Το υπόδειγμα Klein-Monti

Το υπόδειγμα Klein-Monti Το υπόδειγμα που ανέπτυξαν ξεχωριστά οι Michael Klein και Mario Monti θεωρεί την λειτουργία των τραπεζικών ιδρυμάτων από μικροοικονομική σκοπιά. Οι τράπεζες είναι επιχειρήσεις που μεγιστοποιούν τα κέρδη τους παρέχοντας υπηρεσίες χρηματοοικονομικής διαμεσολάβησης. Η βασική υπηρεσία είναι ο μετασχηματισμός των καταθέσεων που λαμβάνει από του καταθέτες σε χορηγήσεις ή την αγορά άλλων περιουσιακών στοιχείων. Η προσέγγιση του υποδείγματος των Klein-Monti αποτελεί την βάση για την μελέτη των διαφορετικών δομών οργάνωσης της τραπεζικής αγοράς και στο παρόν κεφάλαιο θα εξετάσουμε τόσο την μονοπωλιακή τράπεζα όσο και την ολιγοπωλιακή τραπεζική αγορά και τον μονοπωλιακό ανταγωνισμό. Μια τράπεζα στο υπόδειγμά μας θα λαμβάνει σύνολο καταθέσεων D και παρέχει επίπεδο χορηγήσεων L. Εφόσον η τράπεζα είναι διαμεσολαβητής, αναμένουμε να εξασφαλίζει επιτόκιο χορηγήσεων r L το οποίο θα υπερβαίνει το επιτόκιο καταθέσεων r D, r L > r D 0. Το κόστος χρήματος της τράπεζας θα είναι το επιτόκιο που της διατραπεζικής αγοράς, το οποίο με την σειρά του καθορίζεται από το επιτόκιο παρέμβασης της νομισματικής αρχής r 0. Σε ένα μη ανταγωνιστικό περιβάλλον,τόσο οι χορηγήσεις όσο και οι καταθέσεις καθορίζονται από τα διαμορφωμένα επιτόκια. Στη συνέχεια διατυπώνουμε τις βασικές σχέσεις που διέπουν το υπόδειγμά μας. 1

Η αντιστροφή συνάρτηση ζήτησης χορηγήσεων r L (L) αποτυπώνει πως μεταβάλλεται η ζήτηση για χορηγήσεις καθώς μεταβάλλεται το επιτόκιο χορηγήσεων. Η σχέση μεταξύ επιτοκίου και χορηγήσεων είναι αντίστροφη (r L (L) < 0), δηλαδή καθώς αυξάνεται το επιτόκιο που πληρώνουν οι οφειλέτες θα μειώνεται και η ζήτησή τους για δάνεια. Στην συνέχεια υποθέτουμε την απλή μορφή r L (L) = A αl, με α, a > 0. Ο συντελεστής A εκφράζει το μέγιστο επίπεδο που μπορεί να πάρει το επιτόκιο χορηγήσεων ενώ η παράμετρος α εκφράζει το επίπεδο μεταβολής του επιτοκίου χορηγήσεων για οριακή μεταβολή των χορηγήσεων. Η αντίστροφη συνάρτηση προσφοράς καταθέσεων r D (D) αποτυπώνει πως μεταβάλλεται η προσφορά καταθέσεων στις μεταβολές του επιτοκίου. Προφανώς, μια αύξηση του επιτοκίου καταθέσεων θα προσελκύσει μεγαλύτερο όγκο καταθέσεων, (r D (D) > 0). Στην περίπτωσή μας θα είναι, r D (D) = B + βd, με β, B > 0. Το B εκφράζει το χαμηλότερο επιτόκιο που μπορεί να θέσει μια τράπεζα για τις καταθέσεις ενώ το β εκφράζει το επίπεδο μεταβολής του επιτοκίου καταθέσεων καθώς μεταβάλλεται οριακά το επίπεδο καταθέσεων. Η τράπεζα έχει την δυνατότητα να εξασφαλίσει ρευστά διαθέσιμα από την (διατραπεζική) αγορά ή απευθείας από την κεντρική τράπεζα με κόστος δανεισμού r > 0. Η συνάρτηση διαχειριστικού κόστους c(l, D), για την οποία θα ισχύει c (L), c (D) > 0. Αυτή είναι μια υπόθεση που φαίνεται πιο εύλογη από την πλευρά των χορηγήσεων και λιγότερο από την πλευρά των καταθέσεων. Όντως, καθώς αυξάνονται οι αιτήσεις για χορηγήσεις, το κόστος επεξεργασίας των αιτημάτων αλλά και τα μη Δ. Βολιώτης 2

