Κεφάλαιο 11 Σχεδιασµός Τροχιάς 11-1 Εισαγωγή Πορεία (path) είναι µία γραµµή σε έναν πολυδιάστατο χώρο, η οποία συνδέει δύο από τα σηµεία του., βλ. Σχ. 11-1. Σχήµα 11-1. Πορείες στον χώρο των αρθρώσεων και τον Καρτεσιανό χώρο. Τροχιά (trajectory) είναι η ιστορία των αρθρώσεων ή των θέσεων στον Καρτεσιανό χώρο, δηλαδή συναρτήσεις του χρόνου που περιγράφουν την εξέλιξη των µεταβλητών αρθρώσεων q ή των θέσεων X, βλ. Σχ. 11-2. (To X είναι ένα διάνυσµα στήλης που περιγράφει κατά κάποιο τρόπο τη θέση και προσανατολισµό κάποιου σώµατος, συνήθως του ΤΣΔ). Σχήµα 11-2. Τροχιές µεταβλητών αρθρώσεων και Καρτεσιανών θέσεων. Η απαλοιφή του χρόνου από µία τροχιά δίνει ως αποτέλεσµα την πορεία. Σχεδιασµός Τροχιάς είναι η ανεύρεση κυµατοµορφών (συναρτήσεων του χρόνου) που περιγράφουν την εξέλιξη των µεταβλητών αρθρώσεων q ή των θέσεων X, έτσι ώστε αυτές να διέρχονται από επιθυµητά σηµεία ή να έχουν την επιθυµητή εξέλιξη. Πρέπει λοιπόν να βρεθούν οι εξής συναρτήσεις: 11-1
q d ( t)!q d ( t) Σχεδιασµός στον χώρο των αρθρώσεων!!q d ( t ) ( t)! ( t) Σχεδιασµός στον Καρτεσιανό χώρο!! ( t) X d X d X d Ο δείκτης d δηλώνει την επιθυµητή τροχιά (desired). 11-2 Σχεδιασµός Τροχιάς Αρθρώσεων Τα επιθυµητά σηµεία καθορίζονται από το S T T, όπου το S δηλώνει τον σταθµό και το T το εργαλείο. Σχήµα 11-3. Ορισµός διαφόρων ΣΣ. Ο πίνακας 0 T T ορίζει τη θέση και τον προσανατολισµό του εργαλείου ως προς τη βάση του ροµπότ και δίνεται από: 0 T T = 0 T 6 6 T E E T!" # $# = 0 T % T S S % T T const const. known (11-1) όπου o 6 T E συνδέει το ΤΣΔ µε το ΣΣ {6} και o E T T συνδέει την άκρη το εργαλείου µε το ΤΣΔ του ροµπότ. Ο 0 T 6 υπολογίζεται ως εξής: 0 T 6 = 0 T S S T 6 T ( T E E T T ) 1 (11-2) Από την Εξ. (11-2) και την αντίστροφη κινηµατική βρίσκουµε το διάνυσµα των µεταβλητών αρθρώσεων q που αντιστοιχούν σε σηµεία της τροχιά του εργαλείου: S T T,A S T 6,A q A S T T,B S T 6,B q B!! Οι διάφορες διαµορφώσεις q i, (i = A, B,...) µπορούν να βρεθούν και µε το τηλεχειριστήριο εκµάθησης θέσεων του ροµπότ (teach pendant). Αυτό επιτυγχάνεται ως εξής. Μετακινούµε µε το τηλεχειριστήριο το άκρο του εργαλείου στο επιθυµητό σηµείο και 11-2
