ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες)
Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα Σχήμα 3 Είναι Μ ' Μ " y. Ενδέχεται τα ΜΜ ', " να ταυτίζονται και αυτό συμβαίνει όταν το Μ βρίσκεται στο διχοτομούν επίπεδο των τεταρτοχώρων II, IV. Το επίπεδο αυτό ονομάζεται ευλόγως ως επίπεδο σύμπτωσης του συστήματός μας. Συχνά, μετά την τοποθέτηση των σημείων που μας ενδιαφέρουν στο παραστατικό σχήμα, το σημείο Ο παραλείπεται, κι αν επιθυμούμε, το όνομά του χρησιμοποιείται εκ νέου για άλλα σημεία. Σε ένα καθαρά παραστατικό σχήμα φροντίζουμε να εμφανίζονται μονάχα οι πρώτες και δεύτερες προβολές των σημείων που μας ενδιαφέρουν.
Παράσταση ευθείας. Σχήμα 4 Σχήμα 5 Φυσικά αν M Σχήμα 6 ε τότε Μ ' ε' και Μ '' ε' '.
Παράσταση επιπέδου. Σχήμα 7 Σχήμα 8 Αν ε ευθεία, έστω με ίχνη Ι, Ι και π επίπεδο, έστω με ίχνη σ, σ, τότε φυσικά αν ε π θα είναι και Ι σ και Ι σ. Παρατήρηση. Σχήμα 9 Σχήμα 0 Το αληθές μέγεθος ρ ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ προκύπτει ως υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με μία κάθετη πλευρά την προβολή Α' Β του τμήματος σε κάποιο επίπεδο π, και άλλη κάθετη πλευρά τη διαφορά των αποστάσεων υa υb των σημείων από το επίπεδο. Ως ειδική περίπτωση, προκύπτει επίσης ως το μέγεθος της προβολής του τμήματος σε επίπεδο παράλληλο προς το τμήμα ΑΒ. 3
Κατάκλιση επιπέδου επί του πρώτου επιπέδου προβολών. Σχήμα Δίνεται σύστημα προβολής δύο επιπέδων π, π. Κατάκλιση επιπέδου π επί του π είναι η περιστροφή του π στο χώρο γύρω από το ίχνος του σ στο π, έως ότου το π συμπέσει με το π. Στο σχήμα σημειώνεται η κατάκλιση M 0 ενός σημείου Μ του π, καθώς και η κατάκλιση i 0 της ιχνοπαραλλήλου i από το Μ. Υπάρχουν δύο κατακλίσεις του π επί του π. Σχήμα 4
Στο προηγούμενο σχήμα δίνεται παραστατικά η κατάκλιση Μ 0 ενός σημείου Μ του επιπέδου π, η κατάκλιση i 0 της πρώτης ιχνοπαραλλήλου i από το M και οι κατακλίσεις ( σ) 0,( σ ) 0 των ιχνών σ, σ. Το αληθές μέγεθος της γωνίας των σ, σ δίνεται από τη γωνία φ. Το σημείο ΛΛ ( ', Λ '') ανήκει στο ίχνος σ του π. Σχήμα 3 Στο παραπάνω σχήμα δίνεται παραστατικά, με δεύτερο τρόπο, η κατάκλιση Μ 0 ενός σημείου Μ του πρόσθιου επιπέδου π. Παρατηρήστε πως αν σ, σ τα ίχνη του π, τότε κάθε σημείο M του επιπέδου αυτού έχει δεύτερη προβολή M '' επάνω στην σ ''. Μάλιστα ολόκληρη η πρώτη ιχνοπαράλληλη i από το M, έχει δεύτερη προβολή μονάχα το σημείο M ''. Σημειώστε τις κατακλίσεις της πρώτης ιχνοπαραλλήλου από το M καθώς και των ιχνών του π, και υπολογίστε το αληθές μέγεθος της γωνίας των ιχνών σ, σ του π. 5
Στα σχήματα 4-7 που ακολουθούν δίνονται ως χωρικά σκαριφήματα τα γνωστότερα και πλέον χρήσιμα στις τεχνικές κατασκευές στερεά: πρίσμα, (κυκλικός) κύλινδρος, πυραμίδα, (κυκλικός) κώνος, τοποθετημένα με ιδιαίτερο τρόπο στο σύστημα των δύο επιπέδων π, π. Αμέσως μετά θα μελετήσουμε την παράσταση των στερεών αυτών καθώς και χρήσιμες γραφικές ιδιότητές τους, θεωρώντας επιπλέον και ένα τέμνον επίπεδο (για ευκολία πρόσθιο). Σχήμα 4 Σχήμα 5 6
Σχήμα 6 Σχήμα 7 7
Στα παραδείγματα που ακολουθούν δίνεται ένα στερεό (πρίσμα, πυραμίδα, κύλινδρος ή κώνος) και ένα τέμνον επίπεδο, έστω σ, παριστάμενα με τη μέθοδο των προβολών σε δύο επίπεδα π,π με οριζόντιο το π. Θα ζητείται να βρούμε το (α) αληθές μέγεθος της τομής του στερεού με το επίπεδο, (β) το ανάπτυγμα του στερεού, (γ )τη μετασχηματισμένη της τομής επάνω στο ανάπτυγμα, καθώς και (δ) τη μετασχηματισμένη της βάσης επάνω στο ανάπτυγμα. Ανάπτυγμα αυτών των στερεών είναι το «ξεδίπλωμα-ξετύλιγμα» της παράπλευρης επιφάνειάς τους επάνω σε ένα επίπεδο, μαζί και με την παράθεση της (επίπεδης) βάσης τους δίπλα στο ανάπτυγμα. Ξετύλιγμα σημαίνει να τοποθετηθεί η παράπλευρη επιφάνεια ισομετρικά επί του επιπέδου, δηλαδή η απόσταση δύο οποιωνδήποτε σημείων επάνω στην επιφάνεια να ισούται με την απόσταση των εικόνων τους επάνω στο επίπεδο. Με τη βοήθεια της διαφορικής γεωμετρίας μπορούμε να αποδείξουμε πως για τα παραπάνω στερεά τέτοιο ξεδίπλωμα υπάρχει πάντοτε (φυσικά για τα πρίσματα και τις πυραμίδες αυτό είναι τετριμμένο). Μετασχηματισμένη μιας καμπύλης στην επιφάνεια ενός στερεού, είναι η θέση της εικόνας της καμπύλης επάνω στο ανάπτυγμά του, δηλαδή η θέση που θα πάρει η καμπύλη μετά το ξετύλιγμα της επιφάνειας επάνω στο επίπεδο. Για σχεδιαστική απλότητα συνήθως επιλέγουμε το π ώστε να περιέχει μια βάση του στερεού και το π ώστε το τέμνον επίπεδο σ να είναι πρόσθιο στο σύστημα π,π, αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο. Επίσης, για σχεδιαστική απλότητα και πάλι, ασχολούμαστε με κυλίνδρους και κώνους με κυκλική βάση, χωρίς να είναι αυτό απολύτως απαραίτητο. Η μεθοδολογία που θα αναπτύξουμε πιο κάτω εφαρμόζεται και στη γενική περίπτωση που η βάση τους είναι τυχαία καμπύλη, ακόμη και μη κλειστή ή αυτοτεμνόμενη. Για ιδιαίτερες κατηγορίες στερεών, όπως π.χ. οι ορθοί κυκλικοί κώνοι (δηλαδή κυκλικοί κώνοι με την κορυφή τους στην κάθετη στη βάση ευθεία στο κέντρο του κύκλου), οι κατασκευές αυτές απλουστεύονται κατά πολύ, αλλά δεν θα περιορίσουμε το ενδιαφέρον μας μονάχα σε αυτούς. Ομοίως, παρότι οι κατασκευές είναι απλούστερες στην περίπτωση των ορθών πρισμάτων και κυλίνδρων, ισχύουν ομοίως και για τυχαία πρίσματα και κυλίνδρους). Για τη σχεδίαση των ζητούμενων ακολουθούμε τα εξής βήματα: () Επιλέγουμε σημεία της βάσης, έστω A,A,,A n που καθορίζουν το πολύγωνο A A An της βάσης με το οποίο θα ασχοληθούμε. Στην περίπτωση του πρίσματος και της πυραμίδας, αυτό είναι ακριβώς το δοσμένο πολύγωνο της βάσης, ενώ στην περίπτωση του κυλίνδρου και του κώνου επιλέγουμε τα A,A,,A n τυχαία. Όμως προκειμένου να είναι αξιόλογες οι προσεγγίσεις των κατασκευών που θα προκύψουν από τις επιλογές μας, φροντίζουμε να επιλέξουμε σημεία σκορπισμένα ομοιόμορφα στην καμπύλη της βάσης. Έτσι αν ο κύλινδρος ή ο κώνος έχουν π.χ. κυκλική βάση, επιλέγουμε τα A,A,,A n να αποτελούν κορυφές κανονικού πολυγώνου. Προκειμένου οι κατασκευές μας να προσεγγίζουν ικανοποιητικά την πραγματικότητα φροντίζουμε το πλήθος των επιλεγμένων σημείων να είναι μεγάλο. Για λόγους απλότητας και σχεδιαστικής ευκρίνειας, στα παραδείγματά μας θα επιλέγουμε 6,8 ή σημεία. Για μαθηματικούς λόγους, συχνά είναι βολικό να επιλέγουμε κορυφές ανά δύο συμμετρικές ως προς την «οριζόντια» διάμετρο του κύκλου της βάσης (δηλαδή παράλληλη στον άξονα y ). Στην περίπτωση αυτή ανά δύο οι δεύτερες προβολές των κορυφών (που βρίσκονται επάνω στον άξονα y ) ταυτίζονται και στο σχέδιό μας υπάρχουν λιγότερα σημεία και γραμμές, καθιστώντας το πιο ευανάγνωστο. Προσοχή: στο σχέδιό μας πρέπει να δείχνουμε το κάθε σημείο και την κάθε γραμμή με το σωστό τρόπο, ώστε να αποφεύγουμε ανώφελες συγχύσεις. Έτσι τα σημεία A,A,,A n που επιλέγουμε στη βάση πρέπει να σημειώνονται με την πρώτη και δεύτερη προβολή τους. Καθώς τα σημεία αυτά ανήκουν στο π, οι πρώτες προβολές τους είναι οι εαυτοί τους, και οι δεύτερες προβολές τους βρίσκονται επάνω στον άξονα y. Τα ίδια τα ονόματα A,A,,A n δεν πρέπει να εμφανιστούν στο σχέδιό μας! Για παράδειγμα το όνομα A δεν πρέπει να εμφανιστεί στο σχέδιό μας, αλλά στη θέση τους πρέπει να υπάρχουν τα σημεία με τα ονόματα A ',A ''. 8
