ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1. ο παρακάτω διάγραµµα παρουσιάζει την κατανοµή των οικογενειών ενός χωριού σε σχέση µε τον αριθµό των παιδιών τους. 40 35 Αριθµός οικογενειών 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 Αριθµός παιδιών Είναι σωστό να πούµε ότι ο µέσος αριθµός παιδιών ανά οικογένεια είναι 3; Αληθεύει ότι οι µισές τουλάχιστον οικογένειες έχουν 2 ή λιγότερα παιδιά και ότι το 25% των οικογενειών έχει τουλάχιστον 3 παιδιά; 2. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζεται η κατανοµή των µηνιαίων εσόδων (σε εκατοµµύρια δραχµές) από εξαγωγές 36 εταιριών. Μηνιαία έσοδα από εξαγωγές Αριθµός εταιριών (εκατοµµύρια δρχ.) 15 25 4 25 35 6 35 45 12 45 55 7 55 65 5 65 75 2 Σύνολο 36 Είναι σωστό ότι τα µέσα µηνιαία έσοδα των εταιριών είναι 6 εκατοµµύρια δρχ.; Αν ναι γιατί, αν όχι πόσα είναι. Είναι αλήθεια ότι το 25% των επιχειρήσεων έχουν µηνιαία έσοδα πάνω από 55 εκατοµµύρια δρχ.; 3. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τις τιµές που σηµείωσαν οι µετοχές δυο εταιριών στην διάρκεια µιας εβδοµάδας. Εταιρία Α Εταιρία Β Ηµέρα Τιµή µετοχής Τιµή µετοχής ευτέρα 2000 600 Τρίτη 2100 500 Τετάρτη 2050 800 Πέµπτη 1800 650 Παρασκευή 1900 700 Ποια είναι οι µέσες εβδοµαδιαίες τιµές των µετοχών των δυο εταιριών; Ποιας εταιρίας η µετοχή έδειξε µεγαλύτερη οµοιογένεια τιµών κατά την διάρκεια της εβδοµάδας; ικαιολογείστε την απάντησή σας. Ι. ηµόπουλος, Τ.Ε.Ι. Καλαµάτας 2008 1

4. Το παρακάτω διάγραµµα παρουσιάζει τον ετήσιο τζίρο (σε εκατοµµύρια δρχ.) 170 µικροµεσαίων επιχειρήσεων. Να σχεδιαστεί το διάγραµµα κατανοµής συχνοτήτων των επιχειρήσεων σε σχέση µε τον ετήσιο τζίρο τους. Να βρεθεί ο µέσος ετήσιος τζίρος όλων των επιχειρήσεων. Αριθµός επιχειρήσεων 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Τζίρος (σε εκατ. δρχ.) 5. Οι παρακάτω πίνακες δίνουν την κατανοµή του µέσου ακαθάριστου κατά κεφαλή εισοδήµατος (σε δολάρια) σε δύο χώρες. Χώρα Α Κατά κεφαλή Ποσοστό κατοίκων εισόδηµα (δολάρια) 500-1500 9 1500-2500 11 2500-3500 12 3500-4500 16 4500-5500 20 5500-6500 13 6500-7500 10 7500-8500 6 8500-9500 3 Χώρα Β Κατά κεφαλή Ποσοστό κατοίκων εισόδηµα (δολάρια) 500-1500 1 1500-2500 4 2500-3500 22 3500-4500 48 4500-5500 3 5500-6500 4 6500-7500 5 7500-8500 4 8500-9500 9 Ποιο είναι το µέσο κατά κεφαλή εισόδηµα στις δύο χώρες; Είναι σωστό ότι το 50% των κατοίκων της Α χώρας κερδίζει περισσότερα από το 75% των κατοίκων της Β χώρας; ικαιολογείστε την απάντησή σας. 6. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τα κέρδη σε εκατοµµύρια δραχµές δυο ασφαλιστικών εταιριών όπως αυτά καταγράφονται στους ισολογισµούς 5 ετών. Εταιρία Α Εταιρία Β Κέρδη σε εκατ. δρχ. Κέρδη σε εκατ. δρχ. 200 60 210 50 205 80 180 65 190 70 Ποια είναι τα µέσα κέρδη των δυο εταιριών; Ποια εταιρία δείχνει µεγαλύτερη σταθερότητα στην κερδοφορία της; ικαιολογείστε την απάντησή σας. Ι. ηµόπουλος, Τ.Ε.Ι. Καλαµάτας 2008 2