µε τον επιθυµητό προσανατολισµό. Όταν αυτό επιτευχθεί, τότε δίνουµε εντολή να καταγραφούν οι µεταβλητές των αρθρώσεων και συνεχίζουµε µε το επόµενο επιθυµητό σηµείο. Η διαδικασία αυτή παίρνει αρκετό χρόνο, µια και δεν είναι εύκολο να οδηγηθεί το ροµπότ στη σωστή θέση και προσανατολισµό. Η γενική διαδικασία σχεδιασµού τροχιάς στο χώρο των αρθρώσεων απεικονίζεται στο Σχ. 11-4. Ο σχεδιασµός γίνεται µε διάφορε µεθόδους που θα µελετηθούν στη συνέχεια. Η είσοδος στη διαδικασία αυτή είναι οι θέσεις και οι αντίστοιχες ταχύτητες q A,q A,,!q A,!q A,, και η έξοδος είναι οι τροχιές για κάθε άρθρωση, q d (t). Οι τροχιές αυτές στη συνέχεια στέλνονται ως εντολές στο σύστηµα ελέγχου που οδηγεί το ροµπότ µέσω ρευµάτων των κινητήρων του. Σχήµα 11-4. διαδικασία σχεδιασµού τροχιάς στο χώρο των αρθρώσεων. 11-2-1 Πολυώνυµα Τρίτου Βαθµού Δίνονται δύο σηµεία που περιγράφονται από διανύσµατα στην αρχή και το τέλος του χρόνου, θ 0,θ f και καθορισµένη χρονική διάρκεια : θ(0) = θ 0 θ( ) = θ f (11-3) Θεωρούµε καταρχήν ότι έχουµε µηδενικές αρχικές και τελικές ταχύτητες,!θ(0) = 0!θ( ) = 0 (11-4) Υποθέτουµε στη συνέχεια ότι το θ(t) είναι πολυώνυµο τρίτου βαθµού, ενώ η ταχύτητα δευτέρου βαθµού θ(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 (11-5) 11-3
!θ(t) = a 1 + 2a 2 t + 3a 3 t 2 (11-6) Ο σχεδιασµός τροχιάς απαιτεί να βρεθούν οι συντελεστές a i, (i = 1,..., N), έτσι ώστε οι αρθρώσεις να ξεκινούν από τις αρχικές θέσεις και να καταλήγουν στις τελικές θέσεις, βλ. Εξ. (11-3) σε δοσµένο χρόνο και µε αρχικές και τελικές ταχύτητες αυτές των Εξ. (11-4). Η λύση δίνεται ως εξής. Σε χρόνο t = 0, ισχύει, Σε χρόνο, οι οριακές συνθήκες δίνουν, t = 0 a 0 = θ 0, a 1 = 0 t = t 2 f ( a 2 + a 3 ) = θ f θ 0 ( 2a 2 + 3a 3 ) = 0 Οι δύο αυτές εξισώσεις έχουν δύο αγνώστους, τους συγκεντρώνοντας όλα τα αποτελέσµατα, έχουµε: a 2,a 3. Επιλύοντας και a 0 = θ 0 a 1 = 0 a 2 = 3 2 ( θ f θ 0 ) a 3 = 2 3 ( θ f θ 0 ) (11-7) Παράδειγµα 11-1 Θεωρούµε ροµπότ µε ένα σύνδεσµο και µία άρθρωση, βλ. Σχ. 11-5. Σχήµα 11-5. Ροµπότ ενός β.ε. Δίδεται ότι, θ 0 = 15!, θ f = 75! και = 3s. Oι Εξ. (11-7) δίδουν, a 0 = 15, a 1 = 0, a 2 = 20, a 3 = 4,44 Εποµένως, οι επιθυµητές τροχιές είναι: ( ) = 15 + 20t 2 4,44t 3 ( ) = 40t 13,3t 2 ( ) = 40 26,6t θ t θ! t!! θ t Το Σχήµα 11-1 απεικονίζει την επιθυµητή τροχιά µε συνεχή γραµµή. 11-4
