ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

1. Να αντιστοιχίσετε κάθε μεταβλητή της αριστερής στήλης του παρακάτω πίνακα με την κατηγορία που βρίσκεται στη δεξιά στήλη: ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1. ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 2. ΜΙΣΘΟΣ 3.ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΗΛΕΦΩΝΟΥ Α. ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 4.ΑΓΑΠΗΜΕΝΗ ΟΜΑΔΑ Β. ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΠΟΣΟΤΙΚΗ 5. ΔΙΑΘΕΣΗ Γ. ΣΥΝΕΧΗΣ ΠΟΣΟΤΙΚΗ 6. ΕΛΕΥΘΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ 7. ΗΛΙΚΙΑ ΣΕ ΕΤΗ 2. Να εξηγήσετε γιατί τα παρακάτω δείγματα δεν είναι αντιπροσωπευτικά: (α) για να βρούμε τον τρόπο μετακίνησης των τουριστών, ρωτάμε όσους είναι στο λιμάνι (β) για να βρούμε το ποσοστό που θα λάβουν τα κόμματα στις επόμενες εκλογές, ρωτάμε τους οπαδούς ενός κόμματος. (γ) για να βρούμε πως έγραψαν οι μαθητές στης Γ Λυκείου στις πανελλαδικές, ρωτάμε τους μαθητές της θεωρητικής κατεύθυνσης. 3. Ο πίνακας 1 δείχνει τον αριθμό των αυτοκινήτων που διαθέτουν 5 οικογένειες. Να κατασκευάσετε : (α) τον πίνακα συχνοτήτων (β) τον πίνακα σχετικών συχνοτήτων (γ) τον πίνακα αθροιστικών συχνοτήτων (δ) τον πίνακα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 Πίνακας 1 4. Στον πίνακα 2 αναφέρονται οι πρωταθλήτριες ομάδες της Ελλάδας από το 1979 έως το 1999. Να κατασκευάσετε : (α) τον πίνακα συχνοτήτων (β) τον πίνακα σχετικών συχνοτήτων ΟΣΦΠ ΟΣΦΠ ΟΣΦΠ ΟΣΦΠ ΠΑΟ ΠΑΟΚ ΠΑΟ ΟΣΦΠ ΛΑΡΙΣΑ ΑΕΚ ΠΑΟ ΠΑΟ ΑΕΚ ΑΕΚ ΑΕΚ ΠΑΟ ΠΑΟ ΟΣΦΠ ΟΣΦΠ ΟΣΦΠ Πίνακας 2 5. Στον πίνακα 3 γράφονται οι αριθμοί του ΤΖΟΚΕΡ στις πενήντα πρώτες κληρώσεις του 1999. (α) τον πίνακα συχνοτήτων (β) τον πίνακα σχετικών συχνοτήτων (γ) τον πίνακα αθροιστικών συχνοτήτων (δ) τον πίνακα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. 15 17 1 18 11 1 4 9 9 14 13 2 3 2 7 9 8 16 1 13 1 13 3 19 6 3 9 4 19 9 12 16 15 12 6 16 13 11 9 1 14 8 2 6 6 3 15 5 6 18 Πίνακας 3

ΦΥΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» 6. Στον πίνακα 4 φαίνονται οι επιδόσεις 5 μαθητών στα μαθηματικά και στη φυσική. (α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΕΤΥΧΕ ΣΧ.ΚΑΛΩΣ ΚΑΛΑ ΛΙΑΝ ΚΑΛΩΣ ΑΡΙΣΤΑ ΣΥΝΟΛΟ ΑΠΕΤΥΧΕ ΣΧ.ΚΑΛΩΣ ΚΑΛΑ ΛΙΑΝ ΚΑΛΩΣ ΑΡΙΣΤΑ ΣΥΝΟΛΟ (β) Να κατασκευάσετε τους πίνακες συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων για τα μαθηματικά και τη φυσική. Κ.ΛΚ Κ,ΑΠ ΑΡ,ΛΚ Κ,Κ Κ,Κ ΣΚ,Κ Κ,Κ Κ,ΣΚ ΑΡ,ΑΡ ΑΡ,ΛΚ ΑΠ,ΑΠ ΛΚ,ΑΡ Κ,Κ Κ,Κ ΣΚ,ΑΠ Κ,Κ Κ,Κ ΑΡ,ΛΚ ΑΠ,ΑΠ Κ,ΣΚ ΣΚ,ΣΚ ΣΚ,ΑΠ Κ,Κ Κ,Κ ΣΚ,Κ ΛΚ,Κ ΛΚ,Κ Κ,ΑΡ ΛΚ,Κ ΑΠ,ΣΚ Κ,Κ ΑΡ,Κ ΛΚ,ΛΚ Κ,ΣΚ Κ,ΣΚ Κ,ΑΡ ΣΚ,ΣΚ ΣΚ,ΑΠ Κ,Κ ΛΚ,Κ ΣΚ,ΣΚ Κ,ΣΚ Κ,ΑΠ Κ,ΛΚ ΑΠ,ΣΚ Κ,Κ ΑΠ,ΣΚ Κ,ΑΡ ΛΚ,Κ Κ,Κ ΣΧΟΛΙΟ: Ο ΠΡΩΤΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ Ο ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΠ=ΑΠΕΤΥΧΕ,ΣΚ=ΣΧΕΔΟΝ ΚΑΛΑ,Κ=ΚΑΛΑ,ΛΚ=ΛΙΑΝ ΚΑΛΩΣ,ΑΠ=ΑΡΙΣΤΑ Πίνακας 4 7. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του πίνακα 1,να υπολογίσετε : (α) το ποσοστό των οικογενειών που έχουν τουλάχιστον ένα αμάξι. (β)το πλήθος των οικογενειών που έχουν το πολύ ένα αμάξι. (γ) το ποσοστό των οικογενειών που έχουν από ένα έως και τρία αυτοκίνητα. (δ) το πλήθος των οικογενειών που έχουν ένα ή δύο αμάξια. (ε) το πλήθος των οικογενειών που έχουν το πολύ δύο αμάξια. 8. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του πίνακα 3,να υπολογίσετε : (α) τον αριθμό των κληρώσεων που : (i) ο joker είναι ο 15. (ii) ο joker είναι μεγαλύτερος του 15. (iii) ο joker είναι το πολύ 1. (β) το ποσοστό των κληρώσεων που: (i) ο joker είναι μεταξύ 7 και 1 (συμπεριλαμβανομένων των άκρων). (ii) ο joker είναι άρτιος. 