7. Ένας φοιτητής σ ένα σύνολο 7 µαθηµάτων που εξετάστηκε έχει µέση βαθµολογία 6.5 και διάµεσο βαθµολογία 4. Ένας άλλος έχει διάµεσο βαθµολογία 6.5 και µέση βαθµολογία 4. α) Ποιος από τους δύο φοιτητές έχει στα περισσότερα µαθήµατα βαθµολογία ίση ή µεγαλύτερη από 5; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. β) ώστε από ένα παράδειγµα 7 βαθµών (µεταξύ 0 και 10) για κάθε φοιτητή που να έχουν τιµές για το µέσο αριθµητικό και τη διάµεσο ίδιες µε τις προαναφερόµενες. 8. Από τα 6 παιδιά µιας οικογένειας, η ηλικία των διδύµων είναι 2 έτη και οι ηλικίες των άλλων παιδιών είναι 8, 11, 12, 13 έτη. Να βρεθούν ο µέσος αριθµητικός, η διάµεσος, η επικρατούσα τιµή και η τυπική απόκλιση της ηλικίας των παιδιών. Ποια θα είναι η µέση και η διάµεση ηλικία των παιδιών µετά από 10 χρόνια; 9. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζεται η κατανοµή των µηνιαίων εσόδων (σε εκατοµµύρια δραχµές) από εξαγωγές 36 εταιριών. Μηνιαία έσοδα από εξαγωγές Αριθµός εταιριών (εκατοµµύρια δρχ.) 15 25 4 25 35 6 35 45 12 45 55 7 55 65 5 65 75 2 Σύνολο 36 Είναι σωστό ότι τα µέσα µηνιαία έσοδα των εταιριών είναι 6 εκατοµµύρια δρχ.; Αν ναι γιατί, αν όχι πόσα είναι; Είναι αλήθεια ότι το 25% των επιχειρήσεων έχουν µηνιαία έσοδα πάνω από 55 εκατοµµύρια δρχ.; 10. ίνεται η παρακάτω κατανοµή συχνοτήτων : Τάξεις τιµών µεταβλητής Συχνότητες 5-15 5 15-25 10 25-35 20 35-45 10 45-55 5 α) Να βρεθεί µια άλλη κατανοµή συχνοτήτων µε τις ίδιες συχνότητες αλλά µε διπλάσιο µέσο αριθµητικό. β) Να υπολογιστούν οι µέσοι αριθµητικοί της δοσµένης και της νέας κατανοµής. γ) Να γίνουν τα πολύγωνα συχνοτήτων των δύο κατανοµών. 11. ίνεται η παρακάτω κατανοµή συχνοτήτων της µεταβλητής Χ: Χ Συχνότητες 5 15 5 15 25 10 25 35 20 35 45 10 45 55 5 α) Να κατασκευαστεί µια άλλη κατανοµή συχνοτήτων της οποίας η τυπική απόκλιση να ισούται µε το µισό της τυπικής απόκλισης της δοθείσας κατανοµής. β) Να υπολογισθούν οι µέσοι αριθµητικοί της δοθείσας και της προτεινόµενης κατανοµής. γ) Σε ποια από τις δύο κατανοµές οι τιµές της µεταβλητής έχουν την µεγαλύτερη διασπορά; ικαιολογήστε την απάντησή σας µε δυο διαφορετικούς τρόπους. Ι. ηµόπουλος, Τ.Ε.Ι. Καλαµάτας 2008 3

12. Για δύο κατανοµές των τιµών µιας µεταβλητές έχουµε τα ακόλουθα στοιχεία : Κατανοµή Α Ν Α =40 Κατανοµή Β Ν Β =60 x A = 100 _ x B = 90 s A 2 = 25 s B 2 = 23 α) Να υπολογιστούν ο κοινός (ενιαίος) µέσος αριθµητικός. β) Σε ποια από τις δύο κατανοµές οι τιµές των µεταβλητών έχουν τη µεγαλύτερη διασπορά; 13. Σύνολο 250 µισθωτών έχει µέσο ηµεροµίσθιο 15600 δρχ. Οι 100 από τους 250 µισθωτούς έχουν µέσο ηµεροµίσθιο 15000 δρχ. Να βρεθεί το µέσο ηµεροµίσθιο των υπόλοιπων 150 µισθωτών. 14. Σ ένα εργοστάσιο παραγωγής τροφίµων πρόκειται να αγοραστεί µια καινούργια, ακριβέστερη, µηχανή αυτόµατης συσκευασίας (ΚΜ) για να αντικαταστήσει την υπάρχουσα µηχανή (ΠΜ). Έγινε µια δοκιµή για να ελεγχθεί η αποτελεσµατικότητα της καινούριας µηχανής. Με κάθε µια από τις δύο µηχανές συσκευάστηκαν πακέτα τροφίµων επιθυµητού βάρους 200 γραµµαρίων. Επελέγησαν 10 πακέτα τροφίµων από κάθε µηχανή και στον παρακάτω πίνακα δίνονται τα βάρη που µετρήθηκαν : Μηχανή ΠΜ 196 198 198 199 200 200 201 201 202 205 Μηχανή ΚΜ 192 194 195 198 200 201 203 204 206 207 Τα στοιχεία του συγκεκριµένου δείγµατος δικαιολογούν την αντικατάσταση της παλιάς µηχανής (ΠΜ) µε την καινούργια (ΚΜ); ικαιολογείστε την απάντησή σας. 15. Ένας ασθενής νοσηλεύτηκε για 20 ηµέρες και παρουσίασε κατά σειρά τις εξής θερµοκρασίες: 39,8 37,0 37,0 37,5 37,9 38,2 40,0 39,5 39,7 37,5 38,2 38,4 38,2 38,0 39,1 37,4 37,0 37,0 36,8 36,8 α) Να οργανωθούν τα δεδοµένα σ'ένα πίνακα συχνοτήτων και αφού οµαδοποιηθούν σε 6 τάξεις να κατασκευαστεί µια γραφική παράστασή τους. β) Να υπολογισθεί η µέση θερµοκρασία του ασθενούς και η διακύµανση των θερµοκρασιών του κατά τη διάρκεια της νοσηλείας του. 16. Από δύο κατανοµές συχνοτήτων προέκυψαν τα εξής : Παράµετροι Κατανοµή Α Κατανοµή Β Μέσος αριθµητικός 100 90 ιάµεσος 90 80 Τυπική απόκλιση 10 10 Εύρος 80 80 Έχουν οι δυο κατανοµές Α και Β την ίδια διασπορά; Αιτιολογείστε την απάντησή σας. Ι. ηµόπουλος, Τ.Ε.Ι. Καλαµάτας 2008 4

