατά μοναδικό τρόπο. Επειδή 00+0i. Έχουμε ότι α+βi0 α0 και β0 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ β Μ(α,β) Έστω α+βi το σημείο Μ(α,β) είναι η ΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑ εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικός επίπεδο Το διάνυσμα ΟΜ ταυτίζεται με τον μιγαδικό Ο αριθμό α ΠΡΟΣΟΧΗ Η διάταξη και οι ιδιότητές της δεν μεταφέρονται στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Μπορούμε να αντικαταστήσουμε τους μιγαδικούς με τα διανύσματά τους και να εργαζόμαστε στον διανυσματικό λογισμό (εκτός της πράξης του πολλαπλασιασμού που ορίζεται διαφορετικά από ότι στα διανύσματα) Ο οριζόντιος άξονας είναι ο άξονας των πραγματικών αριθμών Ο κατακόρυφος άξονας είναι ο άξονας των φανταστικών αριθμών ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Εστω α + βi και γ + δi δύο μιγαδικοί αριθμοί ΠΡΟΣΘΕΣΗ + (α + βi ) + (γ + δi ) (α + γ) + (β + δ)i ΑΦΑΙΡΕΣΗ Αντίθετο του μιγαδικού ενός μιγαδικού γ+δi είναι ο μιγαδικός -γ-δi + ( ) (α + βi ) + ( γ δi ) (α γ) + (β δ)i

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΌΣ (α + βi ) (γ + δi ) εκτελούμε κανονικά την επιμεριστική ιδιότητα και έχουμε (αγ βδ) + (αδ + βγ)i ΔΙΑΙΡΕΣΗ Συζυγή ενός μιγαδικού α+βi ονομάζω τον μιγαδικό α-βi, τον οποίο συμβολίζω με α βi α + βi γ + δi (α + βi )(γ δi) (γ + δi)(γ δi) (αγ + βδ) + (βγ αδ)i γ + δ αγ + βδ βγ αδ γ + + δ γ + δ i Μ( + ) Β( ) Ο Α( ) Β( ) Ο Α( ) Μ( ) Γεωμετρική παράσταση πρόσθεσης Γ( ) Γεωμετρική παράσταση αφαίρεσης Γεωμετρική παράσταση πρόσθεσης και αφαίρεσης ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στο παραλληλόγραμμο ΟΑΜΒ το διάνυσμα ΟΜ + και το διάνυσμα ΒΑ ΟΜ Β( ) Α( ) Μ( + ) Ο Γ( ) Μ ( ) Δύναμη Μιγαδικού, και γενικά για νϵν αν ν 0 τότε και αν ν θετικός ακέραιος ορίζουμε Ειδικά αν υ 0 i i i i (i ) i i i αν υ αν υ i αν υ 3

ΑΚΟΜΗ Αν α ν είναι ο νιοστός όρος αριθμητικής προόδου με διαφορά ω και α ο πρώτος όρος τότε ο νιοστός όρος δίδεται από τον τύπο Αν α ν είναι ο νιοστός όρος γεωμετρικής προόδου με λόγο λ και α ο πρώτος όρος τότε ο νιοστός όρος δίδεται από τον τύπο α ν α + (ν )ω και άθροισμα των ν πρώτων όρων είναι: S ΑΣΚΗΣΗ ν (α + α ν ) ν [α + (ν )ω] ν α ν α λ ν και το άθροισμα των ν πρώτων όρων είναι: S ν α λ ν λ Να υπολογισθεί το αθροίσματα α. i + i + i 3 + + i 99 + i 00 β. + i + i + i 3 + + i 99 + i 00 α. Είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το i, λόγο λi και πλήθος όρων ν00 i + i + i + + i + i i i i i (i ) i i i 0 β. Είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το, λόγο λi και πλήθος όρων ν0. Επομένως + i + i + i 3 + + i 99 + i 00 i0 i ΑΣΚΗΣΗ i4 5 i Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης (i + ) 0 + (i ) 0 (i4 ) 5 i i i i (i + ) i + i + + i + i και (i ) i i + i + i Επομένως (i + ) + (i ) ((i + ) ) + ((i ) ) (i) + ( i) i + ( ) i i + i ΑΣΚΗΣΗ 3 Αν ν Z, να δείξετε ότι : i ν + i ν + i ν + i ν3 0 i + i + i + i i ( + i + i + i ) i ( + i i) 0 ΑΣΚΗΣΗ 4 3

Να υπολογίσετε το άθροισμα (α + βi) 30 + (β αi) 30 (α + βi) + (β αi) (α + βi) + i β i α (α + βi) + i βi i α (α + βi) + [i( βi α)] (α + βi) + [i(α βi] [(α + βi) ] + [i (α βi) ] (α + αβi β ) + [ (α αβi β )] (α + αβi β ) [(α αβi β )] 0 ΑΣΚΗΣΗ 5 Α. Να βρείτε τον ακέραιο ν, ώστε να ισχύει: i 5ν + i ν ν + i Β. Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο ν για τον οποίο ισχύει: i ΛΥΣΗ Α. i + i i (i + ) i i ν 4κ + με κ Z Β. + i ( + i) i ( + i)( i) + i i Επομένως + i i i ν 4ρ με ρ Z και επομένως ν 4 ΑΣΚΗΣΗ 6 Α. Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης i i i 3 i ν, με ν Ν Β. Να υπολογισθεί η τιμή του ν Ν ώστε i i i 3 i ν Α. i i i i i i () Το γινόμενο δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι ν(ν + ) άρτιος φυσικός αριθμός Επομένως το ν(ν + ) είναι ένας φυσικός αριθμός και επομένως i () i, κ Z αν κ 4ρ i κ i αν κ 4ρ + με ρ Ν αν κ 4ρ + i αν κ 4ρ + 3 Β. Από το Α ερώτημα έχω: i i i i i κ 4ρ με ρ Ν 4

ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Αν α+βi τότε ο συζυγής του είναι ο α βi με εικόνα συμμετρική με άξονα συμμετρίας τον άξονα χ χ Βασικές ιδιότητες β Μ() + α Re() και βiιm()i ± + Ο α + + + + + + και ( ) () η οποία χρησιμοποιείται συνήθως για την εύρεση των συζυγών των μιγαδικών που είναι υψωμένοι σε δύναμη π.χ 3 + ı 3ı 3 + ı 3ı 3 + ı 3ı 3 i + 3i ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για ένα μιγαδικό να αποδείξετε ότι: Ο είναι πραγματικός αν και μόνο αν Ο είναι φανταστικός αν και μόνο αν (Η άσκηση αυτή έχει θέση θεωρίας και μπορει να χρησιμοποιείται χωρίς απόδειξη για την λύση άλλων ασκήσεων) ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι μιγαδικοί αριθμοί των οποίων το πραγματικό μέρος είναι μηδέν αποτελούν το σύνολο των φανταστικών αριθμών, το οποίο συμβολίζεται με Ι Έστω χ+ψi χ + ψi χ ψi ψi 0 ψ 0 R χ + ψi (χ ψi) χ + ψi χ + ψi χ 0 χ 0 Ι ΑΣΚΗΣΗ Αν, διαφορετικοί μιγαδικοί αριθμοί και ισχύει 4, να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός 3 3 + είναι φανταστικός ( ) 3 + ( ) + ( ) + ( + ( ) ΑΣΚΗΣΗ 3 4 ( ) ) + -β Μ () + 4 4 4 + ( ) + είναι φανταστικός ( ) 4 + 4 5