9. Θεωρούμε ένα δείγμα μεγέθους ν και γνωρίζουμε ότι η σχετική και η απόλυτη συχνότητα μιας παρατήρησης είναι,15 και 9 αντίστοιχα. Να υπολογίσετε: (α) τον αριθμό ν. (β) τη συχνότητα της παρατήρησης που έχει σχετική συχνότητα,25. (γ) τη σχετική συχνότητα της παρατήρησης που έχει συχνότητα 12. 1. Σε ένα λύκειο η Τρίτη τάξη έχει 52 μαθητές. Αν η σχετική συχνότητα της παρατήρησης αγόρι είναι τριπλάσια της σχετικής συχνότητας της παρατήρησης κορίτσι, να βρείτε το πλήθος των αγοριών. 11. (α) Να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα. (β) Να βρείτε το ποσοστό των παρατηρήσεων που : (i) το πολύ 2. (ii) τουλάχιστον 2 (iii) από 2 έως και 4 (iv) διαφορετικές του 2. xi v i f i N i F i f i % F i % 1,2 2 3 6,12 28 4 84 5 ΣΥΝΟΛΟ

12. Ρωτήσαμε 5 οικογένειες πόσα ρολόγια διαθέτουν στο σπίτι τους. Επεξεργαστήκαμε τα δεδομένα και κατασκευάσαμε το πίνακα συχνοτήτων. Δυστυχώς κάποιοι έσβησαν μερικώς τον πίνακα και προέκυψε ο διπλανός πίνακας. (α) Να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα. (β) Να βρείτε το ποσοστό των οικογενειών που (i) διαθέτουν τουλάχιστον ένα ρολόι. (ii) διαθέτουν το πολύ δύο ρολόγια. (iii) δεν διαθέτουν ρολόι. 13. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του πίνακα 1,να σχεδιάσετε : (α) το διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων. (β) το διάγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. (γ) το κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων. (δ) το σημειόγραμμα. 14. Το 1995 δόθηκαν 166 δισεκατομμύρια δραχμές για στεγαστικά δάνεια, 194 δισεκατομμύρια δραχμές για βιομηχανικά δάνεια, 9 δισεκατομμύρια δραχμές στη βιοτεχνία, 1 δισεκατομμύρια δραχμές για καταναλωτικά δάνεια, 25 δισεκατομμύρια δραχμές στους εμπόρους και 2 δισεκατομμύρια δραχμές σε άλλους κλάδους. Να κατασκευάσετε : (α) το ραβδόγραμμα συχνοτήτων και (β) το κυκλικό διάγραμμα. 15. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του πίνακα 3,να σχεδιάσετε : (α) το διάγραμμα συχνοτήτων. (β) το πολύγωνο συχνοτήτων. (γ) το διάγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων.. 16. Με βάση τα στοιχεία του πίνακα 5, να κατασκευάσετε: (α) το πίνακα σχετικών συχνοτήτων ανά έτος και συνολικά. (β) κοινό χρονόγραμμα για τις παραβάσεις (γ) κυκλικό διάγραμμα των παραβάσεων ανά έτος. (δ) ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων των παραβάσεων ανά έτος. 1996 1997 1998 Υπερβολική ταχύτητα 58 69 89 Αντικανονικό προσπέρασμα 23 25 21 Έλλειψη φώτων 15 15 15 Κίνηση στο αντίθετο ρεύμα 16 25 16 Οδήγηση σε κατάσταση μέθης 5 8 14 Παραβίαση σηματοδότη 43 43 25 Πίνακας 5 (Τροχαίες παραβάσεις ) xi v i N i 1 13 15 2 27 3 4 4 ΣΥΝΟΛΟ 17. Η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στην παρατήρηση επιτυχόντες στις πανελλαδικές εξετάσεις του 1996 ενός κυκλικού διαγράμματος είναι 234 ο. (α) Να υπολογίσετε την επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στους αποτυχόντες. (β) Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων. (γ) αν οι επιτυχόντες είναι 195, να βρείτε τον αριθμό των μαθητών που έλαβαν μέρος στις εξετάσεις. 18. Το διπλανό σημειόγραμμα παριστάνει την κατανομή 1 φίλων ανά εταιρεία κινητής τηλεφωνίας. (α) να κατασκευάσετε το πίνακα συχνοτήτων. (β) να σχεδιάσετε το ραβδόγραμμα και το κυκλικό διάγραμμα. Vodafone Cosmote Tim

