Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Transcript

1 Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων ολοκλήρωσης.. Ν επιλύει προλήμτ στ οποί δίνετι ο ρυθμός μετολής ενός μεγέθους ως προς έν άλλο κι ζητείτι η συνάρτηση που εκφράζει τη σχέση των δύο μεγεθών. 3. Ν γνωρίζει τις στοιχειώδεις ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώμτος κι ν μπορεί ν τις εφρμόζει. 4. Ν γνωρίζει το θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού κι ν μπορεί ν το εφρμόζει στον υπολογισμό πλών ολοκληρωμάτων. 5. Ν υπολογίζει τ εμδά επιπέδων χωρίων που ορίζοντι πό τις γρφικές πρστάσεις συνρτήσεων.

2 . Ολοκληρωτικός λογισμός Τύποι - Βσικές έννοιες ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ : Τύποι - Βσικές έννοιες Πίνκς Αόριστων Ολοκληρωμάτων d = c, c R cd = c + c d = n + c, c R v+ v+ v d = + c, c R Θεώρημ: Αν f συνεχής στο Δ κι, Δ τότε η συνάρτηση F( ) = f() t dt είνι μι πράγουσ της f στο Δ, δηλδή ( ) ( ) () F' = f f t dt f ( ) =. Η συνάρτηση F( ) είνι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της. Θεμελιώδες Θεώρημ Ολοκληρωτικού Λογισμού (Θ.Θ.Ο.Λ.) Αν ( ) F μι πράγουσ της f στο Δ κι f συνεχής στο Δ κι, νήκουν στο Δ τότε: f ( ) d = F ( ) F ( ) = [ F ( )].. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι f( ) τότε το εμδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό την C f (γρφική πράστση της f) τον άξον κι τις ευθείες =, = είνι Ε( Ω) = f( ) d Πρτήρηση Το χωρίο Ω ορίζετι κι ως το σύνολο των σημείων Μ(,y) γι τ οποί ισχύουν κι y f( ).. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι f( ) γι τ [,] τότε το εμδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό την C f τον άξον κι τις ευθείες με εξισώσεις =, = είνι Ε( Ω) = [ f( ) ] d. d = + c, c R συνd = ημ+ c, c R ημd = συν + c, c R d = σφ + c, c R ημ d = + c, c R ed e c,c R = + d = εφ + c, c R συν n d = + c,c R

3 Τύποι - Βσικές έννοιες Ολοκληρωτικός λογισμός 3. Ισοδύνμη έκφρση του Ε( Ω ): Το σύνολο των σημείων Μ(,y ) γι τ οποί ισχύουν κι f( ) y. γ. Αν μι συνεχής συνάρτηση f στο [, ] δεν διτηρεί στθερό πρόσημο τότε το εμδόν του χωρίου που ορίζετι πό την C f τις ευθείες =, = κι τον άξον είνι Ε( Ω) = f( ) d. Στο πράδειγμ του σχήμτος είνι: Ε Ω = Ε Ω + Ε Ω + Ε Ω = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ρ ρ = f ( ) d + ( f ( ) ) d + f ( ) d ρ ρ. Το εμδόν του χωρίου που ορίζετι πό τις γρφικές πρστάσεις δύο συνεχών συνρτήσεων f, g στο [, ] κι πό τις ευθείες =, = είνι Ε( Ω) = f( ) g( ) d. Ειδικότερ:. Αν f( ) g( ), [,] τότε [ ] Ε( Ω) = f( ) g( ) d. Αν f( ) g( ), [,] τότε [ ] Ε( Ω) = g( ) f( ) d γ. Αν η διφορά f( ) g( ) δεν διτηρεί στθερό πρόσημο τότε Ε( Ω) = f( ) g( ) d. Στο πράδειγμ του σχήμτος είνι: Ε( Ω) = Ε( Ω) + Ε( Ω) + Ε( Ω) = 3 ρ ρ ( f( ) g( ) ) d+ ( g( ) f( ) ) d+ ( f( ) g( ) ) d ρ ρ