Θεωρούμε τους μη μηδενικούς και διαφορετικούς ανά δύο μιγαδικούς αριθμούς,, 3, με γεωμετρικές εικόνες Α,Β,Γ αντίστοιχα. Αν Ο είναι η αρχή των αξόνων. Να αποδείξετε: α. Αν τότε τα σημεία Ο,Α,Β είναι συνευθειακά β. Αν + 3 + 3 + 3 + 3 τότε τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά α. Εστω Α(χ, ψ ), Β(χ, ψ ), Γ(χ, ψ ). Για να είναι συνευθειακά τα Α, Β, Ο θά πρέπει ΟΑ λοβ, λ R λ λ Αρκεί επομένως να αποδείξω ότι ο είναι πραγματικός. Αρκεί γι αυτό να δείξω ότι ισχύει από τα δεδομένα. Άλλος τρόπος το οποίο Αρκεί να δείξω ότι τα διανύσματα ΟΑ και ΟΒ είναι παράλληλα. ΟΑ (χ, ψ ) και ΟΒ (χ, ψ ). Αρκεί να δείξω ότι: det ΟA, ΟΒ χ χ ψ χ ψ χ ψ 0. Διότι: Ιm( ) 0. Αλλά Ιm( ) Ιm(χ + ψ i)(χ ψ i) 0 Ιm(χ χ + ψ ψ + (χ ψ χ ψ )i) 0 χ ψ χ ψ 0 β. Το διάνυσμα ΑΒ (χ χ, ψ ψ ) και το ψ διάνυσμα ΑΓ (χ χ, ψ ψ ). Για να είναι συνευθειακά τα Α,Β,Γ θα πρέπει: detαβ, ΑΓ χ χ ψ ψ χ χ ψ ψ 0 (χ χ )(ψ ψ ) (χ χ )(ψ ψ ) 0 Α( ) Β( ) Γ( ) Ο χ ψ χ ψ χ ψ + χ ψ χ ψ + χ ψ + χ ψ χ ψ 0 χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ + χ ψ + χ ψ 0 το οποίο ισχύει διότι + + + + + + + + Ιm( + + ) 0 Ιm[(χ + ψ i)(χ ψ i) + (χ + ψ i)(χ ψ i) + (χ + ψ i)(χ ψ i)] 0 ψ χ χ ψ + ψ χ χ ψ + χ ψ χ ψ 0 Άλλος τρόπος Το διάνυσμα ΑΒ πρέπει να είναι παράλληλο στο διάνυσμα ΑΓ δηλ. ΑΒ λαγ ΟΒ ΟΑ λογ ΟΑ λ( ) λ R. Αρκεί να δείξω + + + + + + το οποίο ισχύει από τα δεδομένα. ΑΣΚΗΣΗ 4 6

Να δειχθεί ότι για κάθε λ R και για κάθε ν Ν ο αριθμός α. (λ + i) ν + (λ i) ν είναι πραγματικός β. (λ + i) ν (λ i) ν είναι φανταστικός ν ν λ + i γ. λ i λ i + λ + i είναι πραγματικός α. (λ + ) + (λ ) (λ + ) + (λ ) λ + + λ (λ i) + (λ + i) Επομένως ο R β. (λ + ) (λ ) (λ + ) (λ ) λ + + λ (λ i) + (λ + i) Επομένως ο είναι φανταστικός γ. λ + λ + λ λ + λ + λ + λ λ + λ + λ i λ + i + λ + i λ i R λ + λ λ + ΑΣΚΗΣΗ 5 Μέτρο μιγαδικού αριθμού Αν χ+ψi τότε μέτρο ονομάζω την απόσταση της εικόνας του από την αρχή των αξόνων και συμβολίζεται με ΟΜ χ + ψ Προφανώς και ψ Ο χ Μ(χ,ψ) Γεωμετρική παράσταση αθροίσματος και διαφοράς Έστω δύο μιγαδικοί αριθμοί, + ΟΜ Από τριγωνική ανισότητα έχω + + Η δεξιά ισότητα ισχύει όταν τα διανύσματα των μιγαδικών είναι Δ( ομόρροπα ) και η από αριστερά όταν τα διανύσματα των μιγαδικών είναι αντίρροπα. Το μέτρο της διαφοράς δείχνει την απόσταση των εικόνων των, (απόσταση μιγαδικών) Ο 7 Α( ) Μ( + ) + ) Ε( ) Β( )

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ + +, να αποδειχθεί ότι ο είναι πραγματικός αριθμός + + + + Επομένως + + + + +. Αρα τα διανύσματα των μιγαδικών, + + + + είναι ομόρροπα και επομένως λ λ R + 0 ( ) 0 αφού 0, 0 R Άλλος τρόπος υψώνουμε την δοθείσα εις το τετράγωνο και έχω + + + + + + ( + ) + ( ) ( + )( ) + + 4 4 4 ( + )( + ) + ( )( ) + ( + )( ) 4 + + + + + + ( + )( ) 4 ( + )( ) 0 η. Αρα R ΑΣΚΗΣΗ Αν C και ν Ν* και, ν, να αποδειχθεί ότι ο αριθμός ( + )ν w + ν είναι πραγματικός + )ν και επομένως w ( + ν ( + )ν + ν ( ) + ( + ) + + + + + ( + ) + ( + ) + w w R + 8

ΑΣΚΗΣΗ 3 Αν, είναι διαφορετικοί μιγαδικοί αριθμοί, με ρ > 0, να δείξετε ότι ο μιγαδικός w ρ + είναι φανταστικός ρ ρ ρ ρ ρ w ρ + (ρ + ) ( ) ρ + ρ + ρ ρ ρ ρ + w w φανταστικός ΑΣΚΗΣΗ 4 Αν είναι μιγαδικός αριθμός διάφορος του μηδενός και ισχύουν οι σχέσεις + και Re( ) 5 Να αποδειχθεί ότι ρ + ρ ρ (ρ + ) ρ ρ ρ ( ) + + + + + + + + + + Re( ) + 5 + 6 ΑΣΚΗΣΗ 5 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς,, 3 για τους οποίους ισχύει 3. Να αποδείξετε ότι: α) + 3 + 3 + + 3 β) ( + )( + 3 )( 3 + ) R 3 α),, και + + + + + + + + + + + + 9 + + + +

+ + + + ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ + + + + β) ( + )( + )( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( + )( + ) + + + + + + ( + )( + )( + ) ΑΣΚΗΣΗ 6 Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει: ( 3) ν ( + 3) ν, ν Ν Να δείξετε ότι ο είναι φανταστικός ( Ι) Έστω χ + ψi ( 3) ( + 3) ( 3) ( + 3) 3 + 3 3 + 3 χ + ψi 3 χ + ψi + 3 (χ 3) + ψ (χ + 3) + ψ (χ 3) + ψ (χ + 3) + ψ (χ 3) (χ + 3) χ 6χ + 9 χ + 6χ + 9 χ 0 χ 0 και επομένως ο είναι φανταστικός ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όταν μία άσκηση αναφέρεται σε μια ισότητα μιγαδικών παραστάσεων που περιέχουν, ως συνήθως δυνάμεις μιγαδικών, παίρνουμε τα μέτρα των παραστάσεων για να απαλλαγούμε από την δύναμη, χρησιμοποιώντας βέβαια τις ιδιότητες των μέτρων. ΠΡΟΣΟΧΗ όμως διότι δεν ισχύει η ισοδυναμία ν w ν ν w ν Ισχύει η συνεπαγωγή ν w ν ν w ν ΚΑΙ ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ η συνεπαγωγη ν w ν ν w ν Γενικά όταν τα μέτρα είναι ίσα οι μιγαδικοί δεν είναι κατ ανάγκη ίσοι π.χ Οι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρείτε τον θετικό ακέραιο ν, για τον οποίο ισχύει ( i) ν 6 Απαιτείται επαλήθευση για την τιμή του ν που θα βρούμε και γιατί; ( i) 6 τότε θα ισχύει ( i) 6 i 6 + 6 ν 4 ν 8 0

Πρέπει να γίνει η επαλήθευση διότι βρήκαμε την τιμή του ν για να είναι τα μέτρα ίσα και όχι οι μιγαδικοί αριθμοί ίσοι ( i) i + i i. Επομένως ( i) (( i) ) ( i) 6i 6 6 ΑΣΚΗΣΗ 8 Αν για τους μιγαδικούς και και 0 ισχύει η σχέση 0 + 0 0 τότε να αποδείξετε ότι α. β. 5 5 i ή 5 5 i γ. Ο μιγαδικός w 5 είναι φανταστικός α. 0 + 0 0 0 0 0 0 β. + 0 i 0 ( + i )( i ) 0 i ή i γ. Από την i ( i ) i οπότε w i i Από την i (i ) i οπότε w i Άρα ο w είναι φανταστικός i

ΒΑΣΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ Αν χ+ψi με χ,ψϵr τότε το σύνολο Μ(χ,ψ) των εικόνων του προσδιορίζεται από την εξίσωση η ανίσωση ως προς χ,ψ οι οποίες θα προκύψουν από τη διατήρηση των ισοδυναμιών, από την συνθήκη f(). ΕΥΘΕΙΑ. Αν από την f() προκύψει εξίσωση της μορφής Αχ+Βψ+Γ0 με Α + Β 0 τότε ο Γ.Τ είναι ευθεία ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί ο Γ.Τ των εικόνων του για τους οποίους ισχύει: I. lm()re() II. 4 Ι Έστω χ+ψi και από την lm()re() ψχ. Άρα ο Γ.Τ είναι η ευθεία ψχ που είναι και η διχοτόμος της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων ψχ ΙΙ. 4 χ ψi 4 χ ψi χ 4 0 χ. Αρα ο γεωμετρικός τόπος είναι η κατακόρυφη ευθεία χ χ. Αν η σχέση που θα προκύψει είναι της μορφής μορφής Αχ+Βψ+Γ>0 με Α + Β 0 τότε ο Γ.Τ είναι τα σημεία του ενός από τα δύο ημιεπίπεδα που δημιουργεί η ευθεία Αχ+Βψ+Γ0. Αν καταλήξουμε στη σχέση Αχ+Βψ+Γ 0 τότε είναι και τα σημεία της ευθείας Αχ+Βψ+Γ0. Για να επιλέξω το ημιεπίπεδο, επιλέγω ένα τυχαίο σημείο ενός ημιεπιπέδου και αν επαληθεύει την ανίσωση, τότε επιλέγω το ημιεπίπεδο που ανήκει το σημείο πού επέλεξα, αν δεν την επαληθεύει επιλέγω το άλλο ημιεπίπεδο. ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί ο Γ.Τ των σημείων των εικόνων του για τα οποία ισχύει: 4 4 χ ψi 4 χ ψi ψ χ χ 4 0 χ. Αρα ο γεωμετρικός τόπος είναι τα χχχ χ σημεία του ημιεπιπέδου (ψ ψ, Α) Α Υπενθυμίση ψ στο ημιεπίπεδο (ψ ψ, Α) ανήκουν και τα σημεία της ευθείας ψ ψ 3. (ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ) Είναι το σύνολο των σημείων που απέχουν την ίδια απόσταση από τα δύο σταθερά σημεία ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί το σύνολο των σημείων των εικόνων του για τα οποία ισχύει -+3i +

ος τρόπος Έστω χ+ψi τότε από την δοθείσα έχω + 3i + χ + ψi + 3i χ + ψi + (χ ) + (ψ + 3)i χ + + ψi (χ ) + (ψ + 3) (χ + ) + ψ (χ ) + (ψ + 3) (χ + ) + ψ χ 4χ + 4 + ψ + 6ψ + 9 χ + χ + + ψ 4χ + 4 + 6ψ + 9 χ + 6χ + 6ψ + 0 χ + ψ + 0 ος τρόπος + 3i + ( 3i) ( + 0i) Ο γεωμετρικός τόπος είναι τα σημεία που ισαπέχουν από τα σημεία Α(,-3) και Β(-,0). Πού είναι η μεσοκάθετος του ευθ. τμήματος ΑΒ. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ είναι: λ 3 0 ( ) 3 3. Τό μέσον του ΑΒ έχει συντεταγμένες Μ + ( ), 3 + 0 Μ, 3. Η μεσοκάθετος επομένως διέρχεται από το Μ και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ μ για τον οποίο ισχύει λ μ λ λ μ. Επομένως έχει εξίσωση ψ 3 χ ψ + 3 χ ψ + 3 χ χ + ψ + 4 0 -χ+ψ+0 ΚΥΚΛΟΣ(ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ) Aν η συνθήκη είναι της μορφής 0 ρ με α + βi και ρϵr και ρ > 0 τότε ο Γ. Τ είναι κύκλος με κέντρο Κ(α,β) και ακτίνα ρ με εξίσωση του είναι :(χ α) + (ψ β) ρ K( ) ρ ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί ο Γ.Τ των εικόνων του για τα οποία ισχύει + i + i ( i). Είναι κύκλος Κέντρου Κ(, ) και ακτίνας ρ με εξίσωση (χ ) + (ψ + ) 4 3