εξυπηρετούμενα δάνεια που επιφέρουν ένα επιπλέον κόστος στην τράπεζα αυξάνονται δυσανάλογα. Στην περίπτωσή μας υποθέτουμε την απλή κυρτή συνάρτηση, c(l, D) = d 2 L2 + g 2 D2, με d, g > 0. Στην ανάλυσή μας θα συμπληρώσουμε ένα επιπλέον κόστος για την τράπεζα. Πρόκειται για το κόστος ευκαιρίας των υποχρεωτικών ρευστών διαθεσίμων που οφείλει να καταθέσει στην νομισματική αρχή. Υποθέτουμε για χάριν απλότητας ότι το επιτόκιο κατάθεσης στην Κεντρική Τράπεζα των υποχρεωτικών ρευστών διαθεσίμων κανονικοποιείται στο 0. Το ποσοστό των υποχρεωτικών ρευστών διαθεσίμων καθορίζεται εξωγενώς να είναι q (0, 1) επί των καταθέσεων D. Μονοπώλιο Υπάρχει μια μοναδική τράπεζα που παρέχει τις υπηρεσίες διαμεσολάβησης. Η συνάρτηση κερδών της τράπεζας είναι: π(l, D) = [r L (L) r]l + [(1 q)r r D (D)]D [ d 2 L2 + g 2 D2 ] Τα έσοδα προκύπτουν από την διαφορά επιτοκίου χορηγήσεων και κόστους χρήματος, όσον αφορά τις χορηγήσεις, και επιτοκίου καταθέσεων και κόστους χρήματος καθώς τα πλεονασματικά διαθέσιμα μπορούν να διοχετευθούν στην διατραπεζική αγορά. Τα κέρδη της τράπεζας προκύπτουν αν αφαιρέσουμε και το διαχειριστικό κόστος της. Η μονοπωλιακή τράπεζα μεγιστοποιεί τη συνάρτηση κερδών της επιλέγοντας το βέλτιστο επίπεδο καταθέσεων και χορηγήσεων {L, D}. Το πρόγραμμα είναι κοίλο και καλά ορισμένο ώστε να λάβουμε μία αναλυτική λύση. Μετά από την αντικατάσταση των αντίστροφων συναρτήσεων ζήτησης και προσφοράς το πρόγραμμα της τράπεζας γίνεται, max π(l, D) = [A αl r]l + [(1 q)r B βd]d d {L,D} 2 L2 g 2 D2. Δ. Βολιώτης 3

Από τις αναγκαίες (και ικανές) συνθήκες πρώτης τάξης λαμβάνουμε: και D L = 0 A r 2αL dl = 0 L = A r 2α + d = 0 (1 q)r B 2βD gd = 0 D = (1 q)r B 2β + g Η βέλτιστη λύση συνοψίζεται ως (L, D ) = ( A r, (1 q)r B 2α+d 2β+g ) Ας κάνουμε την παραδοχή ότι θεσμικά απαγορεύεται το επίπεδο των τόκων να ξεπερνά το επίπεδο του αρχικού κεφαλαίου που χορηγείται. Επομένως θα έχουμε A = 1, ήτοι το ανώτατο επίπεδο επιτοκίου χορηγήσεων να ίσο με 100%. Από την βέλτιστη λύση μπορούμε με αντικατάσταση να υπολογίσουμε τα επιτόκια χορηγήσεων και καταθέσεων στην ισορροπία. Αντικαθιστώντας την βέλτιστη λύση (L, D ) στις αντίστροφες συναρτήσεις ζήτησης χορηγήσεων και προσφοράς καταθέσεων βρίσκουμε r L = r D = [a + d]a + αr 2α + d B(β + g) + (1 q)rβ 2β + g Παράδειγμα. Θεωρείστε την περίπτωση για την οποία η αντίστροφη συνάρτηση προσφοράς καταθέσεων δίνεται από την σχέση r D (D) = 0.01 + 0.2D. Συνεπώς το επιτόκιο καταθέσεων στην περίπτωσή μας δεν μπορεί να είναι λιγότερο από 1%. Αντίστοιχα, η αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης χορηγήσεων είναι r L (L) = 1 0.3L. Πάλι, σε αυτή την περίπτωση κάνουμε την παραδοχή ότι το μεγαλύτερο επιτόκιο χορηγήσεων της τράπεζας, δεν μπορεί να ξεπερνά το 100%. Τέλος, προσδιορίζουμε το λειτουργικό κόστος της τράπεζας από την συνάρτηση c(l, D) = 0.3L 2 + 0.4D 2. Δ. Βολιώτης 4

