ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ. Δοκοί, Πλαίσια, Δικτυώματα, Γραμμές Επιρροής και Υπερστατικοί Φορείς

Transcript

1 ΤΧΝΟΛΟΙΚΟ ΚΠΑΙΥΤΙΚΟ ΙΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΧΝΟΛΟΙΚΩΝ ΦΑΡΜΟΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής ΑΣΚΗΣΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ οκοί, Πλαίσια, ικτυώματα, ραμμές πιρροής και Υπερστατικοί Φορείς, Ph.D. Μάρτιος 11

2 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα οκών 1 Μέρος 1 ο ιαγράμματα M, Q, N σε δοκούς

3 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα οκών Άσκηση 1 6 N/m 18 N 4. m. m V = N V = N + N 3.67 m - N [ Q] - N - N. m. m ql 8 = 1 [ M ] +3 Nm +4 Nm M max = Nm Αντιδράσεις: S M = 6V - (6 4) = V = N S Fy = V + V = V = N Μέγιστη ροπή: N θέση μέγιστης ροπής (μηδενισμός τέμνουσας): x = = 3.67 m (από το Α) 6 Nm / M max =(ροπή στο Α)+ (εμβαδόν διαγράμ. Q από το Α έως x = 3.67 m ) 1 Mmax = + N 3.67 m Mmax = Nm

4 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα οκών 3 Άσκηση 5 N 5 N/m 5 N/m 1 m 1 m 1 m 1 m V = 75 N V = 75 N Q(x) ιάγραμμα Τεμνουσών υνάμεων (N) x (m) 5 75 ιάγραμμα Ροπών Κάμψης x (m) 1 3 (N m) M(x) 81.5 = M max

5 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα οκών 4 Άσκηση 3 5 N 75 Nm. m. m. m. m. m V = 15 N V = N V = 15 N +15 N +15 N [ Q] -5 Nm - 15 N -15 N Nm +5 Nm [ M ] +5 Nm Αντιδράσεις: δεξ. S M = - 4V + 5 = V = 15 N S M = -75-4V V = V = N S Fy = V + V + V - 5 = V = 15 N

6 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα οκών 5 Άσκηση 4 M = 55 Nm 15 N N/m 15 Nm 1. m 1. m.5 m 1.5 m V = 35 N V = 3 N m + + [ Q] ( N) m 1.5 m 1. m - 8 ql / = [ M ] ( Nm) M max = Αντιδράσεις: δεξ. S M = -.5V (.5 ) + 15 = V = 3 N S M =- M (.5 ) V + 15 = M = 55 Nm S Fy = V + V = V = 35 N Μέγιστη ροπή: στη θέση x = N /( N/ m ) = 1. m από το (μηδενισμός της Q) M max =(ροπή στο )+ (εμβαδόν διαγράμ. Q από το έως 1. m Mmax = + N 1. m Mmax = + 1 Nm 1 x = )

7 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα οκών 6 Άσκηση 5 άν δίνεται το διάγραμμα καμπτικών ροπών [M] της παρακάτω δοκού, να σχεδιασθεί το αντίστοιχο διάγραμμα τεμνουσών [Q] και να προσδιορισθεί η φόρτιση από την οποία παράγεται το συγκεκριμένο διάγραμμα ροπών. m m x (m) (kn m) 4 7 M(x) Q(x) 3 ιάγραμμα Ροπών ιάγραμμα Τεμνουσών (kn) x (m) kn 1.5 kn kn ιάγραμμα λευθέρου Σώματος 35 kn

8 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα οκών 7 Άσκηση 6 άν δίνεται το διάγραμμα καμπτικών ροπών [M] της παρακάτω δοκού, να σχεδιασθεί το αντίστοιχο διάγραμμα τεμνουσών [Q] και να προσδιορισθεί η φόρτιση από την οποία παράγεται το συγκεκριμένο διάγραμμα ροπών. m m m m x (m) (kn m) M(x) Q(x) 3 1 ιάγραμμα Ροπών ιάγραμμα Τεμνουσών (kn) 1 3 x (m) 4 15 kn knm 45 kn kn ιάγραμμα λευθέρου Σώματος 4 kn

9 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα οκών 8 Άσκηση 7 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [Q] και [M] για τη δοκό του σχήματος. N 8 Nm. m. m. m. m. m Άσκηση 8 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [Q] και [M] για τη δοκό του σχήματος. Να προσδιορισθεί η τιμή της μέγιστης καμπτικής ροπής M max, καθώς και η θέση όπου εμφανίζεται. q = 1 N/m 1 N Α Άσκηση 9 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [Q] και [M] για τη δοκό του σχήματος. Να προσδιορισθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης καμπτικής ροπής M max. y Nm q = 1 N/m 1 N Α x m m