Αν 0 ρ τότε ο Γ. Τ των εικόνων του είναι ο κυκλικός δίσκος κέντρου Κ( 0 ) και ακτίνας ρ Αν 0 > ρ τότε είναι μόνο τα εσωτερικά σημεία του κύκλου Μ() K( ) Αν 0 ρ τότε ο Γ.Τ των εικόνων του είναι είναι τα εξωτερικά σημεία του κύκλου και τα σημεία του κύκλου. Αν 0 > ρ τότε ο Γ.Τ των εικόνων του είναι μόνο τα εξωτερικά σημεία του κύκλου. K( ) Μ() Αν ρ 0 ρ τότε ο Γ. Τ των εικόνων του είναι ο κυκλικός δακτύλιος που σχηματίζεται από τους κύκλους (Κ( 0, ρ) και (Κ( 0, ρ ), όπως στο σχήμα. Αποτελείται από τα σημεία τα μεταξύ των δύο κύκλων και με τα σημεία των κύκλων. Αν ρ < 0 < ρ τότε από τα παραπάνω σημεία δεν περιλαμβάνουμε τα σημεία των κύκλων. Κ( ) ρ Μ() ρ ΕΛΛΕΙΨΗ Ως γνωστός ο Γ.Τ των σημείων που απέχουν σταθερή απόσταση από δύο σταθερά σημεία, και ίση με α είναι έλλειψη της οποίας οι εστίες είναι τα δύο σταθερά σημεία. + γ + γ α με εξίσωση αναλυτική Μ() με 0 < γ < α + + με β α γ και εστίες Ε (-γ,0) και Ε(γ,0) -α α Ε (-γ,0) Ε(γ,0) 4

ΑΣΚΗΣΗ Nα βρεθεί ο Γ.Τ των σημείων που ικανοποιούν τη σχέση: +3 + -3 0 +3 + -3 0 -(-3) + -3 5. Μ() Άρα είναι έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε (-3,0) καιε(3,0). Ο μεγάλος άξονας είναι α0 α5. Αφού το γ3 τότε β α γ 5 9 4. Και έχει εξίσωση χ 5 + ψ 6 Ε (-3,0) Ε(3,0) ΥΠΕΡΒΟΛΗ είναι ο Γ.Τ των σημείων των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία είναι σταθερή και ίση με α. Εστίες είναι τα σταθερά σημεία. Η εξίσωσή της είναι : χ α ψ β. Ασύμπτωτες είναι οι ευθείες ψ ± β χ. Εστίες τα σταθερά α σημεία Ε (γ, 0)και Ε ( γ, 0)και β γ α Για του μιγαδικούς αριθμούς η σχέση είναι: + α Αν ισχύει: + α η + α, με α > 0 τότε έχουμε τον ένα από τους δύο κλάδους της υπερβολής. Με εστίες τις εικόνες των μιγαδικών, Συγκεκριμένα ( + γ γ ) α: τότε η εξίσωση της υπερβολής είναι χ α ψ χ γ με 0 < α < γ α α ψ β με β γ α και για τους δύο κλάδους της υπερβολής έχω + γ γ α που είναι ο ξεξιός κλάδος και γ + γ α που είναι ο αριστερός κλάδος και με εστίες Ε ( γ, 0), Ε(γ, 0) 5

ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί ο Γ.τ των μιγαδικών στις παρακάτω περιπτώσεις 5 + 5 8 5 + 5 8 + 5 5 8 Για την 5 + 5 8 το γ 5, το α 4 και το β 5 6 3 με εξίσωση χ 4 ψ 3 Για την 5 + 5 8 είναι υπερβολή με εξίσωση χ 4 ψ με χ < α 4 3 5 + 5 8 Για την + 5 5 8 είναι υπερβολή με εξίσωση χ 4 ψ 3 με χ > α 4 5 + 5 8 + 5 5 8 6

ΠΑΡΑΒΟΛΗ Παραβολή είναι ο Γ.Τ των σημείων όπου απέχουν σταθερή ίση απόσταση από σταθερή ευθεία την χ ρ (διευθετούσα) και σταθερό σημείο Ε ρ, 0 (Εστία) ρ + ρ iιm() η παραβολή ψ ρχ (ρ 0). Αυτό διότι αν χ + ψi με χ, ψ R, τότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται: ρ>0 χ-ρ/ Ο Ε(ρ/,0) χ ρ + ψi χ + ψi + ρ iψ χ + ψi χ + χ χρ + + ψ χ + χρ + ψ ρχ ρ<0 Ε(ρ/,0) χ-ρ/ ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε το Γ.Τ των σημείων που ικανοποιούν τη σχέση + iιm() Έστω χ+ψi τότε από την + iιm() + iιm() (χ ) + ψ (χ + ) χ 4χ + 4 + ψ χ + 4χ + 4 ψ 8χ ΜΕΓΙΣΤΟ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Αν C, ώστε 3i, να δείξετε ότι: 5 ος τρόπος Από την τριγωνική ανισότητα + + και από το ότι γνωρίζουμε δεξιά ισότητα (μέγιστο του + ) ισχύει όταν τα διανύσματα των μιγαδικών είναι ομόρροπα και η από αριστερά (ελάχιστο του + ) όταν τα διανύσματα των μιγαδικών είναι αντίρροπα. ΔΗΛΑΔΗ Αν Α, Β είναι οι εικόνες των, αντίστοιχα τότε τα διανύσματα των μιγαδικών και 7

είναι αντίστοιχα ΟΑ και ΟΒ ΟΑ, ΟΒ οι ισότητες ισχύουν όταν ΟΑ λ ΟΒ, λ R λ λ, 0 Επομένως 3i + ( 3i) καιαπό τα προηγούμενα έχω: 3i 3i φανταστικός. Επομένως αν χ + ψi τότε χ 0. Από δε την 3i ψi 3i (ψ 3)i (ψ 3) (ψ 3) 4 ψ 3 ± ψ5 η ψ. Και επομένως ο 5i η i, οπότε το μέγιστο μέτρο είναι 5i 5 και η ελάχιστη τιμή του μέτρου είναι i ος τρόπος Εφαρμόζοντας τη τριγωνική ανισότητα έχω: 3i + ( 3i) οπότε 3i + ( 3i) + 3i 3 3i + 3 3 + 3 3 και + 3 3 και που ισχύει 5 3ος τρόπος Ο Γ.Τ των μιγαδικών που ικανοποιούν τη σχέση 3i είναι κύκλος κέντρου (0,3) και ακτίνας. Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Από το σχήμα παρατηρούμε ότι από όλους τους μιγαδικούς που κινούνται στον κύκλο κέντρου (0,3) και ακτίνας, αυτός που έχει το ελάχιστο μέτρο είναι ο μιγαδικός του οποίου η εικόνα είναι το Α, δηλαδή ο μιγαδικός 0+i, ενώ αυτός που έχει το μέγιστο μέτρο είναι αυτός που έχει εικόνα το Β, δηλ. ο μιγαδικός 0+5i 5. Και τελικά για κάθε μιγαδικό του ανωτέρω κύκλου θα έχω 5 Όταν ο Γ.Τ είναι ευθεία και ζητείται ο μιγαδικός με την ελάχιστο μέτρο τότε από την αρχή των αξόνων φέρνω την κάθετη προς την ευθεία που την τέμνει στο Α. Τότε το Α είναι η εικόνα του μιγαδικού που ζητάμε και το μήκος του ΟΑ είναι η ελάχιστη απόσταση. ΑΣΚΗΣΗ Δίδονται οι μιγαδικοί αριθμοί,w με α+βi, α,βϵr και w3-i +4 I. Να αποδείξετε ότι Re(w)3α-β+4 και lm(w)3β-α II. Να αποδείξετε ότι αν οι εικόνες του w κινούνται στην ευθεία με εξίσωση με III. ψχ-, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με ψχ-. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς, που οι εικόνες κινούνται στην ευθεία ψχ-, έχει το ελάχιστο μέτρο Ι w 3(α + βi) i(α βi) + 4 3α + 3βi αi β + 4 w 3α β + 4 + (3β α)i Re(w) 3α β + 4 και lm(w) 3β α ΙΙ 8