Με βάση τις παραπάνω παραδοχές μπορούμε να υπολογίσουμε αναλυτικά τις τιμές στην ισορροπία. Μια ενδιαφέρουσα άσκηση που μπορούμε να κάνουμε είναι να εξετάσουμε πως διαμορφώνεται το περιθώριο μεταξύ επιτοκίου καταθέσεων και χορηγήσεων καθώς το εξωτερικό κόστος δανεισμού r > 0 αυξάνεται. Το ακόλουθο διάγραμμα είναι διαφωτιστικό Σχήμα 1: Περιθώριο επιτοκίων καταθέσεων χορηγήσεων καθώς αυξάνεται το κόστος χρήματος για την τράπεζα Από το παραπάνω διάγραμμα, καθίσταται προφανές ότι καθώς το κόστος χρήματος της τράπεζας αυξάνεται, αυτό μετακυλίεται στους δανειζομένους. Όμοια, καθώς οι καταθέσεις αποτελούν εναλλακτική μορφή ρευστότητας για την τράπεζα, το επιτόκιο θα αυξάνεται αλλά, όπως φαίνεται, με χαμηλότερο ρυθμό. Μη διαχωρίσιμη συνάρτηση κόστους Μια παράδοχή μας για την συνάρτηση κόστους είναι ότι το διαχειριστικό κόστος για τις χορηγήσεις και αυτό για τις καταθέσεις είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους (c(l, D) = d 2 L2 + g 2 D2 ). Στη πραγματικότητα, ένα σημαντικό μέρος του λειτουργικού κόστους εξυπηρετεί ταυτόχρονα και τις δύο αυτές τραπεζικές λειτουργίες. Για παράδειγμα, η Δ. Βολιώτης 5

λειτουργία των τραπεζικών καταστημάτων εξυπηρετούν εξίσου και τις χορηγήσεις και τις καταθέσεις. Επομένως αν θέλω να αποδώσω αυτή την μορφή συμπληρωματικότητας ως προς το κόστος, η συνάρτηση δεν θα έπρεπε να είναι διαχωρίσιμη. Στο πλαίσιο αυτό υποθέτουμε την συνάρτηση κόστους της μορφής, c(l, D) = L d D g. Συγκεκριμένα, υποθέστε την συνάρτηση κόστους c(l, D) = L 2 D 2. Αν λύσουμε το μαθηματικό πρόγραμμα της τράπεζας, max π(l, D) = [A αl r]l + [(1 q)r B βd]d L 2 D 2, {L,D} στη βέλτιστη λύση λαμβάνουμε L = D = A r 2(α + D 2 ) (1) (1 q)r B 2(β + L 2 ). (2) Αυτο που μπορούμε να παρατηρήσουμε στην περίπτωση αυτή είναι ότι το επίπεδο των δανείων που θα αποφασίσει η μονοπωλιακή τράπεζα να χορηγήσει ώστε να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της εξαρτώνται από το επίπεδο των καταθέσεων. Όσο μεγαλύτερο είναι το επίπεδο καταθέσεων τόσο μικρότερο το επίπεδο χορηγήσεων. Η αντίστροφη σχέση μεταξύ καταθέσεων και χορηγήσεων φαίνεται επίσης και στο βέλτιστο επίπεδο ζήτησης καταθέσεων. Η αλληλεξάρτηση καταθέσεων χορηγήσεων είχε επισημανθεί κατά το παρελθόν και από τις ρυθμιστικές αρχές του τραπεζικού συστήματος. Οι ρυθμιστικές αρχές, έχοντας κατά νου ότι όσο αυξάνονται οι καταθέσεις σε μια τράπεζα θα μειώνονται οι χορηγήσεις δανείων, έκριναν ότι πρέπει να ελέγξουν το επίπεδο καταθέσεων. Βασικός σκοπός είναι η διατήρηση των χορηγήσεων σε υψηλό επίπεδο, ως βασική προϋπόθεση για την ανάπτυξη της οικονομίας. Συνεπώς, αν επιθυμούσαμε να διατηρήσουμε το επίπεδο των χορηγήσεων Δ. Βολιώτης 6

