Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ Τμήμα Πολιτικών Δομικών Έργων Κατασκευές Οπλισμένου Σκυροδέματος Ι Ασκήσεις Διδάσκων: Παναγόπουλος Γεώργιος Α Σέρρες 6-6-009 Ονοματεπώνυμο: Εξάμηνο Βαθμολογία: ΖΗΤΗΜΑ 1 ο Δίνεται ο ξυλότυπος του σχήματος που ακολουθεί με τις διαστάσεις των πλακών και των προβόλων. Τα μόνιμα φορτία που δίνονται αντιστοιχούν στα δάπεδα και τις διάφορες επιστρώσει ενώ το ίδιο βάρος των πλακών δεν συμπεριλαμβάνεται σε αυτά. Ζητούνται: Ο υπολογισμός της επικάλυψης των πλακών Η εκλογή ενιαίου πάχους των πλακών Να υπολογιστεί ο απαιτούμενος οπλισμός των πλακών Ο σχεδιασμός του ξυλότυπου των οπλισμών (πάνω στην κάτοψη της εκφώνησης) Δεδομένα Περιβάλλον Διάμετρος Πρόσθετα μόνιμα Ωφέλιμα φορτία οπλισμών G δ (kn/m ) Q (kn/m ) Υλικά Παραθαλάσσιο Ø8 1.7 3.4 C0 S400
Λύση: Ο υπολογισμός της επικάλυψης των πλακών Η επικάλυψη των οπλισμών c nom υπολογίζεται σύμφωνα με την 4. (σχήμα 4.1) και από αυτήν προκύπτει το d 1 που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του στατικού ύψους d ως εξής: d 1 =c nom +Ø w +Ø L / Επικάλυψη c min για συνθήκες περιβάλλοντος 3 30 Διόρθωση για πλάκες -5 Πρόσθετα 5mm (διαφορά c min c nom ) 5 Συνδετήρας (Δεν υπάρχει συνδετήρας στην πλάκα) - Οπλισμός Φ8 (8/=4mm) 4 Σύνολο d 1 34mm Εκλογή ενιαίου πάχους πλακών Θα γίνει με βάση τον έλεγχο λειτουργικότητας (περιορισμός βελών κάμψης). Παρατηρώ ότι και οι δύο πλάκες είναι σταυροειδώς οπλισμένες (L max /L min <) Έλεγχος συνθηκών στήριξης πλάκας Π προβόλων: l 1.0m Διευθ. Χ: προβ 0.30 0.33 άρα απλή έδραση l 4.00m πλ l 1.0m Διευθ. Υ: προβ 0.3 0.33 άρα απλή έδραση l 5.0m πλ Οπότε μόνο οι στήριξη μεταξύ των δύο πλακών λειτουργεί ως πάκτωση και όλες οι υπόλοιπες ως απλές εδράσεις. Παρατηρώ δηλαδή ότι οι πλάκες Π 1 και Π είναι όμοιες και μου αρκεί να επιλύσω τη μία μόνο από αυτές. Αντίστοιχα, και οι δύο πρόβολοι έχουν το ίδιο μήκος (1.m). Πλακες Π1, Π διεύθυνση Χ Πρόβολοι Πρ1, Πρ α l=0.8 4.00=3.0m διεύθυνση Υ α=1.00 α=.40 α l.4 1.0 30 30 πρ d d 0.096m α l=1.0 5.0=5.0m (α l) 3.0 30 30 min d d 0.107m h= d+d 1 =0.107m+0.034m=> h=0.141m το συνολικό πάχος της πλάκας
Στρογγυλοποιώ στο αμέσως μεγαλύτερο cm οπότε τελικά επιλέγω h=15cm, οπότε και d=h-d 1 =15-3.4=> d =11.6cm (Παρατήρηση: Το πάχος της πλάκας h το οποίο θα κατασκευαστεί στην πράξη είναι αυτό που πρέπει να στρογγυλοποιείται. Το στατικό ύψος d που χρησιμοποιείται μόνο στους υπολογισμούς δεν είναι ανάγκη να στρογγυλοποιηθεί) Συνδυασμοί φόρτισης Παρατηρώ ότι τα μόνιμα και τα κινητά φορτία των πλακών και των προβόλων είναι κοινά Ίδιο βάρος πλακών: G