ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες τους,. Αν τότε a. Να αποδείξετε ότι b. Να βρείτε τον αριθμό. Αν η εξίσωση () έχει λύση τον αριθμό λ και να λύσετε την εξίσωση () τότε να βρείτε την τιμή του 3. Δίνεται η εξίσωση με, η οποία έχει ρίζες τους 3 και. Να βρείτε την. Να βρείτε τους αριθμούς α,β. είναι πραγματικός v. είναι φανταστικός v. Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει 4. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύουν 3 4 κ αι 8. Να βρείτε το. Να βρείτε το

2 . 4 u v. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του Δίνεται ο μιγαδικός, 3 4. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του.. Να βρείτε τον μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο Για τον μιγαδικό που βρήκατε στο ερώτημα θεωρούμε τον μιγαδικό αν ο αριθμός είναι φανταστικός να βρείτε : a) Τον αριθμό μ b) Τον αριθμό. Έστω η εξίσωση αριθμό ο οποίος έχει μέτρο 5 με έχει ρίζα έναν μη πραγματικό. Να βρείτε το λ και να λύσετε την εξίσωση (). Έστω η λύση με της εξίσωσης με Im(). Θεωρούμε τον μιγαδικό για τον οποίο ισχύει. Να βρείτε : a) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του b) Τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του 7. Δίνεται ο μιγαδικός για τον οποίο ισχύει (). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του

3 . Αν ο μιγαδικός ικανοποιεί τη σχέση () τότε να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού για τον οποίο ισχύει ότι 8. Δίνεται μιγαδικός με Re() 3, Im() και 5. Να βρείτε τον μιγαδικό. Θεωρούμε τον μιγαδικό για τον οποίο ισχύει 5. Να βρείτε a) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του b) Την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του 9. Α) Έστω οι μιγαδικοί, και οι εικόνες τους Μ,Ν αντίστοιχα και Ο η αρχή των αξόνων να αποδείξετε ότι OM ON αν και μόνο αν u είναι φανταστικός Β) Δίνεται ο μιγαδικός και έστω Μ και Ν οι εικόνες των μιγαδικών και αντίστοιχα Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αν ισχύει ότι OM ON. Α) Έστω οι μιγαδικοί, και οι εικόνες τους Μ,Ν αντίστοιχα και Ο η αρχή των αξόνων.να αποδείξετε ότι τα σημεία Ο,Μ,Ν είναι συνεδριακά αν και μόνο αν ο αριθμός u είναι πραγματικός Β) Δίνεται μιγαδικός αριθμός και έστω Μ και Ν οι εικόνες των μιγαδικών και. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του αν τα σημεία Ο,Μ,Ν είναι συνευθειακά. Δίνονται οι μιγαδικοί, για τους οποίους ισχύει Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των, ισαπέχουν από την αρχή των αξόνων. u είναι φανταστικός

4 . Αν ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο κύκλος με κέντρο το Κ(,-5) και ακτίνα ρ=3 να βρείτε a) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του b) Την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του. Έστω ο μιγαδικός f (), και Α,Β,Μ και Μ οι εικόνες των,,,() f αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο Α.. Να λύσετε την εξίσωση f (). Να βρείτε το μέτρο της ρίζας της παραπάνω εξίσωσης. Να αποδείξετε ότι f () () MB () MA v. Αν x y να γράψετε την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου των εικόνων του όταν είναι f () Β.. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : f (). Αν το σημείο Μ κινείται πάνω σε κύκλο με κέντρο το Α και ακτίνα να βρείτε τον γεωμετρικό των εικόνων του f (). 5, 3. Δίνεται μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει : 4() 3() 7. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. Αν για τον μιγαδικό ισχύει τόπο C των εικόνων του. 8 75, να βρείτε τον γεωμετρικό. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του, καθώς και τους μιγαδικούς για τους οποίους το παίρνει τις τιμές αυτές v. Αν οι μιγαδικοί, ανήκουν στο γεωμετρικό τόπο C να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του

5 4. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει 3() () Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του.. Να βρείτε ποιος από τους παραπάνω μιγαδικούς έχει το ελάχιστο μέτρο Για την τιμή του που βρήκατε στο ερώτημα. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίας ισχύει: Να βρείτε : a) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του, b) Την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του : 5 5. Δίνεται η εξίσωση και το πολυώνυμο P () 3,,. Να λύσετε την εξίσωση (). Αν ο αριθμός που βρήκατε στο. είναι ρίζα της εξίσωσης P (), τότε να βρείτε τις τιμές των α,β.. Αν 3, 4 τότε : a) Να λύσετε την εξίσωση P () b) Αν, είναι οι μη πραγματικές ρίζες της εξίσωσης P () αποδείξετε ότι 7 να. Δίνεται η εξίσωση Να βρείτε το. Να βρείτε το u 3. Δίνεται μιγαδικός για τον οποίο ισχύει u,, u οι μιγαδικοί που βρήκατε στα προηγούμενα ερωτήματα. Να βρείτε : a) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του b) Την ελάχιστη τιμή του

6 7. Δίνεται μιγαδικός για τον οποίο ισχύει : Να αποδείξετε ότι. Να βρείτε το. u είναι πραγματικός v. Αν 3 τότε να βρείτε : a) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του b) Τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του 8. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός και η συνάρτηση f (). Αν να αποδείξετε ότι f (). Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του για τους οποίους ισχύει f (). Αν f () τότε να βρείτε τον αριθμό f () f () v. Αν ισχύει f ()() f 4, να βρείτε : a) Τον γεωμετρικό τόπο του των εικόνων του b) Την ελάχιστη τιμή του 9. Δίνεται η συνάρτηση f ()(). Να βρείτε τον αριθμό [()()] f f. Να αποδείξετε ότι ()() f f f. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει f (). Δίνονται μιγαδικοί αριθμοί, με των οποίων οι εικόνες ανήκουν στον κύκλο κέντρου Ο(,) και ακτίνας. Θεωρούμε και τον μιγαδικό. Να βρείτε τα και

7 .. είναι πραγματικός Αν να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών Ο,, είναι ισόπλευρο. Δίνεται η εξίσωση 4 8 I. Να βρείτε τη λύση της παραπάνω εξίσωσης II. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του για τους οποίους ισχύει : 4 Re() 5 7 III. Αν οι εικόνες των, ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του. Έστω Α και Β οι εικόνες των μιγαδικών 3 5, 4 αντίστοιχα. Θεωρούμε και τη συνάρτηση f ()( ). Αν Γ είναι η εικόνα του f ( 4 ) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. Έστω Μ η εικόνα του. f () Αν τα διανύσματα BM, BA είναι κάθετα, να βρείτε a) Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του b) Την ελάχιστη τιμή του 3. Έστω ο μιγαδικός για τον οποίο ισχύει. Να αποδείξετε ότι. Να αποδείξετε ότι 4 Re(). Αν η εικόνα του μιγαδικού βρίσκεται στο εσωτερικό του κυκλικού δίσκου με κέντρο το Ο(,)και ακτίνα ρ=, να αποδείξετε ότι Re()

8 4. Δίνονται οι μιγαδικοί 3 και Να αποδείξετε ότι Οι εικόνες των,, 3 σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο 5. Έστω, και Α και Β οι εικόνες τους αντίστοιχα. Αν το ΟΑΒ όπου Ο η αρχή των αξόνων είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την ΑΒ τότε :. Να βρείτε την τιμή της παράστασης. είναι φανταστικός. Να αποδείξετε ότι