αν w χ + ψi τότε χ 3α β + 4 και ψ 3β α και ψ χ οπότε έχουμε 3β α 3α β + 4 4β 4α 8 β α Άρα οι οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με ψχ- ΙΙΙ Από τους μιγαδικούς που κινούνται στην ψχ- εκείνος που έχει το ελάχιστο μέτρο είναι αυτός που έχει εικόνα το σημείο Α. Όπου ΟΑ κάθετος στην ψχ-. Και αφού η ευθεία ΟΑ είναι κάθετος στην ψχ- θα έχει συντελεστή διεύθυνσης - και αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση ψ-χ. Το σημείο Α θα έχει συντεταγμένες τις λύσεις του συστήματος ψ χ ψ χ ψ χ χ χ χ, ψ και επομένως ο μιγαδικός που έχει το ελάχιστο είναι ο -i χ 0 ψ - - Ο - Α - Όταν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών,w είναι δύο κύκλοι. Τότε για να βρούμε το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο w ψχ- ψ-χ Α Α Κ ρ Κ Β Γ Λ Ρ Δ Φέρνω τη διάκεντρο που τέμνει του κύκλους στα σημεία Α,Β,Γ,Δ. Η μέγιστη απόσταση είναι η -w ΑΔΚΛ+ρ+Ρ και η η ελάχιστη είναι -w ΒΓΚΛ-ρ-Ρ. Για να βρούμε τις εικόνες των μιγαδικών λύνουμε τα συστήματα που προκύπτουν από τις εξισώσεις των κύκλων και της ευθείας της διακέντρου. ΑΣΚΗΣΗ Δίδονται οι μιγαδικοί αριθμοί,w για τους οποίους ισχύουν 3 4i 5 και w 6 8i 0 I. Να βρείτε το Γ.Τ των εικόνων των,w II. Να βρείτε το μέγιστο μέτρο των,w III. IV. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του -w Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους το -w γίνεται μέγιστο και ελάχιστο 9

Έστω χ+ψi και wα+βi τότε 3 4i 5 (3 + 4i) 5. Αρα οι εικόνες των είναι τα σημεία του κυκλικού δίσκου κέντρου Κ(3,4) και ακτίνας ρ 5 και η εξίσωση του κύκλου είναι: (χ 3) + (ψ 4) 5 w 6 8i 0 w (6 + 8i) 0 Αρα οι εικόνες του w είναι τα σημεία του κυκλικόυ δίσκου κέντρου Λ(6,8)και ακτίνας ρ 0 και η εξίσωση του κύκλου είναι: (α 6) + (β 8) 00 Κ(3,4) Λ(6,8) Η ευθεία ΟΚ έχει έξίσωση ψ 4 χ. Για να βρούμε το μέγιστο φέρνουμε την ΟΚ πού τέμνει 3 τον Κύκλο κέντρου Κ στο Α. Τότε το μέγιστο μέτρο ΟΚ + ΚΑ ρ 0 και το μέγιστο μέτρο w ΟΛ + ΑΒ ρ 0 Το μέγιστο w ΟΒ ρ + ρ 0 + 0 0 Για να βρούμε και τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους το w γίνεται μέγιστο πρέπει να βρούμε τους μιγαδικούς που έχουν εικόνες το Ο και Β Ο μιγαδικός που έχει εικόνα το Ο είναι ο 0 + 0i και για τον μιγαδικό που έχει εικόνα το Β πρέπει να λύσω το σύστημα: ψ 4 3 χ ψ 4 3 χ ψ 4 (χ 6) + (ψ 8) 00 (χ 6) + 4 3 χ 3 χ 8 00 (χ 6) + 6 9 (χ 6) 00 ψ 4 3 χ ψ 4 3 χ (χ 6) 5 9 00 χ 6 ± 9 00 ψ 4 3 χ 5 ±6 χ 6 η χ 0 Β ψ 0 και χ 0 ή χ 6 και ψ ο ένας είναι 0+0i και ο άλλος είναι 6+i που είναι η εικόνα του Β όπως φαίνεται από το σχήμα Α όταν ο Γ.Τ ενός μιγαδικού αριθμού είναι μια ευθεία και του άλλου ένας κύκλος που δεν έχουν κοινά σημεία τότε, το ελάχιστο της μέτρο διαφοράς το βρίσκουμε όταν φέρουμε από το κέντρο του κύκλου κάθετη στην ευθεία. Αυτή η κάθετος τέμνει τον κύκλο σε ένα σημείο Α και την ευθεία σε ένα σημείο Β τότε η ελάχιστη διαφορά είναι το ευθ. τμήμα ΑΒ 0

σχήμα Β Α ΑΣΚΗΣΗ O μιγαδικός αριθμός κινείται στον κύκλο που ορίζεται από τη σχέση --i, και ο μιγαδικός w κινείται στην ευθεία που ορίζεται από τα σημεία (4,) και (3,0). Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του w- και του μιγαδικούς για τους οποίους έχουμε το ελάχιστο. Να βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη απόσταση των από την ευθεία των w i ( + i) που σημαίνει ότι ο μιγαδικός κινείται σε κύκλο κέντρου Κ(,) και ακτίνας ρ Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία (4,) και (3,0) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 4 3 και εξίσωση ψ (χ 3) ψ χ 3 Η μέγιστη απόσταση των από την ευθεία είναι η ΓΒΚΒ+ΓΚ που είναι η απόσταση του κέντρου Κ από την χ-ψ-30 και είναι ίση με 3 ΓΒ ΚΒ + ρ d(κ, ε) + ρ + + 4 + + και η ελάχιστη w ΑΒ ΚΒ ρ που είναι και η ελάχιστη των από την ευθεία Όταν ο Γ.Τ είναι έλλειψη το μέγιστο το έχουν οι μιγαδικοί που έχουν εικόνα τα άκρα του μεγάλου άξονα και το ελάχιστο μέτρο αυτοί που οι εικόνες τους είναι τα άκρα του μικρού άξονα. Αν οι εικόνες των,w κινούνται πάνω σε έλλειψη τότε -w γίνεται μέγιστο(α) όταν οι εικόνες των,w είναι στα άκρα του μεγάλου άξονα και ελάχιστο όταν οι εικόνες είναι στα άκρα του μικρού άξονα (β) ΑΣΚΗΣΗ Αν Μ και Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών και αντίστοιχα και + 4, να αποδείξετε ότι Οταν το Μ κινείται σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας 4, τότε το Μ κινείται σε μία έλλειψη. Να βρείτε επίσης το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο του. Αν 3, 4 είναι σημεία της παραπάνω έλλειψης να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο 3 4 και τις εικόνες τους. Εστω α + βi και χ + ψi. Αφού ο κινείται σε κύκλο κέντρου (0,0)και ακτίνας 4, το το σύνολο των εικόνων του θα έχει εξίσωση α + β 6 Το σύνολο των εικόνων του έχει εξίσωση + 4 χ + ψi α + βi + 4 α + βi

χ + ψi α + βi + 4(α βi) α + β χ + ψi α + α 4 + β β 5α i χ 4 4 στην α + β 6 6χ 5 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4(α βi) (α βi) χ + ψi α + βi + α + βi + 6 4 + 6ψ 9 Μέγιστο μέτρο έχουν οι μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες βρίσκονται στα άκρα του μεγάλου άξονα. Άρα είναι οι μιγαδικοί 5+0i και -5+0i Ελάχιστο μέτρο έχουν οι μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες βρίσκονται στα άκρα του μικρού άξονα. Άρα είναι οι μιγαδικοί 3i και -3i. Το μέγιστο μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών που κινούνται πάνω στην έλλειψη είναι όσο το μήκος του μεγάλου άξονα α0 και το ελάχιστο όσο το μήκος του μικρού άξονα β6. και ψ 3β 4 α 4χ 5 και β 4ψ 3 6 χ 5 + ψ 9 και αντικαθιστώ Αν ο Γ.τ είναι υπερβολή τότε το ελάχιστο μέτρο έχουμε όταν ο μιγαδικός έχει εικόνα μια από τις κορυφές της υπερβολής. Μέγιστη τιμή το μέτρο δεν έχει. ΑΣΚΗΣΗ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, w και w τέτοιους ώστε w i και w α αi, αεr. Να δείξετε ότι, αν ο α μεταβάλλεται στο R και ισχύει w w, τότε η εικόνα Ρ του στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε μια υπερβολή.. Να βρεθεί το ελάχιστο μέτρο του μιγαδικού. Αν οι μιγαδικοί και κινούνται σε διαφορετικούς κλάδους της υπερβολής τότε να βρεθεί το ελάχιστο του καθώς και οι, Εστω χ + ψi τότε w w i α + αi χ + ψi (χ + ψi )i α + αi χ + ψi χi ψi α + αi χ + ψi χi + ψ α + αi χ + ψ + (ψ χ)i α + αi χ ψ χ + ψ α ψ χ Που είναι η εξίσωση ισοσκελούς υπερβολής που έχει τις εστίες της στον ψ ψα β και γ α + β Ε 0, και Ε0, Οι μιγαδικοί που έχουν το ελάχιστο μέτρο είναι εκείνοι που οι εικόνες τους είναι οι κορυφές της υπερβολής

δηλ. οι μιγαδικοί 0+i και 0-i Το ελάχιστο μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών που κινούνται στην υπερβολή είναι: α 3

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3i. Αν και Μ η γεωμετρική του εικόνα να υπολογισθεί η ακτίνα του κύκλου i (χ-) +(ψ-) ρ αν είναι γνωστό ότι το Μ είναι σημείο του κύκλου.. Αν, o αριθμός + είναι πραγματικός, να αποδειχθεί ότι ή 3. Αν, να δειχθεί ότι + αν και μόνο αν ο αριθμός είναι θετικός πραγματικός 4. Αν 3 και 3 0 τότε ισχύει 0 5. Αν να δειχθεί ότι 3 3 3 3 3 6. Για τους μιγαδικούς αριθμούς, να αποδειχθεί ότι αν τότε 3 7. Αν για τους μιγαδικούς,, 3 ισχύει 3 3 3 να αποδειχθεί ότι 3 3 8. Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει α. 3 3 0 Β. 3 3 4 9. Να προσδιορισθεί το σύνολο των εικόνων του αν οι εικόνες Α(),Β(),Γ(+ ) είναι σημεία συνευθειακά και διαφορετικά ανά δύο 0. Αν να προσδιορισθούν τα για τα οποία το 5 γίνεται ελάχιστο. Αν i 3 να προσδιορισθούν οι μιγαδικοί για τους οποίους το 3 i γίνεται μέγιστο ή ελάχιστο. v v. Στο μιγαδικό επίπεδο θεωρούμε τα σημεία Α( και Β ) ( με ν ) με και. Αν Ο η αρχή των αξόνων να δείξετε ότι τα σημεία Ο,Α,Β είναι συνευθειακά. 3. Θεωρούμε τα σημεία Α( ), Β( ), Γ( 3 ) με 3.Να δειχθεί ότι 3 3 3 0 3 4

4. Δίνεται ο μιγαδικός με 0 και. Αν για τον μιγαδικό w ισχύει 3 3w+66 w. να βρεθεί το μέτρο του w. Αν για το μιγαδικό v ισχύει 3 3 ( v )( v ) 6ww 4 να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του v. 5. Αν να αποδείξετε ότι, α. Re β. Im i και 6. Θεωρούμε τα σημεία Α,Β,Γ,Δ που είναι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών 0,3,3+3i,6+3i αντίστοιχα α. Εξετάστε το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ β. να βρείτε την ελάχιστη τιμή του τύπου f ( ) 3 3 3i 6 3i, 7. Δίνονται οι μιγαδικοί, με Αν για τον ισχύει ( ) ( )+( ) ( )4 α. Να βρείτε το Γ.Τ των εικόνων του β. Να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης 8 Έστω, με και 3. Να δείξετε ότι, 3 3 3 9. Θεωρούμε την εξίσωση 4 + 8 0 και τις ρίζες της, με Im( ) > 0) και τα σημεία Α( ), B( ) του μιγαδικού επιπέδου. Σε κάθε σημείο Μ() διάφορο του Ο αντιστοιχίζουμε το σημείο M ( ) από τη σχέση Α. Να προσδιορισθούν τα σημεία Α, Β στα οποία αντιστοιχίζονται τα Α,Β Β. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Ο,Μ,Μ είναι συνευθειακά και ότι (ΟΜ)(ΟΜ ) Γ. Να αποδειχθεί ότι για κάθε 0 είναι <> και <> 0. Δίνεται η εξίσωση ( + συνθ) + ( + συνθ) 0 με θϵ0, Συμβολίζουμε με, τις μιγαδικές της ρίζες με Ιm( )>0 α. Να αποδειχθεί ότι όταν το θ μεταβάλλεται το σημείο M ( ) κινείται σε κύκλο τον οποίο και να προσδιορίσετε. 5