I.B. =γ σκ h=5kn/m 3 0.15m=3.75kN/m Οπότε G ολ =G δ + G I.B. =5.45 kn/m Δυσμενής συνδυασμός φόρτισης πλακών και προβόλων KN KN KN P 1.35G 1.50Q 1.35 5.45 1.5 3.40 1.46 Δ m m m Συνδυασμοί για μέθοδο πεσσοειδών φορτίσεων KN KN KN P 1.175G 0.75Q 1.175 5.45 0.75 3.40 8.95 1 m m m KN KN KN P 0.175G 0.75Q 0.175 5.45 0.75 3.40 3.50 m m m Στατική επίλυση Επίλυση των προβόλων (οι δύο πρόβολοι είναι όμοιοι) Η μέγιστη ροπή στους προβόλους αναπτύσσεται όταν εφαρμοστεί ο δυσμενής συνδυασμός φόρτισης p l 1.46 1.0 (για λωρίδα πλάτους 1m) Δ Πρ1 M M 8.97kNm / m Πρ1 Πρ Επίλυση των πλακών (οι δύο πλάκες είναι όμοιες) Για την επίλυση των τετραέρειστων πλακών θα χρησιμοποιηθούν οι πίνακες Czerny. Ο πίνακας που μας ενδιαφέρει για τον υπολογισμό των ροπών των στηρίξεων είναι αυτός των πλακών τύπου α (πάκτωση στη μεγάλη πλευρά). Για l y /l x =5.0/4.00=1.30 έχουμε: m xerm =-pl x /9.7 m xm =pl x /.4 m ymax =pl x /51.8 Ροπές στις στηρίξεις Η στατική επίλυση γίνεται με καθολική δυσμενή φόρτιση (1.35G+1.50Q). m xerm =-p Δ l x /9.7=-1.46 4.00 /9.7=-0.55kNm/m
Ροπές στο άνοιγμα: Με χρήση εναλλακτών φορτίσεων Καθολική φόρτιση με p 1 =1.175G+0.75Q (πλάκα τύπου α) m xm =p 1 l x /.4=8.95 4.00 /.4=6.40kNm/m m ymax =p 1 l x /51.8=8.95 4.00 /51.8=.77kNm/m Εναλλακτές φορτίσεις με p =±(0.175G+0.75Q) (πλάκα τύπου 1) ly mymax Για l y /l x =5.0/4.00=1.30 έχουμε: m xm =p l x /16.8=3.50 4.00 /16.8=3.34kNm/m m ymax = p l x /30.9=3.50 4.00 /30.9=1.81kNm/m mxm mymax lx Οπότε για τις πλάκες Π 1 και Π : max m x =6.40+3.34=9.73kNm/m min mx=6.40-3.34=3.06knm/m αμελείται max my=.77+1.81=4.58knm/m min my=.77-1.81=0.95knm/m αμελείται Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται το διάγραμμα ροπών όλων των πλακών
Έλεγχος επάρκειας της διατομής (δεν πειράζει και να μη γίνει) Ο έλεγχος γίνεται με τη δυσμενέστερη ροπή πλάκας-προβόλου. Για S500 είναι μ lim 0.33 οπότε Μ 0.55 sd,max d 0.068m 6.8cm 11.6cm απ μ bf 0000 lim cd 0.33 1 1.5 ΟΚ Υπολογισμός των οπλισμών Ελάχιστες απαιτήσεις οπλισμού Υπολογίζεται ο ελάχιστος οπλισμός για την πλάκα (για εξασφάλιση αντοχής) A =1.5 b d=1.5 100 11.6=1.74cm 0.6 b d 0.6 100 11.6 A = =1.74cm f 400 yk Ακόμη, υπολογίζεται ο ελάχιστος οπλισμός λόγω απαιτήσεων λειτουργικότητας A 15 100 / A k f 0.5..95cm λειτ ct ctm σ 0.7 400 s Οπλισμός ανοιγμάτων Ξεκινάμε τη διαστασιολόγηση με τη μεγαλύτερη ροπή ανοίγματος. Msd 9.73kNm μ 0.054 sd b d f cd 0000 kn ω=0.057 1.0m 0.116 m 1.5 m Και f 0000 / 1.5 cd A ω b d 0.057 100 11.6.5 cm s f 400000 / 1.15 yd λειτ Παρατηρώ ότι A A s. Επειδή ο οπλισμός στο άνοιγμα καθορίζεται από την απαίτηση λειτουργικότητας (η οποία παραμένει η ίδια σε όλα τα ανοίγματα) τοποθετούμε σε όλα τα ανοίγματα και προς τις δυο διευθύνσεις τον οπλισμό αυτό. Τοποθετώ Ø8/17cm (.96cm 1.5h 1.5 15.5 ) είναι s=17cm 0cm Ο ίδιος οπλισμός τοποθετείται και στις δύο πλάκες (Π 1 και Π ) Οπλισμός στήριξης Π 1 -Π Msd 0.55 knm μ 0.115 sd bd f cd 0000 kn 1.0m 0.116 m 1.5 m ω=0.15 f 0000 / 1.5 A ω b d 0.15 100 116 5.54cm cd > λειτ s f 400000 / 1.15 yd Από την πλάκα Π 1 κάμπτονται Ø8/34=1.48cm Από την πλάκα Π κάμπτονται Ø8/34=1.48cm A.95cm
Τοποθετώ πρόσθετα Ø8/17=.96cm έτσι ώστε να μην υπάρχουν πυκνώσεις και αραιώσεις οπλισμού. Συνολικά 5.9cm >5.54cm Οπλισμός στηρίξεων Π -Πρ 1, Π -Πρ Msd 8.97 knm μ 0.050 sd bd f cd 0000 kn 1.0m 0.116 m 1.5 m ω=0.05 f 0000 / 1.5 A ω b d 0.05 100 116.31cm cd < A λειτ.95cm s f 400000 / 1.15 yd Από την πλάκα Π 1 κάμπονται Ø8/34=1.48cm Τοποθετώ πρόσθετα Ø8/34=1.48cm Συνολικά.96cm >{ A λειτ.95cm, Α s =.31cm } Oπλισμός διανομής προβόλου Το εμβαδόν του οπλισμού διανομής πρέπει να είναι τουλάχιστο ίσο με 0% του κύριου οπλισμού (ρ 0.0ρ) και τουλάχιστο Φ6/5. max 0% A,Φ6 / 5 1.13cm max 0%.96 0.59cm,Φ6 / 5 1.13cm s Άρα τοποθετώ Φ6/5 (1.13cm ). Oπλισμός τύπου «φουρκέτας» Τέλος απαιτείται οπλισμός τύπου «φουρκέτας» τουλάχιστον Φ6/5. Κάμπτεται κατάλληλα ο οπλισμός στήριξης των προβόλων, άρα τελικά υπάρχει Ø8/17>Ø6/5 (.96cm >1.13cm )
ΖΗΤΗΜΑ ο Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται το στατικό σύστημα μιας κατασκευής από Ο/Σ. Η δοκός έχει διατομή αμφίπλευρης πλακοδοκού (υπάρχει πλάκα Ο/Σ πάχους h f και από στις δύο πλευρές της δοκού). Επιπλέον σε όλο το μήκος της δοκού (άνοιγμα και πρόβολοι) εδράζεται μπατική τοιχοποιία ύψους h τοιχ =3.5m (ίδιο βάρος μπατικής τοιχοποιίας: 3.6kN/m ) g, q Δεδομένα Φορτία (kn/m) Διαστάσεις φορέα (m) Διατομή δοκού g q L πρ1 L 1 L πρ (cm) 18.00 3.00.0 3.60.40 5/70 13 - Επικάλυψη οπλισμού δοκών: 5.0cm - Κατηγορία σκυροδέματος C0. Κατηγορία χάλυβα S400 h f (cm) Στα παραπάνω φορτία συμπεριλαμβάνεται το ίδιο βάρος της δοκού Ζητούνται: Να υπολογιστεί το διάγραμμα ροπών του φορέα θεωρώντας καθολική φόρτιση σε όλο το μήκος Να υπολογιστεί ο διαμήκης οπλισμός στη στήριξη που εμφανίζει τη μεγαλύτερη ροπή και στο άνοιγμα. Να γίνουν τα αντίστοιχα σκαριφήματα με την τοποθέτησή του Λύση: Στατική επίλυση Ίδιο βάρος τοιχοποιίας: g τοιχ. = h τοιχ 3.6kΝ/ =3.5m 3.6kΝ/ =1.60kN/m Οπότε g ολ =g+ g τοιχ. =18+1.60=30.60 kn/m Το δυσμενές φορτίο p Δ στην ΟΚΑ (καθολική φόρτιση με αυτό) είναι: p 1.35 g 1.50 q 1.35 30.60kN / m 1.5 3.00kN / m 75.81kN / m Δ ολ Ροπή προβόλου 1: M πρ1 = -p Δ L πρ1 /=-75.81*. / = -183.46kN/m Ροπή προβόλου : M πρ = -p Δ L πρ /=-75.81*.4 / = -18.33kN/m Ροπή στο μέσο του ανοίγματος L 1 (περίπου ίση με τη μέγιστη ροπή): Μ μέσο = M μέσο Μ Μ πρ1 πρ p L 75.81 3.6 Δ 1 183.46 18.33 78.08kNm 8 8