ΠΙΝΑΚΑΣ 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» 19. Ρωτήσαμε μια ομάδα ανθρώπων,αν τους αρέσει μια τηλεοπτική εκπομπή και παραστήσαμε τα δεδομένα σε κυκλικό διάγραμμα. Η γωνία του τομέα,που αντιστοιχεί στην απάντηση «ναι» είναι τριπλάσια της γωνίας του τομέα,που αντιστοιχεί στην απάντηση «όχι». Αν το 1% των ερωτώμενων απάντησε ότι δεν έχει δει την εκπομπή ή δεν έχει γνώμη, τότε να κατασκευάσετε το πίνακα σχετικών συχνοτήτων της κατανομής. 2. Με τη βοήθεια του διπλανού διαγράμματος συχνοτήτων, (α) να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραμμα (β) το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι ίσες με 2 είναι 18 2 9 11,1%,11 1% 2 21. Το διπλανό χρονόγραμμα δείχνει τη σχετική συχνότητα των εισιτηρίων των αγώνων του Ολυμπιακού, του Παναθηναϊκού και της ΑΕΚ από το 1991 έως το 1999 (ως σύνολο 5 θεωρούμε το άθροισμα των εισιτηρίων των τριών 4 ομάδων ανά έτος). (α) Να βρείτε τη σχετική συχνότητα των εισιτηρίων ΑΕΚ ανά έτος, (β) Αν το 1992 κόπηκαν 47 εισιτήρια (μέσος όρος),να βρείτε πόσοι παρακολούθησαν τους αγώνες του Ολυμπιακού. (γ) Αν το 1997 ο Ολυμπιακός έκοψε κατά μέσο όρο 375 εισιτήρια, να βρείτε πόσα εισιτήρια έκοψε ο Παναθηναϊκός. (δ) να βρείτε πόσες χρονιές ο Παναθηναϊκός πούλησε τα περισσότερα εισιτήρια. 22. Στο πίνακα 6 φαίνεται η ηλικία 5 ευρωβουλευτών. (α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε έξι κλάσεις ίσου πλάτους (3-38,38-46, ) και να κατασκευάσετε τους πίνακες συχνοτήτων. (β) Να βρείτε τον αριθμό των ευρωβουλευτών που είναι μικρότεροι ή ίσοι των 4 ετών. 62 32 49 41 44 33 38 5 51 41 21 52 55 66 42 42 59 58 59 46 7 48 59 5 58 63 57 45 46 53 51 68 69 55 56 44 48 3 39 47 48 53 5 48 47 65 45 52 58 38 Πίνακας 6 23. (α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα του πίνακα 6 στις κλάσεις [2,35),[35,6) και [6,8] και να κατασκευάσετε το πίνακα συχνοτήτων. (β) Να υπολογίσετε τον αριθμό των ευρωβουλευτών που (i) είναι μικρότεροι των 6 ετών (ii) είναι μικρότεροι των 4 ετών. 24. Στο πίνακα 7 αναγράφονται οι βαθμολογίες πενήντα μαθητών της Γ Λυκείου στα μαθηματικά Α δέσμης του 1993. 25. (α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα στις κλάσεις [,1),[1,13),[13,15),[15,18) και [18,2] και να κατασκευάσετε τους πίνακες συχνοτήτων. (β) Να υπολογίσετε το ποσοστό των μαθητών που (i) έγραψαν τουλάχιστον 15 (ii) έγραψαν έως 15. (iii) έγραψαν κάτω από τη βάση. (iv) έγραψαν τουλάχιστον 14. 3 2 1 8 6 4 2 1 2 3 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 ΟΛΥΜΠΙΑΚΟΣ ΠΑΝΑΘΗΝΑΪΚΟΣ 9 1 9 6 13 5 14 3 5 1 8 2 11 1 7 12 14 9 8 1 1 15 17 5 17 13 6 9 9 1 18 1 13 5 8 14 2 3 11 6 19 6 2 9 9 8 8 7 7 12 της

26. (α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα του πίνακα 7 σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους και να κατασκευάσετε τους πίνακες συχνοτήτων. (β) Να υπολογίσετε το ποσοστό των μαθητών που (i) έγραψαν κάτω από τη βάση. (ii) έγραψαν τουλάχιστον 15. (iii) έγραψαν άριστα (τουλάχιστον 18,5) 27. Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίνακα ΚΛΑΣΕΙΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ -.. 1.. - 8 2. - 35. -. 5 28. Στον πίνακα 8 αναγράφονται οι μέσοι όροι των εισιτηρίων της Α εθνικής του ποδοσφαίρου την εικοσαετία 198-1999. (α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα στις κλάσεις [,5),[5,1) και [1,15] και να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων. (β) Να βρείτε το ποσοστό των χρονιών που κόπηκαν κατά μέσο όρο: (i) περισσότερα από 5 εισιτήρια (ii) τουλάχιστον 75 εισιτήρια (iii) το πολύ 75 εισιτήρια. 9435 8615 8178 767 11695 1425 13839 1264 1126 962 681 636 5886 494 3667 49 4391 445 4515 47 Πίνακας 7 29. Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα του πίνακα 8 σε τέσσερις ίσου πλάτους κλάσεις και να κατασκευάσετε το πίνακα συχνοτήτων. 3. (συνέχεια άσκησης 23) (γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων (δ) Να σχεδιάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων. 31. (συνέχεια άσκησης 24) (γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων (δ) Να σχεδιάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων. 32. (συνέχεια άσκησης 25) (γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων. (δ) Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων και το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. 