ΜΑΘΗΜΑ 49 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α

4. ΜΑΘΗΜΑ 49 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α Έστω συνάρτηση f συνεχής στ R κι ( ) είξτε ότι 3 g() ( 3 ) f (t)dt i Υπάρχει έν τυλάχιστν ξ (3, ) ώστε Θέτυµε h() f (t)dt Η g() γράφετι g() g() f (t)dt (t )dt, R f (t)dt, R () h()(t )dt h() (t )dt h() t t h() [( ) ( )] h() ( 3) () f (t)dt ( 3) 3( ξ ) f (t)dt ξ(ξ 3)f(ξ). ξ ( 3 3 ) f (t)dt i Αφύ η f είνι συνεχής στ R, η f (t)dt είνι πργωγίσιµη στr. Επµένως η g είνι πργωγίσιµη στ R (πράξεις πργωγίσιµων), άρ πργωγίσιµη κι στ [3, ] Ακόµ είνι g(3) g(). Οπότε γι την g ισχύει τ θεώρηµ Roll στ διάστηµ [3, ]. Θ υπάρχει, λιπόν, έν τυλάχιστν ξ (3, ) ώστε g (ξ) () Όµως ( g () ( 3 3 ) f (t)dt ( 3 3 ) ( f (t)dt ) () (3ξ 6ξ) ξ(3ξ 6) 3ξ(ξ ) ξ (3 6) f (t)dt (ξ 3 3ξ ) f(ξ) ξ f (t)dt ( 3 3 ) f() f (t)dt ξ(ξ 3ξ) f(ξ) ξ f (t)dt ξ (ξ 3) f(ξ) 3(ξ ) f (t)dt ξ(ξ 3) f(ξ) ξ Ν θυµάστε υτή τη διδικσί Σε δύσκλες σκήσεις εφρµόστε Roll ή Θ.Μ.Τ τυφλά.

4. Έστω συνάρτηση f ρισµένη στ R κι τέτι ώστε γι κάθε R ν ισχύει (fof)(). είξτε ότι Είνι i εν είνι µνότνη ii Είνι περιττή iν) f() H υπόθεση γίνετι ( ff)() f(f()). () Έστω τυχί, R µε f( ) f( ) Άρ η f είνι i f(f( )) f(f( )) Έστω ότι η f είνι γνησίως ύξυσ. () Τότε γι κάθε, R µε < f( ) < f( ) Άρ η f δεν είνι γνησίως ύξυσ. Οµίως κι γι γνησίως φθίνυσ ή στθερή. ii f(f()) () Θυµήσυ τν ρισµό της f f(f( )) < f(f )) < > άτπ Στη () θέτυµε όπυ τ f(), τότε f(f(f())) f() (3) Επίσης πό την () πρκύπτει ότι f(f(f())) f( ) (4) Από τις (3), (4) f( ) f(), άρ η f είνι περιττή. iν) Η f( ) f() γι f() f() f() f()

3 43. Έστω f, g, h τρείς συνρτήσεις ρισµένες στ R, τέτιες ώστε γι κάθε R ν ισχύει (gof)() (hog)(). είξτε ότι Η g είνι i Τ σύνλ τιµών της g είνι τ R ii g () f () h() Η υπόθεση γίνετι g(f()) () κι h(g()) () Έστω, R µε g( ) g( ) h(g( )) h(g( )) Άρ η g είνι i () Έστω τυχίς πργµτικός ριθµός. Αρκεί ν πδείξυµε ότι υπάρχει πργµτικός ριθµός β έτσι, ώστε ν ισχύει g(β). Η () γι δίνει g(f()) Επµένως ζητύµενς β είνι f() ii Επειδή η g είνι κι έχει σύνλ τιµών τ R, η g ντιστρέφετι µε g : R R Η () g(f()) f() g () Στη () θέτυµε όπυ τ g () : h(g(g ())) g () h() g ()

