ιονύσης Μητρόπολος Β κείο Οριζόντια βολή Άσκηση στην οριζόντια βολή ο (0,0) x Η h Τ φ Μεταλλική σφαίρα µάζας m = 0,4kg εκτοξεύεται οριζόντια από την άκρη της ταράτσας κτιρίο ύψος Η = 0m, µε ταχύτητα µέτρο ο = 0m/s και πέφτει στο έδαφος στο σηµείο. 1. Ο σνολικός χρόνος κίνησης της σφαίρας είναι: 1s s 4s. Στο σύστηµα αξόνων το πιο πάνω σχήµατος, να προσδιορίσετε τις σντεταγµένες των σηµείων Ζ και.. α βρεεί το µέτρο της τελικής ταχύτητας Τ και η γωνία πο σχηµατίζει µε το οριζόντιο επίπεδο. 4. Κάποια στιγµή η σφαίρα περνάει από το σηµείο πο απέχει οριζόντια απόσταση 0m από το σηµείο βολής. Οι σντεταγµένες το σηµείο (στο S.I.) είναι: (0, 5) (0, 10) (0, 15) 5. Το σηµείο απέχει από το έδαφος: 5m 10m 15m 6. Η εφαπτοµένη της γωνίας στο σηµείο είναι: 1 7. Το µέτρο της επιτάχνσης της σφαίρας στο ίδιο σηµείο είναι: g g ηµ g σν Σελίδα 1 από 5
ιονύσης Μητρόπολος Β κείο Οριζόντια βολή 8. * Πόσο γρήγορα µεταβάλλεται το µέτρο της ταχύτητας στο σηµείο ; 9. α προσδιορίσετε την εξίσωση της τροχιάς της σφαίρας στο σύστηµα αξόνων το αρχικού σχήµατος. 10. Θεωρώντας τώρα ως νέο σύστηµα αξόνων ατό πο φαίνεται στο διπλανό σχήµα, να βρείτε τις νέες σντεταγµένες των σηµείων,, και να τροποποιήσετε κατάλληλα την εξίσωση τροχιάς της σφαίρας. 11. Το µήκος της τροχιάς της σφαίρας είναι: 40m 44m 46m 1. ν η µηχανική ενέργεια της σφαίρας είναι Ε = 80J, τότε η δναµική της ενέργεια στο σηµείο είναι: 60J 80J 0J ( ίνεται g = 10m/s². Η αντίσταση το αέρα εωρείται αµελητέα.) (0,0) x * Για το ερώτηµα 8 απαιτείται γνώση της κεντροµόλο επιτάχνσης. Σελίδα από 5
ιονύσης Μητρόπολος Β κείο Οριζόντια βολή ΠΤΗΣΕΙΣ: 1. Θα προσδιορίσοµε πρώτα τις εξισώσεις κίνησης της σφαίρας κατά άξονα. Θεωρώντας ως αρχή µέτρησης το χρόνο (t=0) τη στιγµή εκτόξεσης της σφαίρας, προκύπτον από τις τιµές το διπλανού πίνακα για την ταχύτητα και τη έση της σε κάε άξονα οι εξής εξισώσεις: Άξονας x ΣF x = 0 α x = 0 οx = ο = 0m/s x o = 0 Άξονας ΣF = B = m g α = g = 10m/s² ο = 0 o = 0 Άξονας x x = ο = στα. (1) x = ο t () Άξονας = g t () = ½ g t² (4) Θέτοντας = H = 0m στην (4) παίρνοµε: H t Ο = = s g. Για να βρούµε την απόσταση S το σηµείο από το σηµείο βολής, έτοµε στη () t = t ολ = s: S = ο t ολ _S = 40m_ Έτσι, οι ζητούµενες σντεταγµένες (στο S.I.) είναι: _Ζ (0, 0) και (40, 0)_. πό τις (1) και () για t = s έχοµε: Οπότε: TX = ο = 0m/s και TY = 0m/s φ ΤΧ = ο και: Τ = ΤΧ + ΤΥ = 40m/s ΤΥ = g t Ο Τ ΤΥ εφφ= = 1 _φ = 45º_ ΤΧ 4. Έστω (x N, N ) οι σντεταγµένες το. Τότε προφανώς x N = 0m. πό () βρίσκοµε t = x N / o = 1s και από (4) N = ½ g t² = 5m Για το σηµείο ισχύει λοιπόν: _( x N, N ) = (0m, 5m)_ 5. Προφανώς ισχύει: _h = H N = 15m_ Σελίδα από 5