() Ονομάζουμε τα σημεία τομής του επιπέδου σ με τις παράπλευρες ακμές του στερεού που αντιστοιχούν στα A,A,,A n, και σημειώνουμε τα σημεία στο σχέδιό μας με τις πρώτες και δεύτερες προβολές τους. Π.χ. ονομάζουμε ως,, τα σημεία τομής, και σημειώνουμε στο σχέδιό μας τα ','',','', Στην περίπτωση που το τέμνον επίπεδο σ είναι πρόσθιο, η εύρεση των προβολών αυτών γίνεται εύκολα αν ξεκινήσουμε με τις δεύτερες προβολές. Αν το στερεό είναι π.χ. μια πυραμίδα με κορυφή το Κ, η ακμή από το Α είναι η ΑΚ και το σημείο τομής του επιπέδου σ με αυτή, έχει δεύτερη προβολή '' που τη βρίσκουμε στο σχέδιό μας ως τομή του Α'' Κ '' με το σ ''. Κατόπιν το ' το βρίσκουμε στο σχέδιό μας ως τομή της Α' Κ ' με την κάθετη ευθεία προς τον άξονα y από το σημείο ''. (3) Για το αληθές μέγεθος της τομής: Χρησιμοποιώντας τις πρώτες και δεύτερες προβολές ','',','', των σημείων τομής, κατακλίνουμε το επίπεδο σ στο επίπεδο της βάσης (δηλαδή στο χαρτί μας) βρίσκοντας τις εικόνες των σημείων τομής,,. Ονομάζουμε τις εικόνες αυτές o, o, και το ζητούμενο αληθές μέγεθος της τομής είναι είτε το πολύγωνο o o no (όταν το στερεό είναι πρίσμα ή πυραμίδα) είτε μια καμπύλη o o no διερχόμενη από τις κατακλίσεις (όταν το στερεό είναι κύλινδρος ή κώνος). Όταν πρόκειται για καμπύλη, σχεδιάζεται προσεγγιστικά. Η θεωρία μας βοηθάει να γνωρίζουμε περίπου το σχήμα της: π.χ. όταν τέμνουμε ένα επίπεδο με έναν κυκλικό κώνο ή κυκλικό κύλινδρο, η τομή είναι είτε τετριμμένη (σημείο, ευθεία κτλ), είτε μια γνήσια κωνική τομή δηλαδή κύκλος, έλλειψη, υπεβολή, παραβολή (για τον κύλινδρο: κύκλος ή έλλειψη). Επίσης, με χρήση γνώσεων από τη διαφορική γεωμετρία μπορούμε να γνωρίζουμε την καμπυλότητα της καμπύλης σε κάθε σημείο και τη γνώση αυτή μπορούμε να την περάσουμε στο σχέδιό μας. Όμως στα μαθήματα αυτά δεν θα το κάνουμε. Μπορούμε όμως να βοηθηθούμε στη χάραξη με άλλους τρόπους, γνωρίζοντας για παράδειγμα ευθείες στις οποίες εφάπτεται η αρχική καμπύλη επί του σ, και περνώντας τις πληροφορίες αυτές στην κατάκλιση. Τέτοιου είδους πληροφορίες θα χσησιμοποιήσουμε στα παραδείγματά μας στην περίπτωση π.χ. ενός κώνου για τον οποίο η κορυφή του προβάλλεται επί του π στο εξωτερικό της βάσης του. Ας σημειώσουμε πως μπορούμε να αγνοήσουμε τέτοιου είδους πληροφορίες στην περίπτωση που το πλήθος των επιλεγμένων σημείων A,A,,A n είναι πολύ μεγάλο, καθώς τότε «το μάτι ξεγελιέται», τακτική που ακολουθείται και στο σχεδιασμό μέσω υπολογιστή. (4) Για το ανάπτυγμα της παράπλευρης επιφάνειας: Θεωρούμε προσεγγιστικά πως η επιφάνειά μας αποτελείται από τα πολύγωνα που δημιουργούν οι διαδοχικές παράπλευρες ακμές που αντιστοιχούν στα επιλεγμένα σημεία A,A,,A n, μαζί με τις αντίστοιχες ακμές της βάσης. Για πρίσματα και πυραμίδες δεν χρειαζόμαστε νέα προσέγγιση καθώς η παράπλευρη επιφάνειά τους αποτελείται ήδη από πολύγωνα, αλλά για ένα κύλινδρο με παράπλευρες ακμές A A,A A, προσεγγίζουμε την παράπλευρη επιφάνειά του με τα πολύγωνα A A A A,A A A3 A 3, Ομοίως για έναν κώνο κε κορυφή K, προσεγγίζουμε την παράπλευρη επιφάνειά του με τα τρίγωνα ΚΑ Α, ΚΑ Α 3, Στο σχέδιό μας τοποθετούμε τα πολύγωνα αυτά διαδοχικά με τη σειρά το ένα δίπλα στο άλλο ώστε να όταν αυτά μοιραζόταν στην παράπλευρη επιφάνεια κάποια κοινή ακμή, να συνεχίσουν να μοιράζονται κοινή ακμή και στο ανάπτυγμά τους. Γνωρίζοντας τα αληθινά μήκη των πλευρών των πολυγώνων μπορούμε να τα κατασκευάσουμε με τις συνηθισμένες γεωμετρικές τεχνικές. Σημαντικό: Για την κατασκευή των πολυγώνων της παράπλευρης επιφάνειας του αναπτύγματος πρέπει να βρούμε τα αληθινά μήκη των πλευρών τους, και αυτά δεν δίνονται π.