10 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα οκών 9 Άσκηση 1 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [Q] και [M] για τη δοκό του σχήματος. Να προσδιορισθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης καμπτικής ροπής M max. y N q = 1 N/m Nm 5 N Α Ζ Η x m m m m m 1.5 m Άσκηση 11 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [Q] και [M] για τη δοκό του σχήματος. y 15 N 1 Nm q = 6 N/m Α x 1 m 1 m 1 m 1 m 1.5 m Άσκηση 1 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών και καμπτικών ροπών του φορέα. Να υπολογισθεί η μέγιστη καμπτική ροπή και να προσδιορισθεί η θέση που εμφανίζεται αυτή. y q = 5 kn/m kn 3 kn Α x 1 m 8 m

11 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα οκών 1 Άσκηση 13 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών και καμπτικών ροπών του φορέα. Να υπολογισθεί η μέγιστη καμπτική ροπή και να προσδιορισθεί η θέση που εμφανίζεται αυτή. y 7 Nm q = N/m 1 N Α x 1 m 1 m m 1.5 m 1.5 m Άσκηση 14 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών δυνάμεων [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα. Να υπολογισθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης θετικής καμπτικής ροπής. 3 kn/m 1 kn 6. m. m. m. m Άσκηση 15 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα. 1 kn 3 kn/m. m. m. m 4. m Απαντήσεις: M =- 4 knm, M =- 18 knm, M x = 7m =+ 45 knm, M max =+ 6 knm στη θέση x = 8 m.

12 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα οκών 11 Άσκηση 16 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα και να προσδιορισθεί η μέγιστη θετική ροπή (τιμή και θέση). 4 kn kn/m. m 4. m. m. m 16 kn. m Άσκηση 17 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα και να προσδιορισθούν οι μέγιστες ροπές (τιμή και θέση). 8 kn kn/m 6 kn kn/m. m 4. m. m. m 4. m Απαντήσεις: M =- knm, M =- 8 knm, M E =- 8 knm, M max =- 19 knm στη θέση x = 1 m δεξιά του Α και M max =+ 4 knm στη θέση x = m δεξιά του. Άσκηση 18 άν δίνεται το διάγραμμα καμπτικών ροπών [M] της δοκού, να σχεδιασθεί το αντίστοιχο διάγραμμα τεμνουσών [Q] και να προσδιορισθεί η φόρτιση από την οποία παράγεται το συγκεκριμένο διάγραμμα ροπών. -6 knm [ M ] - 1 m

13 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα Πλαισίων 1 Μέρος ο ιαγράμματα M, Q, N σε πλαίσια

14 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα Πλαισίων 13 Άσκηση 19 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου. 1 kn kn/ m 3 kn V = 6 kn H = 3 kn m V = kn m [ N ] ( kn) - Αντιδράσεις στηρίξεων: S F = - H + 3 = H = 3kN x S M = - 1-4V (8 ) = V = 6 kn S Fy = V + V -1-8 = V = kn

15 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα Πλαισίων 14 1 kn kn/ m 3 kn V = 6 kn H = 3 kn m V = kn m x = Ζ [ Q] ( kn) +3 Μέγιστη ροπή: Θέση της μέγιστης ροπής (δηλ. σημείο μηδενισμού της τέμνουσας): 6 kn x = = 3. m (αριστερά του ) kn/ m Υπολογισμός της μέγιστης ροπής: M max = (ροπή δεξιά του κόμβου )+(εμβαδόν διαγράμ. Q από το έως το Ζ) 1 Mmax =- 1 knm + 6 kn 3. m Mmax =- 3. knm

16 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα Πλαισίων 15 1 kn kn/ m 3 kn V = 6 kn m m H = 3 kn V = kn -4 x = ql / 8 = 1-1 ql / 8 = 4-4 ql / 8 = 1 +1 Ζ M max =-3 knm [ M ] ( knm) Τιμές της καμπτικής ροπής στο: μέσον του : μέσον του : μέσον του : -4 knm ql kn m m knm ( ) / + =- 1 + =-11 knm 8 8 (-1-4) knm ql kn/ m () + =- 8 knm + =-4 knm knm ql kn m m knm ( ) / + =- + =-1 knm 8 8

17 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα Πλαισίων 16 Άσκηση Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου. kn/ m 8 kn 16 knm m m 4 kn H = kn m H = kn V = 1 kn V = 4 kn m 1 m [ N ] ( kn) Αντιδράσεις: δεξ. S M = - 3V + H = 3V - H = 3 (1) S M = 4 + (4 ) V - H = 7V + H = 88 ()

18 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα Πλαισίων 17 Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις (1) και () προκύπτει: πιπλέον είναι: V = 1 kn και H = kn S Fy = V + V -4-8 = V = 4 kn S Fx = -H - H + 4 = H = kn x = m +4 - E [ Q] ( kn) - x = m -8 ql / 8 = [ M ] ( knm)