Σχήµα 11-6. Τροχιές για το Παράδειγµα 11-1. Εάν υποθέσουµε ότι στον ίδιο χρόνο η άρθρωση πρέπει να κινηθεί από τις 0 στις 80 µοίρες, τότε προφανώς απαιτείται µεγαλύτερη επιτάχυνση και ταχύτητα. Πρέπει όµως αυτή η επιτάχυνση να µπορεί να επιτευχθεί µε τους υπάρχοντες επενεργητές. Εάν για τον επενεργητή της συγκεκριµένης άρθρωσης, η µέγιστη επιτάχυνση και ταχύτητα είναι αντίστοιχα!! θ max, θ! max, τότε αν!! θ max > 40deg s 2, θ! max > 30deg s 1, η τροχιά µπορεί να ακολουθηθεί. Σε αντίθετη περίπτωση πρέπει να αυξηθεί ο χρόνος. Παρατηρούµε επίσης ότι ο ελάχιστος χρόνος βρίσκεται όταν µία άρθρωση φτάσει τη µέγιστη τιµή των!! θ max ή θ! max που αντιστοιχούν στην άρθρωση αυτή. 11-5
11-2-2 Πολυώνυµα Τρίτου Βαθµού µε Ενδιάµεσα Σηµεία Η τροχιά µπορεί να έχει ενδιάµεσα σηµεία (via points) από τα οποία θα πρέπει να περάσει το ΤΣΔ του βραχίονα, χωρίς να σταµατήσει, βλ. Σχ. 11-7. Για να γίνει αυτό, πρέπει να έχουµε µη µηδενική αρχική και τελική ταχύτητα, βλ. Σχ. 11-8. Τότε:!θ(0) =! θ 0 (11-8)!θ( ) =! θ f (11-9) Σχήµα 11-7. Προσεγγιστικός σχεδιασµός τροχιάς µε ενδιάµεσα σηµεία. Σχήµα 11-8. Τροχιά κυβικού πολυωνύµου µε µηδενικές ταχύτητες στην αρχή και το τέλος της τροχιάς. Το γενικό πολυώνυµο τρίτου βαθµού είναι της µορφής: θ(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 (11-10) Οι παράµετροι βρίσκονται χρησιµοποιώντας τις οριακές συνθήκες, όπως και πριν: a 0 = θ 0 a 1 = θ! 0 a 2 = 3 2 ( θ f θ 0 ) 2 θ0! 1! θ f (11-11) a 3 = 2 ( θ t 3 f θ 0 ) + 1 2 (!θ f θ! 0 ) Οι Εξ. (11-11) προϋποθέτουν µη µηδενικές κλίσεις σε t = t 0, t =. Πρέπει εποµένως να καθοριστούν τα! θ 0,! θ f στα ενδιάµεσα σηµεία. Αυτό µπορεί να γίνει µε 3 τρόπους: 1. Καθορισµός των v E,ω E για t = t 0, t =. Τότε, η ταχύτητες των αρθρώσεων υπολογίζονται από την επόµενη εξίσωση: 11-6
-1 v E!θ = J v ω E (11-12) Για να µπορεί να χρησιµοποιηθεί η Εξ. (11-12), θα πρέπει βέβαια ο πίνακας J v να είναι αντιστρέψιµος. Αυτό σηµαίνει ότι η τροχιά θα πρέπει να µην περνάει από ιδιόµορφα σηµεία. 2. Υπολογισµός της µέσης κλίσης. Ένας άλλος τρόπος είναι να υπολογίζεται η κλίση για την µετάβαση από σηµείο σε σηµείο και µετά να υπολογίζεται η µέση (αλγεβρικά) κλίση που αντιστοιχεί στο κάθε ενδιάµεσο σηµείο, βλ. Σχ. 11-9. Αυτή είναι η ευκολότερη, από πλευράς εφαρµογής, µέθοδος. Σχήµα 11-9. Προσεγγιστική επιλογή ταχύτητας στα ενδιάµεσα σηµεία. 3. Εφαρµογή συνεχούς επιτάχυνσης. Με τη µέθοδο αυτή, διατηρείται συνέχεια στην επιτάχυνση, βλ. Σχ. 11-10. έτσι ώστε να αποφεύγονται απότοµες αλλαγές στη ροπή των κινητήρων και εποµένως και ανεπιθύµητες ταλαντώσεις. Χρησιµοποιούµε τις εξής οριακές συνθήκες:!!θ(0) =!! θ 0,!! θ( ) =!! θ f (11-13) Το αποτέλεσµα για τις παραµέτρους του πολυωνύµου είναι: a 0 = θ 0 a 1 = 1 θ f θ 0 2!! θ 0 +!! 2 ( θ f ) 6 a 2 =!! θ 0 2 (11-14)!!θ a 3 = f +!! θ 0 Σχήµα 11-10. Συνέχεια επιτάχυνσης κατά το σχεδιασµό τροχιάς µε κυβικά πολυώνυµα. 11-7
11-2-3 Πολυώνυµα Ανώτερου Βαθµού Για να καθοριστούν οι επιταχύνσεις επί πλέον των θέσεων και των ταχυτήτων σε χρόνο t = t 0, t =, απαιτείται πολυώνυµο πέµπτου βαθµού, θ( t) = a 0 +a 1 t +a 2 t 2 +a 3 t 3 +a 4 t 4 +a 5 t 5 (11-15) Με δεδοµένα τα θ 0, θ! 0, θ!! 0, θ f, θ! f, θ!! f, να βρεθούν τα a i, i = 1,..., N. Προσπαθήστε το. Γενικά δεν χρησιµοποιούνται πολυώνυµα υψηλότερης τάξης γιατί οι υπολογισµοί είναι χρονοβόροι. 11-2-4 Γραµµικές Συναρτήσεις µε Παραβολικά Τµήµατα Προκειµένου να µειωθεί ο υπολογιστικός φόρτος που προκύπτει από πολυώνυµα κυβικής ή ανώτερης τάξης, εξετάζεται η χρήση γραµµικών συναρτήσεων. Εάν χρησιµοποιηθεί γραµµική παρεµβολή από την αρχική στην τελική γωνία, τότε η ταχύτητα είναι σταθερή, βλ. Σχ. 11-11. Στην περίπτωση όµως αυτή, η επιτάχυνση!! θ στην αρχή και το τέλος της κίνησης είναι άπειρη (πολύ µεγάλη). Το αποτέλεσµα είναι ταλάντωση του µηχανικού υποσυστήµατος και βέβαια η απόκλιση από την επιθυµητή τροχιά. Σχήµα 11-11. Γραµµική παρεµβολή για σχεδιασµό τροχιάς. Για να αποφευχθούν τα ανεπιθύµητα αυτά φαινόµενα, εξοµαλύνεται η αρχή και το τέλος του τµήµατος µε σταθερή ταχύτητα, µε τµήµατα όπου η ταχύτητα αλλάζει γραµµικά και εποµένως η γωνία µεταβάλλεται παραβολικά ως προς το χρόνο, βλ. Σχ. 11-12. Με δεδοµένα τα θ 0, θ f,!! θ (για κάθε άρθρωση) και τον τελικό χρόνο της τροχιάς, (κοινό για όλες τις αρθρώσεις για µείωση ταλαντώσεων λόγω της εκκίνησης ή της πέδησης κάποιας άρθρωσης), βρίσκεται ο χρόνος κατά τον οποίο επιταχύνεται ή επιβραδύνεται η άρθρωση, t b (για κάθε άρθρωση διαφορετικός): Χρησιµοποιώντας το Σχ. 11-12, για κάποια µεταβλητή άρθρωσης σε χρόνο t = t b ισχύει: Στο ήµισυ του χρόνου t h της τροχιάς ισχύει:! θ coast = θ h θ b t h t b =!! θt b (11-16) t h = 2 (11-17) 11-8
( θ h = θ +θ 0 f ) 2 (11-18) Για το παραβολικό τµήµα που αντιστοιχεί σε σταθερή επιτάχυνση, ισχύει: θ b = θ 0 + 1!! 