= u u I, ως διαφορά συζυγών. z + 2. i) R. Λύση: α τρόπος. + z z = . Άρα. x 2 +y 2 +x-2=0. , ως. i) Re(z 2 )= -4, ii) Im(z 2 )=2, iii) Re(1+z 2 )=0.

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ) Υπολογίστε τους µιγαδικούς, των οποίων το τετράγωνο ισούται µε: α) 6 β) - γ) -7 δ) - ε) α) 6 ± 6 β) - ± ± γ) -7() ± ± ±± δ) -() ± m ± m ±m 0 ε) () - ±± 0 0 ) Εάν, µιγαδικοί, να αποδείξετε ότι a) R και b) ( ) ( I ) ) a) Άν τότε ( ) άθροισµα συζυγών b) Άν ( ) ) R, ως u ( ) τότε ( ) ( ) u ( ) ( ) u u I, ως διαφορά συζυγών ) Να βρείτε τον γτ του σηµείου Μ που είναι εικόνα του µιγαδικού, αν: ) R ) I α τρόπος ) R R ο γτ είναι ο άξονας των O εκτός του σηµείου Α(-,0), γιατί - ) I 0 () Εάν, τότε, και η () γίνεται -0 ή( ) 9 ο γτ είναι ο κύκλος κέντρου Κ(-/, 0) και ακτίνας ρ/, εκτός του σηµείου Α(-,0), γιατί β τρόπος ( )( ) ( )( ) χ ( ) ) R ( ) ( ) 0 0 ) I 0 ( ) -0 ) Να βρείτε τον γτ του σηµείου Μ που είναι εικόνα του µιγαδικού, αν : ) Re( ) -, ) Im( ), ) Re( )0

2 () - () - ) Re( )- - O γτ είναι η ισοσκελής υπερβολή του σχήµατος - ) Im( ) Ο γτ είναι η ισοσκελής υπερβολή του σχήµατος ) Re( )0 - O γτ είναι η ισοσκελής υπερβολή του σχήµατος 5) α) Να δείξετε ότι αν α, β, γ, δ R µε γ δ 0, τότε ισχύει η ισοδυναµία: α µόνο αν 0, γ α β R γ δ β δ, αν και β) αν α, β, γ R µε β γ 0, τότε α β ισχύει η ισοδυναµία, R β γ αν και µόνο αν οι αριθµοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου α) α β αγ βδ βγ αδ γ δ γ δ γ δ α β βγ αδ R γ δ γ δ α β βγ-αδ0 αδ-βγ0 0 γ δ 0 ( ) α β β) α ερώτηµα R 0 β γ α β β β αγ α, β, γ διαδοχικοί όροι γπ γ 6) Έστω Μ η εικόνα του µιγαδικού συνθ5ηµθ, θ R Να αποδείξετε ότι το Μ ανήκει σε έλλειψη, της οποίας να προσδιορίσετε τις εστίες και την εκκεντρότητα Θέτω συνθ () και 5ηµθ ()

3 ηµ θσυν θ () Οι (), (), () δίνουν (έλλειψη) 6 5 α5, β, γ α β Εστίες Ε(, 0), Ε (-, 0), εκκεντρότητα εγ/α /50,6 7) Έστω Μ η εικόνα του µιγαδικού συνθ(ηµθ), θ R Να αποδείξετε ότι το Μ ανήκει σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα Θέτω συνθ () και ηµθ () ηµ θσυν θ () Οι (), (), () δίνουν (-) (-) O γτ είναι κύκλος κέντρου Κ(, ) και ρ 8) Έστω Μ η εικόνα του µιγαδικού θ ηµ ηµθ, θ R Να αποδείξετε ότι το Μ ανήκει σε κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα θ Θέτω ηµ θ -- ηµ συνθ () και ηµθ () ηµ θσυν θ () Οι (), (), () δίνουν (-) ή (-) O γτ είναι ο κύκλος κέντρου Κ(, 0) και ρ 9) Θεωρούµε τους µιγαδικούς, - και Να βρείτε τον γτ των σηµείων Μ(, ), όταν R ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) R 0-0 ( ) O γτ είναι η ευθεία -0 πλην του σηµείου Α(-, 0) γιατί - 0) Aν για τους µιγαδικούς και ισχύει η σχέση -0, να βρείτε τον γτ της εικόνας Μ του, όταν: ) οι εικόνες των 0, και, είναι σηµεία της ίδιας ευθείας, ιι) Re() Έστω ) Επειδή οι εικόνες των 0, και είναι στην ίδια ευθεία, θα είναι λλ, λ R -0 () -(λλ)0 λ 0 λ 0 λ 0 0 ή λ 0 ( λ) 0 λ Εποµένως ο γτ είναι η ευθεία 0 και ο µοναδιαίος κύκλος ) Re() β -0 () -(β)0 - ) Θεωρούµε τους µιγαδικούς, και Να βρείτε τον γτ των σηµείων Μ(,), όταν I ( ( ( ) )( )( ( ) ) ) Ι 0 ( ) O γτ είναι ο κύκλος κέντρου Κ(0, 0) και ρ πλην του σηµείου Α(0, ) γιατί