19 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα Πλαισίων 18 Άσκηση 1 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου. H M kn/ m 4 kn V 8 kn m m m m V Αντιδράσεις: δεξ. S M = - 4V = V = 3 kn S M = - M + (4 ) V = M = 16 knm S F = H - 8 = H = 8kN x S Fy = V V = V = 9kN Ανάλυση δυνάμεων στο λοξό μέλος 48 kn = 8 sin f 8 kn f f f 64 kn = 8 cos f m m f V = 3 kn V cos f = 4 kn 18 kn = V sin f l ì sin f = 3/ 5 =.6 = = 5 ï í ï cos f = 4 / 5 =.8 ïî

20 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα Πλαισίων 19 kn/ m 4 kn 8 kn 16 knm 9 kn 8 kn m m m m 3 kn [ N ] ( kn) [ Q] ( kn) ql / 8 = 4 [ M ] ( knm)

21 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα Πλαισίων Άσκηση Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] των φορέων. 1 kn 1 kn 1 kn 1 kn Άσκηση 3 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου. KN/m D 4. m 3. m 3. m

22 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα Πλαισίων 1 Άσκηση 4 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών δυνάμεων [N], τεμνουσών δυνάμεων [Q] και καμπτικών ροπών [M] του παρακάτω πλαισίου. πιπλέον, να υπολογισθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης ροπής στο ζύγωμα. 6 kn kn/m 6 m Άσκηση 5 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου. kn/m 8 kn 3. m 3. m 8. m

23 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα Πλαισίων Άσκηση 6 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του τριαρθρωτού τόξου. 6 kn 6 kn 6. m m m m m Άσκηση 7 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου. kn kn m m

24 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα Πλαισίων 3 Άσκηση 8 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα. kn kn/ m kn m m Άσκηση 9 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου. 4 kn/ m Α 5 m

25 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα Πλαισίων 4 Άσκηση 3 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα. kn/ m 18 kn 6 m m Άσκηση 31 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του τριαρθρωτού πλαισίου. 1 kn 3 kn/ m 9 kn 6 m 6 m m

26 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα Πλαισίων 5 Άσκηση 3 (απαντήσεις) : x =- 9 kn, y = 6 kn, x =- 9 kn, y = 18 kn, M y = 3m =+ 7 knm, M = knm, M =-4 knm, M =-4 knm, M =-36 knm, M max =+ 9 knm στη θέση x = δεξιά του. Άσκησης 3 (παραλλαγή) : Η ίδια άσκηση με οριζόντιο φορτίο 6 kn αντί 18 kn στο υποστήλωμα οδηγεί στα παρακάτω αποτελέσματα: x = kn, y = 9 kn, x =- 6 kn, y = 15 kn, M y = 3m = knm, M =-18 knm, M =-8 knm, M =-4 knm, M =-4 knm, M max =+.5 knm στη θέση x = 4.5 m δεξιά του. Άσκηση 31 (απαντήσεις) : x = kn, y = 9 kn, x =- 9 kn, y = 33 kn, M y = 3m = knm, M = knm, M =-6 knm, M =-4 knm, M =-36 knm M max =+ 9 knm στη θέση x = δεξιά του., Άσκηση 3 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου. 3 kn/ m 9 kn 6 m 6 m

27 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ιαγράμματα Πλαισίων 6 Άσκηση 33 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του πλαισίου. 1 knm kn/ m m 8 kn 1 kn m m Α 8 m Άσκηση 34 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του πλαισίου. 6 kn kn/ m 1 kn 1 kn/ m m Α 1.5 m 6 m m m

28 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα 7 Μέρος 3 ο Ανάλυση πίπεδων ικτυωμάτων

29 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα 8 Άσκηση 35 Να επιλυθεί το δικτύωμα του σχήματος ακολουθώντας αυστηρά τα παρακάτω βήματα: (α) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ροπών να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΗΘ, Θ και. (β) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις των ράβδων που συντρέχουν στους κόμβους, Κ, και Ι (δηλ., Κ, ΚΙ, Κ, ΙΘ, Ι, Ι και ). ια όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό. kn kn kn kn kn 15 kn Z H Q I K 15 kn D E Λύση: α α Αντιδράσεις στηρίξεων: =- 3. kn, = 4. kn, = 6. kn x y y

30 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα 9 (α) Μέθοδος των τομών: Τομή α-α (δεξί τμήμα) ύναμη στο μέλος ΗΘ: S M = 4 N = HQ 4 N = N =- 3 kn HQ y HQ ύναμη στο μέλος : S M = -4 N = Q D -4 N = N = 45 kn D y D ύναμη στο μέλος Θ: 4 S Fy = - NQ y = NQ = NQ = kn 5 (β) Μέθοδος των κόμβων: Κόμβος : προσδιορισμός μελών N E και N K S F = - N = N = kn x E E S F = N + = N + 6 = N =- 6kN y K y K K Κόμβος Κ: προσδιορισμός μελών N KE και N KI 4 4 S Fy = -NK - NKE - = -(-6)- NKE - = 5 5 N = 5 kn KE 3 3 S Fx = -NKI - NKE + 15 = -NKI = 5 5 N =- 15 kn KI Κόμβος : προσδιορισμός μελών N IE και N DE