2 θt b 2 (11-19) Σχήµα 11-12. Τυπική τροχιά µε γραµµικά και παραβολικά τµήµατα. Επιλύουµε τις Εξ. (11-16)-(11-19) ως προς t b και βρίσκουµε ( ) t b = t!! f 2 θ 2 t 2 f 4!! θ θ f θ 0 2!! θ (11-20) Ο χρόνος του παραβολικού τµήµατος t b είναι διαφορετικός για κάθε άρθρωση, όµως ο χρόνος κίνησης της κάθε άρθρωσης είναι ο ίδιος και ίσος µε τον συνολικό χρόνο της τροχιάς,. Η Εξ. (11-20) υποκρύπτει ένα περιορισµό για το µέγεθος της σταθερής επιτάχυνσης (ή επιβράδυνσης) που είναι δυνατόν να χρησιµοποιηθεί. Πράγµατι, για να είναι το υπόρριζο θετικό, πρέπει η επιτάχυνση να είναι µεγαλύτερη από µία ελάχιστη τιµή!! θ min, ( )!! θ min = 4 θ f θ 0!! θ!! θ 2 max (11-21) Το Σχ. 11-13 απεικονίζει την επίδραση της χρησιµοποιούµενης επιτάχυνσηςεπιβράδυνσης στη µορφή της τροχιάς. Εάν η επιτάχυνση είναι χαµηλή, τότε το τµήµα µε σταθερή ταχύτητα εξαφανίζεται. Εάν η επιτάχυνση µειωθεί περαιτέρω, τότε η τροχιά δεν είναι υλοποιήσιµη και πρέπει να αυξηθεί ο χρόνος. Η επιτάχυνση αυτή όµως πρέπει να είναι µικρότερη και από µία µέγιστη τιµή,!! θ max, που καθορίζεται από τις προδιαγραφές του επενεργητή ή του κατασκευαστή του ροµπότ. 11-9
!! θ >!! θ!! min θ =!! θ min Σχήµα 11-13. Επίδραση της χρησιµοποιούµενης επιτάχυνσης στην τροχιά. Εάν θεωρήσουµε ως δεδοµένα τα θ f, θ 0 και!! θ max, τότε προκύπτει ο ελάχιστος χρόνος, ως ο χρόνος που χρειάζεται η πλέον αργή άρθρωση για να φθάσει στο τέλος της τροχιάς της, ( ) 4 θ f,i θ 0,i t min = max i!! θ max,i (11-22) 11-2-5 Γραµµικές Συναρτήσεις µε Παραβολικά Τµήµατα και Ενδιάµεσα Σηµεία Εάν η τροχιά πρέπει να διέλθει από ορισµένα σηµεία (και όχι να ξεκινήσει από ένα σηµείο και να καταλήξει σε ένα άλλο), τότε ορίζονται ενδιάµεσα σηµεία από τα οποία πρέπει να περάσει κατά το δυνατόν η τροχιά, βλ. Σχ. 11-14. Σχήµα 11-14. Τροχιά µε γραµµικά-παραβολικά τµήµατα και ενδιάµεσα σηµεία. Ορίζουµε τα εξής: θ 0, θ f αρχικό και τελικό σηµείο, θ j = [ θ 1,θ 2,,θ N ] j, ενδιάµεσο σηµείο j, 11-10
!! θ = επιτάχυνση στην j παραβολική περιοχή,! θ jk = σταθερή ταχύτητα για το τµήµα jk, t jk = χρόνος τµήµατος σταθερής ταχύτητας για το τµήµα jk, t k = χρόνος παραβολικού τµήµατος για το ενδιάµεσο σηµείο k, t djk = διάρκεια του τµήµατος jk. Με δεδοµένα τα θ j,!! θ j και t djk, υπολογίζονται ο χρόνος του παραβολικού τµήµατος. t k και η σταθερή ταχύτητα θ! jk ως εξής θ jk = θ k θ j t djk (11-23) ( θ jk )!!!! θ k = sgn θ! kl! Για το αρχικό τµήµα, ισχύει: +1 arg > 0 θ k, sgn = 1 arg < 0 θ t k =! kl θ! jk (11-24)!! θ k t 1 = t d12 2 t d12 ( ) 2 θ θ 2 1 θ!! 0 = θ 1 (11-25) θ 1 ενώ για το τελικό τµήµα: 2 t n = t d( n 1)n t d n 1 ( )n ( ) 2 θ θ n n 1 θ!! n = θ f (11-26) θ n Ψευδο-ενδιάµεσα σηµεία Εάν η τροχιά θ πρέπει να περάσει ακριβώς από το σηµείο θ j, τότε χρησιµοποιούµε ψευδο-ενδιάµεσα σηµεία, έτσι ώστε να υπάρχει τµήµα σταθερής ταχύτητας που περνάει ακριβώς από το σηµείο που ενδιαφέρει, βλ. Σχ. 11-15. Σχήµα 11-15. Καθορισµός δύο ψευδο-ενδιάµεσων σηµείων έτσι ώστε η τροχιά να περάσει από το ενδιάµεσο σηµείο θ j. 11-11
