Aριστοβάθμιο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΓΕΛ 2017 ΘΕΜΑ Α. β) Αντιπαράδειγμα η f(x)= x που είναι συνεχής στο 0 αλλά όχι παραγωγίσιμη σε αυτό αφού Β) Σ

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Aριστοβάθμιο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΓΕΛ 2017 ΘΕΜΑ Α. β) Αντιπαράδειγμα η f(x)= x που είναι συνεχής στο 0 αλλά όχι παραγωγίσιμη σε αυτό αφού Β) Σ"

Χθόνιος Παπαστεφάνου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΜΑ Α. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΓΕΛ 27 Α. Θεωρία, σολικό σελ.253( αό αλαιά έκδοση) Α 2. α)λάθος β) Αντιαράδειγμα η f()= ου είναι συνεής στο αλλά όι αραγωγίσιμη σε αυτό αφού + Α 3. Α) Λ Β) Σ Γ)Λ Δ)Σ Ε)Σ ΘΕΜΑ Β. f() f() = + Είναι Α g = R {), Α f = (, + ) Β. Α fog ={ Α g /g() Α f } = { τ. ώ είναι Α fog = (,) Για κάθε (,): (fog)()=f(g())=ln( ) Β 2. h()= ln( ), (,). = και f() f() = = Η h() είναι αραγωγίσιμη στο (,) με h ()= γνησίως αύξουσα στο (,) άρα και - και αντιστρέφεται > } και αφού > ( ) > (,), + ( ) 2= > για κάθε (,) άρα η h είναι ( ) Α h =h ((,))=R καθώς η h είναι γνησίως αύξουσα στο (,) και συνεής και + =, άρα και ln ( )=- και =+ αφού -> για < και (-)=

2 Ακόμη, θέτω h()=y = h (y) Και έω y=ln ( ) : Έτσι, για κάθε R, h ()= Β 3. Η φ με φ()= h ()= = y ( y + ) = y y + για κάθε y R + + = y y, y R + είναι αραγωγίσιμη στο R ως ράξη αραγωγίσιμων με φ ()= (+ ) 2 = (+ ) 2 (+ ) 2> για κάθε R και η φ είναι γνησίως αύξουσα στο R και δεν αρουσιάζει ακρότατα Ακόμη φ ()= (+ ) [(+ ) 2 ] = ( ) (+ ) 4 (+ ) 3 φ ()= = = = : = φ ()> > > : > και φ ()< για < Έτσι η φ είναι κυρτή στο (-, ] και κοίλη στο [,+ ) και αφού και στο (,φ()) η γραφική της φ δέεται εφατομένη, η φ έει σημείο καμής το Α(,φ()) δηλ.το Α(, 2 ) Β 4. Είναι φ() = = φ() = = + =, αό d l Hospital και Άρα η C φ έει στο οριζόντια ασύμτωτη την y=(άξονας ) και στο + οριζόντια ασυμτωτη την y= και η γραφική της φ είναι η:

3 Γ.Έστω Μ( o, f( )) σημείο εαφής της C f και της εφατομένης (ε) τότε και αφού f ()=-συν, ΘΕΜΑ Γ (ε): y-f( ) = f ( )(- o ) = 2,y= 2 2 +ημ o + 2 συν o o συν o = Έστω η φ()= = +ημ + συν συν στο [,], αραγωγίσιμη με 2 2 φ ()=(- )ημ και είναι 2 φ()= φ()= Έστω ότι η φ έει 3 τουλάιστον ρίζες, έστω τις ρ, ρ 2, ρ 3 με ρ < ρ 2 < ρ 3 στο [,], τότε αφού φ συνεής στο [ρ, ρ 2 ] φ αραγωγίσιμη στο (ρ, ρ 2 ) φ(ρ ) = φ(ρ 2 ) = αό θεώρημα Roll, υάρει ξ (ρ, ρ 2 ) τ.ώ. φ (ξ ) = Όμοια, αό Roll για τη φ στο [ρ 2, ρ 3 ], υάρει ξ 2 (ρ 2, ρ 3 ) τ.ώ. φ (ξ 2 ) = Άτοο καθώς η φ ()= έει μόνο την ρίζα = 2 στο (,), και όι και τις ξ, ξ 2 Ετσι η φ έει ρίζες μόνο το και το. Άρα ροκύτουν οι εφατομένες : (ε ): y =, στο Ο(,) και