31 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα S Fy = NIE + NKE = NIE + 5 = NIE =- 4kN S Fx = - NDE + NKE + NE = - NDE + 5+ = 5 5 N = 3 kn DE Κόμβος Ι: προσδιορισμός μελών N IQ και N ID 4 4 S Fy = -NIE - NID - = -(-4)- NID - = 5 5 N = 5 kn ID 3 3 S Fx = -NIQ - NID + NKI = -NIQ (- 15) = 5 5 N =- 3 kn IQ Άσκηση 36 Να επιλυθεί το δικτύωμα του σχήματος ακολουθώντας αυστηρά τα παρακάτω βήματα: (α) Να σημειωθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη. (β) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ροπών να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη, και Ζ. (γ) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις των ράβδων που συντρέχουν στους κόμβους και Ζ (δηλ. Ζ, Η, ΖΗ, Ζ και Ζ). ια όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό.

32 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα 31 3 kn 4 kn D E Z H 5 kn 5 kn m m m m Λύση:

33 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα 3 Αντιδράσεις στηρίξεων: =- 7. kn, = 5. kn, = 75. kn x y y υνάμεις ράβδων: ΡΑΟΣ Αξονική δύναμη α/α άκρα τιμή φορά 1 Α θλίψη θλίψη 3 Η θλίψη 4 Η θλίψη 5-4. θλίψη 6 Ζ 15. εφελκυσμός 7 ΖΗ εφελκυσμός 9 Ζ 3.67 εφελκυσμός 1 Α εφελκυσμός 11 Ζ εφελκυσμός

34 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα 33 Άσκηση 37 (α) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των τομών οι δυνάμεις στα μέλη Α και. (β) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων όλες οι υπόλοιπες δυνάμεις. ια όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό. Η 1.5 m Ζ. m 3 kn Α. m. m Άσκηση 38 (α) Να σημειωθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη. Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας. (β) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ροπών να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη, Η και ΖΗ. (γ) Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα μέλη Ι, Ζ, Ζ και ΖΗ με τη μέθοδο των κόμβων. ια όλες τις δυνάμεις να διευκρινισθεί εάν είναι θλιπτικές ή εφελκυστικές. 3 kn Κ kn m Θ Η Ι m Α Ζ m

35 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα 34 Άσκηση 39 Τα φορτία των 6 kn, 9 kn και 3 kn ασκούνται στις διευθύνσεις των μελών #3, #16 και #17, αντίστοιχα. Να υπολογισθούν οι δυνάμεις σε όλα τα μέλη του δικτυώματος ακολουθώντας τα παρακάτω βήματα: (α) με τη μέθοδο των τομών να βρεθούν οι δυνάμεις στα μέλη N 6 και N 1, και (β) με τη μέθοδο των κόμβων να βρεθούν οι δυνάμεις στα υπόλοιπα μέλη. ια όλες τις απαντήσεις να διευκρινισθεί εάν το μέλος υπόκειται σε θλίψη ή εφελκυσμό. 9 kn 6 kn Α kn Άσκηση 4 (α) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ροπών να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη, και Ζ. (β) Να υπολογισθούν όλες οι δυνάμεις που συντρέχουν στους κόμβους και Ζ (δηλ. Ζ, Η, ΖΗ, Ζ και Ζ). ια όλες τις απαντήσεις να διευκρινισθεί εάν το μέλος υπόκειται σε θλίψη ή εφελκυσμό. 45 kn 6 kn Ζ Η 75 kn 75 kn m m m m

36 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα 35 Άσκηση 41 Να υπολογισθούν οι δυνάμεις ΘΗ, Θ, και Ζ με τη μέθοδο των τομών Ritter, και να προσδιορισθεί εάν τα μέλη βρίσκονται σε θλίψη ή εφελκυσμό. πιπλέον, να εντοπισθούν δύο μέλη με μηδενική ένταση. m m m m Ι m Ζ 4 kn Α Θ Η 4 kn 4 kn Άσκηση 4 (α) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη, και Ζ με τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ισορροπίας ροπών. (Υπόδειξη: να βρεθεί πρώτα η προκειμένου να υπολογισθεί η Ζ). (β) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη που καταλήγουν στο κόμβο Ζ (δηλ. Ζ, ΖΗ, Ζ, ΖΑ και Ζ) χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε από τις δύο μεθόδους. (γ) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη Η, Η και Α χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των κόμβων. ια όλες τις δυνάμεις να διευκρινισθεί εάν είναι θλιπτικές ή εφελκυστικές. N 1 N Ζ Η 1 N 75 N 1 N Α

37 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα 36 Άσκηση 43 Να υπολογισθούν οι δυνάμεις όλων των μελών του δικτυώματος. Να βρεθεί εάν τα μέλη υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό. kn m Ζ Θ Η m m Άσκηση 44 Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη Α, ΑΗ, ΘΗ και Η με τη μέθοδο των τομών. 3 kn m m m m Ζ 15 kn Θ Η 45 kn 6 kn

38 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα 37 Άσκηση 45 (α) Να σημειωθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη. Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας. (β) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών να προσδιορισθεί η δύναμη στο μέλος. (Υπόδειξη: δεν υπάρχει λόγος να βρεθούν οι αντιδράσεις). (γ) Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα μέλη Α και με τη μέθοδο των κόμβων. Να προσδιορισθεί για κάθε μέλος εάν υπόκειται σε θλίψη ή εφελκυσμό. kn Η m Ζ Α E 5 kn 5 m Άσκηση 46 Να προσδιορισθούν: (α) με τη μέθοδο των τομών οι δυνάμεις των μελών N 14 και N 1, (β) με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις στα μέλη N 9, N 19, N 1 και N 13 (γ) τα μέλη με μηδενική αξονική δύναμη. Να διευκρινισθεί για κάθε μέλος εάν υπόκειται σε θλίψη ή εφελκυσμό., και 3 kn 3 kn Α kn

39 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα 38 Άσκηση 47 (α) Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα μέλη Α και Α χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ισορροπίας ροπών. (β) Να προσδιορισθούν όλα τα μέλη με μηδενική δύναμη. (γ) Να υπολογισθούν όλες οι υπόλοιπες δυνάμεις με τη μέθοδο των κόμβων. ια κάθε δύναμη να διευκρινισθεί εάν είναι θλιπτική ή εφελκυστική. 4 kn m m m m Ξ Ο Μ Ν kn kn Κ Θ Ι Λ Ζ Η 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m N Άσκηση 48 Να υπολογισθούν οι δυνάμεις όλων των μελών του δικτυώματος. Να δηλωθεί εάν τα μέλη υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό. 1 N Ζ Η 1 N 75 N 1 N Α

40 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα 39 Άσκηση 49 kn kn Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη Η, Η, ΗΘ και ΘΚ χρησιμοποιώντας μόνο τη μέθοδο των τομών Ritter. Συγκεκριμένα, να γίνουν δύο διαφορετικές τομές για τον υπολογισμό των δυνάμεων Η και Η, και μία τομή για τα μέλη ΗΘ και ΘΚ. Σε όλες τις περιπτώσεις να αξιοποιηθεί η εξίσωση ισορροπίας των ροπών και να βρεθούν οι παραπάνω δυνάμεις με την ίδια σειρά που εμφανίζονται στην εκφώνηση της άσκησης. Να δηλωθεί ποιές από αυτές είναι εφελκυστικές και ποιές θλιπτικές. 1 kn 1 kn 1 kn Η Θ Ζ Ι m m m Κ Λ 1.5 m 1.5 m Άσκηση 5 (α) Να προσδιορισθούν όλα τα μέλη με μηδενική δύναμη. (β) Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΘΙ και Θ με τη μέθοδο των τομών. (γ) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις σε όλα τα άλλα μέλη του δικτυώματος χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε από τις δύο μεθόδους, κόμβων ή τομών. ια κάθε δύναμη να διευκρινισθεί εάν είναι θλιπτική ή εφελκυστική. N Θ m Λ N 1 N 1 N 1 N Α Ι Ζ Κ Η

41 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα 4 Άσκηση 51 Το δικτύωμα του παρακάτω σχήματος ονομάζεται Wichert-truss (πήρε το όνομά του από τον Wichert E. M., 193). (α) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις και οι δυνάμεις στα μέλη Θ και Ι. (β) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη, ΗΘ και Θ με τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ισορροπίας των ροπών. (γ) Να υπολογισθούν οι δυνάμεις σε όλα τα μέλη που καταλήγουν στο κόμβο Ζ (δηλ., Ζ, ΖΙ, ΖΚ και Ζ) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των κόμβων. ια κάθε δύναμη να διευκρινισθεί εάν είναι θλιπτική ή εφελκυστική. Ζ 6 m 1 m Α Η Θ Ι Κ 9 kn 45 kn 1 m 1 m 6 m 6 m 1 m 1 m Άσκηση 5 Το δικτύωμα του σχήματος στηρίζεται με άρθρωση στον κόμβο #1 και με λοξή κύλιση στον κόμβο #6. άν η δύναμη P = 1 kn, να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη -4, 3-4 και 3-5 με τη μέθοδο των τομών, οι δυνάμεις στα μέλη του κόμβου #7 με τη μέθοδο των κόμβων και η αντίδραση στη κύλιση. P 3P P P P 6

