ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Transcript

1 Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ δ γ i Ν δείξετε ότι: i γ δ γ δ i γ δi γ δ γ δ i Γι εκφράσουμε το πηλίκο όπου γ δi στη μορφή κ λi πολλπλσιάζουμε γ δi τους όρους του κλάσμτος με το συζυγή του προομστή κι έχουμε: i i γ δi γ δ γ δ i γ δ γ δ i γ δi γ δi γ δi γ δ γ δ γ δ Ν δείξετε ότι: z + z = z + z z z i γ δi γ δ i γ δ i i γ δi z z Επίλυση της Εξίσωσης z z γ με γ κι Εργζόμστε όπως στη τίστοιχη περίπτωση στο κι τη μετσχημτίζουμε με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετργώω στη μορφή: Δ z 4 όπου Δ 4γ η δικρίουσ της εξίσωσης Έτσι έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Δ Tότε η εξίσωση έχει δύο πργμτικές λύσεις: Δ Tότε η εξίσωση έχει μι διπλή πργμτική λύση: Δ Tότε επειδή Δ Δ i Δ 4 4 ι Δ i z Άρ οι λύσεις της είι: Δ z z i z Δ η εξίσωση γράφετι: Δ οι οποίες είι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί

2 Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: z z z z όπου z z είι μιγδικοί ριθμοί Έχουμε: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z κι επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει θ ισχύει κι η ισοδύμη ρχική Έστω το πολυώυμο P κι Ν δείξετε ότι: P P Σύμφω με τις ιδιότητες έχουμε: P P Επομέως P P Θεώρημ εδιάμεσω τιμώ Έστω μι συάρτηση η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [ ] Α η είι συεχής στο [ ] κι τότε γι κάθε ριθμό η μετξύ τω κι υπάρχει ές τουλάχιστο τέτοιος ώστε η Ας υποθέσουμε ότι Τότε θ ισχύει η Α θεωρήσουμε τη συάρτηση g η [ ] η πρτηρούμε ότι: η g είι συεχής στο [ ] κι a g g φού g η κι g η O Επομέως σύμφω με το θεώρημ του Bolzano υπάρχει τέτοιο ώστε g η οπότε η ΘΕΩΡΗΜΑ Α μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σ έ σημείο τότε είι κι συεχής στο σημείο υτό Γι έχουμε οπότε [ ] φού η είι πργωγίσιμη στο Επομέως δηλδή η είι συεχής στο y a Α B y=η

3 Επιμέλει - Κ Μυλωάκης 3 Εστω η στθερή συάρτηση c c Ν δείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει δηλδή c Α είι έ σημείο του τότε γι ισχύει: c c Επομέως δηλδή c Έστω η συάρτηση Ν δείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει δηλδή Α είι έ σημείο του τότε γι ισχύει: Επομέως δηλδή Έστω η συάρτηση {} Ν δείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει δηλδή Α είι έ σημείο του τότε γι ισχύει: οπότε δηλδή Έστω η συάρτηση Ν δείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει δηλδή Α είι έ σημείο του τότε γι ισχύει: οπότε δηλδή Προσοχή!!! Η δε είι πργωγίσιμη στο

4 Επιμέλει - Κ Μυλωάκης ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις g είι πργωγίσιμες στο τότε η συάρτηση κι ισχύει: g g Γι ισχύει: g είι πργωγίσιμη στο g g g g g g Επειδή οι συρτήσεις g είι πργωγίσιμες στο έχουμε: g g g g g δηλδή g g * Έστω η συάρτηση Ν δείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο * κι ισχύει δηλδή Γι κάθε * έχουμε: Έστω η συάρτηση R { συ } κι ισχύει Πράγμτι γι κάθε έχουμε: εφ Ν δείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο δηλδή εφ συ συ ημ ημ συ ημσυ συσυ ημημ συ ημ εφ συ συ συ συ συ Ν δείξετε ότι η συάρτηση δηλδή R Z είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει Α y ln e κι θέσουμε u ln τότε έχουμε u y e Επομέως u u ln y e e u e Ν δείξετε ότι η συάρτηση ln δηλδή ln ln Α y e κι θέσουμε u ln τότε έχουμε Επομέως u u ln y e e u e ln ln 4 είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει u y e