χ. οι δεύτερες προβολές τους! Το αληθές μέγεθος των τμημάτων της βάσης επί του π δίνονται από τις πρώτες προβολές τους. Π.χ. το αληθές μέγεθος του ΑΑ είναι το μήκος Α Α ' '. Για τις παράπλευρες ακμές αληθεύει πως το αληθές μήκος δίνεται από τις δεύτερες προβολές τους μόνο όταν οι παράπλευρες ακμές είναι κατακόρυφες (κάθετες στο π ), π.χ. όταν το στερεό μας είναι ένα ορθό πρίσμα. Στη γενική περίπτωση, το αληθές μέγεθος των παράπλευρων ακμών το βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τις πρώτες προβολές των ακμών μαζί με την κατακόρυφη υψομετρική διαφορά των άκρων τους 9
όπως στην Παρατήρηση της σελίδας 3. Για παράδειγμα, για μία πυραμίδα κορυφής K, το αληθές μέγεθος της παράπλευρης ακμής A K κατασκευάζεται ως υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με μια κάθετη πλευρά την πρώτη προβολή A ' K' και δεύτερη κάθετη πλευρά το υψόμετρο του K (που ισούται με την υψομετρική διαφορά των άκρων της ακμής A K ). Το υψόμετρο του K μπορούμε να το βρούμε από το σχέδιό μας, π.χ. ως η απόσταση του K'' από τον άξονα y. (5) Για τη μετασχηματισμένη της τομής: Πρέπει να βρούμε πρώτα την αληθινή τοποθέτηση των σημείων τομής επάνω στις αντίστοιχες ακμές και κατόπιν να ενώσουμε τα διαδοχικά σημεία τομής με πολυγωνικά τμήματα (στην περίπτωση του πρίσματος και της πυραμίδας) ή με καμπύλες (στην περίπτωση του κυλίνδρου ή του κώνου). Στην περίπτωση των καμπυλών, ισχύουν παρατηρήσεις ανάλογες με αυτές που κάναμε για το αληθές μέγεθος της τομής όσον αφορά τον καλύτερο σχεδιασμό των καμπυλών. Μία επιπλέον τεχνική που ακολουθούμε για την ορθότερη κατασκευή των καμπυλών είναι να ενώνουμε αρχικά τα διαδοχικά σημεία με ευθύγραμμα τμήματα δημιουργώντας μια πολυγωνική γραμμή, και κατόπιν να χαράσσουμε την καμπύλη που ονομάζουμε μετασχηματισμένη της τομής θεωρώντας στα σημεία τομής καμπυλότητες που στρέφουν τα κοίλα όπως υποδεικνύει η πολυγωνική γραμμή. Το μέγεθος της καμπυλότητας μπορεί να υπολογιστεί σε κάθε περίπτωση με χρήση γνώσεων από τη διαφορική γεωμετρία, αλλά δεν θα το κάνουμε αυτό στα μαθήματά μας. Η αληθινή τοποθέτηση επάνω στις παράπλευρες ακμές μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους. Ένας από αυτούς είναι ο εξής: τα ορθογώνια τρίγωνα που χρησιμοποιούμε για την κατασκευή των αληθών μηκών των παράπλευρων ακμών (ως υποτείνουσές τους), τα τοποθετούμε με τη μια κάθετη πλευρά επί του άξονα y και τη δεύτερη κάθετη πλευρά καθέτως στον άξονα, με τη δεύτερη πλευρά να είναι αυτή που ισούται σε μήκος με την υψομετρική διαφορά της ακμής (δηλαδή το ύψος της κορυφής K για πυραμίδες και κώνους). Κατόπιν, από τις δεύτερες προβολές '','', των σημείων τομής,, χαράσσουμε ευθείες παράλληλες στον άξονα y και σημειώνουμε ως,, τα σημεία τομής τους αντιστοίχως με τις υποτείνουσες που δίνουν τα μήκη των παράπλευρων ακμών από τα A,A, Τα σημεία αυτά έχουν (αποδεικνύεται!, μπορείτε μήπως;) επάνω στην αντίστοιχη υποτείνουσα-παράπλευρη ακμή τη σωστή τοποθέτηση του αληθινού σημείου τομής στην αντίστοιχη παράπλευρη ακμή της παράπλευρης επιφάνειας (και αυτός είναι ο λόγος που τα ονομάσαμε με τα ονόματα των σημείων τομής!) (6) Για τη μετασχηματισμένη της βάσης: Αφού πρώτα έχουμε δημιουργήσει το ανάπτυγμα της προσεγγιστικής παράπλευρης επιφάνειας ενώνουμε διαδοχικά τα σημεία A,A, του αναπτύγματός μας με μια καμπύλη με τρόπο ανάλογο με αυτό της μετασχηματισμένης της τομής. Ισχύουν και ανάλογες παρατηρήσεις για την ορθότητα της μεθόδου και τον καλύτερο σχεδιασμό. 0
