1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x = ρ. (μ.9) β). Να συμπληρώσετε τους παρακάτω τύπους ). ημ(α) =... ). συν(α) =.... (τρείς τύποι) (μ.6) α). Να επιλέξετε την σωστή απάντηση σε καθεμία από τις παρακάτω : ). Το πολυώνυμο Q(x) έχει ρίζες τους αριθμούς και 3. Άρα, διαιρείτε με τα : [Α]. x και x + 3 [B]. x και x 3 [Γ]. x + και x 3 [Δ]. x + και x + 3. ). Δίδεται η αριθμητική πρόοδος με α = και ω = 3. Ο όρος α 0 ισούται με [Α]. 0 [Β]. 30 [Γ]. 300 [Δ]. 30 (μ.0) β). Να αποδείξετε ότι : συν 6 συν 6 = ημα. (μ.8) γ). Να υπολογίσετε την παράσταση Α = συν 8 ημ 8. (μ.7) α). Ποιες είναι οι πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου P(x) = x 4 5x 3 + x + 7x + ; εξηγήστε. (μ.7) β). Να εκτελέσετε την διαίρεση του πολυωνύμου P(x) = x 4 5x 3 + x + 7x + με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. Τι υπόλοιπο έχει ; με τι ισούται η τιμή Ρ() ; τι συμπεραίνετε ; (μ.0) γ). Να λύσετε την εξίσωση x 4 = 4x. (μ.8) α). Να υπολογίσετε τα παρακάτω, δικαιολογόντας κατάλληλα : ). log000000000 =... ). log0,00 =.... 3). (μ.) 9 =.... 4). 6 64 =.... β). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, δικαιολογόντας κατάλληλα τα βήματά σας : ). 0 x + 5 = 0.000 ). log(5x) = 3 (για x >0 ) γ). Να λύσετε την παρακάτω ανίσωση, διακιολογόντας κατάλληλα τα βήματά σας : 5x3 4 6. (μ.4) δ). Να αποδείξετε ότι : 4log + log5 log8 =. (μ.5)

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 Α). Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστές ή λάθος : ). Ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x ρ, αν και μόνο αν υ = Ρ(ρ) = 0. ). Η συνάρτηση f(x) = 0 x είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R. 3). (log α θ) κ = κlog α θ, α > 0, α, κ R. 4). συν α =. 5). συν(α β) = ημαημβ + συνασυνβ. (μ.0) Β). Να αποδείξετε ότι : συν(α) = ημ α. Γ). Να αποδείξετε ότι αν α > 0, α τότε για οποιουσδήποτε θ, θ > 0 ισχύει : log α (θ θ ) = log α θ + log α θ. (μ.7) (μ.8) Α). Να δειχθεί ότι :. (μ.) Β). Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση f(x) = Φθίνουσα στο R. x, είναι γνησίως (μ.3) Δίδεται το πολυώνυμο : Ρ(x) = x 3 xσυν(α) +, α (0, π) το οποίο διαιρείτε με το x + ημα. α). Να βρείτε το α. (μ.) β). Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x εφθ είναι, να υπολογίσετε την εφ(θ). (μ.3) Δίδεται η συνάρτηση f(x) = log x logx α). Να βρεθεί το πεδίο ορισμού. (μ.6) β). Να αποδειχθεί ότι f x f x. (μ.7) 0 γ). Να λυθεί η εξίσωση : f(x) + f. (μ.) x 3