4 (ε 2 ): y =, στο Γ(, ) Γ 2. Είναι f ()=ημ> για κάθε (, ) άρα η f είναι κυρτή στο [,] E 2 = στο [,] ημ d = ημd= ( συν) d = συν + συν = 2 τ. μ, αφού -ημ Και Ε = (ΑΟΓ) Ε 2 = = 2 4 2, Έτσι, Ε Ε 2 = 2 8 Γ 3. Είναι f(), με την ισότητα να ισύει για =, αφού η f κυρτή στο [,] και η y=- είναι η εφατομένη της στο Γ(, ) και για, ημ > ημ > f()+ Και = ημ = ( ημ) [ ] = (+ ) f() + ημ + ημ + Γ 4. Είναι f(), με την ισότητα να ισύει για =, αφού η f κυρτή στο [,] και η y=- είναι η εφατομένη της στο Γ(, ), άρα και για > f() + f() h() για την h()= + ου είναι συνεής και όι αντού μηδέν, άρα και για [, ]:

5 ( f() + f() )d > d > ( ln ) d f() d > ΘΕΜΑ Δ Δ. f() = f() = + ημ= = f() = Άρα, η f είναι συνεής στο, και καθώς είναι και συνεής στο [-,) και στο (,], ως ράξη συνεών, θα είναι συνεής στο [,]. Ακόμη, + f() f() ημ = = + f() f() = = 3 Άρα, η f δεν αραγωγίζεται στο, και το είναι ένα κρίσιμο σημείο της f. 4 = ( ) 3 = ( ) ( ) 3 = κόμη, για [,) είναι f ()=- 4 3 ( ) 3 <, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [-,] Και για για [, ], f () = (ημ + συν) με f ()= ημ + συν = ημ=-συν () Και για συν, αφού αν συν= τότε θα έρεε και ημ=, άτοο, αφού ρέει ημ 2 + συν 2 = () εφ = εφ = εφ ( 3 4 ) = 3 4 για [, ] Έτσι, το 3 4 είναι το δεύτερο κρίσιμο σημείο της f, αφού f (3 4 ) =. Δ 2. Αό το Δ είναι f : γνησίως φθίνουσα στο [-,] Στο [,]: είναι f ()= k() = (ημ + συν) Για [, 3 ) η k συνεής και μη μηδενική, άρα διατηρεί σταθερό ρόσημο και αφού 4 k( 2 ) = > είναι και k()> f () > για κάθε [, 3 4 ) Για ( 3 4, ] η k συνεής και μη μηδενική, άρα διατηρεί σταθερό ρόσημο και αφού k() = < είναι και k()< f () < για κάθε ( 3 4,]

6 Έτσι, η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, 3 4 ] και γνησίως φθίνουσα στο [3 4 Και αρουσιάζει τοικό μέγιστο στο -, το f(-)= ολικό ελάιστο στο, το f()= ολικό μέγιστο στο 3 το 4 f(3) = , ] και στο [-,] και f([-,])=[,], αφού η f γνησίως φθίνουσα και συνεής στο [-,] f([, 3 4 f([ ]) = [, ], αφού η f γνησίως αύξουσα και συνεής στο [, 3 ] 4 2, ])=[, ], αφού η f γνησίως φθίνουσα και συνεής στο [, 3 ] 4 έτσι, το σύνολο τιμών της f είναι το [, ] Δ 3. Για h()= 5 ημ, [, ] Και για, ημ Άρα και 4 ημ > 5 ημ E(Ω)= h() d = 5 d ημd=i I 2 I = ( 5 ) d = Ι 2 = ( ) ημd=- ( ) συνd I 2 = συν + συν Ι 2 Ι 2 = + Τελικά, Ε(Ω)= τ.μ. 2 Δ f() 3 4 (4 3) 2 = 8 2 f() ( 3 4 )2 = f ( 3 4 ) f() f ( 3 4 ) = ( 3 4 )2 () Λόγω του συνόλου τιμών της f είναι για κάθε [, ], f() f ( 3 ) 4 f() f ( 3 ) και ( )2

7 Άρα για να ισύει η (), ρέει και ( 3 4 )2 = = 3 4, δεκτή. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΛΙΑΠΗ ΜΥΡΤΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Σχετικά έγγραφα

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135

( y) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 135 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 07 Α. α. Ψ β. Δίνεται αντιαράδειγμα στο σχολικό βιβλίο σελίδα 99, αράγραφος: «Παράγωγος και συνέχεια». Α.