17. ίνεται η παρακάτω κατανοµή µισθωτών : Τάξεις µισθών (χιλ. δρχ.) Αριθµός µισθωτών 150 250 15 250 350 25 350 450 35 450 550 20 550 650 8 650 750 4 750 850 3 α) Να γίνει το διάγραµµα των δεξιόστροφων αθροιστικών συχνοτήτων. β) Να υπολογιστεί ο µέσος µισθός. γ) Να υπολογιστεί το πρώτο τεταρτηµόριο και να εξηγηθεί η σηµασία του. 18. Τα βάρη (σε κιλά) των µελών µιας οµάδας αθλητών είναι τα ακόλουθα : 74, 52, 67, 68, 71, 76, 86, 81, 73, 68, 64, 75, 71, 57, 67, 57, 59, 72, 79, 64, 70, 74, 77, 79, 65, 68, 76, 83, 61, 63 α) Να κατασκευαστεί ο πίνακας κατανοµής συχνοτήτων των βαρών. Μπορεί να χρησιµοποιηθεί (αλλά δεν είναι υποχρεωτικό) εύρος διαστήµατος 5 κιλών. β) Να υπολογιστεί το µέσο και το διάµεσο βάρος των αθλητών. 19 Ο µέσος αριθµητικός ν αριθµών ισούται µε 5. Αν προσθέσουµε τον αριθµό 13 στους προηγούµενους αριθµούς (το πλήθος των αριθµών θα γίνει ν+1) ο νέος µέσος αριθµητικός ισούται µε 6. Να βρεθεί το πλήθος ν των αριθµών. 20. Από τα αρχεία του Τ.Ε.Ι επελέγη ένα δείγµα 30 πτυχιούχων των οποίων οι βαθµοί πτυχίου (µε ακρίβεια προσέγγισης δεκάτου) είναι οι εξής : 6.6 6.0 6.0 6.1 6.1 6.1 6.1 6.1 5.9 6.5 6.1 6.2 6.2 6.3 6.4 6.4 6.4 6.6 6.6 6.8 6.8 6.8 6.9 6.8 7.0 7.9 7.5 7.6 7.6 6.6 α) Να παρουσιαστούν τα δεδοµένα µε µορφή γραφικής παράστασης. β) Να υπολογιστεί ο µέσος βαθµός πτυχίου. γ) Να υπολογιστεί το τρίτο τεταρτηµόριο και να εξηγηθεί η σηµασία του. 21. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τους ετήσιους µισθούς των εργαζοµένων σε µια εταιρία α/α Κατηγορία εργαζοµένων Αριθµός εργαζοµένων Μέσες αποδοχές (εκ. δρχ.) 1 Υπάλληλοι απόφοιτοι Λυκείου 80 6.5 2 Εκπαιδευόµενοι 55 7 3 Ασφάλεια 8 7.5 4 Πτυχιούχοι ΑΕΙ 20 14 5 Πτυχιούχοι µε µεταπτυχιακό 15 16 6 Αναλυτές 6 15.5 7 Προϊστάµενοι 6 22 α) Να υπολογισθεί ο µέσος ετήσιος µισθός του συνόλου των εργαζοµένων. β) Να υπολογισθεί η διακύµανση των µισθών. 22. Οι αριθµοί 4, 6, 12, 4, 10, 12, 3, x, y έχουν µέσο αριθµητικό 7 και επικρατούσα τιµή 4. Να βρεθούν: α) Οι τιµές των αριθµών x και y. β) Η διάµεσος του συνόλου των 9 αριθµών. Ι. ηµόπουλος, Τ.Ε.Ι. Καλαµάτας 2008 5

23. Οι µηνιαίοι µισθοί των υπαλλήλων µιας δηµοτικής επιχείρησης αυξήθηκαν κατά 20% και µετά την αύξηση δόθηκε µηνιαίο επίδοµα 1500 δρχ. Αν ο µέσος µηνιαίος µισθός πριν την αύξηση ήταν 200000 δρχ. και είχε διακύµανση 20000 δρχ. να υπολογιστεί ο µέσος µηνιαίος µισθός µετά τις αυξήσεις καθώς και η καινούργια διακύµανση των µισθών. 24. Στον παρακάτω πίνακα απεικονίζονται οι βαθµολογίες 100 υποψηφίων σ ένα διαγωνισµό: Βαθµοί Αριθµός υποψηφίων 0 2 4 2 4 6 4 6 8 6 8 14 8 10 17 10 12-12 14 11 14 16-16 18 8 18 20 2 Κατά την καταγραφή των βαθµολογιών χάθηκαν κάποια στοιχεία που αφορούν τους βαθµούς. Γνωρίζοντας ότι η µέση βαθµολογία των υποψηφίων στον διαγωνισµό είναι 10 και ότι εισήχθηκε το 50% των υποψηφίων να βρεθεί ποιος ήταν ο βαθµός του τελευταίου εισακτέου. 25. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι µηνιαίες αποδοχές 30 υπαλλήλων µιας δηµόσιας επιχείρησης σε δεκάδες χιλιάδες δραχµές για το έτος 2000: Μηνιαίες αποδοχές (x) 20 25 25 30 30 35 35 40 40 45 45 50 Αριθµός υπαλλήλων 5 15 5 3 1 1 α) Η αύξηση των µισθών κατά το έτος 2001 αποφασίστηκε να υπολογιστεί από τον τύπο y=a+bx, όπου y είναι οι µισθοί του 2001, a=5000 και b=1.1. Να υπολογιστεί ο µέσος µηνιαίος µισθός των υπαλλήλων για το έτος 2001. β) Να κατασκευαστεί το ιστόγραµµα συχνοτήτων για του µισθούς του 2001. 26. Οι µηνιαίες αποδοχές 100 υπαλλήλων µιας εταιρίας κυµαίνονται µεταξύ 200000 και 400000 δρχ. 10 υπάλληλοι αµείβονται µε 240000 δρχ. και κάτω, 30 υπάλληλοι αµείβονται µε 280000 δρχ. και κάτω, 40 υπάλληλοι αµείβονται µε περισσότερο από 340000 δρχ., ενώ 10 υπάλληλοι αµείβονται µε περισσότερο από 360000 δρχ. α) Να υπολογιστεί ο µέσος µηνιαίος µισθός των υπαλλήλων. β) Να κατασκευαστεί το πολύγωνο συχνοτήτων. 27. Μετά την υιοθέτηση του ΕΥΡΩ ως εθνικού νοµίσµατος κάποιος υποστήριξε ότι η διακύµανση των µηνιαίων µισθών του συνόλου των εργαζοµένων µειώθηκε κατά πολύ, ενώ κάποιος άλλος υποστήριξε ότι η διασπορά των µισθών των εργαζοµένων πριν και µετά από την 1/1/2002 είναι η ίδια. Υπενθυµίζεται ότι 1 ΕΥΡΩ = 340.75 δρχ. Ποιος από του δύο έχει δίκιο; ( ικαιολογείστε την απάντησή σας). 28. Μελετώντας τις κατανοµές των µηνιαίων µισθών υπαλλήλων δύο παρόµοιων εταιρειών στην Ελλάδα και στην Αµερική βρίσκουµε ότι ο µέσος µηνιαίος µισθός των 100 υπαλλήλων της εταιρείας Α στην Ελλάδα είναι 250000 δρχ. µε τυπική απόκλιση 30000 δρχ., ενώ των 80 υπαλλήλων της εταιρείας Β στην Αµερική ο µέσος µηνιαίος µισθός είναι 1500 δολάρια µε τυπική απόκλιση 400 δολάρια. α) Σε ποια από τις δυο εταιρείες η κατανοµή των µισθών παρουσιάζει µεγαλύτερη οµοιογένεια; (αιτιολογείστε την απάντησή σας). β) Γνωρίζοντας ότι ισχύει η ισοτιµία 1 δολάριο=390 δρχ., να βρεθεί ο µέσος µηνιαίος µισθός (εκφρασµένος σε δραχµές) του συνόλου των υπαλλήλων και των δυο εταιριών. Ι. ηµόπουλος, Τ.Ε.Ι. Καλαµάτας 2008 6

29. Τα παρακάτω διαγράµµατα αναφέρονται στις κατανοµές των κερδών δυο εταιρειών, της Α και της Β, για µια σειρά µηνών. 25 Εταιρεία Α 25 Εταιρεία Β 20 20 Αρ ι θ µ ός µηνών 15 10 5 Αρ ι θ µ ός µηνών 15 10 5 0 0 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 Κέρδη (εκατ. δρχ.) 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 Κέρδη (εκατ. δρχ) α) Ποια από τις δυο εταιρείες παρουσιάζει το µικρότερο µέσο µηνιαίο κέρδος; (αιτιολογείστε την απάντησή σας). β) Σε ποια από τις δυο εταιρείες το διάµεσο κέρδος είναι µεγαλύτερο; Αιτιολογείστε την απάντησή σας χωρίς να πραγµατοποιήσετε υπολογισµούς. γ) Ποια από τις δύο εταιρείες παρουσιάζει µεγαλύτερη οµοιογένεια στα κέρδη της; (αιτιολογείστε την απάντησή σας). 30. Στο παρακάτω διάγραµµα παρουσιάζεται η κατανοµή των νοικοκυριών µιας πόλης σε σχέση µε την ετήσια δαπάνη που καταβάλουν για την κατανάλωση νερού. Αριθµός νοικοκοιριών 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 Εξοδα ύδρευσης (x 1000 δραχµές) α) Να κατασκευαστεί το διαγράµµατα των αθροιστικών κατανοµών συχνοτήτων. β) Να υπολογιστεί η µέση ετήσια δαπάνη του συνόλου των νοικοκυριών. γ) Ο ήµαρχος σκέπτεται να επιβάλει σε κάθε νοικοκυριό ένα τέλος που θα ανέρχεται στο 2% της αξίας της κατανάλωσης του. Αν επιβληθεί αυτό το τέλος πόση θα είναι η µέση ετήσια δαπάνη του συνόλου των νοικοκυριών και πόσο ακριβώς θα είναι το ποσό κάτω του οποίου θα πληρώνει το 75% των νοικοκυριών. 31. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει κάποια δηµογραφικά στοιχεία ενός δήµου: Αριθµός οικογενειών Αριθµός παιδιών µε µέση ηλικία (έτη) 8 0 0 25 1 8 120 2 12 30 3 10 20 4 16 12 5 15 5 6 13 7 7 14 Ι. ηµόπουλος, Τ.Ε.Ι. Καλαµάτας 2008 7