πρέπει με κάποιο τρόπο να διατηρήσουμε τις καταθέσεις ελεγχόμενες. Ο έλεγχος ήρθε επιβάλλοντας ένα πλαφόν στο επιτόκιο χορηγήσεων. Από την συνάρτηση προσφοράς καταθέσεων (D = B + 1 r β β D) μπορεί να δει κανείς ότι κρατώντας το πλαφόν χαμηλά θα μειώνεται η προσφορά καταθέσεων. Η ρύθμιση αυτή είναι γνωστή ως Regulation Q και εισήχθη το 1933 στις ΗΠΑ (Glass-Steagall act). Ένα αρνητικό αποτέλεσμα της Regulation Q ήταν ότι οδήγησε σε μείωση των καταθέσεων και κατά συνέπεια των ρευστών διαθεσίμων των τραπεζών. Η ρύθμιση ανακαλέστηκε το 2010 ώστε να τονωθεί η ρευστότητα της αγοράς. Σχήμα 2: Η αύξηση του κόστους χρήματος, καθώς το επιτόκιο καταθέσεων αυξάνεται όδηγεί σε μεγαλύτερο κόστος στις χορήγήσεις και επομένως σε λιγότερες χορηγήσεις Πίσω στο αριθμητικό παράδειγμά μας, παρουσιάζουμε την σχέση που διαμορφώνεται μεταξύ του επιπέδου χορηγήσεων και επιτοκίου καταθέσεων. Όπως μπορεί κάποιος να παρατηρήσει από το διάγραμμα, για μια μικρή αύξηση του επιτοκίου καταθέσεων, όταν αυτό κυμαίνεται κάτω από το επίπεδο του r D = 0.2 έχουμε μια ραγδαία μείωση των χορηγήσεων. Το γεγονός αυτό δικαιολογεί και το Regulation Δ. Βολιώτης 7

Q, και εξηγεί εύγλωττα την αλληλεπίδραση μεταξύ χορηγήσεων και καταθέσεων. Μονοπώλιο με γραμμικό κόστος Στη συνέχεια παρουσιάζουμε την πιο απλή περίπτωση, για την οποία το κόστος διαχείρισης είναι γραμμικό. Το μαθηματικό πρόγραμμα της Τράπεζας γίνεται max π(l, D) = [A αl r]l + [(1 q)r B βd]d dl gd. {L,D} Από τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης L = 0 A r 2αL d = 0 L = A r d 2α και D = 0 (1 q)r B 2βD g = 0 D = (1 q)r B g 2β Ας δούμε το παραπάνω πρόβλημα στη γενική του μορφή. Χωρίς να εξειδικεύσουμε τις αντίστροφες συναρτήσεις r L (L) και r D (D), το μαθηματικό πρόγραμμα της Τράπεζας γίνεται max π(l, D) = [r L (L) r]l + [(1 q)r r D (D)]D C(L, D) {L,D} Από τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης, λαμβάνουμε τις εξισώσεις Δ. Βολιώτης 8

L = 0 r (L)L + r L r C L = 0 (3) D = 0 r D(D)D + r(1 α) r D C D = 0 (4) Ας εξετάσουμε διεξοδικότερα τις παραπάνω σχέσεις, ξεκινώντας από την (3). Αναδιατάσσοντας την τελευταία έχουμε r L (r + C L) = r (L)L Διαιρώ και τα δύο μέρη της ισότητας με r L, r L (r + C L ) r L = r (L)L r L Το αριστερό μέρος της ισότητας είναι ο γνωστός δείκτης του Lerner, που στη γενική του μορφή εκφράζει την τιμή μείον το οριακό κόστος προς την τιμή. Ο δείκτης είναι ισοδύναμος του markup για την επιχείρηση, την τράπεζα εν προκειμένω, και μας δείχνει την δύναμη που έχει αυτή στην αγορά. Όσο μεγαλύτερο το markup τόσο μεγαλύτερη δύναμη έχει η επιχείρηση στην αγορά. Το δεξί μέρος της εξίσωσης είναι ουσιαστικά η αντίστροφη ελαστικότητα της συνάρτησης ζήτησης. Η ελαστικότητα στην περίπτωσή μας ορίζεται ως Αλλά η παραπάνω σχέση είναι ϵ = L r L r L L. r (L)L r L = r L L L r L = 1 ϵ. Όμοια βρίσκουμε και για την (4), αναφορικά με τις βέλτιστες καταθέσεις. Δ. Βολιώτης 9

Τέλειος ανταγωνισμός Στο πλαίσιο του τέλειου ανταγωνισμού, οι τράπεζες καλύπτουν ένα αμελητέο μέγεθος της ζήτησης χορηγήσεων (και προσφοράς καταθέσεων). Ως συνέπεια, θα θεωρούμε ότι οι αντίστροφες συναρτήσεις ζήτησης χορηγήσεων και προσφοράς καταθέσεων θα είναι σταθερές συναρτήσεις r D, r L > 0. Στο γενικότερο πλαίσιο, σε περιβάλλον τέλειου ανταγωνισμού συνήθως αναφερόμαστε στις επιχειρήσεις ως λήπτες τιμών. Κάθε μια τράπεζα θα λύνει το ακόλουθο μαθηματικό πρόγραμμα max π(l, D) = [ r L r]l + [(1 q)r r D ]D d {L,D} 2 L2 g 2 D2. Από τις αναγκαίες (και ικανές) συνθήκες πρώτης τάξης λαμβάνουμε: L = 0 L = r L r d D = 0 D = (1 q)r r D g Από την βέλτιστη λύση για τις χορηγήσεις, παρατηρούμε ότι οι χορηγήσεις θα παραμένουν θετικές εφόσον το επιτόκιο χορηγήσεων ξεπερνά το κόστος χρήματος. Στο βέλτιστο, ο οριακό έσοδο είναι επαρκές, ωστόσο, μόνο να καλύψει το οριακό κόστος. Για παράδειγμα το οριακό έσοδο από τις χορηγήσεις είναι ίσο με MR = [ r L r] ενώ το οριακό κόστος χορηγήσεων MC = dl. Εύκολα έπεται ότι L = r L r. Ωστόσο, μπο- d ρούμε να δείξουμε ότι για κυρτή συνάρτηση κόστους κάθε τράπεζα θα πραγματοποιεί θετικά κέρδη. Ας εξετάσουμε την περίπτωση του γραμμικού κόστους. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης της ανταγωνιστικής τράπεζας είναι Δ. Βολιώτης 10

max π(l, D) = [ r L r]l + [(1 q)r r D ]D dl gd. {L,D} Από τις αναγκαίες (και ικανές) συνθήκες πρώτης τάξης λαμβάνουμε: L = 0 r L = r + d D = 0 r D = (1 q)r g Στην περίπτωση αυτή, έχουμε σταθερό οριακό κόστος τόσο για τις καταθέσεις όσο και για τις χορηγήσεις (d και g, αντίστοιχα). Σε αυτή την περίπτωση το επιτόκιο χορηγήσεων είναι επαρκές ώστε να καλύψει το κόστος χρήματος r αλλά και το οριακό λειτουργικό κόστος (g) για την διαχείριση των δανείων. Όμοια το επιτόκιο καταθέσεων θα πρέπει να είναι πάντα μικρότερο από το κόστος χρήματος, συμπεριλαμβανομένου του κόστους ρύθμισης των υποχρεωτικών διαθεσίμων. Πόσο μικρότερο; Όσο χρειάζεται ώστε να καλύψει το το οριακό λειτουργικό κόστος (d) για την διαχείριση των καταθέσεων. Εύκολα μπορεί να δειχτεί ότι στην περίπτωση του γραμμικού κόστους (σταθερό οριακό κόστος) η κάθε τράπεζα πραγματοποιεί μηδενικά κέρδη. π(l, D) = [ r L r]l + [(1 q)r r D ]D dl gd = [r + d r]l + [(1 q)r (1 q)r + g]d dl gd = dl + gd dl gd = 0. Δυοπώλιο Εισάγοντας ανταγωνισμό στο υπόδειγμά μας, πλέον έχουμε δύο τράπεζες οι οποίες ανταγωνίζονται για την ποσότητα χορηγήσεων αλλά και καταθέσεων. Στην απλή αυτή μορφή, έχουμε ένα τυπικό υπόδειγμα δυοπωλίου Cournot. Η συνολική ζήτηση για δάνεια θα καλύπτεται από την προσφορά των δύο ανταγωνιστριών τραπεζών, L = L 1 + L2. Δ. Βολιώτης 11

Όμοια, οι τράπεζες θα ανταγωνίζονται για τις καταθέσεις, επομένως D = D 1 + D 2. Χωρίς απώλεια της γενικότητας χρησιμοποιούμε ως συνάρτηση κόστους την c(l, D) = dl 2 + gd 2. Θα λύσουμε το πρόβλημα της τράπεζας 1 και συμμετρικά προκύπτει η λύση και για την τράπεζα 2. Κατόπιν της αντικατάστασης του L με L 1 + L 2 και του D με D 1 + D 2. max π(l, D) = [A α(l 1 +L 2 ) r]l 1 +[(1 q)r B β(d 1 +D 2)]D 1 dl 2 1 gd1. 2 {L 1,D 1 } Από τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης του προγράμματος έχουμε 1 = 0 A 2αL 1 αl 2 r 2dL 1 = 0 L 1 L 1 = A r 2(α + d) α 2(α + d) L 2 (5) 1 = 0 (1 q)r B 2βD 1 βd 2 2gD 1 = 0 D 1 (1 q)r B β D 1 = 2(β + g) 2(β + g) D 2 (6) Οι δύο συναρτήσεις που προέκυψαν από την μεγιστοποίηση των κερδών L 1 (L 2 ) και D 1 (D 2 ) εκφράζουν τις συναρτήσεις αντίδρασης της τράπεζας 1. Το αρνητικό πρόσημο στην κλίση των ευθειών που ορίζουν οι συναρτήσεις αυτές υποδηλώνει την υποκαταστασιμότητα των τραπεζών, πχ, κάθε κατάθεση στην τράπεζα 2 στερείται από την τράπεζα 1. Λύνοντας το ισοδύναμο πρόβλημα για την τράπεζα 2 βρίσκουμε όμοια τις συναρτήσεις αντίδρασης της τράπεζας 2. L 2 = D 2 = A r 2(α + d) α 2(α + d) L 1 (7) (1 q)r B β 2(β + g) 2(β + g) D 1 (8) Δ. Βολιώτης 12

