Μάθηµ 0 Κεφάλιο: Τριγωνοµετρί Θεµτικές Ενότητες:. Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί της Γωνίς Εισγωγή Χρησιµοοιώντς τους τύους ου υολογίζουν τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς του θροίσµτος (ροηγούµενο µάθηµ), ροσδιορίζουµε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς του τόξου. Οι τύοι του διλάσιου τόξου κι οι οδείξεις υτών. ηµ = ηµσυν Proof: ηµ = ηµ ( + ) = ηµ συν + ηµ συν = ηµ συν. συν = συν ηµ = ηµ = συν Proof: συν = συν ( + ) = συν συν ηµ ηµ = συν ηµ ή συν = συν ηµ = συν ( συν ) = συν ή ( ηµ ) ηµ = ηµ συν = συν ηµ = εφ. εφ = εφ Proof: εφ+ εφ εφ εφ = = εφ εφ εφ Προσοχή: Οι ιο άνω τύοι, δηλώνουν τη σχέση ου υάρχει µετξύ των τριγωνοµετρικών ριθµών του (διλάσιου) τόξου κι υτών του (µισού του) τόξου. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ
Με υτήν τη λογική, οι ιο άνω τύοι ισχύουν κι ν στη θέση του τοοθετήσουµε οοιοδήοτε τόξο. Αν,.χ., στη θέση του βάλουµε το /, διµορφώνοντι οι εόµενοι τύοι:. ηµ = ηµ συν.. συν = συν ηµ = ηµ = συν εφ εφ = εφ Οι τύοι «οτετργωνισµού» Αό τους τύους του συν, λύνοντς ως ρος ηµ, συν ντίστοιχ, ίρνουµε τους τύους: συν. ηµ = + συν. συν = συν. (διιρώντς κτά µέλη τις δύο ροηγούµενες) εφ = + συν Πρτηρήσεις:. Οι τύοι υτοί είνι εξιρετικά χρήσιµοι, γιτί µς δίνουν τη δυντότητ, ν ξέρουµε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς ενός τόξου, ν υολογίζουµε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς του µισού υτού του τόξου. 0 0 συν 0 Γι ράδειγµ: 5 ηµ = = =. 4 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ
. Συµληρωµτικά, υτοί οι τύοι µς δίνουν την ευκιρί ν «οτετργωνίσουµε» (δηλδή ν λλγούµε ό τ τετράγων) του ηµ, του συν ή της εφ, χωρίς ν χρειστεί ν χρησιµοοιήσουµε ριζικά, λλά µε χρήση του διλάσιου τόξου. Γι ράδειγµ: 4 + συν χ συν χ = ( συν χ) = ( ) = + συν 4χ + + συν χ + συν χ+ συν χ = = =... 4 4 κι λλχθήκµε ό τ τετράγων. («Φορτωθήκµε» βέβι µε το διλάσιο κι το τετρλάσιο τόξο, λλά κνείς δεν µορεί ν τ έχει όλ σ` υτήν τη ζωή ). Λυµένες Ασκήσεις. Ν υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς του τόξου χ, ν είνι γνωστό ότι συνχ=-4/5 κι <χ</. Λύση 4 ηµ χ+ συν χ = ηµ χ = συν χ ηµ χ = ( ) 5 6 9 ηµ χ = ηµ χ = 5 5 ηµχ = ορριτετι γιτι <χ< ρ ηµχ<0 5 ηµχ = δεκτο 5 Τώρ, ξέροντς κι το ηµχ κι το συνχ έχουµε: 4 4 ηµ χ = ηµχσυνχ = ( )( ) = 5 5 5 4 6 9 7 συν χ = συν χ ηµ χ = ( ) ( ) = = 5 5 5 5 5 4 ηµ χ 5 4 εφχ = = = συν χ 7 7 5 7 σφχ = = εφχ 4 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ
. Ν λύσετε την εξίσωση συνχ-ηµχ-=0. Λύση Η ρος λύση εξίσωση γράφετι: ηµ χ ηµχ = 0 ηµ χ+ ηµχ = 0 ηµχ(ηµχ + ) = 0 ηµχ = 0 ηµχ = ηµ 0 χ = κ χ = κ. 6 ( κ Ζ) ηµχ + = 0 ηµχ = ηµχ = ηµ ( ) 6 χ = κ + + 6. Ν βρείτε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς του /6. Λύση Χρησιµοοιώντς τους τύους οτετργωνισµού έχουµε: συν ( ) συν ηµ = 6 = 8 6 + συν + 4 + + + συν = = = συν = = 8 4 8 4 Άρ, τελικά: + + + + ηµ = = ηµ = = 6 4 6 4 + συν Με ντίστοιχη δουλειά, εειδή συν = 8 κι 6 + συν + 4 + + + συν = = =, τελικά έχουµε συν =. 8 4 6 ηµ συν Τέλος, εφ 6... 6 = = κι σφ 6... συν 6 = = ηµ 6 6 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 4
4. Ν οδείξετε ότι ηµ χσυν χ = συν χ (). 8 4 Λύση Πίρνουµε το ο µέλος της () κι έχουµε: συν χ + συν χ ηµ χσυν χ = = συν χ + συν χ = συν χ συν χ + συν 4χ συν χ = συν 4χ 8 8 ( )( ) = ( ) = = = (+ 4 ) = κι οδείχθηκε το ζητούµενο. χ 5. Ν λυθεί η εξίσωση συν χ = συν (). Λύση Η () γράφετι: + συνχ = = + = 0. συν χ συν χ συνχ συν χ συνχ Θέτω συνχ=ω κι έχουµε την εξίσωση ω ω = 0. ± ορριτετι γιτι - συνχ =9, άρ ω, = = δεκτο Άρ συνχ = συνχ = συν χ = κ ±, κ Ζ. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 5
Ερωτήσεις τύου «Σωστού ή Λάθους». Γι κάθε R, ισχύει ότι: ηµ +συν = Σ Λ. Αν ηµ=,τότε ηµ = Σ Λ. Αν <<,τότε ηµ < 0 Σ Λ ο 4. Ισχύει ( ) ( ) ο συν 8 = συν Σ Λ ο ο ο 5. Ισχύει ηµ 5 ηµ 65 =ηµ 50 Σ Λ ο 6. Υάρχει γωνί ώστεηµ +συν συν 0 = Σ Λ 7. Γι τον υολογισµό του ηµιτόνου µις γωνίς ό τον τύο συν ηµ=± το ρόσηµο εξρτάτι ό το τετρτηµόριο στο οοίο βρίσκετι η γωνί Σ Λ 8. Γι κάθε γωνί η ράστση +ηµ είνι τέλειο τετράγωνο Σ Λ Ερωτήσεις Πολλλής Ειλογής. Η τιµή της ράστση Α. 0 Β. Γ... Η ράστση εφ +εφ. Αν Α. εφ Β. εφ εφχ= η εφχ είνι ίση µε: Α. Β. Γ. συν συν είνι ίση µε: Ε. είνι ίση µε: Γ. εφ. εφ Ε.0. Ε. 9 4. Η ράστση 8συνχ ηµχ συνχ συν4χ είνι ίση µε : Α. 8ηµ χ Β. 4ηµ 4χ Γ. ηµ 8χ. ηµ 8χ Ε. ηµ χ 5. Αν συνχ= κι συνχ=β, τότε τ κι β συνδέοντι µε τη σχέση: Α. +β = Β. Ε. β= β = Γ. β + =. β= ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 6
Άλυτες σκήσεις. Υολογίστε την ράστση. Όµοι την ηµ ηµ συν 4 4. Όµοι την 4. Όµοι την συν 0 5 0 εφ 75 εφ 75 0 5. είξτε ότι ηµ + συν = συν ηµ 6. Όµοι εφ ηµ = 7. Όµοι σφ εφ = σφ 8. Όµοι εφ+ σφ = ηµ 9. Όµοι ηµ συν+ συν ηµ = ηµ 0. Όµοι ηµ εφ + συν =. Όµοι ηµ +συν =εφ. Όµοι συν + ηµ = εφ + συν + ηµ. Ν λύσετε την εξίσωση ηµ χ συνχ + ηµχ = 0 χ 4. Όµοι την συν χ+ συν = 0 χ 5. Όµοι την συνχ ηµ = 0 6. Όµοι την συν χ = 4ηµ χ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 7
7. Βρείτε την εφ(+β), ν εφ=/4 κι εφβ=/. 8. Βρείτε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς του τόξου /, ν γνωρίζετε ότι 5 συν =,0 < < 9. Όµοι ν συν =, < < 5 0. είξτε ότι ηµ + συν = εφ ηµ( + συν) 4. Όµοι ηµ συν = 8 8 8. Όµοι + εφεφ εφ = εφ+ σφ 4. Όµοι συν 4 = 8συν 8συν + 4 4 4. Όµοι συν + συν = 8 8 4 4 4 5. Όµοι ηµ + ηµ = 8 8 4 0 συν 6. Όµοι εφ(45 ) = = εφ. Μετά, βρείτε την + ηµ συν 7. Λύστε την εξίσωση εφχ = συνχ 8. Όµοι την εφχεφ χ = 9. Αν συνχ =, συνψ = β, συνω = γ, ν δείξετε ότι β+ γ γ + + β χ ψ ω εφ + εφ + εφ = 0. Αν 0 <, ν δείξετε ότι συν ηµ = ηµ. 4 0 εφ 5. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 8
Extra Άλυτες σκήσεις ) Ν βρείτε τις τιµές των ρστάσεων: συν ) Α= ηµ συν β) Β= ηµ 8 8 - ηµ συν 5 γ) Γ= - δ) = 8 5 εφ 8 7 7 ε) Ε= στ) Ζ ηµ συν -εφ = 5 8 ) Ν γράψετε σε λούστερη µορφή τις ρστάσεις: ηµ ) Α= ηµ συν β) Β= 4 εφ4 γ) Γ= δ) = ηµ + συν + -εφ 4 4 4 4 ) ίνετι γωνί µε < <, γι την οοί ισχύει ηµ=. Ν 5 υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς των γωνιών κι 4. 4) Ν υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς της γωνίς 8. 5) ίνετι γωνί, µε < <, γι την οοί ισχύει ηµ= 4 5. Ν υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς ριθµούς της γωνίς. 5 6) ίνοντι γωνίες, β 0, γι τις οοίες ισχύουν συν= κι 7 εφβ=. Ν βρείτε την εφ(-β). 7) Ν οδείξετε τις τυτότητες: + συν+ ηµ συν σφ+ ) + = ηµ -συν -ηµ ηµ+ συν - β) = εφ + συν -ηµ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 9
8) Ν οδείξετε ότι: + συν4 + συν ηµ4 συν συν ηµ + ηµ = εφ 9) Ν οδείξετε τις τυτότητες: συν - συν ) 4 = εφ - συν ηµ ηµ β) ηµ 4ηµ = + ηµ) (συν -ηµ) συν+ ηµ ( 0) Ν οδείξετε την τυτότητ: = συν ) ) Ν εκφράσετε το ηµ ως συνάρτηση του ηµ. β) Ν εκφράσετε το συν ως συνάρτηση του συν. ηµ -ηµ γ) Ν οδείξετε ότι = εφ συν+ συν ηµ ) Αν ισχύει ηµ=ηµβ, ν οδείξετε ότι: ηµ(+β) ηµβ= 4 ) Σε κάθε µη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ν οδείξετε ότι: Α ηµβ ηµγ ηµ + = + συν(β -Γ) συνβ συνγ 4) Αν σε έν µη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ηµα συνβ ηµγ Α συν = συνγ Ν οδείξετε ότι το τρίγωνο είνι ισοσκελές µε βάση ΒΓ. 5) Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) συνx +συνx- =0 β) ηµx- = ηµx- συνx 6) N λύσετε τις εξισώσεις: x x ) ηµ + συνx= 0 β) συνx+ συνx+ συν = ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ 0
7) Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) ηµx+ ηµ4x= ηµx β) x x συνx + ηµ + ηµ = 4 8) Ν λύσετε τις εξισώσεις: ) ηµx+ συνx= β) ηµx - συνx= 9) Ν λύσετε τις εόµενες εξισώσεις: ) ηµ x - β) 5ηµ x - ( ) ηµx - ηµx -συν x= συν x= 0 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μ.ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ Μ.ΑΜΟΙΡΑ ΑΚΗΣ