33. (συνέχεια άσκησης 26) (γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων. (δ) Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων και το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. 34. (συνέχεια άσκησης 27) (γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων. (δ) Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων και το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων. 35. Με τη βοήθεια του διπλανού ιστογράμματος συχνοτήτων, 6 (α) να κατασκευάσετε το πίνακα συχνοτήτων 5 (β) να σχεδιάσετε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων 4 (γ) Να εκτιμήσετε το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι 3 (i) τουλάχιστον 5. 2 (ii) το πολύ 5 1 (iii) μικρότερες ή ίσες του 2,5. 1 2 3 4 5 6 7 8

% ανά λάθος Χιλιάδες ανά άτομο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» 36. Με τη βοήθεια του παρακάτω ιστογράμματος συχνοτήτων, να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων. 2 15 1 5 1 2 3 4 5 άτομα 37. Με τη βοήθεια του διπλανού ημιτελούς ιστογράμματος σχετικών συχνοτήτων, (α) Να συμπληρώσετε το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων. (β) Αν το σύνολο των παρατηρήσεων είναι 5, (i) να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων (ii) να σχεδιάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων. (iii) να υπολογίσετε πόσα άτομα κάνουν το πολύ είκοσι λάθη 5 4 3 2 1 4,2 1 2 3 4 5 λάθη 38. Το διπλανό ιστόγραμμα σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων απεικονίζει τη κατανομή της βαθμολογίας σε ένα διαγώνισμα. (α) Να βρείτε το πίνακα σχετικών συχνοτήτων. (β) Να υπολογίσετε : (i) το ποσοστό των μαθητών που έγραψε το πολύ 15. (ii) το ποσοστό των μαθητών που έγραψε το πολύ 12,5. (iii) το ποσοστό των μαθητών που έγραψε το πολύ 6. (iv) το ποσοστό των μαθητών που έγραψε τουλάχιστον 6. (v) ποιος βαθμός πρέπει να οριστεί ως βάση ώστε να περάσει το 5% των μαθητών.. 1 8 6 4 2 2 7 8 5 1 15 2 βαθμός 39. Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών : 12,14,8,7,9,13,15,16,12,και 14. 4. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα 2 αγώνων του Ολυμπιακού. Εντός έδρας - - 1-5- 2-4-2 3-2 4-1 3-1 3- Εκτός έδρας 2-2-5 1- -3 1-3 -2 1-3 -2-2 1-2 Το πρώτο νούμερο στο σκορ αναφέρεται στη γηπεδούχο ομάδα Να βρείτε: (α) το μέσο αριθμό γκολ που επιτυγχάνει ο Ολυμπιακός. (β) το μέσο αριθμό γκολ που επιτυγχάνει στην έδρα του. (γ) το μέσο αριθμό γκολ που δέχεται. 41. Το 36,9% των οικογενειών μιας πόλης δεν διαθέτουν αυτοκίνητο, το 53,1% διαθέτει ένα αυτοκίνητο, το 9,2% δύο αυτοκίνητα και οι υπόλοιποι τρία αυτοκίνητα. Να βρείτε το μέσο αριθμό αυτοκινήτων που διαθέτει μια οικογένεια. 42. Να βρείτε το μέσο βαθμό των βαθμολογιών του πίνακα 7. 43. (συνέχεια άσκησης 22) Να βρείτε τη μέση ηλικία των ευρωβουλευτών.

Είδη ανά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» 44. Σε μια περίοδο 2 ετών ο ΟΣΦΠ κατέκτησε μια φορά την 8 η θέση, μία φορά την 5 η,δύο φορές την 4 η και τις υπόλοιπες φορές ήταν το πολύ 3 ος. Αν δεκατρείς φορές ήταν 1 ος ή 2 ος και οκτώ φορές 2 ος ή 3 ος, να βρείτε τη μέση τιμή της θέσης του. 45. Το διπλανό ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων αντιστοιχεί στην ηλικιακή κατανομή των αναλφάβητων μιας έρευνας που έγινε το 2. (α) Να κατασκευάσετε το πίνακα συχνοτήτων. (β) Να βρείτε το πλήθος των αναλφάβητων που είναι κάτω των 35 ετών. (γ) Να βρείτε πόσοι αναλφάβητοι έχουν γεννηθεί από το 195 έως το 197. (δ) Να βρείτε την μέση ηλικία των αναλφάβητων. 25 Νi 2 15 1 5 13 2 3 7 2 3 4 5 6 έτη 46. Ένας μαθητής αγόρασε : τρία μαύρα στυλό προς 1,5 το ένα, δύο κόκκινα προς,3 το ένα και ένα μπλε προς 1. Να βρείτε το μέσο κόστος των στυλό.. 