4 4. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ ο f µ µ µ. F µ f, : µ G( ) F( ) c, c R, f G f µ G( ) F( ) c, c R. µ G( ) F( ) c, µ c R, µ f, : G ( ) ( F( ) c) F ( ) f ( ),. G µ f. F ( ) f ( ) G ( ) f ( ), G ( ) F ( ),., µ µ µ, c, G( ) F( ) c,. f ( ) f - µ,,, : f ( ) d f ( ) d f ( ) d. µ µ ;

5 Βήμ ο Ολοκληρωτικός λογισμός 5. : ( ) ( ) ( ) ( ) f ( d, ( ) ) f ( ) d ( ) f ( ) d. 3 f µ µ µ, F ( ) f ( t) dt,, µ f. : f ( t) dt f ( ),. a µ µ - µ. µµ µ (. µ) : h F ( h) F( ) f ( t) dt µ. f ( ) h, µ h., µ h F( h) F( ) f ( ), h F( h) F( ) F ( ) lim f ( ) h h

6 6. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ ο g() 4 f ( t) dt f ( g( )) g( ), µ - µµ µ µ µ F() f (t)dt F() f F g F g g f g g : g() Fg f ( t) dt f ( g( )) g( ). 5 f µ µ [, ]. G µ f [, ], f ( t) dt G( ) G( ) F ( ) f ( t) dt µ f [, ]. - G µ f [, ], c R -, : G( ) F( ) c () (),, µ : G ( ) F( ) c f ( t) dt c c, c G(). µ, G( ) F( ) G( ) () (),, µ : G ( ) F( ) G( ) f ( t) dt G( ) f ( t) dt G( ) G( ).

7 Βήμ ο Ολοκληρωτικός λογισμός 7. 6,, f g, - µ [, ] µ f ( ) g( ) [, ] f, g. E ( ) ( f ( ) g( )) d. y y=f() y y=g() O () O () µ ( f ( ) d g( ) d ( f ( ). ) ( ) ( ) g( )) d µ, E ( ) ( f ( ) g( )) d. 7,, f g, - µ [, ] µ f ( ) g( ) [, ] f, g. E ( ) ( f ( ) g( )) d. µ, * µ c R : f, g [, ], - f ( ) c g( ) c, [, ].

8 8. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ ο

9 Βήμ ο Ολοκληρωτικός λογισμός 9.

10 3. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ ο Α. Από το σχολικό ιλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αόριστο ολοκλήρωμ -Ασκήσεις υπολογισμού -Προλήμτ σελ. 36, σκήσεις:iv,vi,vii,iv,v3 (Α ομάδ) σελ. 37 σκήσεις: 3,4,7 σελ. 38, σκήσεις:6 (Α ομάδ) σελ , σκήσεις:,3 (Β ομάδ) Ορισμένο ολοκλήρωμ -Ασκήσεις υπολογισμού σελ. 339, σκήσεις: 8,9 σελ. 34, σκήσεις:, σελ. 35, σκήσεις:,4 -Η συνάρτηση f () t dt σελ. 339, σκήσεις:3,5,6 a 3.6 Εμδόν επιπέδου χωρίου σελ. 349, σκήσεις: 3,4 (Α ομάδ) σελ , σκήσεις:,,5,9, (Β ομάδ) σελ. 35, σκήσεις: 5,6 σελ. 353 σκήσεις: 8,9 -Γενικές σκήσεις σελ. 353 άσκηση -Ερωτήσεις κτνόησης σελ

11 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 3.. Ν ρεθεί η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημ (, + ) γι την οποί ισχύει: () f() = () f ( ) =, γι κάθε > Από την () έπετι ότι: γι κάθε >, ( ) (*) όμως f () = n+ c= c= Άρ η ζητούμενη συνάρτηση είνι ( ) f = d = n + c (*) f = n+, >. Δίνετι η συνάρτηση ( ) ώστε η συνάρτηση ( ) f στο (, + ). n f =, >. Ν ρείτε τις τιμές των, n + g =, > ν είνι ρχική (πράγουσ) της Γι ν είνι η g ρχική της f στο (, + ) πρέπει κι ρκεί γι κάθε >, n n g ( ) = f( ) = n = n n n = ( ) n + = γι κάθε >. Άρ πρέπει = = κι κι = =. Δηλδή (,) = (, )