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και ορθό πρίσμα βάσεων ΑΒΓ, ΑΒΓ με τη βάση ΑΒΓ στο επίπεδο π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. Σχήμα 8
Λύση Σχήμα 9
Σχήμα 0 3
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και πυραμίδα κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης πολύγωνο ΑΒΓ του επιπέδου π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα της πυραμίδας, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο. Σχήμα 4
Λύση Σχήμα 5
Σχήμα 3 6
Σχήμα 4 7
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και ορθός κυκλικός κύλινδρος βάσεων γ, γ με τη βάση γ επί του επιπέδου π. Χρησιμοποιώντας κορυφές κανονικού οκταγώνου της βάσης γ και προσεγγίζοντας όπου χρειάζεται, βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής του κυλίνδρου με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής του κυλίνδρου με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα του κυλίνδρου, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής του κυλίνδρου με το επίπεδο. Σχήμα 5 8
Λύση Σχήμα 6 9
Σχήμα 7 0
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Δίνεται ορθός κυκλικός κύλινδρος βάσεων γ, γ με τη βάση γ επί του επιπέδου π. Χρησιμοποιώντας κορυφές κανονικού δωδεκαγώνου της βάσης γ και προσεγγίζοντας όπου χρειάζεται, βρείτε την παράσταση της δεξιόστροφης και της αριστερόστροφης έλικας c, c του κυλίνδρου (δηλαδή τις δύο προβολές καθεμιάς) που διέρχονται από το σημείο a= του π. Λύση Σχήμα 8 Σχήμα 9
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και κυκλικός κώνος κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης κύκλο γ του επιπέδου π. Βρείτε: () το κατακόρυφο περίγραμμα του κώνου, () το οριζόντιο περίγραμμα του κώνου, (3) τις δύο προβολές της τομής του κώνου με το επίπεδο, (4) το αληθές σχήμα της τομής του κώνου με το επίπεδο, (5) το ανάπτυγμα του κώνου, (6) τη μετασχηματισμένη της τομής του κώνου με το επίπεδο, (7) τη μετασχηματισμένη της βάσης του κώνου. Σχήμα 30
Λύση Σχήμα 3 3
Σχήμα 3 4
Σχήμα 33 5
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Δίνεται ευθεία ε και πυραμίδα κορυφής Κ και βάσης πολύγωνο ΑΒΓ του επιπέδου π. Βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με την πυραμίδα (αν υπάρχουν). Λύση Σχήμα 35 Σχήμα 36 6
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7. Έστω ΚΑΒΓ ΕΖ πυραμίδα κορυφής Κ (40,0,70) και βάσης κανονικό εξάγωνο του π, όπου Α(40,0,0), (40, 70,0). Έστω επίσης π( σ ', σ '') πρόσθιο επίπεδο διερχόμενο από το Α και κάθετο στην ευθεία Κ. Τοποθετήστε τα δεδομένα στο σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά και πως Ο (0,0,0). Σχήμα 3 Λύση Σχήμα 37 7
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8. Έστω π( σ ', σ '') πρόσθιο επίπεδο διερχόμενο από το Ο (0,0,0) με γωνία κλίσης 45 o ως προς το π, για τα σημεία ( x, y, z ) του οποίου είναι y 0 στο τεταρτοχώριο I. Έστω επίσης κυκλικός κώνος κορυφής K (40,0,60) και βάσης κύκλο γ του π κέντρου Μ(40, 30,0) και ακτίνας 30. Έστω τέλος πυραμίδα κορυφής Κ, εγγεγραμένη στον κώνο και βάσης κανονικό εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ όπου Α (40,0,0). Τοποθετήστε τα δεδομένα στο σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. Λύση Σχήμα 38 Σχήμα 39 8