47. Να βρείτε τη μέση τιμή των 1 πρώτων όρων της ακολουθίας α ν =3ν-2. 48. Το διπλανό ιστόγραμμα συχνοτήτων αντιστοιχεί στην κατανομή των ειδών που διαθέτει ένα κατάστημα σε σχέση με το κόστος τους. Να εκτιμήσετε τη μέση τιμή των προϊόντων. 5 3 1 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 49. Μια εταιρεία απασχολεί : 6 υπαλλήλους στην αποθήκη με μέσο μισθό 53, 2 υπαλλήλους στο λογιστήριο με μέσο μισθό 59 και δύο γραμματείς με μέσο μισθό 5. (α) Να βρείτε το μέσο μισθό των υπαλλήλων της εταιρείας. (β) Αν προσληφθεί ένας αποθηκάριος με μισθό 495, να βρείτε το νέο μέσο μισθό των αποθηκάριων. (γ) Όταν αυξηθούν όλοι οι μισθοί κατά 8%, ποιοι θα είναι οι νέοι μέσοι μισθοί ανά κατηγορία: 5. Ο μέσος όρος τερμάτων σε δέκα αγώνες εντός έδρας και πέντε εκτός έδρας είναι 2 γκολ ανά αγώνα. Αν ο μέσος όρος των γκολ στους εντός έδρας είναι 2,1,,να βρείτε το μέσο όρο των τερμάτων στους εκτός έδρας αγώνες. 51. Όταν η μέση τιμή ν παρατηρήσεων t i ισούται με 4 και t 1 +t 2 +t 3 + +t ν =36 ;τότε το ν ισούται με 9 4 4 36 36 52. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων ενός δείγματος είναι 1. Όταν αφαιρέσουμε μια παρατήρηση,που ισούται με 6, η μέση τιμή των υπόλοιπων παρατηρήσεων είναι ίση με 11. Να βρείτε το πλήθος των παρατηρήσεων. 53. Μια ομάδα 1 ανθρώπων μιλάει στο τηλέφωνο κατά μέσο όρο 13 λεπτά το μήνα, ενώ μια άλλη ομάδα μιλάει 16 λεπτά το μήνα. Αν ο μέσος χρόνος ομιλίας και των δύο ομάδων μαζί είναι 14 λεπτά το μήνα, να βρείτε πόσα άτομα έχει η δεύτερη ομάδα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» 54. Στο διπλανό πίνακα φαίνεται η κατανομή συχνοτήτων μιας μεταβλητής Χ με μέση τιμή 3. (α) να συμπληρώσετε το διπλανό πίνακα. (β) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. xi νi 1 5 2 3 5 4 4 5 7 55. Η μέση τιμή έξι παρατηρήσεων είναι 9. Αν μια παρατήρηση ισούται με δώδεκα, άλλες τρεις είναι ίσες μεταξύ τους και οι υπόλοιπες δύο είναι ίσες με το μισό του αθροίσματος των τριών ίσων, να βρείτε τις τιμές των παρατηρήσεων. 56. Το μέσο κόστος των μισθών τριών υπαλλήλων είναι 5, ενώ οι μέσες απολαβές τεσσάρων συνεργατών είναι 6. Να βρείτε τις μηνιαίες απολαβές του διευθυντή, ώστε το μέσο κόστος των,μισθών της εταιρείας να είναι 59. 57. Ο μέσος όρος των βαθμών των μαθητών ενός τμήματος υπολογίστηκε ότι είναι δεκατρία. Σε ένα έλεγχο ανακαλύφθηκε ότι ο βαθμός 1 είχε υπολογιστεί σαν 1. Να βρείτε το μέσο όρο των βαθμών, όταν: (α) το τμήμα έχει είκοσι μαθητές και οι πέντε είχαν βαθμό 1. (β) το ποσοστό των λανθασμένων βαθμών είναι το 2%. 58. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων ενός δείγματος Α είναι 9kg, ενώ η μέση τιμή των παρατηρήσεων ενός δείγματος Β είναι 6kg. Να βρείτε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων των δειγμάτων Α και Β, όταν : (α) τα δείγματα είναι ισομεγέθη. (β) το δείγμα Α έχει διπλάσιο μέγεθος από το δείγμα Β. 59. Να βρείτε δέκα διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, που έχουν μέση τιμή 2,5 και ο πρώτος όρος ισούται με εφτά. 6. Για τον υπολογισμό των μορίων εισαγωγής στις σχολές της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης υπολογίζεται: ο γενικός βαθμός πρόσβασης με συντελεστή βαρύτητας 8 ο βαθμός του α μαθήματος ειδικότητας με συντελεστή 1,3 και ο βαθμός του β μαθήματος ειδικότητας με συντελεστή,7 (α) Να υπολογίσετε τον αριθμό των μορίων ως σταθμικό μέσο (β) Να υπολογίσετε τον αριθμό των μορίων κάποιου που είχε γενικό βαθμό πρόσβασης 15, βαθμό πρόσβασης στο α μάθημα ειδικότητας 18 και βαθμό πρόσβασης στο β μάθημα ειδικότητας 16. 61. Η διάμεσος του δείγματος : 4,9,13,45,7,4,1,-3,1,12,15,19,1 ισούται με 13 7 1 9 1 62. Η διάμεσος του δείγματος : -1,-3,5,,7,9,12,-6,,5 ισούται με 1 5 6 2,5 5 63. Να βρείτε τη διάμεσο των αριθμών 3,6,9,,3ν. 64. (συνέχεια άσκησης 43) Να βρείτε τη διάμεσο. 65. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα,όταν δ=15. x i ν i f i Ν i F i % 12 1 7 2 28 3 ΣΥΝΟΛΟ 66. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, όταν ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΤΙΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. -.. 1. -. 3 3. -.. 2. -... 4

