TEXNIKH MHXANIKH 6. ΓΚΛΩΤΣΟΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ dimglo@uniwa.gr Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής Δεκέμβριος 018 1
ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ Είδη καταπονήσεων Εφελκυσμός: προκαλείται από την επίδραση δύο αντίθετων δυνάμεων που έχουν την τάση να επιμηκύνουν το υλικό Θλίψη: προκαλείται από την επίδραση δύο αντίθετων δυνάμεων που έχουν την τάση να συμπιέσουν το υλικό Διάτμηση: προκαλείται από την επίδραση δύο αντίθετων δυνάμεων οι οποίες έχουν την τάση να ψαλιδίσουν το υλικό Κάμψη: προκαλείται από την επίδραση δυνάμεων που έχουν την τάση να κάμψουν/καμπυλώσουν το υλικό Λυγισμός: προκαλείται από την επίδραση δύο αντίθετων δυνάμεων που έχουν την τάση να συμπιέσουν και να κάμψουν το υλικό Στρέψη: προκαλείται από την επίδραση δύο αντίθετων ροπών που έχουν την τάση να στρέψουν το υλικό Πηγή: Βουθούνης, Π.Α., Τεχνική Μηχανική, 011
ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ Διαγράμματα εφελκυσμού: Γραμμικά από Ο-Α (ελαστική περιοχή) Μη γραμμικά από Α-Ε (ελαστική περιοχή) Όριο ελαστικότητας στο Ε Αύξηση παραμόρφωσης χωρίς μεγάλη αύξηση των τάσεων (ΕΔ1Δ), ακόμα μεγαλύτερη επιμήκυνση (διαρροή) Αύξηση παραμόρφωσης μέχρι το σημείο Θ στο οποίο και θραύεται (σπάει) Εκπαιδευτική προβολή: https://www.youtube.com/watch?v=d8u4g5kcpcm Διάγραμμα τάσεων για εφελκυσμό - χάλυβας Πηγή: Βουθούνης, Π.Α., Τεχνική Μηχανική, 011 3
Γραμμική παραμόρφωση Ανηγμένη παραμόρφωση ε: l ' l l l l Όπου l το αρχικό μήκος του δοκιμίου, l το νέο μήκος του δοκιμίου 4
Αριθμητικό παράδειγμα 1 -Έστω δοκίμιο που υφίστανται εφελκυσμό. Το αρχικό μήκος είναι 50cm, ενώ κατά τη διάρκεια του εφελκυσμού επιμηκύνεται στα 50.03cm. Να βρεθεί η ανηγμένη παραμόρφωση ' l l l 50.03 50 0.03cm 0.006 0.6% l l 50 50cm 5
Αριθμητικό παράδειγμα α -Έστω κυλινδρική ράβδος με διάμετρο d=10cm και μήκος l=40cm που καταπονείται στην περιοχή ελαστικότητας από εφελκυστικό φορτίο P=500ΚN. Να βρεθεί η επιμήκυνση και η εφελκυστική τάση που ασκείται στη ράβδο δεδομένου συντελεστή ελαστικότητας Ε=00GN/m. 6
Αριθμητικό παράδειγμα β P l P l 500kN 40cm l E F d F E GN 10cm 00 3.14 4 m 4 P 3 50010 N0.4m l l 0.0001739m 0.1739mm 9 N 0.10m l 0010 3.14 m 4 3 P P 500kN 50010 N 7 N MN 6.3694 10 63.694 F d 10cm0.10m m m 3.14 4 4 4 7
Αριθμητικό παράδειγμα 3α -Έστω κυλινδρική ράβδος με διάμετρο d=1.5cm και μήκος l=4cm. Η ράβδος επιμηκύνεται μέχρι να υποστεί θραύση. Κατά τη διάρκεια του πειράματος μετρήθηκε ότι το φορτίο στην ελαστική περιοχή ήταν 900kp, η επιμήκυνση στην ελαστική περιοχή ήταν 0.0035cm, και το φορτίο θραύσης ήταν 1400kp. Να βρεθεί η μέγιστη τάση στην περιοχή ελαστικότητας/αναλογίας, η τάση θραύσης και το μέτρο ελαστικότητας του υλικού. 8
Αριθμητικό παράδειγμα 3β l 0.0035cm 8.7510 l 4cm PA PA 900kp kp A 509.55 F d 3.141.5cm cm 4 4 P P 1400kp kp 79.63 F d 3.141.5cm cm 4 4 kp 509.55 5 kp cm 5.83410 4 8.7510 cm 1kp9.8 N 5 N GN 58.3410 5.834 cm cm 4 9
Αριθμητικό παράδειγμα 4 -Έστω κυλινδρική ράβδος με διάμετρο d=cm και μήκος l=5cm. Η ράβδος επιμηκύνεται μέχρι να υποστεί θραύση. Κατά τη διάρκεια του πειράματος μετρήθηκε ότι το φορτίο στην ελαστική περιοχή ήταν 500kp, η επιμήκυνση στην ελαστική περιοχή ήταν 0.0005cm, και το φορτίο θραύσης ήταν 1100kp. Να βρεθεί η μέγιστη τάση στην περιοχή ελαστικότητας/αναλογίας, η τάση θραύσης και το μέτρο ελαστικότητας του υλικού. Άσκηση για μελέτη στο σπίτι 10
Αριθμητικό παράδειγμα 5α -Έστω κωνική ράβδος με ελάχιστη διάμετρο d=5cm, μέγιστη διάμετρο D=15cm και μήκος 50cm. Η ράβδος καταπονείται στην περιοχή ελαστικότητας από εφελκυστικό φορτίο P=500N. Να βρεθεί η επιμήκυνση της ράβδου δεδομένου συντελεστή ελαστικότητας Ε=0MN/cm. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη εφελκυστική τάση που ασκείται στην ράβδο. Εκπαιδευτική προβολή: https://www.youtube.com/watch?v=dcds7qwrrq 11
Αριθμητικό παράδειγμα 5β Έστω τυχαία τομή της ράβδου σε απόσταση y από την κορυφή. Η επιμήκυνση που προκαλείται σε αυτήν την τυχαία/στοιχειώδης τομή μπορεί να υπολογιστεί σύμφωνα με τον νόμο του Hooke ως εξής: P F y l l l Pdy E F y Για να βρω την συνολική επιμήκυνση χρειάζεται να ολοκληρώσω (να αθροίσω) όλες τις στοιχειώδης επιμηκύνσεις που συμβαίνουν για κάθε στοιχειώδες τμήμα dy: l l P dy P dy E F y E F y 0 0 l 1
Αριθμητικό παράδειγμα 5γ Παρατηρώ τα όμοια τρίγωνα και υπολογίζω με βάση τις αναλογίες των όμοιων πλευρών: D d l D d l y d y d y y d y D d D d y y d y l l Το εμβαδόν της τυχαίας τομής F(y) είναι: F y D d d y y l 4 4 13
Αριθμητικό παράδειγμα 5δ Άρα, σύμφωνα με τον νόμο του Hooke έχουμε: l 0 0 l P dy P dy P l l E F y E F y E F F P l P l l D d D d E E 4 4 4 P l P l l D d Dd E E 4 4 D d 14
Αριθμητικό παράδειγμα 5ε P l 500N 50cm l D d 6 N 3.1415cm 5cm E 010 4 cm 4 0.00010616cm P P 500N N 17.39 d 4 4 max F min 3.14 5cm cm 15
Αριθμητικό παράδειγμα 6α -Έστω κωνική ράβδος με ελάχιστη διάμετρο d=5cm, μέγιστη διάμετρο D=15cm και μήκος 50cm που καταπονείται στην περιοχή ελαστικότητας από εφελκυστικό φορτίο P=500N. Να βρεθεί η επιμήκυνση της ράβδου δεδομένου συντελεστή ελαστικότητας Ε=00000N/cm. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη εφελκυστική καταπόνηση/τάση της ράβδου. 16