12 3. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο 3.. Ν ρείτε τους A,B γι τους οποίους ισχύει η σχέση A B + 3 = +, γι κάθε {,}. Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ: d. 3+ A B. 3+ = +, γι κάθε {,} δηλ. = A( ) + B( ), γι κάθε {,} ή = ( A + B) A B, γι κάθε {,}. οπότε A+ B= A = A B = B = 4. d = + d = d + 4 d = + ) 4 3 = n + 4n + c 4. Έστω συνάρτηση f :(,+ ) γι την οποί ισχύουν: () f() = () f ( ) f ( ). Bρείτε την f.. Yπολογίστε το: f ( ) d + =, γι κάθε >. Γι κάθε >, f ( ) + f ( ) = ( f ( ) ) = οπότε ( ) γι κάθε > ή ( ) Άρ ( ). ( ) + f =, > f = d = + c, f + c =, > (*) όμως f() = + c= c=. + f d = d = + d = + n + c

13 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός Έστω f :(,+ ) συνάρτηση πργωγίσιμη στο (, + ) κι τέτοι ώστε: ( ) f e d = + c, c. Ν ρεθεί το: = ( ). Ν προσδιορισθεί η f. I e f d υποθ ef( ) ( c). = ( ) = ( ) ( ) I e f d e f e f d ( ) = ef c. Αφού ( ) = + = f e d = + c, έπετι ότι f( ) e = ( + c ), γι κάθε >, δηλ. ( ) = ( + ) γι κάθε > ή ( ) f e ( n) f e n, = +, γι κάθε >. 6. Έστω f συνάρτηση ορισμένη κι συνεχής στο R. Αν η F είνι μί ρχική f + d = F + + c, της f στο R, δείξτε ότι: ( ) ( ) Αφού F μί ρχική της f στο R έπετι ότι ( ) ( ) + = t f d = F + c () οπότε: f ( + ) d = f () t dt = () = () + = ( ) d= dt () f t dt Ft c F + + c 7. Ν ρεθούν οι συνεχείς συνρτήσεις f: που ικνοποιούν τη συνθήκη : ( ] ( ),, f ( n) =,, +, t Θέτοντς n = t έχουμε: f () t = t e, t> t + c, t κι επομένως, ολοκληρώνοντς πίρνουμε: f() t = t e+c, t>

14 34. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο Η πίτηση όμως της συνέχεις της f δίνει: lim f () t = lim f () t δηλ. + c = c Άρ οι ζητούμενες συνρτήσεις είνι: f ( ) + + c, =, που προφνώς επ- e +c, > ληθεύουν την ρχική συνθήκη. 8.. Υπολογίστε το ολοκλήρωμ: ( ). Βρείτε τη συνάρτηση f: + t t e d γι την οποί ισχύει: f ( ) =, γι κάθε e κι της οποίς η γρφική πράστση έχει οριζόντι σύμπτωτη στο + την ευθεί y=. ( ) e d ( ) ( e = ) d ( ) ( ) = e + e + c = e + c, c e γι κάθε (*) Όμως η = e e d =. f ( ) = = ( ) e, γι κάθε οπότε f( ) ( ) e = d= e +c, c f έχει οριζόντι σύμπτωτη στο + την ευθεί y =. Επομένως θ (*) ισχύει: ( ) ( ) lim f = lim e + c = + + lim + c = + e lim + c= + c= c= + e, L Hospital f = e +, Άρ η ζητούμενη συνάρτηση είνι η ( ) 9. Ν ποδείξετε ότι: π6συν π6 ημ π d d = συν συν 6 Είνι: π6 π συν π6 ημ 6 συν ημ d d = d = συν συν συν

