Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Page 2 ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Πολυπλοκότητα γραμματικής Page 3 Ο σκύλος κυνήγησε τη γάτα Ο σκύλος που έφαγε τον ποντικό κυνήγησε τη γάτα Τα άνθη της κερασιάς την άνοιξη... ανθίζουν Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ασάφειες Page 4 Leland Stanford Junior University Leland-Stanford Junior-University Leland-Stanford-Junior University Υπάρχει ένα κορίτσι στο δωμάτιο με ένα τηλεσκόπιο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Προτασιακές σταθερές Page 5 Παραδείγματα βρέχει βρέχει23 βρεχει βρέχειηχιονίζει Αντι-παραδείγματα 65476 Βρέχει.η.χιονίζει Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Σύνθετες προτάσεις (1/2) Άρνηση Page 6 βρέχει Η σταθερά στην οποία εφαρμόζεται η άρνηση καλείται στόχος Σύζευξη (βρέχει χιονίζει) Τα ορίσματα της σύζευξης καλούνται συζευκταίοι Διάζευξη (βρέχει χιονίζει) Τα ορίσματα της σύζευξης καλούνται διαζευκταίοι ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Σύνθετες προτάσεις (2/2) Page 7 Συνεπαγωγή (βρέχει συνεφιά) Το αριστερό όρισμα της συνεπαγωγής καλείται συνθήκη ή προϋπόθεση Το δεξιό όρισμα της συνεπαγωγής καλείται συμπέρασμα Ισοδυναμία (βρέχει συνεφιά) Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παραδείγματα παρενθέσεων Page 8 Η απαλοιφή των παρενθέσεων μπορεί να γίνει, (τ π) τ π Αρκεί να μη δημιουργεί ασάφειες ((π τ) γ) π τ γ (π (τ γ)) π τ γ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Προτεραιότητες Μπορούμε να «πετάξουμε» τις παρενθέσεις αν η δομή μιας πρότασης μπορεί να καθοριστεί με βάση τις εξής προτεραιότητες (από πάνω προς τα κάτω) Page 9 Ένας όρος σχετίζεται με τον τελεστή υψηλότερης προτεραιότητας. Αν όλοι οι τριγύρω τελεστές έχουν την αυτή προτεραιότητα, ο όρος σχετίζεται με το δεξιότερο τελεστή. π τ γ π τ γ π τ Όρος: προτασιακή σταθερά ή σύνθετη πρόταση Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ερμηνεία στην Προτασιακή Λογική Μια ερμηνεία (ε) στην προτασιακή λογική είναι ένας συσχετισμός των προτασιακών σταθερών με τις τιμές αληθείας Τ και F. Page 10 π (ε) Τ π ε = Τ τ (ε) F τ ε = F γ (ε) Τ γ ε = Τ Η έννοια της ερμηνείας μπορεί να επεκταθεί για όλες τις προτάσεις με την εφαρμογή της σημασιολογίας των τελεστών. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Σημασιολογία των τελεστών Άρνηση Page 11 φ φ Τ F F Τ Σύζευξη Φ χ φ χ Τ Τ Τ Τ F F F F F F Τ F Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Σημασιολογία των τελεστών Διάζευξη Page 12 φ Χ φ χ Τ Τ Τ Τ F Τ F F F F Τ Τ Προσοχή : Στην αποκλειστική διάζευξη (που δεν είναι η περίπτωση παραπάνω), η διάζευξη είναι αληθής αν και μόνο αν (ανν) περιττός αριθμός όρων είναι αληθής. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Συνεπαγωγή Σημασιολογία των τελεστών φ χ φ χ Τ Τ Τ Τ F F F F Τ F Τ Τ Page 13 Η συνεπαγωγή αυτή (material implication) έχει το περίεργο χαρακτηριστικό ότι είναι αληθής αν η συνθήκη είναι ψευδής ή το συμπέρασμα αληθές ( φ χ). Για παράδειγμα η ακόλουθη πρόταση είναι αληθής Αν η Σάμος είναι το μεγαλύτερο νησί, τότε εγώ είμαι δισεκατομμυριούχος Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Σημασιολογία των τελεστών Ισοδυναμία Page 14 φ χ φ χ Τ Τ Τ Τ F F F F Τ F Τ F ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Ερμηνεία στην Προτασιακή Λογική Στη λογική καμία ερμηνεία δεν είναι καλύτερη από μια άλλη. Απουσία οποιασδήποτε επιπρόσθεης πληροφορίας, μια ερμηνεία είναι εξίσου καλή όσο και μια οποιαδήποτε άλλη. Page 15 Ερμηνεία i Ερμηνεία j π ι = Τ π j = F τ ι = F τ j = F σ ι = Τ σ j = F Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Πίνακες Αληθείας Ένας πίνακας αληθείας περιέχει όλες τις δυνατές ερμηνείες για τις προτασιακές σταθερές μιας γλώσσας. Page 16 Μια στήλη ανα σταθερά και μια γραμμή ανα ερμηνεία. π τ σ Τ Τ Τ Τ Τ F Τ F Τ Τ F F F Τ Τ F Τ F F F Τ F F F Για µια γλώσσα µε ν σταθερές, υπάρχουν 2 ν ερµηνείες ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Σημασιολογία Προτασιακής Λογικής Η σημασιολογία της προτασιακής λογικής αφορά τη σχέση των ερμηνειών των απλών προτάσεων και των ερμηνειών των σύνθετων προτάσεων που συντίθενται από τις απλές αυτές προτάσεις. Page 17 Αποτίμηση π i = Τ (π τ) i =T τ i = F π i = F Αποσαφίνηση > (π τ) i =T π i = Τ > π i = F τ i = F Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Αποτίμηση Page 18 Ερμηνεία i Ερμηνεία j π i = Τ π j =F τ i = F τ j = F σ i = Τ σ j =Τ (π τ) ( τ σ) (π τ) ( τ σ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Ιδιότητες προτάσεων Page 19 Μια πρόταση καλείται ταυτολογία αν και μόνο αν αυτή Ταυτολογία ικανοποιείται υπό οποιαδήποτε ερμηνεία Μια πρόταση καλείται ικανοποιήσιμη αν και μόνο Ικανοποιήσιμη αν υπάρχει τουλάχιστον μια ερμηνεία που να την ικανοποιεί Μια πρόταση καλείται μη-ικανοποιήσιμη αν και μόνο αν Μηικανοποιήσιμη Δεν υπάρχει ερμηνεία που να την ικανοποιεί Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Ταυτολογίας π τ Σ π τ τ σ ( π τ) ( τ σ) 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 (το Ο δηλώνει F και το 1, T). Page 20 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Περισσότερες Ταυτολογίες Διπλή άρνηση Page 21 π π Νόμοι του DeMorgan (π τ) π τ (π τ) π τ Εισαγωγή συνεπαγωγής π ( π τ) Επιμερισμός συνεπαγωγής (π (τ σ)) ((π τ) (π σ)) Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Αποσαφήνιση Διαγράφοντας σειρές (δηλαδή ερμηνείες), μένουν οι ερμηνείες που ικανοποιούν ένα σύνολο σύνθετων προτάσεων και επομένως πιθανές ερμηνείες των ατομικών προτάσεων. Page 22 π τ σ 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Αποσαφήνιση Διαγράφοντας σειρές (δηλαδή ερμηνείες), μένουν οι ερμηνείες που ικανοποιούν ένα σύνολο σύνθετων προτάσεων και επομένως πιθανές ερμηνείες των ατομικών προτάσεων. π τ σ π σ 1 1 1 1 1 0 Χ Page 23 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 Χ 0 0 1 0 0 0 Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Αποσαφήνιση Διαγράφοντας σειρές (δηλαδή ερμηνείες), μένουν οι ερμηνείες που ικανοποιούν ένα σύνολο σύνθετων προτάσεων και επομένως πιθανές ερμηνείες των ατομικών προτάσεων. π τ σ π σ π τ σ σ 1 1 1 Χ 1 1 0 Χ 1 0 1 Χ Page 24 1 0 0 Χ 0 1 1 Χ 0 1 0 Χ 0 0 1 Χ 0 0 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος