ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

Transcript

1 ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό ντικείμενο) Σάββτο Α Ν ντήσετε στ εόμεν δύο () ισοδύνμ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ. Ν ντύξετε τις ντήσεις σς στο ειδικό ΤΕΤΡΑΔΙΟ. Κάθε ερώτημ συμμετέχει κτά % στη διμόρφωση της βθμολογίς της ρώτης θεμτικής ενότητς. ΕΡΩΤΗΜΑ ο: Έστω η συνάρτηση x+ x ημ, x 0 x f( x) = 0, x = 0 i. Βρείτε την ράγωγο f ( x) γι κάθε x κι εξετάστε ν η f ( x) είνι συνάρτηση συνεχής στο σημείο x = 0. ii. Γι κάθε ε > 0 ν δειχθεί ότι η συνάρτηση f ( x ) δεν είνι ύξουσ στο διάστημ ( ε,ε). Έστω ισόλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με λευρά μήκους. Δύο σημεί K κι N βρίσκοντι ντίστοιχ άνω στις λευρές ΑΒ κι ΑΓ έτσι ώστε η ευθεί ΚΝ ν τέμνει την ροέκτση της λευράς ΒΓ στο σημείο Μ (βλ. σχήμ. Αν τ τρίγων ΑΚΝ, ΝΓΜ κι το τετράλευρο ΚΒΓΝ έχουν το ίδιο εμβδόν, τότε: i. οδείξτε ότι η ΚΓ είνι ράλληλη ρος την ΑΜ. ii. υολογίστε το μήκος των ΑΚ, ΑΝ κι ΓΜ συνρτήσει του. A K Ν B Γ Έστω ένς τετργωνικός ίνκς Α = ij, i, j κι ij. Αν υάρχουν λ, λ με λ λ κι δύο μη μηδενικά δινύσμτ x, y τέτοι ώστε: Αx = λ x κι Αy = λ y, ν οδείξετε ότι τ x κι y είνι γρμμικώς νεξάρτητ. Μ Σελίδ ό

2 ΕΡΩΤΗΜΑ ο: Έστω η συνάρτηση f( x) = x+, 0< x< x κι >. i. Αοδείξτε ότι η συνάρτηση f ( x ) είνι κυρτή στο διάστημ (0,). ii. Αοδείξτε ότι γι όλ τ xy, (0,) κι > ισχύει iii. Αοδείξτε ότι, ν x> 0, y> 0, > κι x+ y=, τότε ισχύει: x y x y x y f( x) f( y) f + +. Οι τέσσερις τιμές ενός σττιστικού δείγμτος είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής ροόδου με μέση τιμή x = κι τυική όκλιση s =. Προσδιορίστε τις τιμές υτές (ο τύος της δικύμνσης ή δισοράς ορίζετι ό τη σχέση s x ). v = ( ti ) v i = Τρεις όλεις Α, Β, Γ βρίσκοντι κτά μήκος ενός υτοκινητοδρόμου με οστάσεις ΑΒ=00 km, ΒΓ=00 km (κι ΑΓ=600 km). Έν υτοκίνητο κινούμενο συνεχώς ξεκινά ό την όλη Α, ερνάει ό την όλη Β μετά ό ώρες κι φθάνει στην όλη Γ σε 6 ώρες. Ν οδείξετε ότι υάρχουν δύο τουλάχιστον χρονικές στιγμές ου διφέρουν κτά ώρες, έτσι ώστε το υτοκίνητο τη μί χρονική στιγμή είχε διλάσι τχύτητ ό,τι την άλλη (η συνάρτηση ου εκφράζει το διάστημ συνρτήσει του χρόνου είνι συνεχής κι ργωγίσιμη). Β Τ εόμεν δύο ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ( ο κι ο ) οτελούντι το κθέν ό έξι (6) ισοδύνμες ερωτήσεις. Ν ντήσετε στις ερωτήσεις υτές με τη μέθοδο των ολλλών ειλογών στο ειδικό ΑΠΑΝΤΗΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ. ΕΡΩΤΗΜΑ ο: Το ερώτημ συμμετέχει κτά % στη διμόρφωση της βθμολογίς της ρώτης θεμτικής ενότητς. Εομένως, κάθε ερώτηση συμμετέχει με / 6 μονάδες στο βθμό της ρώτης θεμτικής ενότητς.. Το εμβδόν του είεδου χωρίου ου ερικλείετι ό τις δύο τεθλσμένες γρμμές y= x κι y = x ισούτι με: Σελίδ ό

3 . Σε μι σφίρ είνι εγγεγρμμένος ένς ορθός κώνος ο όγκος του οοίου ισούτι με το του όγκου της σφίρς. Αν το ύψος του κώνου της σφίρς ισούτι με: h ( ) ( ) ( ) h είνι διάφορον της κτίνς της σφίρς, τότε ο όγκος. Η τιμή της ράστσης Κ = συν + συν ισούτι με: 8 8. Αν οι συντελεστές του ου, ου κι ου όρου του διωνυμικού ντύγμτος ( x + y ) οτελούν με τη σειρά υτή διδοχικούς όρους ριθμητικής ροόδου, τότε ο φυσικός ριθμός ( )( )( ). Αν > 0, τότε το ολοκλήρωμ x x x x dx ισούτι με: ισούτι με: Σελίδ ό

4 6. Δίνετι η ευθεί () ε με εξίσωση y = x + κι το σημείο Α (,). Οι συντετγμένες του συμμετρικού τού σημείου Α ως ρος την ευθεί () ε είνι ίσες με: x =, y= 7 x =, y = 8 x =, y= 7 6 x =, y= ΕΡΩΤΗΜΑ ο: Το ερώτημ συμμετέχει κτά % στη διμόρφωση της βθμολογίς της ρώτης θεμτικής ενότητς. Εομένως, κάθε ερώτηση συμμετέχει με / 6 μονάδες στο βθμό της ρώτης θεμτικής ενότητς. 7. Σε έν κτάστημ ηλεκτρικών ειδών υάρχουν ρος ώληση 600 ηλεκτρικοί λμτήρες. Αό υτούς οι 00 κτσκευάστηκν στο εργοστάσιο Α, 0 στο εργοστάσιο Β κι 0 στο εργοστάσιο Γ. Αν είνι γνωστό ότι η ιθνότητ ένς λμτήρς ν μην είνι ελττωμτικός είνι 0,9, 0,96, κι 0,88 ντίστοιχ γι τ εργοστάσι Α, Β κι Γ, τότε η ιθνότητ ν ωληθεί ένς λμτήρς ό τους 600 μη ελττωμτικός ισούτι με: 0,9. 0,9. 0,9. 0,9. 8. Το διάστημ των τιμών ου εληθεύουν την νίσωση log x + log x είνι το: (, ] [, ] [, 8] [ 60, ] x ( ) ( ) 9. Αν 0 < <, τότε το όριο lim συν συν συν... συν ημ συν ημ ισούτι με: Σελίδ ό

5 0. Αν ρ, ρ είνι οι μιγδικές κυβικές ρίζες της μονάδς, τότε η τιμή της ράστσης ( ρ ) ( ρ ) Κ = ισούτι με: y. Δίνετι η υερβολή με εξίσωση x = κι έν σημείο Μ ( x 0,y 0 ) της υερβολής με x 0 >. Το εμβδόν του ρλληλογράμμου ου σχημτίζετι ό τις σύμτωτες της υερβολής κι τις ράλληλες ό το σημείο M ρος τις σύμτωτες ισούτι με:. Μετξύ όλων των κυλινδρικών δοχείων με όγκο Vcm, το ύψος εκείνου ου έχει την ελάχιστη ολική ειφάνει ισούτι με: V V V 6 V Σελίδ ό