ΑΣΚΗΣΗ. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και ορθό πρίσμα βάσεων ΑΒΓ, ΑΒΓ με τη βάση ΑΒΓ στο επίπεδο π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. Σχήμα 40 9
ΑΣΚΗΣΗ. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και ορθό πρίσμα βάσεων ΑΒΓ Ε, ΑΒΓ Ε με τη βάση ΑΒΓ Ε στο επίπεδο π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. Σχήμα 4 30
ΑΣΚΗΣΗ 3. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και πυραμίδα κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης πολύγωνο ΑΒΓ του επιπέδου π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα της πυραμίδας, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο. Σχήμα 4 3
ΑΣΚΗΣΗ 4. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και πυραμίδα κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης πολύγωνο ΑΒΓ του επιπέδου π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα της πυραμίδας, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής της πυραμίδας με το επίπεδο. Σχήμα 43 3
ΑΣΚΗΣΗ 5. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και δύο εφαπτόμενοι ορθοί κυκλικοί κύλινδροι βάσεων γ, γ ο πρώτος και c, c ο δεύτερος, με τις βάσεις γ, c επί του επιπέδου π. Χρησιμοποιώντας κορυφές κανονικού οκταγώνου των βάσεων γ, c και προσεγγίζοντας όπου χρειάζεται, βρείτε: () τις δύο προβολές των τομών των κυλίνδρων με το επίπεδο, () τα αληθή σχήματα των τομών των κυλίνδρων με το επίπεδο, καθώς και τη σχετική τους θέση επί του π. (3) τα αναπτύγματα των κυλίνδρων, (4) τις μετασχηματισμένη των τομών των κυλίνδρων με το επίπεδο. Σχήμα 44 33
ΑΣΚΗΣΗ 6. Δίνεται ορθός κυκλικός κύλινδρος βάσεων γ, γ με τη βάση γ επί του επιπέδου π. Χρησιμοποιώντας κορυφές κανονικού δωδεκαγώνου της βάσης γ και προσεγγίζοντας όπου χρειάζεται, βρείτε την παράσταση της δεξιόστροφης και της αριστερόστροφης έλικας c, c του κυλίνδρου (δηλαδή τις δύο προβολές καθεμιάς) που διέρχονται από τα σημεία a, αντιστοίχως του π. Σχήμα 45 34
ΑΣΚΗΣΗ 7. Δίνεται ορθός κυκλικός κύλινδρος βάσεων γ,γ με τη βάση γ επί του επιπέδου π. Χρησιμοποιώντας κορυφές κανονικού δωδεκαγώνου της βάσης γ και προσεγγίζοντας όπου χρειάζεται, βρείτε την παράσταση της δεξιόστροφης και της αριστερόστροφης έλικας c,c του κυλίνδρου (δηλαδή τις δύο προβολές καθεμιάς) που διέρχονται από τα σημεία a, αντιστοίχως του π. Σχήμα 46 35
ΑΣΚΗΣΗ 8. Δίνεται ορθός κυκλικός κύλινδρος βάσεων γ, γ παράλληλων στο π. Χρησιμοποιώντας κορυφές κανονικού δωδεκαγώνου της βάσης γ και προσεγγίζοντας όπου χρειάζεται, βρείτε την παράσταση της δεξιόστροφης και της αριστερόστροφης έλικας c, c του κυλίνδρου (δηλαδή τις δύο προβολές καθεμιάς) που διέρχονται από τα σημεία a, αντιστοίχως της γ. Σχήμα 47 36
ΑΣΚΗΣΗ 9. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και κυκλικός κώνος κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης κύκλο γ του επιπέδου π. Βρείτε: () το κατακόρυφο περίγραμμα του κώνου, () το οριζόντιο περίγραμμα του κώνου, (3) τις δύο προβολές της τομής του κώνου με το επίπεδο, (4) το αληθές σχήμα της τομής του κώνου με το επίπεδο, (5) το ανάπτυγμα του κώνου, (6) τη μετασχηματισμένη της τομής του κώνου με το επίπεδο, (7) τη μετασχηματισμένη της βάσης του κώνου. Σχήμα 48 37