Αριθμητικό παράδειγμα 6β d D 5 15 F cm 58.87cm 4 4 4 4 P l 500N 50cm l 0.0133cm E F N 00000 58.87cm cm P P 500N N max 5.478 Fmin d 5cm cm 3.14 4 4 P P 500N N min.8309 Fmax D 15cm cm 3.14 4 4 17
Αριθμητικό παράδειγμα 7 -Έστω κωνική ράβδος με ελάχιστη διάμετρο d=10cm, μέγιστη διάμετρο D=0cm και μήκος 70cm. Η ράβδος καταπονείται στην περιοχή ελαστικότητας από εφελκυστικό φορτίο P=3000N. Να βρεθεί η επιμήκυνση της ράβδου δεδομένου συντελεστή ελαστικότητας Ε=MN/cm. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη εφελκυστική τάση που ασκείται στην ράβδο. Άσκηση για μελέτη στο σπίτι 18
Αριθμητικό παράδειγμα 8α -Έστω σύρμα που χρησιμοποιείται για την ανύψωση βαρών. Το σύρμα έχει μήκος l=50cm και διάμετρο d=cm. Να υπολογιστεί η επιμήκυνση και η μέγιστη τάση του σύρματος δεδομένου κατακόρυφου φορτίου 500Ν. Το ειδικό βάρος του σύρματος είναι γ=780000n/m 3 και η σταθερά Ε=00GN/m. 1 H/K Τ 19
Αριθμητικό παράδειγμα 8β l l l W P P l P l 500N 0.5m lp E F d N 0.0m E 0010 P 9 4 m 4 6 4 3.98 10 3.98 10 0.000398 l m cm cm l W Wl E F Όπου W το βάρος του σώματος. Το ειδικό βάρος γ του σώματος (που έχουμε ως δεδομένο στην άσκηση) συνδέεται με το βάρος του σώματος W μέσω της πυκνότητας ρ και του όγκου V του σώματος ως εξής: m V m W mg W g g V V W V 0
Αριθμητικό παράδειγμα 8γ Άρα η επιμήκυνση λόγω του βάρους μπορεί να εκφραστεί ως εξής: W l V l V Fl F l l l lw E F E F E F E N 780000 0.5m m l 3 7 5 lw 9.75 10 m 9.75 10 cm 9 N 0010 W m 0.0000975cm Άρα η συνολική επιμήκυνση του σύρματος είναι: l l l 0.000398 cm 0.0000975 cm 0.0004955cm W P 1
Αριθμητικό παράδειγμα 8δ P W P F l P max P W l F F d F d 4 4 500N N 6 N N max 780000 0.5m 1.5910 390000 3 0.0m m m m 4 MN MN MN max 1.59 0.39 1.98 m m m
Αριθμητικό παράδειγμα 9 -Έστω σύρμα που χρησιμοποιείται για την ανύψωση βαρών. Το σύρμα έχει μήκος l=30cm και διάμετρο d=1cm. Να υπολογιστεί η επιμήκυνση και η μέγιστη τάση του σύρματος δεδομένου κατακόρυφου φορτίου 800Ν. Το ειδικό βάρος του σύρματος είναι g=750000n/m 3 και η σταθερά Ε=0GN/m. 1 H/K Τ Άσκηση για μελέτη στο σπίτι 3
Αριθμητικό παράδειγμα 10α -Έστω δικτύωμα με ΒΓ=ΒΑ=ΓΑ=0cm όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το δικτύωμα αποτελείται από δύο ίδιες ράβδους (αβαρείς) με διάμετρο 5cm και σταθερά Ε=GN/m. Στο σημείο Α ασκείται φορτίο P=1000Ν. Να βρεθεί η επιμήκυνση της κάθε ράβδου και η νέα θέση (A ) του σημείου A Β Δ Γ Εκπαιδευτική προβολή: https://www.youtube.com/watch?v=xouj-itlybg θ θ A A P 4
Αριθμητικό παράδειγμα 10β P1 P P 0 P1 sin Psin 0 x Αφού το δικτύωμα είναι συμμετρικό 0cm sin 0.5 30 0cm o Β Δ P1 θ θ P A A P Γ o P1 P P 0 P1 cos Pcos P 0 y P1 cos P P 1000N P1 P 577.35N cos cos 30 5