11-3 Σχεδιασµός Καρτεσιανών Τροχιών Ένα πρόβληµα µε το σχεδιασµό τροχιάς στον χώρο των αρθρώσεων είναι ότι αν και η τροχιά περνάει από τα επιθυµητά σηµεία, παρόλα αυτά, η τροχιά στον Καρτεσιανό χώρο µπορεί να είναι όπως φαίνεται στο Σχ. 11-16α, δηλαδή δεν υπάρχει βεβαιότητα για το είδος της χωρικής τροχιάς που θα προκύψει. Εάν το ΤΣΔ πρέπει να ακολουθήσει ορισµένη πορεία στο χώρο (π.χ. κατά τη διάρκεια ηλεκτροσυγκόλλησης), τότε ο σχεδιασµός στον χώρο των αρθρώσεων δεν είναι επαρκής. Το πρόβληµα αυτό αντιµετωπίζεται µε το σχεδιασµό τροχιών στον Καρτεσιανό χώρο, Σχ. 11-16β. Ένα πλεονέκτηµα αυτού του σχεδιασµού είναι ότι η Καρτεσιανή πορεία µεταξύ των ενδιάµεσων σηµείων, µπορεί να καθοριστεί. Το µειονέκτηµα είναι η απαίτηση για επίλυση της αντίστροφης κινηµατικής κατά την διάρκεια της κίνησης (run-time). (α) (β) Σχήµα 11-16. Σχεδιασµός τροχιάς. Αριστερά, στο χώρο των αρθρώσεων. Δεξιά, στον Καρτεσιανό χώρο. Το Σχ. 11-17 απεικονίζει τη µεθοδολογία σχεδιασµού Καρτεσιανών τροχιών. Αυτή προϋποθέτει τη µετατροπή των πινάκων S T T,A σε διάνυσµα στήλης X A έτσι ώστε να είναι δυνατή η παρεµβολή µε πολυώνυµα ή άλλο τρόπο. Σχήµα 11-17. Μεθοδολογία σχεδιασµού Καρτεσιανών τροχιών. 11-3-1 Καρτεσιανή Ευθεία Κίνηση Για απλότητα, θεωρούµε ότι η επιθυµητή πορεία είναι ευθύγραµµη. Θέλουµε επίσης να αλλάζει ο προσανατολισµός του ΤΣΔ οµαλά. Οι προδιαγραφές για την πορεία δίνονται µε πίνακες S T T,A, S T T,B, σε διάφορα σηµεία του χώρου. Επειδή όµως δεν είναι δυνατή η παρεµβολή σε πίνακες, αυτοί µετατρέπονται σε Καρτεσιανά «διανύσµατα» στήλης X, διαστάσεων 6x1. 11-12
Για τα ενδιάµεσα σηµεία A, B,, εξισώνουµε τον δεδοµένο πίνακα, π.χ. τον S T T,A, µε πίνακα στον οποίο ο προσανατολισµός περιγράφεται µε χρήση του ισοδύναµου ζεύγους άξονα γωνίας και υπολογίζουµε κινηµατικά τα στοιχεία του άξονα και της γωνίας. Για τη θέση δεν χρειάζεται να κάνουµε τίποτα. R A! S T T,A = 0 0 0! b A R A (φ A )! = 1 0 0 0! b A 1 (11-27) Τότε, το διάνυσµα στήλης που αντιστοιχεί στο σηµείο Α είναι το εξής, b A X A = = b x,b y,b z,k x φ,k y φ,k z φ k A φ A A T (11-28) Πρέπει να σηµειωθεί ότι δεν υπάρχει µοναδική λύση για τον