Για να υπολογίσουμε την Cournot-Nash ισορροπία του υποδείγματος θα λύσουμε δύο συστήματα εξισώσεων αποτελούμενα από τις παραπάνω εξισώσεις. Για να βρούμε τα L 1 καιl 2 λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (5) και (7). Αντικαθιστώντας την (8) στην (5) βρίσκουμε L 1 = A r 2(α + d) α 2(α + d) [ A r 2(α + d) α 2(α + d) L 1] = A r α(a r) 2(α + d) 4(α + d) + α 2 2 4(α + d) L 2 1 4(α + d) 2 α 2 2(A r)(α + d) a(a r) L 4(α + d) 2 1 = 4(α + d) 2 L 1 = (A r)(α + 2d) (3α + 2d)(2d + α) = A r 3α + 2d (9) Εφόσον το πρόβλημα είναι συμμετρικό, θα ισχύει L 1 = L 2 = A r 3α + 2d Συγκριτικά, με το αποτέλεσμα του μονοπωλίου (L = A r ) παρατηρούμε ότι η τρά- 2(α+d) πεζα αποφασίζει να μειώσει τον όγκο των χορηγήσεων. Ωστόσο εισάγοντας έναν ακόμη ανταγωνιστή στο τραπεζικό σύστημα θα έχουμε αύξηση της προσφοράς χορηγήσεων (μπορείτε εύκολα να δείξετε ότι ισχύει πάντα 2 A r 3α+2d > Όμοια, αντικαθιστούμε την (8) στην (6). A r ) 2(α+d) (1 q)r B B q)r B B D 1 = [(1 2(β + g) 2(β + g) 2(β + g) 2(β + g) D 1 4(β + g) 2 B 2 2(β + g)(1 q)r 2(β + g)b B(1 q)r + B2 D 4(β + g) 2 1 = 4(β + g) 2 [2(β + g) B][(1 q)r B] D 1 = 4(β + g) 2 (1 q)r B = (10) 2(β + g) + B Δ. Βολιώτης 13

Όμοια λόγω συμμετρίας η Cournot-Nash ισορροπία θα είναι D 1 = D 2 = (1 q)r B 2(β + g) + B. Για την ειδική περίπτωση που θέσαμε A = 1 και B = 0 η βέλτιστη στρατηγική στην ισορροπία για την τράπεζα i = 1, 2 είναι (L i, Di ) = ( 1 r (1 q)r, 3α + 2d 2(β + g) ) Σχήμα 3: Η διαγραμματική λύση για την ισορροπία Χρησιμοποιώντας το παράδειγμά μας, στο διάγραμμα αποτυπώνουμε τις καμπύλες αντίδρασης των δυο τραπεζών. Παρατηρούμε ότι η λύση του συστήματος των δύο εξισώσεων ικανοποιείται στο σημείο τομής τους. Δυοπώλιο. Η γενική περίπτωση Χωρίς να εξειδικεύσουμε τις αντίστροφες συναρτήσεις r L (L) και r D (D), το μαθηματικό πρόγραμμα της πρώτης Τράπεζας γίνεται Δ. Βολιώτης 14