3 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 Α). Να χαρακτηρίσετε με σωστό ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις i). σφ(α + β) = ii). συν(α) = ημ α συν α. iii).αν το πολυώνυμο P(x) έχει μια πραγματική ρίζα ρ, τότε η ρίζα ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου του πολυωνύμου. Α). Κάποια στοιχεία της Α στήλης είναι ίσα με ένα μόνο στοιχείο της Β στήλης. Συνδέστε κατάλληλα τα στοιχεία των δύο στηλών. Στήλη Α Στήλη Β x συν x x ημ x log α x log α x συν(x) log α x + log α x log α (x x ) A3).Αποδείξτε ότι : το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x ρ είναι όσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή : υ = Ρ(ρ). i). Αν 5εφα = και 4εφβ =, υπολογίστε την εφ(α + β). ii). Να λύσετε την εξίσωση συν(x) ημx = 0. (μ.+3) i). Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) = αx 3 x x με το x + ισούται με το 6 να υπολογίσετε τον αριθμό α. ii).για α = 4 να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0. (μ.+3) i). Αποδείξτε ότι : log 5 log8 log log3. 3 5 ii).να λύσετε την εξίσωση (logx) = logx. iii).να λύσετε την ανίσωση : x x 5 0. (μ.8+8+9) 4

4 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 Α). Να αποδείξετε ότι ο νοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α και λόγο λ είναι α ν = α λ ν. (μ.0) Β). Πότε μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος. (μ.5) Γ). Να χαρακτηριστούν με σωστό ή λάθος οι παρακάτω προτάσεις : ). Αν α > 0 με α τότε log α (θ + θ ) = log α θ + log α θ, με θ, θ θετικούς. ). Η f(x) = α x με α > είναι γνησίως φθίνουσα στο R. 3). Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = log α x και y = α x είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x. 4). Αν το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x ρ, τότε P(ρ) = 0. 5). Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των Βαθμών των πολυωνύμων αυτών. (μ.0) Δίδεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 + 6x + x + 6. Α). Ποιες οι πιθανές ακέραιες ρίζες και γιατί ; Β). Να λυθεί η εξίσωση Ρ(x) = 0. Γ). Να λυθεί η ανίσωση : P(x) > 0. (μ.5) (μ.) (μ.8) Δίδεται η αριθμητική πρόοδος με α = και α =. Α). Να βρεθεί ο α 8. Β). Να βρεθεί ποιος όρος της προόδου ισούται με. Γ). Να αποδείξετε ότι ο α 7, ο α 8 και το S αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. (μ.8+8+9) x Δίδεται η συνάρτηση f(x) = ln x. Α). Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β). Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή. Γ). Να λυθεί η εξίσωση e f(x) = ln(e x+ ). (μ.8+8+9)

6 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 Α). Τι είναι ο log α θ, όπου 0 < α και θ > 0. Β). Αν 0 < α και θ > 0 και κ R, να δειχθεί ότι log α θ κ = κlog α θ. (μ.7) (μ.0) Γ). ). Το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) = x 3 3x 7 + με το x + είναι [α]. 0 [β]. [γ]. 4 [δ]. 4 [ε]. ). Για το πολυώνυμο Ρ(x) ισχύουν Ρ() =, Ρ() = 0. Ποιο από τα παρακάτω είναι παράγοντας του Ρ(x) ; [α]. x + [β]. x [γ]. x + [δ]. x. (μ.4) Δίδεται η παράσταση : Α = ημ(x)συνx + συν(x)ημx. A). Να γράψετε την παράσταση Α σε απλούστερη μορφή. B). Να λύσετε την εξίσωση : Α = 0. (μ.5+0) Δίδεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 x 4x + 4. A). Να δείξετε ότι ο αριθμός ρ =, είναι ρίζα του P(x). B). Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης : Ρ(x) : (x ). Γ). Να λύσετε την εξίσωση : x 3 + 4 = x + 4x. Δ). Να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) 0. Α). Να λύσετε την εξίσωση e 3lnx 7e lnx 6 = 0. Β). α). Να δείξετε ότι : logx = x log, x > 0. β). Να λύσετε την εξίσωση : logx + x log = 6, x > 0. γ). Να λύσετε την ανίσωση : log[log(x 3x + )] < 0. (μ.6+6+6+7) (μ.7) (μ.5+5+8)