42 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα 41 Άσκηση 53 Να επιλυθεί το δικτύωμα του σχήματος ακολουθώντας αυστηρά τα παρακάτω βήματα: (α) Να σημειωθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη αιτιολογώντας την απάντησή σας. (β) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη Θ, Ζ και Η του δικτυώματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών. (γ) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις στα μέλη Α, ΑΗ, Θ και Ζ του δικτυώματος. ια όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό. (Παραλλαγή: Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις σε όλα τα μέλη του δικτυώματος.) 9 kn 4 kn 1.5 m Η Θ 1.5 m Ζ. m. m. m. m Άσκηση 54 Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη,, Ζ και Ζ του δικτυώματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών. πιπλέον να σημειωθούν όλα τα μέλη με μηδενική δύναμη. ( Απαντήσεις: x = 8 kn, y = 6 kn, y = 6 kn ). Ζ 8 kn Η Α 1 kn

43 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: πίπεδα ικτυώματα 4 Άσκηση 55 Να επιλυθεί το δικτύωμα του σχήματος ακολουθώντας αυστηρά τα παρακάτω βήματα: (α) Να σημειωθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη αιτιολογώντας την απάντησή σας. (β) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη, Ζ, ΗΘ, ΚΜ και ΛΙ του δικτυώματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών. (γ) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις στα μέλη Α, Α,, και του δικτυώματος. ια όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό. (Απαντήσεις: x = 1 kn, y = 9 kn, y = 6 kn.) Ζ Θ Κ Μ 1 kn Η Ι Λ Α 15 kn Άσκηση 56 Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη Ζ, Ζ, Η, ΘΚ και ΛΜ του δικτυώματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών. Να σημειωθούν όλα τα μέλη με μηδενική δύναμη. Τέλος, να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις σε όλα τα μέλη του τμήματος ΘΚΜΛΙΘ του δικτυώματος. (Απαντήσεις: x = 18 kn, y = 9 kn, x =- 8 kn, y = 6 kn.) Ζ Θ Κ Μ 1 kn Η Ι Λ Α 15 kn

44 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 43 Μέρος 4 ο Υπερστατικοί Φορείς

45 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 44 Άσκηση 57 Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων. (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α, και. (β) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα καμπτικών ροπών του φορέα και να προσδιορισθεί η μέγιστη τιμή και η θέση της καμπτικής ροπής. 15 kn/ m 3EI EI 1 kn m m 1 m f1 f L/ L P q L L/ M Q EI EI = ( f1 + f), M ( 1 ) L = L f + f 6EI 6EI = ( f1 + f), Q ( ) = f 1 + f L L PL PL M =, M =- 8 8 P Q =, ql M =, 1 ql Q =, P Q =- ql M =-, 1 ql Q =- Λύση: Άγνωστο μέγεθος παραμόρφωσης είναι μια αριστερόστροφη στροφή f στο.

46 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 45 οκός Α: ( 3EI ) 15 1 M = f + M =.5EIf ( 3EI ) 15 1 M = f- M = EIf ( 3EI ) Q = f+ Q 9 = EIf ( 3EI ) Q = f- Q 9 = EIf- 1 8 οκός : 4EI 1 4 M = f+ 4 8 M = EIf+ 6 EI 1 4 M = f- 4 8 M =.5EIf- 6 6EI 1 3 Q = f+ Q 6 = EIf EI 1 3 Q = f- Q 6 = EIf- 4 8 Ισορροπία κόμβου : S M = M + M = ( EIf- 18) + ( EIf + 6) = EIf = 6 Κόμβος Α: 1 y = Q y = EIf + 9 y = 97.5 kn 8 M = M M =.5EIf + 18 M = 1 knm (αριστερόστροφα) Κόμβος : 3 ( EI 6) 37.5 kn x =-Q x =- f- x = 8 EI 1 4 M = M M = f - M =- 3 knm (αριστερόστροφα) 4 8 Ισορροπία πλαισίου: S F = = = 1 = 8.5 kn x x x x x S F = = = 18 = 8.5 kn y y y y y

47 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 46 Άσκηση 58 Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων. (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α (ροπή πακτώσεως) και (αριστερά, δεξιά και κάτω). (β) Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών και ροπών του φορέα. (γ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης. kn/ m 8 kn E 4 kn D m m m Λύση: Άγνωστο μέγεθος παραμόρφωσης είναι μια αριστερόστροφη στροφή f στο. οκός Α: M EI 4 EIf 8 = f + M = EI 4 8 M = f- M = EIf Q Q 6EI 4 3EIf = f + Q 4 = EI 4 3EIf = f - Q 4 = - 4 8