4 44. Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f διέρχετι πό τ σηµεί Α(, ) κι Β(, 5) κι γι κάθε R ισχύει f() βf() 5( 4 9) Ν βρείτε τ κι β i Ν δείξετε ότι f() 4 3 Αφύ η C f διέρχετι πό τ Α κι Β θ είνι f() κι f () 5 Η υπόθεση γι 3 δίνει f() βf() 3. β. 5 3 β κι γι δίνει f() βf() 45. 5 β. 45 3 i Γι 3 κι β η υπόθεση γίνετι 3f() f() 5( 4 9) () Στην () θέτυµε y, πότε y κι (y ) y y Οπότε 3f(y) f() 5[(y ) 4(y ) 9]. 5(y 5) () Στην () θέτυµε u, πότε u κι u u Οπότε 3f( u) f(u) 5[( u) 4( u) 9] 5(y y 6) (3) Λύνντς τ σύστηµ των (), (3) βρίσκυµε f(y) y 4y 3 Άρ f() 4 3

5 45. Έστω συνάρτηση f συνεχής στ R κι τέτι ώστε γι κάθε R ν ισχύει f () f() κι f(). Ν πδείξετε ότι η f διτηρεί στθερό πρόσηµ στr. i Ν βρείτε τν τύπ της f. ii Ν εξετάσετε την f ως πρς την µντνί κι τ κρόττ. iν) Ν βρείτε τ σύνλ τιµών της f. Αν η f δεν διτηρεί στθερό πρόσηµ στ R, φύ υτή είνι συνεχής, µε τ Θ. Bolzano θ υπάρχει έν τυλάχιστν o R τέτι ώστε f( ). Η υπόθεση γι δίνει f ( o ) o f( o ) άτπ. i Βλέπυµε την υπόθεση σν εξίσωση δεύτερυ βθµύ µε άγνωστ τ f(). Λύνντάς την βρίσκυµε Γι έχυµε Άρ δεκτός τύπς είνι ii f () 4 Αρκεί ν πδείξυµε ότι 4 f () ή f () 4 4 4 f () ή f () (άτπ) ή f () 4 4 4 4 < < γι κάθε R () ή Ότν, η () είνι πρφνής ( µέλς θετικό κι µέλς ) Ότν <, πό την () ρκεί ν πδείξυµε 4 > ( ) 4 > πυ ισχύει () f γνησίως φθίνυσ στ R κι δεν έχει κρόττ iν) f () f () 4 > () 4 ( )( ) 4 ( ) ( ) ( 4)( 4) ( 4) 4 ( 4) 4 ( 4) 4. Οπότε f(a) (, )

6 46. ίνετι η συνάρτηση f() m 4 5, όπυ m > Αν f() γι κάθε R, ν βρείτε τ m i Αν m, ν βρείτε τ f (), f () f() m 4 5 Οπότε, γι κάθε R ισχύει f() f() Με τ Θ.Frmat, πό νισότητ συµπερί νυµε ισότητ ηλδή στ εσωτερικό σηµεί τυ R η f πρυσιάζει ελάχιστ. Κι επειδή η f είνι πργωγίσιµη στ, µε βάση τ θεώρηµ τυ Frmat, θ έχυµε f (). () f () ln m lnm4 ln45 ln5 f () ln m lnm4 ln45 ln5 ln lnmln4ln5 ln m 4 5 () ln m m m i Γι m είνι f() 4 5 f () f () ( 4 5 ) ( 4 5 ) ( ) ( ) 4 5 ( ) ( ) κι ln m 4 (ι βάσεις είνι µετξύ κι ) 5

7 47. Έστω f πργωγίσιµη στ R συνάρτηση γι την πί ισχύει f() κι f ()f() 4-3 γι κάθε R. Ν πδείξετε ότι η συνάρτηση h() - f() -4 είνι στθερή i Ν βρείτε τν τύπ της f Επειδή η f είνι πργωγίσιµη στ R, είνι πργωγίσιµη στ R κι η h. h () - f() f () - 4-4 - f() (f() 4-3 ) - 4-4 - f() f() - 4-3 - 4-4 Άρ h() c στ R i h() c - f() -4 c () Γι η () f() f() c c c c Η () γίνετι - f() -4 - f() -4 f() -3 48. Έστω η συνάρτηση, ν f () ln, ν > µε R. Ν βρείτε τ ώστε η f ν είνι συνεχής στ i Αν, ν εξετάσετε ν η f είνι πργωγίσιµη στ. ii Ν βρείτε τ διστήµτ µντνίς της f. iν) Ν υπλγίσετε τ εµβδόν τυ χωρίυ πυ ρίζετι πό τη C f, τν άξν κι τις ευθείες κι. Πρέπει ν ισχύει f () f () f() () f () ( ) f () f( ) ( ln ) ( ) () ln ( )

8 i ν Γι η f γίνετι f () ln ν > f () f () f () f () ln ln Άρ η f δεν πργωγίζετι στ ii ν < f () ln ν > f () ln ln - Πρόσηµ της f κι µντνί της f - f f iν) Λόγω των ευθειών κι, τ διάστηµ λκλήρωσης είνι τ [, ]. Από τν τύπ της f, είνι f() γι κάθε [, ] Άρ τ ζητύµεν εµβδόν είνι Ε. ln d ln d ln d d 4 4 τετργωνικές µνάδες

9 49. Έστω f συνεχής συνάρτηση στ (, ), κι β R µε < < β, β f (t)dt κι g() f (t)dt, (, ). είξτε ότι : Η C g δέχετι ριζόντι εφπτµένη σ έν τυλάχιστν σηµεί (, ) i g( ) f( ) Γι ιδιότητ της πργώγυ υπψιζόµστε Θ. Roll ή Θ.Μ.Τ f συνεχής στ (, ) η f (t)dt είνι πργωγίσιµη στ (, ), πότε κι η g είνι πργωγίσιµη στ (, ), άρ κι στ [, β] Είνι g( ) f (t)dt κι g(β) f (t)dt β β Σύµφων µε τ θεώρηµ Roll θ υπάρχει έν τυλάχιστν (, β) (, ) ώστε g ( ), πράγµ πυ σηµίνει ότι στ σηµεί (, g( )) η C g δέχετι β ριζόντι εφπτµένη. i Γι κάθε (, ) είνι g() f (t)dt g() f (t)dt ( g()) ( f (t)dt ) g() g () f() κι γι g( ) g ( ) f( ) g( ) f( ) g( ) f( ) 5. Έστω συνάρτηση f πργωγίσιµη στ [, β], µε f() < f(β) κι την f γνησίως ύξυσ στ [, β]. είξτε ότι : Υπάρχει (, β) τέτι ώστε f( ) f ( ) f ( β ) β i Υπάρχυν, (, β) τέτι ώστε f ( ) f ( ) f ( β) f ( ) β ii Γι τ τυ ερωτήµτς ( είνι >

f ( ) f ( β) Θεωρύµε τ η συνάρτηση h() f(), [, β] f ( ) f ( β) Η h είνι πρφνώς συνεχής στ [, β] µε h() f() f ( ) f ( β ) f ( ) f ( β) κι h(β) f(β) f ( β ) f ( ) ( f ( ) f ( β) ) Οπότε h()h(β) < 4 Επµένως γι την h ισχύει τ θεώρηµ Bolzano στ [, β], πότε υπάρχει έν τυλάχιστν (, β) ώστε h( ) f ( ) f ( β) f( o ) Γι την ύπρξη δύ σηµείων f( o ) f ( ) f ( β ) πιτύντι δύ διστήµτ i H f είνι συνεχής σε κάθε έν πό τ διστήµτ [, ], [ o, β] κι πργωγίσιµη σε κάθε έν πό τ διστήµτ (, ), ( o, β) Άρ, γι την f σε κάθε έν πό τ πρπάνω διστήµτ, ισχύει τ Θ.Μ.Τ, πότε υπάρχυν (, ) κι (, β) τέτι ώστε f ( ) f ( β) f ( o ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( β ) f ( ) φύ f()< f(β) ( ) f ( β) f ( o ) f ( ) β Άρ f ( ) f ( β) f ( β) f ( β ) f ( ). β ( β ) ( ) f ( ) f ( ) f ( β) f ( ) ( β ) f ( β) f ( ) ( β) f ( β) f ( ) ii < κι f γνησίως ύξυσ f( ) < f( ) κι φύ >, β > f ( β) f ( ) ( ) < f ( β ) f ( ) ( β ) < β β < β < > β