β. Αν Α,Μ είναι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών +0i και +συνθ+ημθi αντιστοίχως, να αποδειχθεί ότι οι ευθείες ΟΜ και ΑΜ είναι παράλληλες και να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜΜ. Να βρείτε το σύνολο των εικόνων του μιγαδικού επιπέδου των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τα σταθερά σημεία 3 και 3 είναι ίσος με. Δίνονται οι μιγαδικοί, w με χ+ψi και w Α. Αν ο w είναι φανταστικός να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του Β. Αν, είναι δύο μιγαδικοί του παραπάνω γεωμετρικού τόπου να βρείτε το μέγιστο της παράστασης 3. A. Av, είναι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει + 4 + 4i και 5 + 5i τότε να βρείτε τα, B. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς,w ισχύουν 3i και w 3 i τότε ) Να αποδείξετε υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί,w τέτοιοι ώστε w ) Nα βρείτε τη μέγιστη τιμή του w 4. Aν ϵc και - και - να αποδειχθεί ότι ισχύει 3 5. Αν ν θετικός ακέραιος και για τον μιγαδικό ισχύει η σχέση + + + + + 0. Να αποδείξετε ότι: α. β. γ. Ο μιγαδικός w + είναι πραγματικός 6

ΛΥΣΕΙΣ. + 3і ( + 3і)( і) 5 5і Εστω χ + ψі Αλλά 5 і χ + ψі + і 5 5 Άρα χ5 και ψ- και αφού είναι τα σημείο του κύκλου θα πρέπει (5 ) + ( ) ρ άρα ρ 5 ρ 5, ρ > 0. Αφού + είναι πραγματικός θα πρέπει + + + + ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 η Αρα ϵr η 3. Από την σχέση + + + ( + ) + + + + + + Άρα + > 0 ( + ) 4 + > 0 ( ) 0 + > 0 λ, λϵr (λ ) + (λ ) > 0 λ, λϵr λ > 0 λ, λϵr λ > 0 4. Αφού Παρόμοια, Αρα + + + + + + 0 0 5. Αφού Παρόμοια, Αρα + + + + + + + + + + + + + + 7

6.Αφού και από την ισότητα + ( + )( ) + + + + + + 0 + + 3 ( )( ) 3 3 3 7. Από την σχέση + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) Παρομοίως ( ) ( )( )( ) και( ) ( )( )( ) Άρα( ) ( ) ( ) 8. Από την σχέση 3 3 0 Έχω -(-3+0і) + -(3+0і) 0 δηλ. το άθροισμα των αποστάσεων του από τα σημεία (-3,0) και (3,0) είναι σταθερό και ίσο με α 5 α5 και γ3. Επειδή β α γ β 4 Άρα η έλλειψη έχει εξίσωση χ 5 + ψ 6 Από τη σχέση +3 - -3 4 -(-3+0і) - -(3+0і) 4 που λέει ότι η διαφορά των αποστάσεων του από τα σημεία (-3,0) και (3,0) είναι 4 που καλύπτεται από τον ορισμό της υπερβολής. Δεν είναι και οι δύο κλάδοι της υπερβολής αλλά ο ένας και μάλιστα ο δεξιός καθότι η απόσταση από το σημείο (-3,0) είναι μεγαλύτερη από την απόσταση του από το σημείο (3,0). Με α, γ 3 και επειδή β γ α β 5 χ 4 ψ 5 8

9. Αφού τα Α,Β,Γείναι συνευθειακά θα ισχύει ΑΒ λαγ λ( + ) λϵr.επομένως θα ισχύει ότι ( ) ( )( + ) 0 ( )( ) 0 η 0 η 0 Από έχω ότι είναι πραγματικός άρα όλα τα σημεία του άξονα χ χ εκτός από το 0. Από την 0 έχω θέτοντας χ+ψі ότι χ + ψ χ + ψі χ ψі 0 χ + ψ χ 0 (χ ) + ψ που είναι τα σημεία του κύκλου κέντρου (,0) και ακτίνας εκτός από το σημείο (0,0) Εκτός από το σημείο Ο(0,0) Σημείωση Αν τα σημεία μπορούν και να ταυτιστούν τότε στο σύνολο των εικόνων συμπεριλαμβάνεται και το σημείο (0,0). Δηλαδή τότε 0 και επομένως το Α ταυτίζεται με το Γ και το Β έχει εκόνα το σημείο (0,0) 0 Αφού τα θα βρίσκονται στον Κυκλικό δίσκο κέντρου (0,0) και ακτίνας. Από +5 -(-5+0і). Το που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το -5 Είναι το Β(-,0) άρα ο ζητούμενος Μιγαδικός είναι -+0і 9

. Αφού +-і 3 -(-+і) 3 και επομένως οι εικόνες των βρίσκονται στον κυκλικό δίσκο με κέντρο (-,) και ακτίνας 3. Από την -3+і -(3-і) δηλαδή η η απόσταση των από το σημείο (3,-) Η εξίσωση του κύκλου είναι (χ + ) + (ψ ) 9 και της ευθείας ΑΒ 3χ + 4ψ 0 Από την επίλυση του συστήματος έχω χ 7 5, ψ 4 5 και χ 7 5, ψ 4 5 Άρα -3+і γίνεται μέγιστο όταν Z 7 5 + 4 5 і και 3 + і 3 5 + 4 5 і 8 και ελάχιστο όταν 7 5 4 5 і και 3 + і 8 5 + 6 5. Για να είναι τα σημεία Ο,Α,Β συνευθειακά θα πρέπει ΟΑ λοβ, λϵr ( + ) λ( ) ( + ) λϵr ( ) Αφού Παρόμοια ( + ) ( ) ( ) + ( ) + + + + 3. Αν Ο το κέντρο του κύκλου και το ΑΒΓ τρίγωνο ισοσκελές τότε η γωνία ΒΟΓ ΒΟΑ ΑΟΓ 0 Προεκτείνω την ΑΟ που κόβει τον κύκλο στο Δ Με ΒΟΟΔΟΓ και ΒΟΔ ΔΟΓ 60 Άρα και ΔΒΟ ΔΓΟ 60 Άρα το ΒΔΓΟ ρόμβος Επομένως ΟΒ + ΟΓ ΟΔ + + + 0 Αν + + 0 + Επειδή το τέλος του διανύσματος που αντιστοιχεί 30

4. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ στον μιγαδικό είναι σημείο του κύκλου και ΟΒΟΔΟΓ και το ΒΟΓΔ παρ/μο, άρα ρόμβος Και επομένως τα τρίγωνα ΔΟΓ και ΔΟΒ είναι ισόπλευρα Άρα ΒΟΓ 0 Από την σχέση 3w + 6 6 w (3 + )w 6( ) 3 + 3 w 6( ) w + 6 w 5 3 3 3 (v 3 ) v 3 4 6ww v 3 4 v 3 4 6 w v 3 4 3 5 9 v 3 4 5 3 3 5. Γνωρίζουμε ότι Re() +, Im() i Αρα Re + +, Im i i i 6. Είναι προφανές ότι ΓΔ3 και ΑΒ3 με ΑΒ//ΓΔ. Άρα το ΑΒΔΓ είναι παρ/μο ƒ() + -3 + -(3+3і) + -(6+3і) δείχνει την απόσταση του μιγαδικού από τα σημεία Α,Β,Γ,Δ. Γεωμετρικά αυτό το σημείο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του παρ/μου. Που είναι το σημείο τομής των ευθειών χ3 και της ΑΔ που έχει εξίσωση ψ χ Αρα το σημείο τομής είναι 0(3, 3 ) και ο ζητούμενος μιγαδικός 3