7 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 Α). Να αποδειχθεί ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. είναι δηλαδή υ = Ρ(ρ). Β). Να γράψετε τον τύπο που δίνει το νοστό όρο α ν μιας αριθμητικής προόδου (α ν ), που έχει πρώτο όρο α και διαφορά ω. Γ). Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστές ή λάθος. ). e x = θ lnθ = x, θ > 0. ). Ο βαθμός μηδενικού πολυωνύμου ισούται με μηδέν. 3). Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου (α ν ) με λόγο λ και πρώτο όρο α, τότε είναι S ν = α 4). κlog α θ = log α θ κ (θ > 0, α > 0 και α ). 5). Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε ισχύει : β = α + γ. (μ.0) Δίδεται η ακολουθία α ν = + ν και πρώτο όρο α. α). Να αποδείξετε ότι η ακολουθία α ν είναι αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο α = 9, και διαφορά ω =. β). Να βρείτε το άθροισμα των 5 όρων αυτής. γ). Να βρείτε την τάξη του όρου της παραπάνω προόδου που είναι ίσος με 49. (μ.+8+5) Δίδεται το πολυώνυμο Ρ(x) = αx 3 + (β )x 3x β + 6, όπου α, β πραγματικοί αριθμοί. α). Αν ο αριθμός είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + είναι ίσο με, τότε να δείξετε ότι α = και β = 4. β). Για τις τιμές του α, β του ερωτήματος α). να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0. (μ.5+0) Δίδεται η συνάρτηση f(x) = ln(e x + ) και η συνάρτηση g(x) = ln(3e x ). α). Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω συναρτήσεις ορίζονται για κάθε τιμή του x. β). Να λύσετε την ανίσωση : ω 3ω + < 0 γ). Να λύσετε την ανίσωση : e x 3e x + < 0. (μ.5+0+0)

8 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 Α). Αν θ > 0, θ > 0 και α > 0, να αποδείξετε ότι ισχύει : log log log. Β). Πότε μια ακολουθία (α ν ) λέγεται γεωμετρική πρόοδος. (μ.0+5) Γ). Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστές ή λάθος. ). Η συνάρτηση f(x) = α x, με α > 0 έχει πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το (0, +). ). H συνάρτηση f(x) = lnx, x > 0 είναι γνησίως φθίνουσα. 3). Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει β = α + γ. 4). Ισχύει συν(α) = συν α. 5). Το πολυώνυμο Ρ(x) = 0, είναι μηδενικού βαθμού. (μ.0) α). Να αποδείξετε ότι : x x x. 3 3 β). Να λύσετε την εξίσωση : x x x 0. (μ.5+0) 3 3 Δίδεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 kx 4x + 3, όπου κ R το οποίο έχει παράγοντα (x + ). α). Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού κ. β). Αν κ = 5. ). Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x ). ). Να λύσετε την ανίσωση P(x) < 0. (μ.9+6) Α). Να δείξετε ότι : α lnβ = β lnα, όπου α, β > 0. Β). Να λύσετε την εξίσωση : 3 lnx = 9 + 8x ln3. (μ.0+5)

9 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 Α). Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις. ). ημ(α + β) = ημασυνβ + ημβσυνα. ). συν(α + β) = συνασυνβ ημαημβ. Β). Να αποδείξετε ότι : ημ(α) = ημασυνα. Να λυθεί η εξίσωση : x 3 7x + 6 = 0. Δίδεται η αριθμητική πρόοδος : 3, 6, 9, να βρεθούν. ). Η διαφορά ω. ). Ο τέταρτος όρος α 4 3). Ο δέκατος όρος α 0. 4). Το άθροισμα α + α + α 3 + α 4 =... 5). Το άθροισμα των 0 είκοσι πρώτων όρων. (S 0 =... ) 6). To άθροισμα : α 5 + α 6 + α 7 + + α 0 =... Α). Αν για την γωνία φ έχουμε : και ημφ = 3, να υπολογίσετε το συνφ. 5 Β). Να υπολογίσετε το ημω και το συνω της γωνίας ω του παρακάτω σχήματος. Β 3 Α Γ Γ). Να υπολογιστούν : ημ(φ + ω) =.... και συν(φ +ω) =...

0 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 Α). Δείξτε ότι ο νοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α και διαφορά ω είναι : α ν = α + (ν )ω. (μ.0) Β). Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά. α). Αν...... =..... τότε αριθμός....είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x). β). Η συνάρτηση f(x) = α x, με 0 < α < είναι γνησίως....... (μ.5) Γ). χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λάθος. ). ημx = ημθ x = κπ θ, κ Ζ. ). Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε : β = αγ. 3). Το μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. 4). Αν α, β > 0 τότε : ln(αβ) = lnα + lnβ. 5). Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = lnx είναι το R. Δίδεται η αριθμητική πρόοδος α ν με α 0 = 34 και α 6 = 58. Α). Δείξτε ότι α = και ω = 4. Β). Βρείτε i). To άθροισμα των 0 πρώτων όρων της. ii).τους όρους α και α 6. iii).τον γεωμετρικό μέσο των αριθμών α και α 6. (μ.0+5) Δίδεται το πολυώνυμο P(x) = αx 3 βx + 6, με α, β R. A). Αν το P(x) έχει ρίζες τους αριθμούς και να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β. Β). Για α = και β = 7, να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων. i). f(x) = x ii). g(x) = P x x (μ.9+6) Δίδεται η συνάρτηση f(x) = (lnα ) x. A). Να βρείτε τις τιμές του α R, για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το R. B). Βρείτε τις τιμές του α R, για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα. Γ). Αν α = e 3, να βρείτε το θ ώστε f(συνθ) + f(συν θ) = 3. (μ.8+8+9)

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 Α). Αν 0 < α και θ, θ πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι : log α (θ θ ) = log α θ + log α θ. Β). Πότε μια ακολουθία (α ν ) λέγεται γεωμετρική πρόοδος. Γ). Επιλέξτε την αντίστοιχη σωστή απάντηση για τις παρακάτω προτάσεις. ). Η εξίσωση συνx =, x R έχει : [α]. άπειρο πλήθος λύσεων [β]. Μία λύση [γ]. Καμία λύση. ). Το πολυώνυμο P(x) = α ν x ν + α ν x ν + + α x + α 0, έχει ρίζα το 0, τότε για το α 0 ισχύει : [α]. α 0 > 0 [β]. α 0 < 0 [γ]. α 0 = 0 3). Οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε [α]. β = α + γ [β]. β = αγ [γ]. β = αγ 4). Διαιρούμε το πολυώνυμο Ρ(x) = 008(x ) 3 με το x. το υπόλοιπο της διαίρεσης αυτής είναι : [α]. υ = 3 [β]. υ = 0 [γ]. υ = 3 5). Αν lnθ = x, τότε : [α]. e θ = x [β]. x e = θ [γ]. e x = θ Δίδεται η ακολουθία με γενικό όρο α ν = 5 + 3ν, ν Ν *. Α). Να υπολογίσετε τους όρους α, α, α 3, α 4, α 5. Β). Να αποδείξετε ότι η ακολουθία α ν είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε την διαφορά ω. Γ). Να βρείτε το άθροισμα S = α 5 + α 6 + + α 3, όπου α 5, α 6,, α 3 διαδοχικοί όροι της Προόδου (α ν ). (μ.5+0+0) Δίδεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x 4 (συνα)x 3 + (συνα)x (συνα)x + συν 3 α, α R. A). Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο x συνa είναι παράγοντας του P(x). B). Για α = 0, να λύσετε την εξίσωση : Ρ(x) = 0. (μ.+3) Δίδεται η συνάρτηση f(x) = ln 3x ln x 5 A). Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Β). Να λυθεί η εξίσωση f(x) =. Γ). Αν x > 6, να λυθεί η ανίσωση : f(x) >.. (μ.8+8+9)

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 A). Να δείξετε ότι : ημ(α) = ημασυνα. Β). Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν επιλέγοντας σωστό ή λάθος. x log x ). Για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς x, x ισχύει : log. x log x ). Για κάθε γωνία α ισχύει : εφ α =. 3). Ένα πολυώνυμα Ρ(x) έχει παράγοντα το x ρ, αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x) δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0. 4). Τρείς αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν β = α + γ. 5). Έστω η εκθετική συνάρτηση f(x) = α x, α > και x R. Τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. (μ.5) Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ν ) είναι : α 8 = και S 0 = 340. A). Να βρείτε τον πρώτο όρο α και την διαφορά ω της προόδου. B). Βρείτε τον όρο της προόδου που ισούται με 36. Γ). Να υπολογίσετε το άθροισμα : S 6 = α + α + + α 6. (μ.0+7+8) Δίδεται πολυώνυμο P(x) = αx 3 + (β )x 3x β + 6, α, β R. A). Αν ο αριθμός είναι ρίζα του Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x είναι, Να βρείτε τα α, β. Β). Για τις τιμές των α, β που βρήκατε στο ερώτημα Α). να λυθεί η ανίσωση : Ρ(x) 0. (μ.0+5) Δίδεται η συνάρτηση f(x) = ln( e x ). A). Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. B). Έστω οι αριθμοί α = x, β = f(x), γ = ln4. Αν α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να βρείτε το x.

3 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι τι υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x = ρ. (μ.9) β). Να συμπληρώσετε τους παρακάτω τύπους : ). ημ(α) =.... ). συν(α) =.... (3 τύποι) (μ.6) α). Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις : ). Το πολυώνυμο Q(x) έχει ρίζες τους αριθμούς και 3. άρα, διαιρείται με τα : [Α]. x και x + 3 [B]. x και x 3 [Γ]. x + και x 3 [Δ]. x + και x + 3. ). Δίδεται η αριθμητική πρόοδος με α = και ω = 3. Ο όρος α 0 ισούται με : [Α]. 0 [B]. 30 [Γ]. 300 [Δ]. 30. (μ.5) β). Να αποδείξετε ότι :. 6 6 (μ.7) 4 4 γ). Να υπολογίσετε την παράσταση Α =. 8 8 (μ.7) α). Ποιες είναι οι πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου Ρ(x) = x 4 5x 3 + x + 7x + ; Εξηγήστε. (μ.7) β). Να εκτελέσετε τη διαίρεση του πολυωνύμου Ρ(x) = x 4 5x 3 + x + 7x +, με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x +. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. Τι υπόλοιπο έχει ; Με τι ισούται η τιμή Ρ() ; Τι συμπεραίνεται ; (μ.0) γ). Να λύσετε την εξίσωση x 4 = 6x. (μ.8) α). Να υπολογίσετε τα παρακάτω, δικαιολογόντας κατάλληλα : ). log000 =... ). log0,0000 =.... 3). 6 =.... 4). 5 3 =.... (μ.) β). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις, δικαιολογόντας κατάλληλα τα βήματά σας : ). 00 x 3 = 000 ). log(x + 999) = 3 (για x > 0 ) γ). Να λύσετε την παρακάτω ανίσωση, διακιολογόντας κατάλληλα τα βήματά σας : x. (μ.4) 8 δ). Να αποδείξετε ότι : log + 3 log8 log3 = log. 5 (μ.5)

4 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 A). Αν α, β, γ είναι τρεις διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου τότε να αποδείξετε ότι β = αγ (μ.3) Β). Είναι σωστές ή λάθος οι παρακάτω προτάσεις. ). Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = lnx και g(x) = e x. ). Η συνάρτηση f(x) = logx είναι περιττή. 3). Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x ρ είναι ένα πολυώνυμο πρώτου Βαθμού. 4). Στην εξίσωση α ν x ν + α ν x ν + + α x + α 0 = 0, με ακέραιους συντελεστές, αν ο ακέραιος ρ διαιρεί τον α 0 τότε ο ρ είναι σίγουρα ρίζα της εξίσωσης. (μ.8) Γ). Πότε μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος. (μ.3) Δίδεται το πολυώνυμο Ρ με τύπο P(x) = 3x 3 + αx + βx 6. i). Να βρεθούν τα α, β ώστε το Ρ να έχει ρίζες τους αριθμούς και 3. ii).για ποιες τιμές των α, β που θα βρείτε να λυθεί η εξίσωση P(x) = 0. (μ.5+0) Δίδεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = log(x 3 3x + x + ). i). Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. ii).να αποδείξετε ότι f(0) + f() + f(3) =. (μ.5+0) Δίδεται η ακολουθία με γενικό τύπο α ν = 3ν. i).να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος. ii).να βρείτε τον ο όρο της (α ) και την διαφορά της (ω). iii).να υπολογίσετε το άθροισμα α 0 + α + α + + α 00. (μ.8+5+)

5 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 Α). Αν α > 0 με α, τότε για οποιοδήποτε θ, θ > 0 να αποδείξετε ότι : log α (θ θ ) = log α θ + log α θ. (μ.7) Β). αντιστοιχίστε το γράμμα της Α στήλης με τον αριθμό της Β στήλης. α). ημ(α) ). συν α β). εφ(α + β) ). γ). συν α 3). δ). συν(α) 4). 5). 6). ημασυνα Γ). Χαρακτηρίστε σωστές ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις. ). Αν α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β = α + γ. ). Η συνάρτηση f(x) = logx παίρνει μόνο θετικές τιμές. 3). lne = 4). H συνάρτηση f(x) = e x είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. 5). Το άθροισμα των ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου είναι : S ν = (μ.8). (μ.0) Α). Να αποδείξετε ότι η ακολουθία x 3, x +, x + 5, είναι αριθμητική πρόοδος. Β). Ποιος όρος της παραπάνω προόδου ισούται με x + 33. Γ). Να λύσετε την εξίσωση : (x 3) + (x + ) + (x + 5) + + (x + 33) = 90. (μ.8+7+0) Για την γωνία α ισχύει : 5συν(α) + 6ημα 7 = 0. ). Να αποδείξετε ότι : ημα = 3 5 ). Αν 90 ο < α < 80 ο να υπολογίσετε : α). το συνα β). τα ημ(α), συν(α), εφ(α). (μ.8+8+9) Έστω η συνάρτηση f(x) = log x log x. ). Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ). Να λύσετε την εξίσωση : f(x) + f x = 0 3. (μ.0+5)

6 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 Α). α). Αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = Ρ(ρ). β). Τα πολυώνυμα P(x) = x 3 βx + 5 και Q(x) = x 3 + βx + 5 β, β R είναι ίσα όταν ο β ισούται με : [Α]. [Β]. 0 [Γ]. [Δ]. 5 [Ε]. 5. γ). Το πολυώνυμο P(x) = (x ) 008 + x 3 το διαιρούμε με το διώνυμο x. Το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης είναι : [Α]. 0 [Β]. 3 [Γ]. 3 [Δ]. [Ε]. Β). Χαρακτηρίστε τις προτάσεις ως σωστές ή λάθος. ). Αν θ ένας θετικός πράγματικός αριθμός τότε ισχύει η ισότητα ln log. ln0 ). lne =. 3). loge = ln0 4). log + log 7 = log9. 5). Αν x 0,, τότε ισχύει : ln(ημx) ln = ln(ημx) + ln(συνx). (μ.0) α). Η τιμή της παράστασης ημ5 ο ημ75 ο είναι ίση με [Α]. [Β]. [Γ]. [Δ]. 3 3 β). Να αποδείξετε ότι :. (μ.5+0) Δίδεται το πολυώνυμο P(x) = x 5 + x 4 + κx + λ. α). Να προσδιορίσετε τα κ, λ R ώστε το πολυώνυμο να έχει παράγοντα το (x + ). β). Να βρείτε τα διαστήματα του x R στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x) βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx. (μ.0+5) x e Δίδεται η συνάρτηση f(x) = ln x. e 5 α). Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β). Να λύσετε την εξίσωση f(x) = ln. γ). Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 0. (μ.5+0+0)