5 Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι η συάρτηση ln * είι πργωγίσιμη στο * κι ισχύει ln Πράγμτι τότε ln ln εώ τότε ln ln οπότε θέσουμε y ln κι u έχουμε y ln u Επομέως y ln u u κι άρ u ln ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε Δ ισχύει Πράγμτι Α τότε προφώς Α τότε στο διάστημ [ ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως υπάρχει ξ τέτοιο ώστε ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει ξ οπότε λόγω της είι Α τότε ομοίως ποδεικύετι ότι Σε όλες λοιπό τις περιπτώσεις είι ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συρτήσεις g ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι g είι συεχείς στο Δ κι g γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ τότε υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε γι κάθε Δ ισχύει: g c Η συάρτηση h g είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει: h g g Επομέως σύμφω με το πρπάω θεώρημ η συάρτηση h g είι στθερή στο Δ Άρ υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε γι κάθε Δ ισχύει g c οπότε g c 5

6 Επιμέλει - Κ Μυλωάκης ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση η οποί είι σ υ ε χ ή ς σε έ διάστημ Δ Α σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ τότε η είι γησίως ύξουσ σε όλο το Δ Έστω Δ με Θ δείξουμε ότι Πράγμτι στο διάστημ ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ [ Επομέως υπάρχει ξ τέτοιο ώστε ξ οπότε έχουμε ξ Επειδή ξ κι έχουμε οπότε ΘΕΩΡΗΜΑ Fermat Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό τότε: Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει y σ υτό τοπικό μέγιστο υπάρχει δ τέτοιο ώστε δ δ Δ κι γι κάθε δ δ Επειδή επιπλέο η είι πργωγίσιμη στο ισχύει O δ +δ Επομέως δ τότε λόγω της θ είι οπότε θ έχουμε δ τότε λόγω της θ είι οπότε θ έχουμε 3 Έτσι πό τις κι 3 έχουμε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη 6

7 Επιμέλει - Κ Μυλωάκης ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ με εξίρεση ίσως έ σημείο του στο οποίο όμως η είι συεχής i Α στο κι στο τότε το είι τοπικό μέγιστο της ii Α στο κι στο τότε το είι τοπικό ελάχιστο της iii A η διτηρεί πρόσημο στο τότε το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο i Eπειδή γι κάθε κι η είι συεχής στο η είι γησίως ύξουσ στο ] Έτσι έχουμε γι κάθε ] Επειδή γι κάθε κι η είι συεχής στο η είι γησίως φθίουσ στο [ Έτσι έχουμε: γι κάθε [ Επομέως λόγω τω κι ισχύει: γι κάθε που σημίει ότι το είι μέγιστο της στο κι άρ τοπικό μέγιστο υτής ii Εργζόμστε λόγως iii Έστω ότι γι κάθε Επειδή η είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ ] κι [ Επομέως γι ισχύει Άρ το δε είι τοπικό κρόττο της Θ δείξουμε τώρ ότι η είι γησίως ύξουσ στο Πράγμτι έστω με Α ] επειδή η είι γησίως ύξουσ στο ] θ ισχύει Α [ επειδή η είι γησίως ύξουσ στο [ θ ισχύει Τέλος τότε όπως είδμε Επομέως σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει οπότε η είι γησίως ύξουσ στο Ομοίως γι κάθε 7

8 Επιμέλει - Κ Μυλωάκης ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α F είι μι πράγουσ της στο Δ τότε όλες οι συρτήσεις της μορφή G F c c είι πράγουσες της στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρει τη μορφή G F c c Κάθε συάρτηση της μορφής G F c όπου c είι μι πράγουσ της στο Δ φού G F c F γι κάθε Δ Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της στο Δ Τότε γι κάθε Δ ισχύου F κι G οπότε G F γι κάθε Δ Άρ σύμφω με γωστό πόρισμ υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε G F c γι κάθε Δ ΘΕΩΡΗΜΑ Θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού Έστω μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [ ] Α G είι μι πράγουσ της στο [ ] τότε t dt G G Σύμφω με προηγούμεο θεώρημ η συάρτηση στο [ ] F t dt είι μι πράγουσ της Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της στο [ ] θ υπάρχει c τέτοιο ώστε G F c Από τη γι έχουμε G F c t dt c c οπότε c G Επομέως G F G οπότε γι κι άρ έχουμε G F G t dt G t dt G G 8