ιονύσης Μητρόπολος Β κείο Οριζόντια βολή 6. ντικαιστώντας στην () τον χρόνο t = 1s της ερώτησης 4 βρίσκοµε = g t = 10m/s οπότε: εφ= = ο 1 ο 7. Η σφαίρα κινείται µε την επίδραση και µόνο το βάρος, οπότε η επιτάχνσή της σµπίπτει µε την επιτάχνση g της βαρύτητας: ΣF Β m g α= = = = g m m m Και τελικά: _α = g = 10m/s²_ 8. Όπως είδαµε στην προηγούµενη ερώτηση, η σφαίρα κινείται µε επιτάχνση α = g. Η επιτάχνση ατή µπορεί να αναλεί σε δύο σνιστώσες: (i) την επιτρόχια επιτάχνση και (ii) την κεντροµόλο επιτάχνση α Ε σγγραµµική µε την ταχύτητα α K κάετη προς ατήν. πό ατές, η πρώτη σχετίζεται µε τη µεταβολή το µέτρο της ταχύτητας, ενώ η δεύτερη µε τη µεταβολή της διεύνσης. Έτσι, ο ζητούµενος ρµός µεταβολής το µέτρο της ταχύτητας είναι: d = α dt Ε = α ηµ= g ηµ 5 πό την ερώτηση 6 βρίσκοµε: ηµ= = = 0,45 + 5 ο α κ α ε α = g και τελικά: d = g ηµ 4,5m/s dt 9. παλείφοντας το χρόνο t ανάµεσα στις () και (4) έχοµε: () t = x/ ο και g (4) = ½ g (x/ ο )² = x ή _ = 0,015 x²_ 0 Σελίδα 4 από 5
ιονύσης Μητρόπολος Β κείο Οριζόντια βολή 10. Οι νέες σντεταγµένες είναι (0, Η), (S, 0), (x N, h) ή µε αντικατάσταση: _(0, 0), (40, 0), (0, 15)_ (στο S.I.) Η εξίσωση (4) µετασχηµατίζεται στην = Η ½ g t² και η εξίσωση τροχιάς γίνεται: g = H x ή _ = 0 0,015 x²_ 0 11. Ο πολογισµός το µήκος L της τροχιάς περβαίνει το επίπεδο γνώσεων της Β κείο. Μπορούµε όµως να σκεφτούµε ως εξής: Το εύγραµµο τµήµα έχει µήκος: ( ) = H + S 44,7m Η τροχιά είναι καµπύλη και α ισχύει: L > () πό τις τιµές πο δίνονται, η µόνη αποδεκτή είναι η τιµή: _L = 46m_ Η S L 1. Η αρχική κινητική ενέργεια της σφαίρας είναι Κ 1 = ½ m ο ² = 80J όγω διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, για οποιοδήποτε σηµείο της τροχιάς της σφαίρας ισχύει Κ + U = Ε. Οπότε: Κ 1 + U 1 = Ε U 1 = Ε Κ 1 = 80J 80J = 0 Μ άλλα λόγια, το σηµείο βολής έχει επιλεγεί ως σηµείο αναφοράς για τη δναµική ενέργεια. Η ζητούµενη δναµική ενέργεια στο σηµείο είναι εποµένως αρνητική: Επαλήεση: _U = m g N = 0J_ Η ταχύτητα της σφαίρας στο είναι ενέργεια Κ = ½ m ² = 100J Οπότε: Ε = Κ + U = 100J 0J = 80J = + 10 5 m/s και η κινητική της ο = ιονύσης Μητρόπολος Σελίδα 5 από 5