7 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008. Α). Να αποδειχθεί ότι : ημ(α) = ημασυνα. (μ.0) Β). Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστό ή λάθος. ). Η συνάρτηση f(x) = α x, με α > έχει πεδίο ορισμού το R. ). To άθροισμα των πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου (α ν ) με λόγο λ είναι S ν = α ν 3). Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μεδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των δύο πολυωνύμων. 4). συν(α β) = συνασυνβ ημαημβ. 5). Οι λύσεις της εξίσωσης εφx = εφθ είναι : x = kπ + θ, κ Ζ. (μ.5) Αν ημα = 3 5 και 0 < α <. Να υπολογίσετε τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς. ). εφα ). εφ(α) 3). εφ(3α) Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι α 8 = ημx, α 9 = συν x, α 0 = και x α). Να αποδείξετε ότι x = 6. 0, 3. β). Να βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου. γ). Να βρείτε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου. δ). Να υπολογίσετε το άθροισμα των 40 πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου. (μ.5) Δίδεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 + 3x 8. α). Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + 4. β). Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) = log[p(x) + 4]. γ). Να λύσετε την εξίσωση log[p(x) + 4] log(x x + 4) =. (μ.5)

8 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 Α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = Ρ(ρ). Β). Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή ή λάθος. ). ημ ω συν ω =. ). εφω =, για ω κπ + 3). Ο νοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο το α και διαφορά ω είναι α ν = α + (ν )ω. 4). Αν α > 0 με α τότε για οποιαδήποτε θ, θ > 0ισχύει log α (θ θ ) = log α θ + log α θ. Α). Να γίνουν οι πράξεις χρησιμοποιόντας τις ιδιότητες των λογαρίθμων. log 5 4 + log 5 0 4log 5 + log 55 + 3 log 58. B). Να λυθούν η εξίσωση και η ανίσωση : i). 6 x ii). 5 x 5. A). Να λυθεί η εξίσωση χρησιμοποιόντας το σχήμα Horner. 3x 4 x 3 6x 3x = 0. B). Να λυθεί η τριγωνομετρική εξίσωση : συν x 5ημx + = 0. A). Δίδεται η αριθμητική πρόοδος,, 4, 7, αφού βρεθεί ο πρώτος όρος της (α ) και η διαφορά ω της προόδου, να υπολογίσετε τον εικοστό της όρο (α 0 ). Β). Δίδεται αριθμητική πρόοδος α = 7 και α 9 = 4. Αφού βρεθεί ο πρώτος όρος α και η διαφορά ω της προόδου, να βρεθεί πόσους πρώτους όρους της πρέπει να πάρουμε ώστε να έχουν άθροισμα 70.

9 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 Α). Να αποδείξετε ότι : ημ(α) = ημασυνα. (μ.3) Β). Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λάθος. ). συν(α β) = συνασυνβ ημαημβ. ). Ο νοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου δίδεται από τον τύπο α ν = α λ ν, όπου α ο πρώτος της όρος και λ ο λόγος της. x x 4 4 3). Αν x < x τότε 3 3. 4), Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό μηδέν. (μ.) Δίδεται το πολυώνυμο Ρ(x) = 3x 3 λx 3x +. i). Να βρεθεί η τιμή του λ αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x είναι. ii).για λ =, να γίνει η διαίρεση P(x) : (3x ) και να γράψετε την ταυτότητα της. (μ.+3). Δίδονται οι αριθμοί κ = 3x + 5, λ = x και μ = x + 3 που είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. α). Να βρείτε το x. β). Αν κ = 3x + 5 είναι ο 7 ος όρος της παραπάνω αριθμητικής προόδου να βρείτε τον πρώτο όρο α της αριθμητικής προόδου. (μ.3+) Δίδεται η συνάρτηση f(x) = log(x ). i). Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. ii).να βρεθούν για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα xx. (μ.+3)