ΑΣΚΗΣΗ 0. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και κυκλικός κώνος κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης κύκλο γ του επιπέδου π. Η πρώτη προβολή στον y. Βρείτε: () το κατακόρυφο περίγραμμα του κώνου, () το οριζόντιο περίγραμμα του κώνου, (3) τις δύο προβολές της τομής του κώνου με το επίπεδο, (4) το αληθές σχήμα της τομής του κώνου με το επίπεδο, (5) το ανάπτυγμα του κώνου, (6) τη μετασχηματισμένη της τομής του κώνου με το επίπεδο, (7) τη μετασχηματισμένη της βάσης του κώνου, (8) το εμβαδόν της τομής του κώνου με το επίπεδο. Κ ' του Κ βρίσκεται στην ευθεία της διαμέτρου του γ που είναι παράλληλη Σχήμα 49 38
ΑΣΚΗΣΗ. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και κυκλικός κώνος κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης κύκλο γ του επιπέδου π. Βρείτε: () το κατακόρυφο περίγραμμα του κώνου, () το οριζόντιο περίγραμμα του κώνου, (3) τις δύο προβολές της τομής του κώνου με το επίπεδο, (4) το αληθές σχήμα της τομής του κώνου με το επίπεδο, (5) το ανάπτυγμα του κώνου, (6) τη μετασχηματισμένη της τομής του κώνου με το επίπεδο, (7) τη μετασχηματισμένη της βάσης του κώνου Σχήμα 50 39
ΑΣΚΗΣΗ. Δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και κυκλικός κώνος κορυφής ΚΚΚ ( ', '') και βάσης κύκλο γ του επιπέδου π. Η πρώτη προβολή Κ ' του Κ βρίσκεται στην ευθεία της διαμέτρου του γ που είναι παράλληλη στον y και το ίχνος σ του π είναι παράλληλη στη γενέτειρα Κα του κώνου. Βρείτε: () το κατακόρυφο περίγραμμα του κώνου, () το οριζόντιο περίγραμμα του κώνου, (3) τις δύο προβολές της τομής του κώνου με το επίπεδο, (4) το αληθές σχήμα της τομής του κώνου με το επίπεδο, (5) το ανάπτυγμα του κώνου, (6) τη μετασχηματισμένη της τομής του κώνου με το επίπεδο, (7) τη μετασχηματισμένη της βάσης του κώνου, Υπόδειξη: Η τομή είναι μια παραβολή. Σχήμα 5 40
ΑΣΚΗΣΗ 3. Δίνεται κατακόρυφο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και ορθό πρίσμα βάσεων ΑΒΓ, ΑΒΓ με τη βάση ΑΒΓ στο επίπεδο π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. Σχήμα 5 4
ΑΣΚΗΣΗ 4. Δίνεται κατακόρυφο επίπεδο π( σ ', σ '' ) και ορθό πρίσμα βάσεων ΑΒΓ, ΑΒΓ με τη βάση ΑΒΓ στο επίπεδο π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. Σχήμα 53 4
ΑΣΚΗΣΗ 5. Δίνεται οριζόντιο επίπεδο π με δεύτερο ίχνος σ, και ορθό πρίσμα βάσεων ΑΒΓ, ΑΒΓ με τη βάση ΑΒΓ στο επίπεδο π. Βρείτε: () τις δύο προβολές της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, () το αληθές σχήμα της τομής του πρίσματος με το επίπεδο, (3) το ανάπτυγμα του πρίσματος, (4) τη μετασχηματισμένη της τομής του πρίσματος με το επίπεδο. Σχήμα 54 43
ΑΣΚΗΣΗ 6. Δίνεται ευθεία ε και πυραμίδα κορυφής Κ και βάσης πολύγωνο ΑΒΓ του επιπέδου π. Βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας με την πυραμίδα (αν υπάρχουν). Σχήμα 55 44
ΑΣΚΗΣΗ 7. Έστω κανονικό οκτάγωνο Σ ΑΒΓ ΕΖΗΘ γ (40,0,0), 40 του π όπου Α (40,40,0), και έστω πυραμίδα Σ κορυφής Κ (80,0,80) και βάσης ΑΓΕΗ. Έστω επίσης πρίσμα Σ 3 βάσεων = εγγεγραμμένο στον κύκλο ( ) Β ΖΘΒ, Β ΖΘΒ με ύψος 80 και σημεία μη αρνητικών υψομέτρων. Τέλος, έστω πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') διερχόμενο από το Α και από το μέσον της ακμής ΚΕ.Τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) ΑΣΚΗΣΗ 8. Έστω κανονική πυραμίδα Σ κορυφής Κ (0,0,80) και βάσης κανονικό οκτάγωνο ΑΒΓ ΕΖΗΘ του π εγγεγραμμένο στον κύκλο γ κέντρου Μ (40,40,0) με Α (40,80,0). Έστω επίσης πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') διερχόμενο από το Α και κλίσης 0.5 (ως προς το π ). Τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) ΑΣΚΗΣΗ 9. Έστω (α) λοξός κώνος Σ κορυφής (40,40 40,80) γ του π, (β) πυραμίδα Σ κορυφής Κ και βάσης το κανονικό οκτάγωνο το εγγεγραμμένο στον γ, όπου Α (40,80,0), (γ) πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') διερχόμενο από το Α και από το μέσον του ύψους της πυραμίδας. Τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) Κ και βάσης τον κύκλο ((40, 40, 0), 40) ΑΣΚΗΣΗ 0. Έστω (α) πυραμίδα Σ κορυφής Κ (40,0,80) και βάσης κανονικό εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ του π με Α (40,0,0) και (40,80,0), (β) ορθό εξαγωνικό πρίσμα Σ βάσης ΑΒΓ ΕΖ και ύψους 80 με σημεία μη αρνητικών υψομέτρων, (γ) πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') διερχόμενο από το Α και κάθετο στην ευθεία Κ. Τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) ΑΣΚΗΣΗ. Έστω (α) κώνος Σ κορυφής Κ με σημεία μη αρνητικών υψομέτρων, ύψους 80 και βάσης κύκλο γ του π ακτίνας 40 και κέντρου το Μ (40,40,0), (β) πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') διερχόμενο από το μέσον του ύψους του κώνου και πρώτο ίχνος ευθεία που εφάπτεται στη βάση του κώνου αριστερά (όταν η y χαράσσεται οριζόντια), (γ) οριζόντιο επίπεδο τ που διέρχεται από το μέσον του ύψους του κώνου. Τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) ΑΣΚΗΣΗ. Κώνος Κ + και βάση κύκλο γ του π κέντρου Μ (40,40,0) και Σ έχει κορυφή το ( 40, 40 0,80) ακτίνας 4 0. Επίσης, τετραγωνική πυραμίδα Σ κορυφής Κ έχει βάση τετράγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο στον γ με Α (40,80,0). Τέλος, πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') διέρχεται από το Α και το μέσον της ακμής ΚΓ του κώνου. Να τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) ΑΣΚΗΣΗ 3. Δίνεται ορθός κύλινδρος Σ ύψους 80, με σημεία μη-αρνητικού υψομέτρου και βάσης κύκλο γ του π κέντρου Μ (40,40,0) και ακτίνας 4 0. Δίνεται επίσης, ορθή τετραγωνική πυραμίδα Σ κορυφής Κ (40,40,80) και βάσης τετράγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο στον γ, όπου Α (40,0,0). Τέλος, δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') που διέρχεται από το Α και το μέσον του ύψους της πυραμίδας. Να τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) 45
ΑΣΚΗΣΗ 4. Δίνεται κώνος Σ κορυφής Κ(50,.5,65) και βάσης κύκλο γ του π κέντρου Μ (50,0,0) και ακτίνας 50. Δίνεται επίσης, ορθό εξαγωνικό πρίσμα Σ με σημεία μη αρνητικού υψομέτρου, βάσης κανονικό εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ εγγεγραμμένο στον γ και ύψους ίσο με το ύψος του κώνου. Τέλος, δίνεται πρόσθιο επίπεδο π( σ ', σ '') που εφάπτεται στον γ στο Α, με δεύτερο ίχνος κάθετο στη γενέτειρα του κώνου με το μικρότερο μήκος. Να τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) Πόσες διαφορετικές τοποθετήσεις υπάρχουν; ΑΣΚΗΣΗ 5. Δίνεται ορθός κώνος Σ κορυφής Κ, ύψους 80 και βάσης κύκλο γ του π κέντρου Μ (40,40,0) και ακτίνας 4 0. Δίνονται επίσης τα πρόσθια επίπεδα π( σ ', σ ''), p( τ ', τ '') που διέρχονται από το μέσον του ύψους του κώνου και έχουν το καθένα τους ως πρώτο ίχνος μια ευθεία εφαπτόμενη στον γ. Να τοποθετήστε τα δεδομένα σε δικό σας σχήμα δεδομένου πως οι συντεταγμένες δίνονται σε χιλιοστά. (Αρχίστε τοποθετώντας το Ο (0,0,0) και την ευθεία y.) 46