Ασκήσεις. x ' x οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες Μ(z).

Transcript

1 εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις. ν α,β,γ,δ και ο OA, w a βi γ δi OB, των a βi, γ δi. α λυθεί η ανίσωση 0 πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης είναι φανταστικός, να δειχθεί ότι οι διανυσματικές ακτίνες αντίστοιχα, είναι κάθετες.. ν ο μιγαδικός είναι μη φανταστικός και ο γωνίες που σχηματίζουν με τον w είναι φανταστικός, να βρεθούν οι x ' x οι ευθείες πάνω στις οποίες κινούνται οι εικόνες (). 4. Έστω ο μιγαδικός x yi. α βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (x,y) αν : I x I yi 5. α δειχθεί ότι οι μιγαδικοί ()() k k i ανήκουν σε ευθεία ε και να βρεθεί η εικόνα του πλησιέστερου στην αρχή των αξόνων α βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει Re() Im() 7. α βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους οι εικόνες των μιγαδικών, i, i είναι συνευθειακά σημεία. 8. ν,, 0 και τα σημεία,β, που αντιστοιχούν στους μιγαδικούς,, ia αντίστοιχα, σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο, να βρεθεί ο α>0. σκήσεις 9. Έστω (a )( β) i. ν τα σημεία (α,β) ανήκουν στην ευθεία δ:y=x+, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του μέτρου του. Ποιος μιγαδικός 0 παίρνει την ελάχιστη αυτή τιμή; 0. ν οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν σε κύκλο κέντρου (,-) και ακτίνας ρ=, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w.. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,,, για τους οποίους ισχύει α αποδειχθεί ότι. 0, 0. 5

2 εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης. ν, w, λ, w, να αποδειχθεί ότι w λw w w λ... ν,, και =, να αποδειχθεί ότι 4. α αποδειχθεί ότι οι μιγαδικοί που επαληθεύουν την εξίσωση i 00 i ()() ημθ συνθi i 00i 44, είναι πραγματικοί. 5. α δειχθεί ότι οι εικόνες των μιγαδικών που επαληθεύουν την εξίσωση ( )() i ν i ν έχουν Im(). 6. α αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει τέτοιος ώστε : () i i w i i 7. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, i. α δείξετε ότι ii. ν ανήκει στον w i w i ν i i. και η εικόνα του w στο μιγαδικό επίπεδο, ν αποδείξετε ότι το σημείο ' x x. iii. α δείξετε ότι αν w φανταστικός φανταστικός. (Προσομοίωση φροντιστηρίων 006) 6

3 εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης ΞΩ (Ϊ 00) Δίνεται η εξίσωση όπου C με 0. α βρείτε τις ρίζες και α αποδείξετε ότι 0 της εξίσωσης.. ν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει w 4 i τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο. 4. ια τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος να αποδείξετε ότι w 7 (ΠΠ 00) Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί, συντελεστές για τις οποίες ισχύουν και 5. α βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς,. ν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση (ονάδες =5) είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς να αποδείξετε w w ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση ( x ) y 4. πό τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος να βρείτε εκείνους για τους οποίος ισχύει Re() w Im() w0 4. ν w, w είναι δυο από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος με την ιδιότητα w w 4 αποδείξετε ότι w w να (ονάδες =5) 7

4 εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης (Ϊ 009) εωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς ( )( ) i,. α βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, για τις διάφορες τιμές του. πό τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός 0 έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο.. α βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση 0 ο μιγαδικός αριθμός που αναφέρεται στο προηγούμενο ερώτημα. 4 (ΠΠ 009) εωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: ()() i 8 0 i i w w όπου (ονάδες 9+8+8=5). α βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών x yi οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση.. α βρείτε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό και τον μοναδικό φανταστικό αριθμό οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση.. ια τους αριθμούς, 40 5 (Ϊ 008) που βρέθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα να αποδείξετε ότι ν για τους μιγαδικούς αριθμούς και w ισχύουν ( i ) 6 και ()( ) να βρείτε:. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών.. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w. 0 οι (ονάδες 0+8+7=5) w i w i τότε. την ελάχιστη τιμή του w 4. την ελάχιστη τιμή του w (ονάδες =5) 8

5 εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης 6 (ΠΠ 008) i Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης 0, όπου και πραγματικοί αριθμοί.. α αποδείξετε ότι και. α αποδείξετε ότι. α βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού w, για τον οποίο ισχύει: w 7 (Ϊ 007) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός i i με. α αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο με κέντρο (0,0). Έστω, οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο αντίστοιχα. i i (ονάδες 9+8+8=5) για 0 και. α βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και. α αποδειχθεί ότι ισχύει ()() 8 (ΠΠ 007) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί.. α αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό. i και, όπου, με 0 και ακτίνα (ονάδες 9+8+8=5). Δίνεται επίσης ότι. α βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο.. ν ο αριθμός είναι φανταστικός και 0, να υπολογισθεί ο και να δειχθεί ότι: ( )( i ) 0 i 0 0 9

6 εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης 9 (Ϊ 006) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, με και 0. α αποδείξετε ότι : a. b. 4 Re() και. α βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των,, στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν. (ονάδες 9+8+8=5) 0 (Ϊ 005) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, με. Δείξτε ότι : 9. Δείξτε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός. Δείξτε ότι :. (ονάδες 7+9+9=5) (ΠΠ 005). ν, είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει 4 4i και βρείτε τους,.. ν για τους μιγαδικούς αριθμούς, w ισχύουν i και w i 5 5i να a. να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί, w έτσι ώστε w και b. να βρείτε τη μέγιστη τιμή του w (ονάδες 0+0+5=5) 0

7 εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης (Ϊ 00) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i όπου, και w i 4 όπου είναι ο συζυγής του. α αποδείξετε ότι Re() w 4 και Im() w. α αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y x τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y x. α βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y x, έχει το ελάχιστο μέτρο. (ΠΠ 00) (ονάδες 6+9+0=5). α περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο () των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις: και Im() 0. α αποδείξετε ότι αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού κινείται στο σύνολο (), τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού στον άξονα x ' x. 4 (Ϊ 00) Έστω ένας μιγαδικός αριθμός και f () w 4 () κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα το οποίο βρίσκεται i,. α δείξετε ότι f ()((8)()(8) f f 0 f. ν και Arg(). ν και Arg() να δείξετε ότι f () [()()] i (ονάδες +=5) να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών 0, και f () (ονάδες 7+8+0=5)

8 εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης 5 ( 00). Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,. α αποδείξετε ότι:. α χαρακτηρίσετε τους παρακάτω προτάσεις ως ωστό () ή άθος () ια κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει i. ν 4i και i να γράψετε στο τετράδιο σας τους αριθμούς της τήλης και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της τήλης Β έτσι ώστε να προκύπτει ισότητα. Β.. 4. Β Δ i Ζ ν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει να δείξετε ότι (ονάδες 7,5+5+7,5+5=5)

9 εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης 6 (00-00) ΡΩ Π Ω ή α χαρακτηρίσετε τους παρακάτω προτάσεις ως ωστό () ή άθος (). διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών αριθμών και i είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων i τους.. ια κάθε C ισχύει. ν, είναι μιγαδικοί αριθμοί τότε ισχύει 4. ν είναι ένας μιγαδικός αριθμός τότε για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει () 5. Όταν η διακρίνουσα Δ τους εξίσωσης,, και 0 ρίζες στο σύνολο των μιγαδικών. 0 με είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει 6. ν, πραγματικοί αριθμοί, τότε i 0 7. ια κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει 0 ή 0 8. ν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει 9. ο μέτρο της διαφοράς δυο μιγαδικών αριθμών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους. 0. ι εικόνες δυο συζυγών μιγαδικών αριθμών, είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα x ' x.. διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δυο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους.. ν τους μιγαδικός αριθμός και ο συζυγής του, τότε ισχύει. ν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα

10 εθοδολογία Παραδείγματα σκήσεις πιμέλεια.: άτσιος Δημήτρης 4