α) Να υπολογιστεί ο µέσος αριθµός παιδιών ανά οικογένεια και η µέση ηλικία των παιδιών. β) Να υπολογιστεί η διάµεσος του αριθµού των παιδιών και η διάµεσος της ηλικίας των παιδιών. γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της κατανοµής των οικογενειών σε σχέση µε τον αριθµό των παιδιών. 32. Μια εταιρεία εισαγωγής τροφίµων προµηθεύει καταστήµατα λιανικής πώλησης και οι παραγγελίες των πελατών του περασµένου έτους κατανέµονται ως εξής: Ύψος ετήσιας παραγγελίας (σε ) Αριθµός πελατών [4500-5000) 70 [5000-5500) 200 [5500-6000) 250 [6000-6500) 180 [6500-7000) 120 [7000-7500) 100 [7500-8000) 60 [8000-8500] 20 α) Να κατασκευάστε την αθροιστική πολυγωνική γραµµή και να υπολογίσετε τη διάµεσο. β) Αν είχατε τη θέση του διευθυντή πωλήσεων, θα ήσασταν ικανοποιηµένος ή δυσαρεστηµένος από την εξέλιξη των πωλήσεων, δεδοµένου ότι το προηγούµενο (από αυτό που αναφέρεται ο πίνακας) έτος οι παραγγελίες είχαν ανέλθει σε 1300 µε µέσο ύψος ετήσιας παραγγελίας 5800 και τυπική απόκλιση 1200. ικαιολογήστε την απάντησή σας. 33. Σε έρευνα που έγινε το 2002 σε τυχαίο δείγµα 1080 σπουδαστών του ΤΕΙ-Κ βρέθηκε ότι οι µηνιαίες δαπάνες διαβίωσης των σπουδαστών έχουν µέσο αριθµητικό 300 και τυπική απόκλιση 20. α) Να βρεθεί το διάστηµα στο οποίο περιέχονται οι δαπάνες τουλάχιστον 810 σπουδαστών (σηµ. η ερώτηση µπορεί να απαντηθεί µε τη βοήθεια του θεωρήµατος του Chebychev). β) Εκτιµάται ότι οι δαπάνες διαβίωσης των σπουδαστών θα αυξηθούν κατά 3% το 2003. Θεωρώντας ότι η µέση δαπάνη διαβίωσης των σπουδαστών του ΤΕΙ-Κ για το 2002 είναι 300 µε τυπική απόκλιση 20, να υπολογιστεί η αντίστοιχη µέση δαπάνη και η τυπική της απόκλιση για το 2003. 34. Ο µικρότερος µηνιαίος µισθός µεταξύ των µισθών 20 υπαλλήλων ενός δήµου είναι 500, ενώ ο µεγαλύτερος 700. Το πρώτο και τρίτο τεταρτηµόριο των µισθών αυτών είναι 540 και 620, αντίστοιχα. α) Η κατανοµή των µισθών των υπαλλήλων είναι συµµετρική ή παρουσιάζει ασυµµετρία; Αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας. β) Αν γνωρίζετε ότι η διάµεσος των µισθών των 20 υπαλλήλων είναι 560, να δώσετε ένα παράδειγµα 20 µισθών για τους υπαλλήλους. 35. Οι µηνιαίες αποδοχές 100 υπαλλήλων µιας εταιρίας κυµαίνονται µεταξύ 800 και 1800. 5 υπάλληλοι αµείβονται µε 1000 και κάτω, ενώ 25 υπάλληλοι αµείβονται µε 1400 και πάνω. α) Αν γνωρίζουµε ότι ο µέσος µηνιαίος µισθός όλων των υπαλλήλων είναι 1300 και ισούται µε τη διάµεσο των µισθών να κατασκευαστεί το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανοµής των µηνιαίων µισθών των υπαλλήλων. β) Να υπολογιστεί το πρώτο και το τρίτο τεταρτηµόριο των µηνιαίων µισθών των υπαλλήλων. γ) Μια αύξηση κατά 10% όλων των µισθών θα επηρεάσει την διασπορά των µισθών των υπαλλήλων; Αιτιολογείστε την απάντησή σας. Ι. ηµόπουλος, Τ.Ε.Ι. Καλαµάτας 2008 8

36. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται στοιχεία που αφορούν 15 νοικοκυριά και αναφέρονται στον συνολικό αριθµό µελών (x) κάθε νοικοκυριού, στον αριθµό των κυρίων δωµατίων της κατοικίας του (y) και στον αριθµό των ανηλίκων παιδιών του (z). x 3 2 5 7 2 2 4 3 5 2 4 3 5 3 4 y 2 2 3 5 2 3 3 2 4 3 4 2 4 3 3 z 1 1 2 3 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 α) Να κατασκευαστεί πίνακας κατανοµής των νοικοκυριών ως προς y και z. β) Οι συντελεστές συσχέτισης µεταξύ των x και y και µεταξύ των x και z τι πρόσηµο έχουν και γιατί; γ) Να γίνει γραφική παράσταση της κατανοµής των νοικοκυριών ως προς των αριθµό των παιδιών τους. 37. Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανοµή 100 ενηλίκων ανδρών ως προς το βάρος σε κιλά και ως προς το ύψος σε εκατοστά. Βάρος Ύψος (50,60] (60,70] (70,80] (80,90] (150,160] 3 10 1 0 (160,170] 5 12 4 (170,180] 2 8 16 5 (180,190] 0 4 7 10 α) Οι άνδρες παρουσιάζουν µεγαλύτερη οµοιογένεια ως προς το βάρος ή ως προς το ύψος τους; β) Να γίνουν γραφικές παραστάσεις της κατανοµής των ανδρών ως προς το βάρος και το ύψος τους. 38. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι βαθµοί 20 φοιτητών στο µάθηµα των µαθηµατικών (x) και στο µάθηµα της στατιστικής (y) x 4 0 8 5 9 6 8 4 8 7 5 1 10 1 5 5 6 4 0 6 y 3 3 10 5 6 5 5 3 10 7 4 3 8 2 4 6 5 3 2 8 α) Ο συντελεστής συσχέτισης µεταξύ των βαθµών στα δύο µαθήµατα και οι συντελεστές a και b της γραµµής παλινδρόµησης (ŷ=a+bx) τι πρόσηµο έχουν και γιατί (δεν είναι απαραίτητο να γίνουν υπολογισµοί, πρέπει όµως οι απαντήσεις να είναι πλήρως αιτιολογηµένες); β) Σε ποιο από τα δύο µαθήµατα οι φοιτητές είχαν την καλύτερη επίδοση; Αιτιολογήστε την απάντησή σας λαµβάνοντας υπόψη τον µέσο αριθµητικό, τη διάµεσο και τη σχηµατική µορφή των κατανοµών των δύο βαθµολογιών. 39. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει δεδοµένα σχετικά µε τον αριθµό των µελών και την µέση ηλικία τους σε 50 νοικοκυριά µιας κοινότητας. Αριθµός µελών 3 3 2 2 4 1 4 5 2 5 Μέση ηλικία (έτη) 25 30 48 33 47 32 24 35 28 38 Αριθµός µελών 4 5 6 6 3 5 3 4 7 4 Μέση ηλικία (έτη) 40 45 39 38 22 39 31 40 31 19 Αριθµός µελών 3 6 5 3 7 2 4 3 2 4 Μέση ηλικία (έτη) 19 32 27 15 24 30 25 14 18 36 Αριθµός µελών 7 7 1 4 2 6 5 7 2 6 Μέση ηλικία (έτη) 35 24 17 24 70 54 43 27 45 25 Αριθµός µελών 2 5 7 6 4 1 4 7 4 2 Μέση ηλικία (έτη) 57 34 27 34 22 26 54 41 25 58 α) Να τεθούν τα παραπάνω δεδοµένα σε µορφή ταξινοµηµένων δεδοµένων πίνακα διπλής εισόδου και να γίνει το πολύγωνο συχνοτήτων που να παρουσιάζει την κατανοµή των 50 νοικοκυριών σε σχέση µε την µέση ηλικία των µελών τους. β) Να υπολογιστεί η µέση ηλικία όλων των µελών της κοινότητας. Ι. ηµόπουλος, Τ.Ε.Ι. Καλαµάτας 2008 9

40. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει την κατανοµή των νοικοκυριών ενός δήµου σε σχέση µε το εµβαδόν της κατοικίας τους και τον αριθµό των ατόµων που τα αποτελούν Εµβαδόν Κατοικίας Αριθµός ατόµων ανά νοικοκυριό (ΕΚ) σε m 2 1 2 3 4 5 6 20 ΕΚ < 40 110 25 5 2 1 2 40 ΕΚ < 60 150 100 25 10 3 2 60 ΕΚ < 80 120 190 110 60 15 6 80 ΕΚ < 100 65 140 120 120 50 35 100 ΕΚ < 120 25 65 65 80 45 40 120 ΕΚ < 140 15 35 30 40 30 30 140 ΕΚ 160 8 5 4 6 5 19 α) Να κατασκευαστεί το πολύγωνο συχνοτήτων των νοικοκυριών ως προς το εµβαδόν της κατοικίας τους. β) Να υπολογιστεί το εµβαδόν της κατοικίας πάνω από το οποίο κατοικούν τα ¾ των νοικοκυριών. 41. Το παρακάτω γράφηµα είναι το διάγραµµα διασποράς 10 ασθενών ως προς το ύψος και το βάρος τους. 85 80 75 Βάρος (χλγ) 70 65 60 55 50 45 1,5 1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 1,85 1,9 1,95 2 Ύψος (µέτρα) α) Να υπολογιστεί ο µέσος αριθµητικός του ύψους και του βάρους των ασθενών. β) Οι ασθενείς παρουσιάζουν µεγαλύτερη διασπορά ως προς το βάρος τους ή ως προς το ύψος τους; (αιτιολογείστε πλήρως την απάντησή σας) 42. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τους ετήσιους µισθούς των εργαζοµένων σε µια εταιρία Τµήµα Μόρφωτικό επίπεδο Αριθµός εργαζοµένων Μέσες αποδοχές (χιλ. ) Α Απόφοιτοι Λυκείου 12 12 Πτυχιούχοι ΤΕΙ 9 17 Πτυχιούχοι Παν/µιου 8 19 Εκπαιδευόµενοι 10 7 Β Απόφοιτοι Λυκείου 20 15 Πτυχιούχοι ΤΕΙ 8 22 Πτυχιούχοι Παν/µιου 20 24 Με µεταπτυχιακό 5 27 Γ Απόφοιτοι Γυµνασίου 10 12 Απόφοιτοι Λυκείου 20 16 α) Να υπολογισθεί ο µέσος ετήσιος µισθός του συνόλου των εργαζοµένων. β).σε ποιο από τα τρία τµήµατα της εταιρείας οι εργαζόµενοι παρουσιάζουν την µεγαλύτερη οµοιογένεια µισθών Ι. ηµόπουλος, Τ.Ε.Ι. Καλαµάτας 2008 10

43. Σε ένα τεστ για την πλήρωση µιας θέσης εργασίας, µόνο υποψήφιοι των οποίων η συνολική βαθµολογία είναι µεγαλύτερη από τη µέση βαθµολογία συν µια τυπική απόκλιση µπορεί να είναι επιλέξιµοι. Οι βαθµολογίες των υποψηφίων είναι οι ακόλουθες: 90, 90, 97, 98, 88, 91, 88, 86. α) Ποια είναι η βαθµολογία πάνω από την οποία ένας υποψήφιος θα είναι επιλέξιµος; β) Πόσοι υποψήφιοι είναι επιλέξιµοι; 44. Σε έρευνα που έγινε το 2004 σε τυχαίο δείγµα 1080 σπουδαστών του ΤΕΙ-Κ βρέθηκε ότι οι µηνιαίες δαπάνες διαβίωσης των σπουδαστών έχουν µέσο αριθµητικό, διάµεσο και επικρατούσα τιµή 400 και τυπική απόκλιση 30. α) Να βρεθεί το διάστηµα στο οποίο περιέχονται οι δαπάνες του 68% περίπου των σπουδαστών. β) Εκτιµάται ότι οι δαπάνες διαβίωσης των σπουδαστών θα αυξηθούν κατά 3% το 2005. Να υπολογιστούν ο µέσος αριθµητικός, η διάµεσος, η επικρατούσα τιµή και η τυπική απόκλιση των εκτιµούµενων για το 2005 δαπανών. 45. Σε µελέτη που έγινε σχετικά µε την ηµερήσια εξυπηρέτηση δηµοτών στα δηµαρχεία δυο δήµων (δήµος Α και Β) κατά τη διάρκεια 5 ετών διαπιστώθηκε ότι οι κατανοµές του ηµερήσιου αριθµού επισκέψεων δηµοτών στους δύο δήµους είναι συµµετρικές µε διάµεσο τιµή 15. Η τυπική απόκλιση του ηµερήσιου αριθµού επισκέψεων είναι 4 και 5 για το δήµο Α και Β αντίστοιχα. α) Ποιος από τους δυο δήµους παρουσιάζει µικρότερη διασπορά στον ηµερήσιο αριθµό εξυπηρέτησης δηµοτών;. (Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας) β) Σε ποιον από τους δυο δήµους η επικρατούσα τιµή του ηµερήσιου αριθµού επισκέψεων δηµοτών είναι µεγαλύτερη; (Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας) 46. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οµαδοποιηµένα τα επίπεδα χοληστερόλης σε µια οµάδα ατόµων πριν και µετά την υιοθέτηση µιας δίαιτας µε χορτοφαγία για 6 εβδοµάδες Επίπεδα χοληστερόλης (mg/dl) Άτοµα πριν τη δίαιτα Άτοµα µετά τη δίαιτα [120, 140) 1 3 [140, 160) 4 6 [160, 180) 7 8 [180, 200) 5 5 [200, 220) 1 1 [220, 240) 4 1 [240, 260) 2 0 α) Να κατασκευαστούν τα ιστογράµµατα και τα διαγράµµατα των δεξιόστροφων αθροιστικών συχνοτήτων. β) Η διασπορά των επιπέδων χοληστερόλης των ατόµων ελαττώθηκε ή αυξήθηκε µετά την υιοθέτηση της συγκεκριµένης δίαιτας; ικαιολογήστε την απάντησή σας. 47. Σε έρευνα που έγινε το 2002 σε τυχαίο δείγµα 1080 σπουδαστών του ΤΕΙ-Κ βρέθηκε ότι οι µηνιαίες δαπάνες διαβίωσης των σπουδαστών έχουν µέσο αριθµητικό 300 και τυπική απόκλιση 20. α) Να βρεθεί το διάστηµα στο οποίο περιέχονται οι δαπάνες τουλάχιστον 810 σπουδαστών (σηµ. η ερώτηση µπορεί να απαντηθεί µε τη βοήθεια του θεωρήµατος του Chebychev). β) Εκτιµάται ότι οι δαπάνες διαβίωσης των σπουδαστών θα αυξηθούν κατά 3% το 2003. Θεωρώντας ότι η µέση δαπάνη διαβίωσης των σπουδαστών του ΤΕΙ-Κ για το 2002 είναι 300 µε τυπική απόκλιση 20, να υπολογιστεί η αντίστοιχη µέση δαπάνη και η τυπική της απόκλιση για το 2003. Ι. ηµόπουλος, Τ.Ε.Ι. Καλαµάτας 2008 11

48. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζεται η κατανοµή των νοικοκυριών ενός δήµου σε σχέση µε το εµβαδόν (σε m 2 ) της κατοικίας τους και των αριθµό των µελών τους. Εµβαδόν [0,20] (20,40] (40,60] (60,80] (80,100] (100,120] (120,140] Αρ. µελών 1 12 15 11 10 3 1 0 2 2 14 26 40 15 4 2 3 1 10 14 18 50 15 12 4 1 3 8 10 55 20 13 5 1 2 5 14 60 50 18 6 0 3 6 11 55 70 25 7 3 2 4 4 70 80 13 8 0 1 1 3 42 23 20 α) Να γίνει το διάγραµµα των αθροιστικών συχνοτήτων των νοικοκυριών που έχουν από 4 έως 6 µέλη ως προς το εµβαδόν της κατοικίας τους και µία γραφική παράσταση που να παρουσιάζει την κατανοµή των νοικοκυριών ως προς τον αριθµό µελών της οικογενείας τους. β) Χωρίς να γίνει κανένας υπολογισµός (πράξη) να απαντήσετε στο ερώτηµα: το µέσο εµβαδόν (µέσος αριθµητικός εµβαδού) όλων των κατοικιών είναι µικρότερο από το εµβαδόν των κατοικιών των µισών τουλάχιστον νοικοκυριών; (Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας) 49. Το παρακάτω γράφηµα παρουσιάζει τους βαθµοί 20 φοιτητών στα µαθήµατα των µαθηµατικών (x) και της στατιστικής (y) 10 9 8 7 6 y 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 α) Να κατασκευαστεί πίνακας συχνοτήτων που να παρουσιάζει την κατανοµή των φοιτητών και ως προς τα δύο µαθήµατα ταυτόχρονα. β) Να βρεθεί η επικρατούσα τιµή των βαθµών στο µάθηµα των µαθηµατικών και να γίνει γράφηµα που να παρουσιάζει την κατανοµή των φοιτητών ως προς το βαθµό τους στο µάθηµα της στατιστικής. x Ι. ηµόπουλος, Τ.Ε.Ι. Καλαµάτας 2008 12

50. Στον πίνακα δίνονται τα βάρη (σε κιλά) των νοσηλευθέντων σε µια κλινική κατά την είσοδό τους και την έξοδό τους: Είσοδος 58 72 76 73 78 73 64 60 63 74 64 72 61 68 Έξοδος 63 75 69 70 80 79 65 65 72 72 76 69 72 78 Είσοδος 73 59 76 75 64 72 75 72 57 67 Έξοδος 79 62 70 83 67 72 73 68 62 70 α) Τι πρόσηµο έχει κατά τη γνώµη σας ο συντελεστής συσχέτισης µεταξύ των βαρών κατά την είσοδο και την έξοδο των νοσηλευθέντων (Να αιτιολογήσετε πλήρως την απάντησή σας); β) Κατά τη γνώµη σας το βάρος του συνόλου των νοσηλευθέντων κατά την έξοδό τους παρουσιάζει αύξηση ή µείωση σε σχέση µε το βάρος τους κατά την είσοδό τους; Αιτιολογήστε την απάντησή σας λαµβάνοντας υπόψη τον µέσο αριθµητικό και τη διάµεσο του βάρους των νοσηλευθέντων. 51. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τους ετήσιους µισθούς των εργαζοµένων στα τρία τµήµατα µιας εταιρίας Τµήµα Μορφωτικό επίπεδο Αριθµός εργαζοµένων Μέσες αποδοχές (χιλ. ) Α Απόφοιτοι Λυκείου 12 12 Πτυχιούχοι ΤΕΙ 9 17 Πτυχιούχοι Παν/µιου 8 19 Εκπαιδευόµενοι 10 7 Β Απόφοιτοι Λυκείου 20 15 Πτυχιούχοι ΤΕΙ 8 22 Πτυχιούχοι Παν/µιου 20 24 Με µεταπτυχιακό 5 27 Γ Απόφοιτοι Γυµνασίου 10 12 Απόφοιτοι Λυκείου 20 16 α) Κατά τη γνώµη σας οι διακυµάνσεις των µισθών των εργαζοµένων στα τρία τµήµατα θα άλλαζαν περισσότερο αν κάθε εργαζόµενος έπαιρνε ετήσια αύξηση 3000 ή αν έπαιρνε αύξηση 10% επί του ετήσιου µισθού του; (Να αιτιολογήσετε πλήρως την απάντησή σας) β) Να υπολογιστούν οι µέσοι µισθοί των εργαζοµένων ανά µορφωτικό επίπεδο. Ι. ηµόπουλος, Τ.Ε.Ι. Καλαµάτας 2008 13