15 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 35. π π6 6 συν π = d = d συν = 6.. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] (>) δείξτε ότι: ( ) = ( ) f d f d. Υπολογίστε το ολοκλήρωμ: I= = t. Είνι: f ( ) d = f ( t)( dt) = () π ημ d ημ + συν f t dt = f () t dt o π ηµ π ) ηµ π. Είνι: I= d = d ηµ + συν π π ηµ + συν = π συν d Ι () συν + ημ = Έχουμε: I = I + I () π ημ π συν = d + d ημ+ συν ημ+ συν π π ημ + συν π = d = d = ημ + συν I = π 4. Έστω μί συνάρτηση f πργωγίσιμη με συνεχή πράγωγο στο [,]. Αν η C f διέρχετι πό τ σημεί Α(,) κι Β(,) ν υπολογίσετε την τιμή του ολοκληρώμτος: ( ( ) + ( )) f f d Επειδή A, ( ) c f ( ) =, κι ( ) ( ) f B, c f = ( ) οπότε ( ( ) ( )) + = ( ) + ( ) f f d f f d ( ( )) ( ) f d f = = = f

16 36. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο ( ) ( ) ( ) ( ) = = = 4 = f f 4f f κι έστω F μί πρά-. Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση f: γουσ της f στο R. Αν ισχύει: ( t) f( t) dt = F( ) γι κάθε, ν ρεθεί ο τύπος της f. Η δοθείσ σχέση ισοδύνμ γράφετι: () () ( ), γι κάθε f t dt t f t dt = F Με πργώγιση πίρνουμε: ( ) + ( ) ( ) = ( ) f t dt f f f δηλ. () = ( ) (), γι κάθε f t dt f Με νέ πργωγιση έχουμε: Γι κάθε, ( ) ( ) ( ) ( ) f = f f + f = ( ) e ( f ( ) + f ( ) ) = ( ) ef = c ef( ) = c f( ) = () e Η σχέση () γι = δίνει: f( ) = c= ( ), γι κάθε f = = e, e Δηλ. τελικά λόγω της () ο ζητούμενος τύπος της f είνι: ( ) 3. Έστω f πργωγίσιμη συνάρτηση στο R κι τέτοι ώστε: () f ( ), () ( ) Δείξτε ότι η εξίσωση f( ) udu+ e = Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) f = f( ) g u du e, = + έχει μονδική πργμτική ρίζ.

17 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 37. Με πλή επλήθευση διπιστώνουμε ότι: ( ) δηλ. ότι η g έχει ρίζ τον ριθμό. Όμως γι κάθε, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g = u du = u du = g = f f + e > > Άρ η g είνι γν. ύξουσ κι επομένως ο ριθμός θ είνι η μονδική πργμτική ρίζ της g κι κτ επέκτση της δοσμένης εξίσωσης. 4. Έστω < κι f: [, ] συνάρτηση συνεχής με την ιδιότητ ξ ( ). Δείξτε ότι: υπάρχει ( ) ( ) * {} I = f d v N Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) = f ( t) dt I, [, ] γι την οποί π- v ρτηρούμε ότι: g συνεχής στο[, ] g( ) = I v ( ) ( ) I ξ, = f d = I όπου v υποθ. g = f t dt I = I I v v g g = I I I v v Oπότε ( ) ( ) = I + I v v = < v v < I ξ, :g ξ = f t dt = I v ξ Άρ σύμφων με το θ. Bοlzano υπάρχει ( ) ( ) ( ) 5. Έστω f :[, ] πργωγίσιμη κι ντιστρέψιμη συνάρτηση με συνεχή πράγωγο στο [,]. Ν δείξετε ότι: f ( ) d = f ( ) f ( ) tdt ( ()) f f t