max π 1 (L 1, D 1 ) = [r L (L 1 + L 2 ) r]l 1 + [(1 q)r r D (D 1 + D 2 )]D 1 C(L 1, D 1 ) {L 1,D 1 } Από τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης, λαμβάνουμε τις εξισώσεις = 0 r L L 1 + r L r C = 0 L 1 L 1 L 1 (11) = 0 (1 q)r + r D D 1 + r D C = 0 D 1 D 1 D 1 (12) Από την (11) καταλήγουμε στην γνωστή σχέση που ορίζει τον δείκτη του Lerner ως την αντίστροφη ελαστικότητα ζήτησης. Όντως, Αλλά, ϵ D = L 1 r L L 1 r L L 1 + [r L (r + C ] = 0 L 1 L 1 [r L (r + C ] = r L L 1 L 1 L 1 [r L (r + C L 1 ] = 1 L 1 r L 1 = 1 L 1 L r r L L L 1 r L είναι η ελαστικότητα ζήτησης χορηγήσεων των τραπεζών 1 ως προς το επιτόκιο χορηγήσεων. Το δεξί μέρος είναι ο δείκτης του Lerner το οποίο ορίζεται ως η διαφορά οριακού εσόδου από το οριακό κόστος για την τράπεζα στο επίπεδο του οριακού εσόδου. Συνεπώς, Lerner = 1 ϵ D Το αποτέλεσμα που προέκυψε αφορά την μία από τις δύο τράπεζες. Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι δύο τράπεζες είναι συμμετρικές ως προς το μέγεθος η κάθε τράπεζα θα καλύψει ακριβώς την μισή προσφορά καταθέσεων στην οικονομία στην ισορροπία, ήτοι L /2. Δ. Βολιώτης 15

Αν λύσουμε ξανά την παραπάνω σχέση για L 1 = L /2 έχουμε τον δείκτη Lerner για το συμμετρικό δυοπώλιο, r L L 1 L 2 + [r L (r + C L 1 ] = 0 [r L (r + C ] = r L L L 1 L 1 2 [r L (r + C L 1 ] = 1 L r L 1 = 1 L = 1 L 2r r L L L 1 2r L 2ϵ D Δυοπώλιο με ασύμμετρο κόστος τραπεζών Στη συνάρτηση κόστους διαχείρισης που ορίσαμε στο υπόδειγμα δυοπωλίου των Klein και Μonti υποθέσαμε ότι είναι αυστηρά κυρτή ως προς τις χορηγήσεις και τις καταθέσεις και συμμετρική ως προς και τις δύο τράπεζες, c(l, D) = dl 2 + gd 2, με d, g > 0. Στη συνέχεια θα χαλαρώσουμε την υπόθεση αυτή, υποθέτοντας ότι οι τράπεζες δεν αντιμετωπίζουν τα ίδια κόστη διαχείρισης. Συγκεκριμένα, υποθέτουμε ότι οι ελαστικότητες κόστους καθώς μεταβάλλονται οι καταθέσεις και οι χορηγήσεις θα είναι διαφορετικές για τις δύο τράπεζες, δηλαδή g 1 g 2 και d 1 d 2. Για να υπολογίσουμε την ισορροπία Cournot-Nash ως προς τις χορηγήσεις, λύνουμε το σύστημα Με αντικατάσταση προκύπτει, Δ. Βολιώτης 16 L 1 = A r 2(α + d 1 ) α 2(α + d 1 ) L 2 (13) L 2 = A r 2(α + d 2 ) α 2(α + d 2 ) L 1 (14)

L 1 = A r 2(α + d 1 ) α 2(α + d 1 ) [ A r 2(α + d 2 ) α 2(α + d 2 ) L 1] = A r 2(α + d 1 ) α(a r) 4(α + d 1 )(α + d 2 ) + α 2 4(α + d 1 )(α + d 2 ) L 1 4(α + d 1 )(α + d 2 ) α 2 L 1 = 2(A r)(α + d 2) a(a r) 4(α + d 1 )(α + d 2 ) 4(α + d 1 )(α + d 2 ) (A r)(α + 2d 2 ) L 1 = (15) 4(α + d 1 )(α + d 2 ) α 2 Όμοια βρίσκουμε L 2 = (A r)(α + 2d 1 ) 4(α + d 1 )(α + d 2 ) α 2 (16) Για να βρούμε τα αντίστοιχα επίπεδα καταθέσεων, προχωρούμε στη λύση του συστήματος D 1 = D 2 = (1 q)r B 2(β + g 1 ) (1 q)r B 2(β + g 2 ) β 2(β + g 1 ) D 2 (17) β 2(β + g 2 ) D 1 (18) D 1 = (1 q)r B 2(β + g 1 ) β q)r B β [(1 2(β + g 1 ) 2(β + g 2 ) 2(β + g 2 ) ]D 1 4(β + g 1 )(β + g 2 ) B 2 D 1 = 2(β + g 2)[(1 q)r B] B[(1 q)r B] 4(β + g 1 )(β + g 2 ) 4(β + g 1 )(β + g 2 ) D 1 = [2(β + g 2) B][(1 q)r B] (19) 4(β + g 1 )(β + g 2 ) B 2 Συνοψίζοντας για την ασύμμετρη περίπτωση η ισορροπία Cournot-Nash είναι (L 1, D1) (A r)(α + 2d 2 ) = ( 4(α + d 1 )(α + d 2 ) α, [2(β + g 2) B][(1 q)r B] ) 2 4(β + g 1 )(β + g 2 ) B 2 (20) (L 2, D2) (A r)(α + 2d 1 ) = ( 4(α + d 2 )(α + d 2 ) α, [2(β + g 1) B][(1 q)r B] ) 2 4(β + g 1 )(β + g 2 ) B 2 (21) Δ. Βολιώτης 17

