99 ΘΕΜΑΤΑ. Αν J ν ν εφ d, ν *, τότε α να αοδείξετε ότι για κάθε ν >, ισχύει J ν β να υολογίσετε το J 5. α Έχουµε J ν-, ν J ν ν εφ d εφ εφ d εφ ( d συν εφ d συν εφ d εφ (εφ d J ν- β Έχουµε ν εφ ν J ν- ν J ν- ν J ν-, για κάθε ν >. ηµ (συν J εφ d d - d συν συν - [ ] ln(συν - ln(συν ln(συν - ln ln - ln. J αό το α J - J ln, οότε J 5 5 εφ d αό το α 5 J 5- J ( ln ln - ln.. ίνεται η συνάρτηση f µε τύο f( α Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της f. ln, >. β Να υολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου το οοίο ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f, τον άξονα Ο και τις ευθείες µε εξισώσεις και. α Για κάθε > έχουµε ln f ( ( ln ln.
Θέτουµε g( ln, >, τότε g ( >, για κάθε >, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο (,. Έχουµε Παρατηρούµε ότι g(, άρα η εξίσωση g( έχει µοναδική ρίζα την. f ( g(. Η g είναι συνεχής εοµένως έχει σταθερό ρόσηµο στα διαστήµατα (, και (,. Για > g αύξουσα στο [,. g( > g( οότε f ( >, άρα η f είναι γνησίως β Έχουµε Για < g φθίνουσα στο (,. g( < g( οότε f ( <, άρα η f είναι γνησίως Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] και για f f( f( ln f(, άρα f( >, για κάθε [, ]. Οότε το εµβαδόν είναι Ε f( d f( d d ln d ln d ( ln d ln (ln d ln d ln d ln ( d ln ( (ln ( 7 ln ln τ.µ.
. Έστω η συνάρτηση f, η οοία είναι ορισµένη σε ένα διάστηµα και αραγωγίζεται στο. Να αοδείξετε ότι Έχουµε f( f( f( f( f( f (. f( f( f( f( f( ( (f( f( f( f( (f( f( f( f( f( f (, αφού η f ως αραγωγίσιµη στο θα είναι και συνεχής στο δηλαδή f( f(.. ίνονται οι συναρτήσεις f και g, οι οοίες έχουν τις εξής ιδιότητες: (i (ii (iii είναι συνεχείς στο [α, β] και αραγωγίσιµες στο (α, β, για κάθε [α, β] είναι g( και f(β g(α f(α g(β. Να αοδείξετε ότι: α για την συνάρτηση F µε F( f( g( εφαρµόζεται το θεώρηµα του Roll στο [α, β], β υάρχει (α, β τέτοιο ώστε f ( f( g(. g ( α Η συνάρτηση F είναι ορισµένη στο [α, β] αφού για κάθε [α, β] είναι g(, Η συνάρτηση F είναι συνεχής στο [α, β] (ηλίκο συνεχών συναρτήσεων Η συνάρτηση F είναι αραγωγίσιµη στο (α, β (ηλίκο αραγωγίσιµων f ( g( f( g ( συναρτήσεων, µε F ( (g( (. F(β F(α f(α g(α f(β g(β f(α g(β f(β g(α f(β g(α f(α g(β, ισχύει αό το (iii. Ισχύουν οι ροϋοθέσεις του θεωρήµατος Roll στο [α, β] και συνεώς εφαρµόζεται στο [α, β].
β Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Roll για την συνάρτηση F στο [α, β] υάρχει (α, β τέτοιο ώστε: F ( ( f ( g( f( g ( F ( (g( f ( f ( g( f( g ( f ( g( f( g ( g ( f( g(. 5. α ίνεται η αραγωγίσιµη συνάρτηση f µε f( >,. Να βρείτε την αράγωγο της συνάρτησης F µε F( [f(],. β Έστω α>. Να βρείτε την αράγωγο της συνάρτησης g µε g( α Έχουµε α,. F( [f(] lnf( F ( ( lnf(,, άρα [f(] (lnf( f (,. f( lnf( lnf( ( lnf( ( lnf( f ( f( β Έχουµε g ( ( α α lnα α lnα(,. α lnα ( 6. Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης f: [, ] µε f( ηµ ηµ. Για κάθε [, ] έχουµε f ( ηµ συν συν συν(ηµ και f ( ( συν ή ηµ ή. Εειδή η f είναι συνεχής θα έχει σταθερό ρόσηµο στα διαστήµατα [,, (,. Υολογίζουµε τις τιµές:
f ( συν (ηµ 6 6 6 ( ( <, f f f ( συν (ηµ ο.µ. ο.ε. τ.µ. ( ( >. Εοµένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ], η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ], η f αρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση το f( ( -, η f αρουσιάζει τοικό µέγιστο στη θέση το f( και η f αρουσιάζει ολικό µέγιστο στη θέση το f( > f(. 7. ίνεται η συνάρτηση f µε τύο f(, < ln., Να αοδείξετε ότι η f είναι συνεχής και να υολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου, το οοίο ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες µε εξισώσεις και. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (-, (διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (, (ηλίκο και σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Στο έχουµε f( (,
f( ln ln και οότε f( ln f(. f( f(, άρα η f είναι συνεχής στο. Εοµένως η f είναι συνεχής στο. Η f είναι συνεχής στο [, ]. Για κάθε [, ] έχουµε f( και για κάθε [, ] έχουµε f( ln. Οότε το εµβαδόν είναι Ε f( d f( d f( d ( d ln d (ln (ln d (ln ( ( 5 τ.µ.