Αριθμητικό παράδειγμα 10γ P1 P1 577.35N 5 N 1.94 10 F1 d1 0.05m cm 4 4 P1l P1 BA 577.35N 0.m l l 1 E F d E 9 N 3.14 0.05m 10 4 m 4 5 l l.9410 m=0.0094cm 1 Β Δ P1 θ θ P A A P Γ 6
Αριθμητικό παράδειγμα 10δ l l l 0cm 0.0094cm=0.0094cm ' 1 1 1 l l l 0cm 0.0094cm=0.0094cm ' B cm 0cm 10 17.31cm Β Δ P1 θ θ P A A P Γ ' ' ' ' B cm ' 0.0094cm 10 17.34cm 7
Αριθμητικό παράδειγμα 11α -Έστω δικτύωμα με ΒΓ=ΒΑ=ΓΑ=50cm όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το δικτύωμα αποτελείται από δύο ράβδους με διάμετρο 4cm, ειδικό βάρος γ=750000n/m 3 και σταθερά Ε=0GN/m. Στο σημείο Α ασκείται φορτίο P=1000Ν. Να βρεθεί η επιμήκυνση της κάθε ράβδου και η νέα θέση (A ) του σημείου Α Β Δ Γ P1 θ θ P A A P 8
Αριθμητικό παράδειγμα 11β P1 P P 0 P1 sin Psin 0 x Αφού το δικτύωμα είναι συμμετρικό 50cm sin 0.5 30 50cm o Β Δ P1 θ θ P A A P Γ o P1 P P 0 P1 cos Pcos P 0 y P1 cos P P 1000N P1 577.35N cos cos 30 9
Αριθμητικό παράδειγμα 11γ l l l P1 P P1l P1 BA 577.35N 0.5m lp l 1 P E F d E 9 N 3.14 0.04m 010 4 m 4 5 l l 1.148610 m=0.000011486m=0.0011486cm W l V l V Fl F l l l lw E F E F E F E N 750000 0.5m m l 3 6 4 lw 9.375 10 m 9.375 10 cm 9 N 010 W W P m 0.0009375cm Β Δ P1 θ θ P A A P Γ 30
Αριθμητικό παράδειγμα 11δ Β Δ Γ l l l 0.0011486cm 0.0009375 cm 0.000861 cm W l l l 50cm 0.000861 cm=50.000861 ' 1 1 1 l l l 50cm 0.000861 cm=50.000861 ' P P1 θ θ P A A P B cm 50cm 5 43.301cm ' ' ' ' B ' 50.000861cm 5cm 43.304cm 31
Αριθμητικό παράδειγμα 11ε P W P F l P max P W l F F d F d 4 4 577.35N N max 750000 0.5m 3 0.04m m 4 MN MN MN max 0.45944 0.375 0.83444 m m m 3
Αριθμητικό παράδειγμα 1 -Έστω δικτύωμα με ΒΓ=30cm, ΒΑ=ΓΑ=40cm όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το δικτύωμα αποτελείται από δύο ράβδους με διάμετρο 3cm, ειδικό βάρος γ=750000n/m 3 και σταθερά Ε=GN/m. Στο σημείο Α ασκείται φορτίο P1=100Ν. Να βρεθεί η επιμήκυνση της κάθε ράβδου και η νέα θέση (A ) του σημείου Α Β Δ Γ θ θ A A P1 Άσκηση για μελέτη στο σπίτι 33
Αριθμητικό παράδειγμα 13 -Έστω δικτύωμα με ΒΓ=35cm,, ΒΔ=10cm, ΒΑ=3.787cm, ΓΑ=40cm όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το δικτύωμα αποτελείται από δύο ράβδους με διάμετρο 3cm, ειδικό βάρος γ=750000n/m 3 και σταθερά Ε=GN/m. Στο σημείο Α ασκείται φορτίο P1=100Ν. Να βρεθεί η επιμήκυνση της κάθε ράβδου και η νέα θέση (A ) του σημείου Α Β Δ Γ θ1 θ A A P1 Άσκηση για μελέτη στο σπίτι 34
ΓΛΩΣΣΑΡΙ - ΕΠΕΞΗΓΗΣΕΙΣ Πηγή: Διαδικτυακή ή άλλη πηγή από την οποία ανακτήθηκαν τα δεδομένα (π.χ. εικόνες, γραφήματα, πίνακες) Εκπαιδευτική προβολή: Διαδικτυακό βίντεο που περιγράφει βασικές αρχές λειτουργίας και εφαρμογές Ασκήσεις: Άλυτες ασκήσεις για μελέτη στο σπίτι 35