67. Ένα κουίζ αποτελείται από τρεις ερωτήσεις. Το 2% απάντησε σωστά και στις τρεις ερωτήσεις, το 6% απάντησε σωστά τουλάχιστον σε δύο ερωτήσεις και το 9% απάντησε σωστά σε τουλάχιστον μία ερώτηση. Να βρείτε (α) τη μέση τιμή των σωστών απαντήσεων (β) τη διάμεσο. (γ) τη μέση τιμή των λανθασμένων απαντήσεων. 68. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το ιστόγραμμα συχνότητας μιας κατανομής.να υπολογίσετε: (α) το πίνακα συχνοτήτων της κατανομής. (β) το πλήθος των παρατηρήσεων (γ) το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες του δώδεκα. 15 5 (δ) τη μέση τιμή (ε) τη διάμεσο. 6 12 18 24 69. Να γράψετε δίπλα σε κάθε γράμμα της αριστερής στήλης του παρακάτω πίνακα με το γράμμα της δεξιάς στήλης που αντιστοιχεί στην επικρατούσα τιμή ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Α. 3,7,7,2,1,3,,6 Κ. 3 Β. 7,1,4,4,7,5,3, Λ. 7 Γ.3,6,7,2,1,,5 Μ. 3 και 7 Ν. ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΚΟΡΥΦΗ 7. (συνέχεια άσκησης 38) Να βρεθεί η επικρατούσα τιμή. 71. (συνέχεια άσκησης 43) Να βρεθεί η επικρατούσα τιμή. 72. (συνέχεια άσκησης 65) Να βρεθεί η επικρατούσα τιμή. 73. (συνέχεια άσκησης 42) Να βρεθεί η επικρατούσα τιμή. 74. Να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα,όταν: (α) η κατανομή έχει κορυφή το με συχνότητα είκοσι. (β) έχει δύο κορυφές Μ = και Μ =1. (γ) μπορεί να έχει δύο κορυφές Μ = και Μ =3;. 75. Έστω το δείγμα : 5, 1, 2, 1, 1. Να συνδέσετε κάθε μέτρο θέσης του παρακάτω πίνακα με τον αριθμό της δεξιάς στήλης με τον οποίο ισούται. x 1 Δ 2 3 Μ 2 5 76. Να βρείτε τα τεταρτημόρια των παρακάτω κατανομών: (α) 4,9,13,45,7,4,1,-3,9,12,15,19,1. (β) -1,-3,,7,9,12,-6,5,.. 77. Αν οι βαθμοί ενός μαθητή είναι : 6 8 12 13 12 12 14 12 13 14 16,τότε (α) το εύρος R ισούται με 6 1 16 2 ν i x i ν i Ν i f i F i 1 15,3 2,18 3 (β) η ενδοτεταρτημοριακή απόκλιση ισούται με 1 2 12 14

78. (α) Το εύρος της διπλανής κατανομής ισούται με 3 4 5 6 (β) Να υπολογίσετε την ενδοτεταρτημοριακή απόκλιση (γ) Να υπολογίσετε τη διασπορά και την τυπική απόκλιση. xi νi -1 2 12 1 9 2 1 3 3 4 3 79. (α) Το εύρος της διπλανής κατανομής υπολογίζεται με το παρακάτω τρόπο 6-6-1 55-5 5- (β) Να υπολογίσετε την ενδοτεταρτημοριακή απόκλιση (γ) Να υπολογίσετε τη διασπορά και την τυπική απόκλιση. Xi νi -1 9 1-2 8 2-3 4 3-4 4-5 1 5-6 8 8. Θεωρούμε τις παρατηρήσεις : 7, 5, 4, 1, 2, 7, 9. Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς x,μ,δ,r,s. 81. Θεωρούμε τα δείγματα : Α: 8, 8, 1, 11, 13 και Β: 9, 1, 1, 1, 11. Να σημειώσετε τη σωστή επιλογή στα παρακάτω: (α) xa x B xa xb xa xb (β) s A s B s A sb s A sb 82. Ένα δοχείο περιέχει βόλους. Το 2% των βόλων του δοχείου ζυγίζει 1g ο ένας, το 3% ζυγίζει 15g ο ένας και οι υπόλοιποι ζυγίζουν 13g ο ένας. Να υπολογίσετε : (α) το μέσο βάρος και (β) την τυπική απόκλιση. 83. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων t 1,t 2,,t 1 είναι πέντε και το άθροισμα t 2 1 +t 2 2 + +t 2 1 ισούται με 29. Να βρείτε την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων. 84. Δύο δείγματα Α και Β έχουν μέση τιμή 55 και 5 αντίστοιχα και διασπορά 9 και 4 αντίστοιχα. Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διασπορά του δείγματος που αποτελείται από τις παρατηρήσεις των δύο δειγμάτων, αν γνωρίζουμε ότι το δείγμα Α αποτελείται από 2 παρατηρήσεις και το δείγμα Β από 3. 85. Η μέση τιμή των αριθμών t 1,t 2 t 3,t 4 είναι 16 και η διασπορά τους 2. να βρείτε τη μέση τιμή και τη διασπορά των αριθμών t 1,t 2 t 3,t 4 και 26. 86. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων t 1,t 2,,t 1 έχει διασπορά 2 και t 3, ( t x) 2 16. Να βρείτε την τιμή της παρατήρησης t 1. 87. Για τους αριθμούς x 1,x 2,x 3,,x 1 ισχύει : x 1 +x 2 +x 3 + +x 1 =21 και x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 + +x 1 2 =61. (α) Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των παραπάνω αριθμών. (β) Αν μια παρατήρηση ίση με 5 υπολογίστηκε ως 6, να βρείτε την ορθή μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. (γ) Αν όλες οι παρατηρήσεις αυξηθούν και 1%, να βρείτε τη νέα μέση τιμή και τη διασπορά. (δ) Αν όλες οι παρατηρήσεις αυξηθούν και 3, να βρείτε τη νέα μέση τιμή και τη διασπορά. 88. Η διασπορά ν παρατηρήσεων είναι 1,1875, η μέση τιμή των τετραγώνων των παρατηρήσεων είναι 6,25 και το άθροισμα των παρατηρήσεων είναι 36. Να βρείτε το πλήθος ν των παρατηρήσεων. 1 i 1 i 9 i 1 i

89. Οι βαθμοί δύο μαθητών δίνονται στον παρακάτω πίνακα: ΜΑΘΗΤΗΣ Α 1 11 11 11 12 12 13 13 13 14 ΜΑΘΗΤΗΣ Β 16 17 17 18 18 18 19 19 2 18 (α) Να βρείτε : τη μέση τιμή, τη διάμεσο, τη διακύμανση και το εύρος της βαθμολογίας κάθε μαθητή. (β) Να βρείτε τους συντελεστές μεταβλητότητας των βαθμών κάθε μαθητή (γ) Να βρείτε ποιος έχει ποιο ομοιόμορφη απόδοση στα μαθήματα. 9. Ο συντελεστής CV ενός δείγματος είναι 1% και η μέση τιμή είκοσι. (α) Να υπολογίσετε τη διασπορά (β) Αν το άθροισμα των τετραγώνων των παρατηρήσεων είναι 44, να βρείτε το πλήθος των παρατηρήσεων. 91. Στο παρακάτω πίνακα φαίνεται ο χρόνος καλής λειτουργίας δύο μοντέλων τηλεοπτικών δεκτών: ΜΟΝΤΕΛΟ Α 1 7 6,5 1 1,5 13 11 12 ΜΟΝΤΕΛΟ Β 12 9 11 9 12 14 14 15 (α) Να βρείτε τη διάμεσο κάθε μοντέλου. (β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή του χρόνου καλής λειτουργίας για κάθε μοντέλο. (γ) Να βρείτε την ενδοτεταρτημοριακή απόκλιση για κάθε μοντέλο. (δ) Να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση κάθε μοντέλου. (ε) Αν οι τηλεοπτικοί δέκτες τύπου Α κοστίζουν 3 ο ένας και του μοντέλου Β 36,να βρείτε ποιο μοντέλο συμφέρει να αγοράσουμε. (στ) Ποιο μοντέλο είναι πιο αξιόπιστο; (ζ) Οι χρόνοι καλής λειτουργίας κάποιου μοντέλου είναι ομοιογενείς; 92. Ο μέσος χρόνος λειτουργίας μιας λάμπας είναι 1 ώρες με τυπική απόκλιση 1 ώρες. Αν υποθέσουμε ότι ο χρόνος λειτουργίας των λαμπτήρων ακολουθεί την κανονική κατανομή, τότε : (α) Να σημειώσετε τη σωστή επιλογή στα παρακάτω: (i) το ποσοστό των λαμπτήρων που διαρκούν από 9 έως 11 ώρες είναι 5% 68% 95% 99,7% (ii) το ποσοστό των λαμπτήρων που διαρκούν λιγότερο από 1 είναι 5% 68% 95% 99,7% (iii) το ποσοστό των λαμπτήρων που διαρκούν από 7 έως 13 ώρες είναι 5% 68% 95% 99,7% (β) Να υπολογίσετε το ποσοστό των λαμπτήρων που : (i) λειτουργούν από 7 έως 9 ώρες. (ii) λειτουργούν από 8 έως 1 ώρες. (iii) λειτουργούν τουλάχιστον 12 ώρες. (iv) λειτουργούν το πολύ 8 ώρες. (v) λειτουργούν περισσότερο από 9 ώρες. (γ) Αν αγοράσουμε 2 λαμπτήρες, πόσους θα πρέπει να αντικαταστήσουμε μετά από 9 ώρες; 93. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων μιας κανονικής κατανομής είναι 5 και το 34% των παρατηρήσεων βρίσκονται στο διάστημα (5,7). (α) Να υπολογίσετε:τη ν τυπική απόκλιση και τη διάμεσο (β) Να συνδέσετε κάθε διάστημα της αριστερής στήλης του παρακάτω πίνακα με το ποσοστό των παρατηρήσεων της δεξιάς στήλης του παρακάτω πίνακα που περιέχει,15% (1,5 ) 2,5% (1,9) 5% (-,5) 47,5% (3,5) 34% (11,+ ) 68% 95% 99,7% (γ) να εξετάσετε αν οι παρατηρήσεις είναι ομοιογενείς.