είναι 3 + 3 і 7. Η δοθείσα σχέση γράφεται ( )() + ( )( ) 4 + Και. Άρα το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των,, είναι ορθογώνιο. Και επομένως ο Γ.Τ είναι κύκλος Διαμέτρου. 8. + + 3 Αν Α( ), Β( ), Γ( ) Θα έχω + + 3 ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ 9 ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΑ ΟΒ + ΟΑ ΟΓ + ΟΒ ΟΓ 9 3 + ΟΑ ΟΒ συν(οα, ΟΒ ) + ΟΒ ΟΓ συν(οβ συν(οα, ΟΒ ) + συν(οβ, ΟΓ ) + συν(οα, ΟΓ ) 3, ΟΓ ) + ΟΑ ΟΓ συν(οα, ΟΓ ) 9 Επομένως συν(οα, ΟΒ ), συν(οβ, ΟΓ ) και συν(οα, ΟΓ ) και επομένως οι γωνίες των διανυσμάτων είναι μηδενικές και επομένως τα διανύσματα ομόρροπα και αφού έχουν το ίδιο μέτρο είναι ίσα άρα και οι μιγαδικοί ίσοι. 9. Από εξίσωση έχω Δ-6 με ρίζες ±і Άρα + і και і Άρα το Α αντιστοιχεί στον μιγαδικό + і і + і 4 + і Και Β αντιστοιχεί στον μιγαδικό і + і і 4 і Για να είναι συνευθειακά τα Ο,Μ,Μ θα πρέπει ΟΜ λομ λ, λϵr λϵr ϵr (ΟΜ)(ΟΜ ) 3

Επειδή ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ έχω 0. ( + συνθ) ± 4( + συνθ) 8( + συνθ) ( + συνθ) ± 4 + 8συνθ + 4συν θ 8 8συνθ + συνθ ± 4συν θ 4 + συνθ ± іημθ + συνθ ± іημθ Επειδή θϵ(0, π ) και Ιm( ) > 0 έχω + συνθ + ιημθ αν χ + ψі τότε χ + συνθ και ψ ημθ Αρα χ συνθ και ψ ημθ και (χ ) + ψ συν θ + ημ Θ με κέντρο κ(,0)και ακτίνα ρ Αφού Ιm( ) > 0 θα είναι τα σημεία του ημικυκλίου με ψ>0 χωρίς τα σημεία (0,0) και (,0). Μ ( + συνθ, ημθ), Ο(0,0) Αρα λ ημθ + συνθ ημθσυνθ συν θ ημθ συνθ εφθ Και Α(,0) και Μ( + συνθ, ημθ) με λ ημθ + συνθ ημθ εφθ Αρα ΟΜ//ΑΜ συνθ ΑΜ ( + συνθ, ημθ 0) (συνθ, ημθ) ΑΜ (συνθ, ημθ) Ε det (AM, AM συνθ ημθ συνθ ημθ συνθ ημθ συνθ ημθ συνθ ημθσυνθ (συν θ )ημθ συν θ ημθ συν θ ημθ ημθ ημθ. Θα πρέπει 3 + 3 3 + 3 χ 3 + ψі χ + 3 + ψі (χ 3) + ψ 4(χ + 3) + 4ψ χ 6χ + 9 + ψ 4(χ + 6χ + 9 + ψ ) χ 6χ + 9 + ψ 4χ + 4χ + 36 + 4ψ 3χ + 3ψ + 30χ + 7 0 χ + ψ + 0χ + 9 0 (χ + 5) +ψ 6 Άρα κύκλος κέντρου (5,0) και ακτίνας 4 33

. Αφού w φανταστικός θα έχω w w + + + 3 3 + 4 0 3( + ) + 4 0 χ + ψ 6χ + 4 0 χ + ψ 3χ + 0 (χ 3 ) + ψ 4 Αρα κύκλος κέντρου ( 3, 0) και ακτίνας Αν, είναι σημεία του κύκλου δηλ η απόσταση δύο σημείων του κύκλου γίνεται μέγιστη όταν τα, είναι αντιδιαμετρικά Άρα η μέγιστη τιμή του είναι δ 3. + 4 + 4i 5 + 5i + 8 + 8i 5 + 5i + 3 + 3і + 4 + 4i χ + ψі + χ ψі 3 + 3і 3χ + ψі 3 + 3і + 4 + 4i + 4 + 4i χ, ψ 3 4 + 4i 3і + 3і 3 + і Από τις δοθείσες έχω -(+3і) και w-(3+і) Το βρίσκεται σε κυκλικό δίσκο κέντρου (,3) και ακτίνας Το w βρίσκεται σε κυκλικό δίσκο κέντρου (3,) και ακτίνας Tα βρίσκονται σε κύκλο με εξίσωση (χ ) + (ψ 3) Τα w βρίσκονται σε κύκλο με εξίσωση (χ 3) + (ψ ) Από τις δύο αυτές εξισώσεις έχω χ χ + + ψ 6ψ + 9 χ 6χ + 9 + ψ ψ + 4χ 4ψ 0 ψ χ και αντικαθιστώντας σε μία από τις προηγούμενες έχω (χ ) + (χ 3) χ χ + + χ 6χ + 9 χ 8χ + 8 0 χ Άρα και ψ. 34

Άρα οι κύκλοι είναι εφαπτόμενοι εξωτερικά αφού έχουν ένα κοινό σημείο και τα κέντρα τους είναι τα σημεία (3,) και (,3) Και -w θα είναι μέγιστη όταν τα,w βρίσκονται εκεί που η διάκεντρος τέμνει τους κύκλους εκτός του κοινού τους σημείου. Άρα η μέγιστη τιμή θα είναι ίση με 4ρ4 4. Τα σημεία που ικανοποιούν την - ανήκουν σε κυκλικό δίσκο κέντρου Κ(,0) Και ακτίνας. Με εξίσωση κύκλου (χ ) + ψ Τα σημεία που ικανοποιούν την - ανήκουν σε κύκλο κέντρου Λ(,0) και ακτίνας με εξίσωση (χ ) + ψ Από τις παραπάνω εξισώσεις έχω (χ ) + ψ (χ ) + ψ χ χ + χ 4χ + 4 χ 3 χ και Επομένως ( ) + ψ ψ ψ ± Άρα Α 3, 3 και Β 3, 3 και Κ(,0) Τα σημεία που ικανοποιούν και τις δύο αρχικές σχέσεις είναι τα σημεία του τόξου ΑΚΒ και επομένως το σημείο που απέχει μεγαλύτερη απόσταση είναι το Α και την μικρότερη το Κ. (ΟΑ) 3 0 + 3 0 9 4 + 3 3 και (ΟΚ) 4 (ΟΚ) (ΟΑ) 3 35