Στην ειδική περίπτωση κατά την οποία ισχύει A = 1 και B = 0, η ισορροπία υπολογίζεται να είναι (L 1, D1) (1 r)(α + 2d 2 ) (1 q)r = (, 4(α + d 1 )(α + d 2 ) α2 2(β + g 1 ) ) (22) (L 2, D2) (1 r)(α + 2d 1 ) (1 q)r = (, 4(α + d 2 )(α + d 2 ) α2 2(β + g 2 ) ) (23) Παρατηρούμε ότι ακόμη και στην ασύμμετρη περίπτωση, η στρατηγική επιλογή για τις καταθέσεις εξακολουθεί να είναι ανεξάρτητη της επιλογής του αντίπαλης τράπεζας. Δυοπώλιο κατά Stackelberg με γραμμικό κόστος Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζουμε το υπόδειγμα στο πλαίσιο ανταγωνισμού κατά Stackelberg, σύμφωνα με το οποίο, οι τράπεζες αποφασίζουν για τις στρατηγικές μεταβλητές τους διαδοχικά. Συγκεκριμένα, υποθέτουμε ότι πρώτη στην διαδικασία λήψης απόφασης κινείται η πρώτη τράπεζα, την οποία θα αποκαλούμε ηγέτιδα τράπεζα, και κατόπιν αποφασίζει η δεύτερη τράπεζα, η επονομαζόμενη ακόλουθος τράπεζα. Το υπόδειγμα του Stackelberg, αποτελεί ένα παίγνιο με διαδοχικές αποφάσεις και θα προσεγγίσουμε τη λύση του με την μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής. Συνεπώς, πρώτα θα λύσουμε το πρόβλημα της ακολούθου και κατόπιν θα αντικαταστήσουμε την λύση στο πρόβλημα της ηγέτιδας ώστε να βρούμε την βέλτιστη στρατηγική της. Το πρόβλημα της ακολούθου διατυπώνεται ως εξής: max π(l 2, D 2 ) = [A α(l 1 +L 2 ) r]l 2 +[(1 q)r B β(d 1 +D 2)]D 2 dl 2 gd 2. {L 2,D 2 } Δ. Βολιώτης 18

Από τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης του προγράμματος έχουμε 1 L 2 = 0 A αl 1 2αL 2 d 2 = 0 L 2 = A αl 1 d 2 2α (24) 1 D 2 = 0(1 q)r B βd 1 2βD 2 g 2 = 0 D 2 = (1 q)r B βd 1 g 2 2β (25) Οι εξiσώσεις (24), (25) εκφράζουν τις βέλτιστες αντιδράσεις της ακολούθου τράπεζας. Το πρόβλημα της ηγέτιδος διαμορφώνεται ως εξής. max π(l 1, D 1 ) = [A α(l 1 +L 2 (L 1 )) r]l 2 +[(1 q)r B β(d 1 +D 2 (D 1 ))]D 1 dl 1 gd 1. {L 2,D 2 } Η παραπάνω γίνεται μετά από την αντικατάσταση των βέλτιστων αντιδράσεων της ακολούθου, max π(l 1, D 1 ) = [A α(l 1 + A αl 1 d 2 ) r]l 2 {L 2,D 2 } 2α + [(1 q)r B β(d 1 + (1 q)r B βd 1 g 2 )]D 1 dl 1 gd 1. 2β Από τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης έχουμε και 1 = 0 αl 1 + A + d 2 r d 1 = 0 L 1 2 L 1 = A + d 2 2r 2d 1 2α 1 (1 q)r = 0 βd 1 + B D 1 2 2 + g 2 2 g 1 = 0 D 1 = (1 q)r B + g 2 2g 1 2β (26) (27) Δ. Βολιώτης 19

Για να υπολογίσουμε την βέλτιστη πολιτική της ακολούθου αντικαθιστούμε την (26) στην (24) και την (27) στην (25). Απο τις αντικαταστάσεις βρίσκουμε, και L 2 = 2d 1 + 2r + A 3d 2 4α D 2 = (1 q)r B + 2g 1 3g 2 4β (28) (29) Δ. Βολιώτης 20