18 38. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο Εκτελώντς το μετ/μό f () t u Έτσι = έπετι ότι t = f( u) κι άρ ( ) f ( ) tdt f ( u) = f ( u) du f ( ) f ( f () t ) = ( ) f ( u) f u du dt = f u du. 6. Βρείτε την πργωγίσιμη συνάρτηση f:, ( ) = + t ( ) γι την οποί: γι κάθε f e f t dt. Με την ντ/ση t = u έχουμε du = dt οπότε η δοθείσ σχέση ισοδύνμ γράφετι γι κάθε, ( ) u = ( ) f e f u du ή γι κάθε, ( ) = + u ( ) f e e f u du δηλ. γι κάθε, ( ) = + u ( ) ef e e f udu Πργωγίζοντς τώρ την τελευτί σχέση, έχουμε: γι κάθε, e f ( ) e f ( ) e e e f ( ) + = + + ( ) ( ef = e + ) f ( ) = ( + ) 3 f( ) = + + c (Ι) 3 Όμως πό τη σχέση της υπόθεσης προκυπτει ότι f( ) = κι έτσι πό την (Ι) κτ νάγκη θ είνι c f = +, 3 =. Επομένως ( ) Αν η συνάρτηση f :[, ] είνι ντιστρέψιμη κι πργωγίσιμη με την f συνεχή, δείξτε ότι: f ( ) ( ) + ( ) = ( ) ( ) f d f d f f f ( ). Έστω η συνάρτηση: ( ) f, =ηµ + π i. Δείξτε ότι η f είνι ντιστρέψιμη.

19 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 39. π ii. Υπολογίστε το ολοκλήρωμ: f ( ). Θέτοντς ( ) f ( ) d f = t έχουμε = f() t άρ d = f () t dt οπότε: f ( ) d = tf ( t) dt = () () ( ) ( ) ( ) f ( ) κι άρ ( ) ( ) f ( ) f ( ) tf t f t dt ( ) ( ) f d+ f d =f f.i. Γι κάθε [, π ], ( ) [, π ] κι άρ ντιστρέψιμη σ υτό. =f f f t dt f =συν + > δηλ. η f είνι γνησίως ύξουσ στο ii. Λόγω του () ερωτήμτος κι επειδή η f ( ) = ημ+ ντιστρέψιμη, έχουμε: π π f( ) d+ f ( ) d = π ή ( ) ( ) π π δηλδή συν + + f ( ) d = π, π π π ηµ + d+ f d = π επομένως συνπ + π + + f ( ) d = π κι άρ ( ) π f d =π 8. Έστω f: n συνεχής συνάρτηση γι την οποί ισχύει: n * f () t dt, γι κάθε όπου η n N {} Ν ποδείξετε ότι: f( ) = n n Εξ υποθέσεως έπετι ότι: γι κάθε, () n Θεωρούμε τη συνάρτηση: ( ) ( ) n g f t dt, n () f t dt = Η g είνι πργωγίσιμη στο R κι μάλιστ γι κάθε,

20 4. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο n g ( ) = f( ) + n f( n) n Όμως η σχέση () δίνει ότι: γι κάθε, g ( ) = g( ) δηλδή ο ριθμός είνι (εσωτερική) θέση τοπικού μεγίστου της g, κι επομένως (θ. Fermat) g ( ) = f( ) + nf( ) = f( ) ( n ) = f( ) =, (φού n ). 9. Έστω συνάρτηση f: [,c] ( c> ) γι κάθε [,c], f ( ) = f ( c) με την f συνεχή κι τέτοι ώστε: Δείξτε ότι υπάρχει: ξ (,c ): f ( ξ ) = c Από τη δοθείσ σχέση με ολοκλήρωση πίρνουμε: f ( ) d = c f ( c ) c c δηλ. f ( ) f ( d ) = cf ( c) ή cf () c f () c = c f () c οπότε f() c = f() Γι την f λοιπόν πρτηρούμε ότι: f συνεχής στο [ o,c] f πργωγίσιμη στο ( o,c) f( ) = f( c) Άρ σύμφων με το θ. Rolle υπάρχει: ( ) ( ). Έστω f :, [ ],( > ) ξ,c : f ξ = κυρτή συνάρτηση με ( ) ( ) f = f =. Βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της C f στο σημείο της με τετμημένη.. Αποδείξτε ότι: f( ) +, γι κάθε [,]. γ. Δείξτε ότι: f ( ) d >. Η εξίσωση της ζητούμενης εφπτομένης είνι: y f( ) = f ( )( ) δηλ. λόγω των υποθέσων y= +.. Λόγω της κυρτότητς της f στο [,] κι του ερωτήμτος. έπετι ότι: γι κάθε [, ], ( ) f + γ. Από το ) έπετι ότι: ( ) ( + ) f d d = + = + >