4 ) Οι µιγαδικοί και συνδέονται µε την σχέση Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα του κινείται στην ευθεία 0, τότε η εικόνα του κινείται σε κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα Έστω ( ( ( ) 0 ($) )( )( ) ) - ( ) 0 ( ) ( ) ($): προφανώς Εποµένως ο γτ είναι µοναδιαίος κύκλος, εκτός του σηµείου Α(, 0) γιατί ) ίνονται οι µιγαδικοί, uαβ και βα, µε α, β R Εάν αβ, να δείξετε ότι οι εικόνες των, u και στο µιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ίδια ευθεία Έστω Τότε uα()β β α β α (α-α)α και β()α (-αα)(-α) Θεωρούµε Α, Β και Γ τις εικόνες των, u και αντίστοιχα στο µιγαδικό επίπεδο Αν α τότε β-α0 και u και τα, u και είναι συνευθειακά () Αν, τότε, uα και (-α) που είναι συνευθειακά (βρίσκονται στην ευθεία ) () Αν α0 τότε β-α και οπότε τα, u και είναι συνευθειακά () Αν α 0, α και, τότε λ ΑΒ a () a a λ ΑΓ ( a) (5) a a (), (5) λ ΑΒ λ ΑΓ Α, Β, Γ συνευθειακά (6) Από (), (), (), (6) προκύπτει ότι τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά σε κάθε περίπτωση ) Θεωρούµε τους µιγαδικούς, - και Να βρείτε τον γτ των σηµείων Μ(,), όταν I ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) I 0 ( ) 0 (½) () 5/8 O γτ είναι ο κύκλος κέντρου Κ(-½, -) και ρ 5 8 πλην του σηµείου Α(-, 0) 5) Αν και C, και 0, να αποδείξετε ότι: ) Re ) Re, ) Im

5 ) Im 6) Αν ν Ν, να δείξετε ότι : α) ν β) ν ν ν ν 0 α) α 0 0 α α α ν ν, αν ν άρτιος 0, αν ν περιττός α ( λ ν ) ν Σ ν 0, --, - λ αν ν περιττός αν ν άρτιος ν ( ) β) ν ν ν ν ν ( ) ν (--)0 7) Υπολογίστε το άθροισµα Sι 008 α 0 α α α S 008 Σ 009 ( 009 ) 50 Άθροισµα των ν πρώτων όρων γπ µε α και λόγο λ - Άθροισµα των 009 πρώτων όρων γπ µε α και λόγο λ α ( λ 009 ) λ ) 8) Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών και, ( 0) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) ΟΜ // ΟΜ R, β) ΟΜ ΟΜ I Έστω, ( )( - ) ( ) ( - ) () α) ΟΜ (, ) και ΟΜ (, ) ΟΜ ΟΜ // 0-0 R λόγω της () β) ΟΜ ΟΜ ΟΜ ΟΜ 0 0 I, λόγω της () 9) Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών και, ( 0) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) ΟΜ // ΟΜ R, β) ΟΜ ΟΜ I Όπως η προηγούµενη 0) ίνονται οι µιγαδικοί,,, για τους οποίους ισχύει 0 Να αποδείξετε ότι 0 ( ) ( ) () () () Οµοίως () και () Από (), () και () έπεται το ζητούµενο

6 ) Αν Α, Α, Α, Α είναι οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών,, και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Α Α // Α Α R, β) Α Α Α Α I Όπως η άσκηση 9 ) Να δείξετε ότι 00 a), b) a) 00 c) () 5 () - ( ) 50, γιατί b) Οµοίως c) () 5 [() ] () ( ) () (-) () () () () () ) Εάν ω είναι µιγαδικός µε ω και ω, να δείξετε ότι: a) ω ω0 b) (-ω) 6-7 c) αν κ ρ κ ω ω αν κ ρ ω αν κ ρ, ρ Ν d) (-ω)(-ω )(-ω )(-ω 5 )9 e) (ω)(ω)(ω)(5ω) a) ω ω -0 (ω-)(ω ω)0 και επειδή ω ω ω0 b) ω ω0 ω -ω () (-ω) 6 [(-ω) ] (ω -ω) (λόγω της ()) (-ω-ω) (-ω) -7ω -7 (γιατί ω ) c) ) κρ Τότε ω κ (ω ) ρ ρ ) κρ Τότε ω κ (ω ) ρ ω ρ ωω ) κρ Τότε ω κ (ω ) ρ ω ρ ω ω d) (-ω)(-ω )(-ω )(-ω 5 ) (-ω)(-ω )(-ω)(-ω ) λόγω του (e) (-ω) (-ω ) (-ω) (ω) λόγω της () [(-ω)(ω)] [ω-ω-ω ] (-ω-ω ) λόγω της () (-ωω) λόγω της () 9 e) (ω)(ω)(ω)(5ω) (ωω )(8ω5ω ) λόγω της () (ω-ω-)(8ω-5ω-5) (-ω)(--7ω) 7(-ω)(ω) 7(-ω-ω ) λόγω της () 7(-ωω) ) Εάν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης 80, να δείξετε ότι ο µιγαδικός I 8 Από τους τύπους του Vetá έχουµε -β/α- και γ/α ( ) I ( )( ) 5) ( έσµες 980) Να υπολογίσετε το άθροισµα: ()(5) [(ν-)(ν-)], ν Ν* ()(5) [(ν-)(ν-)] [6 (ν-)][5 (ν-)] (*) ( ν )( ν ) ν ( ) ν ν(ν-)ν (*) Παρατήρηση: Το άθροισµα 6 (ν-) είναι το άθροισµα των (ν-) πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου α, ω

7 και το άθροισµα 5 (ν-) είναι το άθροισµα των ν πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου α, ω 6) (Θέµα ον 00) Έστω C και f(v) v, v N* Να δείξετε ότι f()f(8)f()f(8) 0 Μονάδες 7 f()f(8)f()f(8) 8 8 ( 8 8 )(--)0 7)