Υπολογισμός οπλισμού Ελάχιστα και μέγιστα ποσοστά οπλισμού Οι τιμές των ρ min και ρ max λαμβάνονται απευθείας από τον πίνακα στη σελ.75 ρ min = 3. ρ min b w h=3. 5cm 70cm=> Α =5.60cm ρ max = 14 ρ max b w h=14.0 5cm 70cm=> Α s,max =4.50cm Οπλισμός στήριξης Β (αρνητική ροπή, λειτουργία ορθογωνικής διατομής) Η στήριξη που εμφανίζεται η μεγαλύτερη ροπή είναι η Β. Μ Β =-18.33kNm, οπότε Μ παρ Β =0.9 Μ Β =-196.50kNm και καθώς δεν υπάρχει αξονικό φορτίο είναι: Μ sd =196.50kNm μ sd = M sd b w d f cd = 196.50 0 103 0.5 0.65 1.5 = 0.140 < μ lim =0.33 (για S400, άρα δεν απαιτείται θλιβόμενος οπλισμός) μ sd =0. 140 => ω=0.18 0 10 3 /1.5 Α s =ω b w d fcd = 0.18 5 65 f yd 400 10 3 /1.15 => Α s=9.60cm Παρατηρώ ότι Α < Α s < Α s,max Τοποθετώ 5Ø16 (10.05cm ) στην άνω ίνα καθώς η ροπή είναι αρνητική Οπλισμός ανοίγματος (αρνητική ροπή, λειτουργία ορθογωνικής διατομής) Καθώς δεν υπάρχει αξονικό φορτίο είναι: Μ sd =78.08kNm μ sd = M sd b w d f cd = 78.08 0 103 0.5 0.65 1.5 = 0.055 < μ lim =0.33 => ω=0.058 0 10 3 /1.5 Α s =ω b w d fcd = 0.058 5 65 f yd 400 10 3 /1.15 => Α s=3.61cm Παρατηρώ ότι Α s < Α s, min άρα ο οπλισμός προκύπτει από την ελάχιστη απαίτηση Τοποθετώ 3Ø16 (6.03cm ) στην άνω ίνα καθώς η ροπή είναι αρνητική
ΖΗΤΗΜΑ 3 ο x=d Η δοκός του σχήματος καταπονείται από τέμνουσα δύναμη V = 6.1k N σε sd απόσταση d από την παρειά του υποστυλώματος με το οποίο συνδέεται. Οι ποιότητες των υλικών είναι C0 και S400 και η συνολική επικάλυψη είναι τόση ώστε: d 1 =5cm. To ύψος της δοκού h=65cm. A. Να υπολογιστεί το ελάχιστο πλάτος της δοκού b w, έτσι ώστε να μην απαιτείται οπλισμός διάτμησης. B. Θα τοποθετηθεί τελικά κάποιος οπλισμός διάτμησης και αν ναι σε τι αποστάσεις (να θεωρηθεί ότι η διατομή βρίσκεται στο κρίσιμο μήκος της δοκού); 3Φ18 h Λύση: bw 3Φ18 Υπολογισμός b w Για να μην απαιτείται οπλισμός διάτμησης θα πρέπει να ισχύει VRd1 τrd k 1. 40ρl 0.15 σ cp bw d όπου: V xd sd V Rd1 (1 ος έλεγχος) τ Rd =0.6MPa k=1.60-d=1.60-0.60=1.00 ρ A 7.63cm 7.63 10 m 4 sl l b d b 60cm b 0.60m w w w σ cp =0 (δεν υπάρχει αξονική δύναμη) kn 7.63 10 m (Α sl =7.63cm για 3Ø18) 4 3 V Rd1 0.6 10 1.00 1. 40 0.15 0 b 0.60m w m b 0.60m w Οπότε ο μόνος άγνωστος στην ανίσωση του ελέγχου είναι το b w. Λύνω την ανίσωση (με προσοχή στις μονάδες) και προκύπτει: b w 0.89m=8.9cm. Οπότε επιλέγω b w =30cm Ελάχιστος οπλισμός διάτμησης Προφανώς θα τοποθετηθούν οι ελάχιστοι απαιτούμενοι συνδετήρες (μέγιστες αποστάσεις) s 1/3h 1/3 650 16.67mm b 10Φ 10 18 180mm 0Φ 0 8 (θεωρώντας συνδετήρες Φ8) 160mm 00mm 00mm 00mm L w Τοποθετώ εντός της κρίσιμης περιοχής Ø8/160mm
ΖΗΤΗΜΑ 4 ο Ένα ορθογωνικό υποστύλωμα διαστάσεων b/h καταπονείται από θλιπτικό αξονικό φορτίο Ν και ροπή Μ, σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα. Δεδομένα Διαστάσεις (b/h) N (kn) Επικάλυψη (d 1 ) 40/65-860.76 5cm Υλικά C0 S400 Ζητούνται: Ο υπολογισμός του ελάχιστου και του μέγιστου επιτρεπόμενου οπλισμού Να γίνει στο σχήμα της εκφώνησης το σκαρίφημα με την τοποθέτηση του ελάχιστου οπλισμού, τοποθετώντας ενδεικτικά μια κατάλληλη διάταξη συνδετήρων Για την περίπτωση όπλισης με τον ελάχιστο επιτρεπόμενο οπλισμό, να υπολογιστεί η ροπή που μπορεί να αντέξει η διατομή, θεωρώντας το αξονικό φορτίο που δίνεται στα δεδομένα Λύση: Ελάχιστα και μέγιστα ποσοστά οπλισμού Χρησιμοποιώ βοηθητικά και τη διάταξη του παλαιότερου κανονισμού ρ παρ 0.004 min ρ 0.01 A 0.01 b h 0.01 40cm 65cm 6cm min ρ 0.04 A 0.04 b h 0.04 40cm 65cm 104cm max s,max παρ παρ ρ 0.004 A 0.004 b h 0.004 40cm 65cm 10.4cm min Επιλέγω για κάθε μία από τις δύο κύριες παρειές (τις μικρές λόγω του διανύσματος της ροπής) 4Ø18(10.18cm παρ ). Είναι οριακά λιγότερο από το A αλλά επιτρέπεται να τοποθετηθεί, αρκεί ο συνολικός οπλισμός να μην είναι λιγότερος από το A. Στις δύο μεγάλες πλευρές θα τοποθετηθεί οπλισμός, έτσι ώστε οι αποστάσεις μεταξύ των ράβδων να είναι μεγαλύτερες από 0cm. Για να είναι δυνατό αυτό σε μια πλευρά 65cm θα πρέπει να τοποθετηθούν επιπλέον ράβδοι ανά παρειά (λαμβάνοντας υπόψη αυτές που τοποθετήθηκαν στις κύριες παρειές και την επικάλυψη των οπλισμών). Άρα, τοποθετώ σε κάθε μία παρειά επιπλέον Ø14.
Συνολικά δηλαδή υπάρχουν 8Ø18+4Ø16(0.36+6.16=6.5cm )> A =6.00cm Σκαρίφημα με τον ελάχιστο οπλισμό Υπολογισμός ροπής αντοχής Στα υποστυλώματα που καταπονούνται από μονοαξονική κάμψη με αξονικό φορτίο ο κύριος οπλισμός τοποθετείται στις δύο απέναντι παρειές. Οπότε συνολικά για 8Ø18: A s,tot =0.36cm. Α s,tot =ω b h fcd => ω= Α s,tot f yd = 0.36cm (400/1.15)MPa f yd b h f cd 40cm 65cm (0/1.5)MPa =0.04 ν= Ν b h f cd = -860.76 0.40 0.65 0 103 1.5 = -0.48 Είναι d 1 /h=5/65=0.077. Για να μην κάνω τον υπολογισμό φορές και στη συνέχεια γραμμική παρεμβολή χρησιμοποιώ, προς την πλευρά της ασφάλειας (μικρότερο στατικό ύψος), το νομογράφημα για d 1 /h=0.10 (σελ. 103). Για ω=0.04 και ν=-0.48 προκύπτει: μ 0.17 μ= M b h f cd => Μ=μ b h f cd = 0.17 0.40m 0.65m 0 103 1.5 kn/m => Μ=589.33kNm