21 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 4. *. Έστω συνεχής συνάρτηση f : τέτοι ώστε: t f( ) = + dt, γι κάθε f t () i. Ν ποδείξετε ότι f( ) >, γι κάθε. ii. Ν ρείτε τον τύπο της f. i. Από την υπόθεση διπιστώνουμε ότι: f συνεχής στο κι f( ), γι κάθε t Άρ η f διτηρεί πρόσημο στο R κι επειδή f() = + dt = + = >, f() t έπετι ότι: f( ) >, γι κάθε ii. Από την υπόθεση με πργώγιση προκύπτει: Γι κάθε, f f f f = ( ) = ( ) ( ) = ( ) f( ) ( ) f = + c (Ι) i) 3 Όμως πό την (Ι) γι = έχουμε: f () = + c = + c c= 3 = + = + f f 3 άρ πό την (Ι) έπετι ότι: γι κάθε, ( ) ( ) κι επειδή f( ) >, γι κάθε συμπερίνουμε ότι ( ) f 3 = +... Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο [,]κι τέτοι ώστε: f( ), γι κάθε [, ] Αν f( ) d = ν ποδείξετε ότι: f( ) =, γι κάθε [, ]. Αν γι τη συνεχή στο R συνάρτηση f ισχύει: f ( ) d + = f( ) d 3 ν ποδείξετε ότι: f( ) =, γι κάθε [,]

22 4. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο. Υποθέτουμε ότι η f δεν είνι πντού μηδέν στο [,]. Τότε επειδή ( ) κάθε [, ] θ ισχύει: ( ) f( ) =, γι κάθε [, ].. ( ) ( ) ( ( ) ) f, γι f d > άτοπο λόγω της υπόθεσης. Άρ f d + = f d f d = 3. Όμως ( f( ) ), γι κάθε [,] f( ) =, γι κάθε [,] δηλ. f( ) 3. Δίνετι η συνάρτηση ( ) f 3 6 διότι = 3 οπότε λόγω του ) θ είνι: =, γι κάθε [,]. d = + κι η ευθεί () ε :y=( 6 3 ), (, ). Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που ορίζουν η C f κι ο άξονς των.. Ν ρείτε την τιμή του γι την οποί η ευθεί (ε) χωρίζει το Ω σε δύο ισεμδικά χωρί.. ( ) ( ) f = = 3 = = ή = Δηλδή οι ριθμοί κι είνι οι τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξον των. Το πρόσημο της f φίνετι στον πρκάτω πίνκ: Επομένως το ζητούμενο εμδό είνι: 3 Ε( Ω) = f ( ) d = f ( ) d = ( 3 + 6) d = + 3 = 4τ.μ.. f( ) = ( 6 3) = = ή = Δηλδή οι ριθμοί κι είνι οι τετμημένες των σημείων τομής της C f με την ευθεί (ε). Το πρόσημο της διφοράς f( ) ( 6 3 ) = φίνετι στον πρκάτω πίνκ.