48 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 47 ΑΚΡΑΙΣ ΡΑΣΙΣ ΜΟΝΟΠΑΚΤΩΝ ΚΑΙ ΑΜΦΙΠΑΚΤΩΝ ΜΛΩΝ f1 f f 1 L/ L L q L P L/ N M Q M Q Q M N EI EI = ( f1 + f), M ( 1 ) L = L f + f 6EI 6EI = ( f1 + f), Q ( ) = f 1 + f L L Q M 3EI L = 3EI L f = f 1, Q = f 1 ql M =, 1 ql Q =, M = 11P Q =, EI L ql M =- 1 ql Q =- 3PL 16 5P Q =- 16 οκός : M Q Q 3EI EIf = f + M = EI EIf 55 = f + Q = EI 5 4 3EIf 5 = f - Q = Πρόβολος : (ισοστατικό τμήμα) M D Q D = 8 = 8 M = 16 D Ισορροπία ροπών κόμβου : S M = M + M + M = D æ 8 ö æ3eif ö 8 EIf = EIf =- ç è 3 ø èç 4 ø 3

49 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 48 Κόμβος Α: 3EIf 3æ 8ö y = Q = + 4 y = ç y = 5 kn 8 8çè 3 ø EIf 8 1æ 8 ö 8 M = M = + M = ç - + M =- knm 3 çè 3 ø 3 (αριστερόστροφα) Κόμβος : æ3eif 5 ö 3 æ 8 ö 5 x =- Q =- - x =- - + x = 3 kn ç è 16 ø 16 çè 3 ø Κόμβος : 8 æ 8 ö 8 36 M = EIf - = ç - - =- M =-1 knm 3 çè 3 ø 3 3 Q M Q 3EIf 3 æ 8 ö = - 4 = ç =-35-4 Q =-75 kn 8 8çè 3 ø 3EIf 3 æ 8 ö = + 3 = ç = M =-4 knm 4 4çè 3 ø 3EIf 55 3 æ 8 ö = + = ç - + =- + Q = 1 kn çè 3 ø M D = 16 knm Q D = 8 kn Ισορροπία πλαισίου: S F = = = = 1kN x x x x x S F = = = 155 kn y y y y ( ) S M = M y 4 + x = = =

50 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 49

51 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 5 Άσκηση 59 Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων ή τη μέθοδο Cross. (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α, και. (β) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις στις στηρίξεις Α, και του φορέα. (γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα. (δ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης. kn/m 8 kn 18 knm EI EI 6 m 6 m 6 m ΑΚΡΑΙΣ ΡΑΣΙΣ ΑΜΦΙΠΑΚΤΩΝ ΜΛΩΝ N M Q Q M N f1 f L/ L q L P L/ M Q EI EI = ( f1 + f), M ( 1 ) L = L f + f 6EI 6EI = ( f1 + f), Q ( ) = f 1 + f L L PL PL M =, M =- 8 8 P P Q =, Q =- ql M =, 1 ql M =- 1 ql ql Q =, Q =-

52 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 51 Λύση: Άγνωστο μέγεθος παραμόρφωσης είναι μια αριστερόστροφη στροφή f στο. οκός Α: M EI EIf = f + + M = M Q Q 4EI EIf = f - - M = EI 1 8 EIf = f + + Q 16 = EI 1 8 EIf = f - - Q 16 = οκός : M 4EI 6 EIf = f + M = M Q Q EI 6 EIf = f - M = EI 6 EIf = f + Q 6 = EI 6 EIf = f - Q 6 = Ισορροπία κόμβου : æeif ö æeif ö S M = M + M - 18 = = ç è 3 ø èç 3 ø EIf = 48 æeif ö æeif ö S Fy = Q + y - Q = y = ç è 4 ø èç 6 ø = 8 kn y Κόμβος Α: EIf y = Q y = + 16 y = 18 kn 4 EIf M = M M = + 36 M = 44 knm (αριστερόστροφα) 6

53 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 5 Κόμβος : æeif ö y =-Q y =- ç -6 y =- kn çè 6 ø EIf M = M M = -6 M = 1 knm (αριστερόστροφα) 3 Ισορροπία πλαισίου: (έλεγχος ή εναλλακτικός τρόπος προσδιορισμού = 8 kn y ) S F = = = y y y y y y ιαγράμματα Τεμνουσών και Ροπών

54 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 53 Άσκηση 6 Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του υπερστατικού φορέα. 5 kn/ m EI EI 1 kn 18 m Άσκηση 61 Να επιλυθεί η υπερστατική δοκός του σχήματος με τη μέθοδο των παραμορφώσεων. (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α, και. (β) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις στις στηρίξεις Α, και του φορέα. (γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα. (δ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης. 4 kn/m Α EI EI 1 m 6 m

55 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 54 Άσκηση 6 Να επιλυθεί η υπερστατική δοκός του σχήματος με τη μέθοδο των παραμορφώσεων. (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α και. (β) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις στις στηρίξεις Α, και του φορέα. (γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα. (δ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης. 4 kn/m Α EI EI 1 m 6 m Άσκηση 63 Να επιλυθεί η υπερστατική δοκός του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων. (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία και. (β) Να προσδιορισθεί η μέγιστη ροπή κάμψης. (γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα. 8 kn 8 kn kn/m Α EI EI EI 1 m