94. Η διάμεσος των παρατηρήσεων μιας κανονικής κατανομής είναι 3 και το εύρος 12. (α) Να υπολογίσετε το ποσοστό των παρατηρήσεων,που: (i) ανήκουν στο διάστημα (24,28) (ii) είναι μικρότερες από 26 (iii) είναι μεγαλύτερες από 24 και μικρότερες από 34. (β) Να εξετάσετε αν οι παρατηρήσεις είναι ομοιογενείς. 95. Αν οι αριθμοί : 85,92,94,94,96,98,13,15,112,121 είναι τιμές μιας μεταβλητής Χ που ακολουθεί την κανονική κατανομή, τότε : : (α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. (β) Να βρείτε το ποσοστό των παρατηρήσεων που (i) είναι μεταξύ 9 και 12 (ii) είναι μικρότερες του 9 (iii) είναι μεταξύ 7 και 9 (iv) είναι μεταξύ 1 και 11. (γ) Αν οι μόνες τιμές που παίρνει η μεταβλητή Χ ήταν οι παραπάνω, θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι έχουμε κανονική κατανομή; 96. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων t 1,t 2,,t ν είναι 4, η διάμεσος είναι 3, η κορυφή 3.5, η διασπορά 4 και το εύρος 6. (α) Αν όλες οι παρατηρήσεις αυξηθούν κατά 2, πως μεταβάλλονται τα παραπάνω μέτρα; (β) Αν όλες οι παρατηρήσεις πολλαπλασιαστούν με το - 2, πως μεταβάλλονται τα παραπάνω μέτρα; (γ) Αν όλες οι παρατηρήσεις αυξηθούν κατά 1%, πως μεταβάλλονται τα παραπάνω μέτρα; (δ) Να βρείτε τα παραπάνω μέτρα για τις παρατηρήσεις : 2t 1 +1,2t 2 +1,,2t ν +1.

ΙΔΙΑΙΤΕΡΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Το 5% των παρατηρήσεων μιας κανονικής κατανομής είναι μικρότερες του 2 και ο συντελεστής CV ισούται με 5%.Να υπολογίσετε: (α) τη μέση τιμή (β) την τυπική απόκλιση (γ) το ποσοστό των παρατηρήσεων που : (i) ανήκουν στο διάστημα (18,22) (ii) είναι μεγαλύτερες του 22 (iii) είναι τουλάχιστον 17 και το πολύ 19 (iv) ανήκουν στο διάστημα (19,29). 2. (α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x, όταν x =1,5. xi νi (β) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x, όταν Μ = ή 1. 1 (γ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x, όταν δ=1. 1 x 2 16 3 5 3. (α) Να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα, όταν η μέση τιμή xi νi Ni fi Fi ισούται με 4,87 και έχει δύο κορυφές Μ =5 και Μ =7. 1 6 (β) Να υπολογίσετε τη διάμεσο δ. 2 9,9 3 (γ) Να βρείτε την τυπική απόκλιση. 4 43 (δ) Να εξετάσετε αν οι παρατηρήσεις είναι ομοιογενείς. 5,61 6,1 (ε) Να κατασκευάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων. 7 8 ΣΥΝΟΛΟ 4. (ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ) Στα σχολεία ενός δήμου υπηρετούν συνολικά 1 εκπαιδευτικοί, Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον διπλανό πίνακα. (α) Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 15 χρόνια υπηρεσίας; (β) Με την προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί όταν συμπληρώσει 35 χρόνια προϋπηρεσίας : (i) πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν μέσα στα επόμενα 12,5 χρόνια; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. (ii) Πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν μέσα στα επόμενα πέντε χρόνια,ώστε ο αριθμός των εκπαιδευτικών που υπηρετούν στα σχολεία του δήμου να παραμείνει σταθερός; 5. Στον διπλανό πίνακα δίνεται η κατανομή των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων του βάρους 8 μαθητών της Γ λυκείου. Τα δεδομένα έχουν ομαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους. Αν γνωρίζετε ότι η η σχετική συχνότητα της τρίτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της πρώτης κλάσεις,τότε: ΒΑΡΟΣ ΣΕ ΧΙΛΙΟΓΡΑΜΜΑ (α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα. (β) Να υπολογίσετε την μέση τιμή. (γ) Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που: (i) έχουν βάρος μικρότερο από 65 κιλά (ii) έχουν βάρος μεγαλύτερο ή ίσο από 55 κιλά και μικρότερο από 75 κιλά. ΧΡΟΝΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ % 5 1 5 1 15 1-15 12 15-2 15 2 25 18 25 3 18 3-35 12 ΣΧΕΤΙΚΗ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 45-55,2 55 65,5 65 75 75-85

6. (ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ) Σε έρευνα που έγινε στους μαθητές μιας πόλης για το χρόνο που κάνουν να πάνε από το σπίτι στο σχολείο, διαπιστώθηκε ότι το 5% περίπου των μαθητών χρειάζεται περισσότερο από 12 λεπτά, ενώ περίπου το 16% χρειάζεται λιγότερο από 1 λεπτά. Υποθέτουμε ότι η κατανομή του χρόνου της διαδρομής είναι κατά προσέγγιση κανονική. (α) Να βρείτε το μέσο χρόνο διαδρομής των μαθητών και την τυπική απόκλιση του χρόνου διαδρομής τους. (β) Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. (γ) Αν οι μαθητές της πόλης είναι 4, πόσοι μαθητές κάνουν χρόνο διαδρομής από 14 έως 16 λεπτά; (δ) Μια μέρα λόγω έργων στον κεντρικό δρόμο της πόλης, κάθε μαθητής καθυστέρησε πέντε λεπτά. Να βρείτε πόσο μεταβάλλεται ο συντελεστής μεταβολής CV.