ισοδύναµο άξονα και τη γωνία. Για παράδειγµα, ισχύει ότι, R K B ( ) = R K B φ B ± m 360! φ B ( ), m = 1,2,... (11-29) Έχοντας υπολογίσει το διάνυσµα X A για κάποιο σηµείο Α, επιλέγουµε τα στοιχεία k B, φ B έτσι ώστε: k A φ A k B φ B = min (11-30) Με τον τρόπο αυτό, αποφεύγονται οι µεγάλες µεταβολές στον προσανατολισµό κατά τη διάρκεια των παρεµβολών και η κίνηση είναι οµαλή. Για το σχεδιασµός τροχιάς που αντιστοιχεί σε ευθύγραµµη κίνηση στον Καρτεσιανό χώρο, χρησιµοποιούνται γραµµικά και παραβολικά τµήµατα µε τους ίδιους χρόνους παρεµβολής για όλα τα 6 καρτεσιανά στοιχεία. Εάν οι χρόνοι παρεµβολής δεν είναι ίσοι, τότε η πορεία δεν θα είναι ευθύγραµµη. Με τον τρόπο αυτό υπολογίζεται το X (t). Επειδή βέβαια το ροµπότ αντιλαµβάνεται µόνο εντολές για τους επενεργητές και όχι Καρτεσιανές εντολές, απαιτείται να υπολογισθούν τροχιές θd! χρησιµοποιώντας αντίστροφη κινηµατική. Αυτές όµως είναι τέτοιες που οδηγούν το ΤΣΔ στην απαιτούµενη Καρτεσιανή πορεία και όχι σε κάποια πορεία ορισµένη στο χώρο των αρθρώσεων. Αυτή η διαδικασία, όπως και ο υπολογισµός των ταχυτήτων και επιταχύνσεων, στο χώρο των αρθρώσεων, παρουσιάζεται συνοπτικά στην Εξ. (11-31), επιλυση X ( t) T( t) θ! αντιστροϕηςκινηµατικης d!θ d ( t) = θ d ( t) θ d ( t Δt), ( η µε Ιακωβιανη) θ!!θ d ( t) =! d t Δt ( ) θ! d ( t Δt) Δt προς κατευθυντή (11-31) 11-13
Παράδειγµα 11-2 Εξετάζουµε το σχεδιασµό τροχιάς για πορεία του ΤΣΔ ενός βραχίονα 2 β.ε. σε ευθεία γραµµή, βλ. Σχ. 11-18. Σχήµα 11-18. Κίνηση ΤΣΔ βραχίονα 2 β.ε. σε ευθεία από ένα αρχικό σε ένα τελικό σηµείο. Το αρχικό σηµείο Α, το τελικό Β και ο χρόνος της τροχιάς δίνονται ως εξής, X A = X 0 = x 0 y 0 X B = X f = x f y f = γνωστο Θέλουµε να υπολογίσουµε την τροχιά X t αρθρώσεων, θ 1,d ( t) και θ 2,d ( t). ( ) και την αντίστοιχη τροχιά στο χώρο των Επιλέγουµε το χρόνο παρεµβολής t b ίδιο για τις κινήσεις σε x και y µε κάποιο εµπειρικό τρόπο, π.χ. ίσο µε το 10% του. Εναλλακτικά, µε αντίστροφη κινηµατική βρίσκουµε τα θ 0,θ f και χρησιµοποιούµε την Εξ. (11-32) µε κάποια προσεγγιστική επιτάχυνση: ( ) t!! t b = max f i=1,2 2 θ 2 i t 2 f 4!! θ i θ i, f θ i,0 2!! θ i (11-32) Χρησιµοποιώντας γραµµικά και παραβολικά τµήµατα, έχουµε: x( t) = y( t) = x 0 + 1 2!!xt 2 x 0 + 1 2!!xt 2 b +!!xt b ( t t b ) t b t t b x f 1 2!!x ( t) 2 t b t y 0 + 1 2!!yt 2 y 0 + 1 2!!yt 2 b +!!yt b ( t t b ) t b t t b y f 1 2!!y ( t) 2 t b t 0 t t b 0 t t b (11-33) (11-34) 11-14