56 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 55 Άσκηση 64 Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων. (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α,, και. (β) Να προσδιορισθεί η μέγιστη ροπή κάμψης. (γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα. 36 kn/ m EI EI EI Ζ EI 1 m EI 1 m 1 m Άσκηση 65 Να επιλυθεί το υπερστατικό πλαίσιο του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων. (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στους κόμβους 1, και 3. (β) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα. 6 kn kn/ m 1 kn 1 kn/ m m m 6 m m m

57 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 56 Άσκηση 66 Να επιλυθεί η συνεχής δοκός του σχήματος και να σχεδιασθεί το διάγραμμα καμπτικών ροπών [M] του υπερστατικού φορέα (δίδεται η απάντηση). Α 3 kn/m 8 kn EI 3EI EI EI = 1715 knm 5 m 8 m knm knm ql 8 = 4 Α knm +6.6 knm [ M ] +17. knm

58 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 57 Άσκηση 67 Να επιλυθεί η υπερστατική δοκός του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων. (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α, και. (β) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις στις στηρίξεις Α, και του φορέα. (γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα. (δ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης. kn/m 8 kn Α EI EI 1 m Άσκηση 68 Να επιλυθεί η υπερστατική δοκός του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων. (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α και. (β) Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών δυνάμεων και ροπών του φορέα και να προσδιορισθεί η μέγιστη ροπή κάμψης. 18 kn kn/m Α EI EI m m 6 m

59 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ραμμές πιρροής 58 Μέρος 5 ο ραμμές πιρροής

60 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ραμμές πιρροής 59 Άσκηση 69 ραμμές επιρροής των αντιδράσεων και χαρακτηριστικών εσωτερικών εντατικών μεγεθών αμφιπροέχουσας δοκού και προβόλου. P = 1 kn i P = 1 kn i. m 4. m. m 4. m 1. m 1. m [ γ.ε. Α] - 1 / [ γ.ε. Α] 3/ / [ γ.ε. M ] [ γ.ε. ] 1 3/ 1 / [ γ.ε. Q i ] - 3/ 4 1/ 4-1 / [ γ.ε. Q i ] 4-3/ / [ γ.ε. M i ] [ γ.ε. M i ] -1 3/ 4 - [ γ.ε. M ]

61 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ραμμές πιρροής 6 Άσκηση 7 ια τη δοκό του σχήματος να σχεδιασθούν οι γραμμές επιρροής των αντιδράσεων στις στηρίξεις Α, και, καθώς και των ροπών M και M. P = 1 kn H 4. m. m. m.5 m [ γ.ε. Α] 1 1 [ γ.ε. ] [ γ.ε. ] -.8 [ γ.ε. ] M [ γ.ε. M ]

62 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ραμμές πιρροής 61 Άσκηση 71 ια τη δοκό του σχήματος να σχεδιασθούν οι γραμμές επιρροής των διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών στις τομές i, j και k. P = 1 kn i H j k 4. m. m. m.5 m 1. m 1. m 1. m [ γ.ε. Q i ] 1 1 [ γ.ε. M i ] -1 [ γ.ε. Q j ] -1-1 [ γ.ε. M j ] -1 [ γ.ε. Q k ] [ γ.ε. M k ].6

63 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ραμμές πιρροής 6 Άσκηση 7 ια τη δοκό του σχήματος να σχεδιασθούν οι γραμμές επιρροής των διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών στη τομή m και των διατμητικών δυνάμεων στις αρθρώσεις και H. P = 1 kn m H 4. m. m. m.5 m 1. m [ γ.ε. Q m ] [ γ.ε. Mm ].5 [ γ.ε. Q ] 1-1 [ γ.ε. Q H ]

64 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ραμμές πιρροής 63 Άσκηση 73 ια τη συνεχή δοκό του σχήματος να σχεδιασθούν οι γραμμές επιρροής: (α) της αντίδρασης στη στήριξη Α, (β) της αντίδρασης στη στήριξη, (γ) της τέμνουσας Qi στη τομή i, (δ) της τέμνουσας Q + αμέσως δεξιά της άρθρωσης, (ε) της καμπτικής ροπής M στη στήριξη, και (στ) της καμπτικής ροπής M στη τομή k. k P = 1 kn i k H. m 4. m. m 3. m. m. m 1. m 1. m 1. m

65 Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: ραμμές πιρροής 64 P = 1 kn i k H. m 4. m. m 3. m. m. m 1. m 1. m 1. m [ γ.ε. Α] - 1 / - 16 / 1/ 3 1 3/ [ γ.ε. ] - 5/ 6 1 [ γ.ε. Q i ] - 3/ 4-1 / 5/ 3-16 / 1 / 1/ 4 1/ 3 [ γ.ε. Q + ] - / 3 13 / 1 - [ γ.ε. M ] - / 3 4/ 3 [ γ.ε. M k ] -1 1 /