Οι επιταχύνσεις!!x και!!y πρέπει να υπολογιστούν: x( 2) = x 0 + x f 2 = x 0 + 1 2!!xt t 2 +!!xt f b 2 t b!!x = " (11-35) Παρατηρήστε ότι το!!xt b είναι η σταθερή ταχύτητα στο διάστηµα t b t b. Οµοίως και για την!!y. Η τροχιά στον Καρτεσιανό χώρο είναι: ( ) = x( t) y( t) X t (11-36) Το Σχ. 11-17 απεικονίζει τις τροχιές x και y καθώς και την πορεία στον Καρτεσιανό χώρο x-y. Σχήµα 11-19. Tροχιές x και y και h πορεία στον Καρτεσιανό χώρο x-y. Τέλος, υπολογίζουµε κατά τη διάρκεια της κίνησης, (run time), της εντολές προς τους επενεργητές των αρθρώσεων: θ 2,d x ( t) 2 t = ± cos 1 ( ) + y 2 ( t) l 2 2 1 l 2 2l 1 l 2 (11-37) θ 1,d ( t) = A tan2 y( t), x t ( ( )) A tan2( k 2,k 1 ) (11-38) 11-15
µε k 1 = l 1 + l 2 c 2 k 2 = l 2 c 2 ή θ 1,d ( t) = A tan2 k 1 y t ( ( ) k 2 x( t),k 1 x( t) + k 2 y( t) ) (11-39) 11-3-2 Προβλήµατα µε Kαρτεσιανές Πορείες Υπάρχουν τρεις τύποι προβληµάτων που πρέπει να λαµβάνονται σοβαρά υπόψη. Πρόβληµα 1. Μη προσβάσιµα ενδιάµεσα σηµεία. Εάν ορίζουµε πορείες στον Kαρτεσιανό χώρο, χωρίς να λαµβάνουµε υπόψη το ροµπότ που προγραµµατίζουµε, τότε µπορεί η τροχιά που θέλουµε να µην είναι δυνατή λόγω του ότι διέρχεται από σηµεία που δεν ανήκουν στο χώρο εργασίας, βλ. Σχ. 11-20. Σχήµα 11-20. Μερικά σηµεία της πορείας δεν ανήκουν στο χώρο εργασίας. Λύση: Προειδοποίηση στον χειριστή για αδυναµία εκτέλεσης τροχιάς. Πρόβληµα 2. Υψηλοί ρυθµοί µεταβολής των γωνιών των αρθρώσεων κοντά σε ιδιοµορφίες. Ισχύει!q = J 1!x. Όµως, εάν ορίσουµε Καρτεσιανές ταχύτητες χωρίς να λάβουµε υπόψη τις δυνατότητες του ροµπότ, τότε εάν η πορεία περνάει κοντά από ιδιόµορφο σηµείο, ο ρυθµός µεταβολής των µεταβλητές των αρθρώσεων γίνεται πολύ υψηλός µε απoτέλεσµα αδυναµία παρακολούθησης της τροχιάς και µεγάλα σφάλµατα, βλ. Σχ. 11-21. Λύση: Κλιµακωτή ελάττωση των ταχυτήτων, µε παράλληλο όµως αποτέλεσµα την αποµάκρυνση από τις προδιαγραφές της τροχιάς, όχι όµως και της πορείας. Σχήµα 11-21. Κίνηση ΤΣΔ κοντά σε ιδιόµορφο σηµείο. 11-16
Πρόβληµα 3. Εκκίνηση και στόχος προσβάσιµα µέσω διαφορετικών λύσεων. Εάν το ροµπότ του Σχ. 11-22 είναι τοποθετηµένο σε οριζόντια βάση, τότε η επιθυµητή διαµόρφωση στο τέλος της κίνησης είναι αδύνατη. Σχήµα 11-22. Αδυναµία κίνησης λόγω εµποδίων και αλλαγή διαµόρφωσης. Λύση: Προειδοποίηση προς χειριστή και προγραµµατισµός της κίνησης έτσι ώστε το ροµπότ να ακολουθεί άλλη κινηµατική λύση. 11-17