23 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός Ε Ω = f 6 3 d = d = + = Επομένως το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό την C f κι την () ε είνι: ( ) ( ) ( ) ( ) Επομένως η ( ε) χωρίζει το Ω σε δύο ισεμδικά χωρί ν κι μόνο ν ισχύει : ( ) ( ) 4. Έστω η συνάρτηση ( ) Ε Ω = Ε Ω = = =. f e. Ν υπολογίσετε το εμδό Ε(λ), του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, τις ευθείες =,=λ,( λ> ) κι τον άξον των.. Ν ρείτε το lim Ε ( λ. ) λ. Πρτηρούμε οτι η f είνι συνεχής στο [,λ] κι ισχύει: f( ) >, γι κάθε [, λ ]. Επομένως : λ λ λ λ Ελ ( ) = f ( ) d = e d = e e e = + = e e lim Ελ = lim lim lim λ + λ + λ λ e = = = λ + e e λ + e e e. ( ) λ 5. Έστω η συνάρτηση f ( ) = 9 n. Ν ρεθεί το εμδό Ε(λ) του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, τον άξον των κι τις ευθείες = κι =λ, ( λ>) E λ = 7. Ν δείξετε ότι υπάρχει μονδικός λ (, e) τέτοιος ώστε: ( ). Πρτηρούμε ότι η f είνι συνεχής στο [,λ] κι επίσης ( ) [, λ ]. λ λ λ f d 9 nd (3 ) nd = 3 Επομένως: Ελ ( ) = ( ) = = f, γι κάθε

24 44. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο λ λ 3 λ 3 3 = 3 n 3 d = 3λ nλ 3 d = λ = 3λ nλ = 3λ nλ λ +. Θεωρούμε τη συνάρτηση: g( λ ) = E( λ) 7 = 3λ 3 nλ λ 3 6, λ [, e] Γι τη g πρτηρούμε ότι : g συνεχής στο [, e ], g() g() e = ( 6)( 3e e 6) = 7( e 6) < Άρ σύμφων με το θεώρημ Bolzano η g έχει τουλάχιστον μί ρίζ στο (, e )() g λ = 9λ nλ+ 3λ 3λ = 9λ nλ> λ 3 Όμως γι κάθε λ (, e), ( ) Άρ g (,e) (). Από τις () κι ()συμπερίνουμε ότι: υπάρχει μονδικό λ (, e ): g ( λ ) = Ε( λ) 7 = Ε( λ ) = 7 6. Δίνετι η συνάρτηση: f :,π [ ] με f( ) =ηµ +, [, π]. Δείξτε ότι η f είνι ντιστρέψιμη.. Βρείτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι μετξύ των C f κι Cf -.. Γι κάθε (, π) είνι ( ) f =συν + >, άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο [,π] ( φού είνι συνεχής στο [,π]) κι συνεπώς είνι - δηλδή ντιστρέψιμη.. Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ, έπετι ότι τ σημεί τομής των γρφικών πρστάσεων των f κι f ( ν έι υπάρχουν ) θ ρίσκοντι επί της ευθείς με εξίσωση y =, ουσιστικά δηλδή θ προέρχοντι πό τη λύση της εξίσωσης f( ) = στο [,π]. f = f f = ηµ = = ή =π Έτσι λοιπόν: ( ) ( ) ( ) (φού [, ] π ) κι επομένως, λόγω συμμετρίς των διγρμμάτων των f κι f, ως προς την ευθεί y =, το ζητούμενο εμδό θ είνι: π Ε= f d ( ) π = ηµ d π = ηµ d ( φού γι κάθε [, ] π, ηµ )

25 Βήμ 3 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 45. = ( συνπ + συν) = 4 7. Δίνετι συνάρτηση f συνεχής στο R κι η συνάρτηση: F ( ) = f( tdt, ) R. Ν δείξετε ότι υπάρχει ξ (,) ώστε ( ) ξ. f() t dt = ξf () ξ. Είνι ( ) ( ) F ξ =. F = f t dt, R. Η F είνι πργωγίσιμη στο R ως γινόμενο των πργωγίσιμων στο R συνρτήσεων f ( ) = κι ( ) ( ) f = f t dt. Άρ είνι πργωγίσιμη στο [, ] κι επειδή ( ) ( ) ( ) ισχύει το θεώρημ Rolle στο [, ]. Άρ υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε :. Γι κάθε R F ( ξ) =. είνι : F ( ) = f ( t) dt + f ( ) F =, F = f t dt = κι με = ξ, πίρνουμε: ξ ξ ( ) = ( ) + ( ) = ( ) = ( ) F ξ f t dt ξf ξ f t dt ξf ξ 8. Έστω f συνεχής στο (, + ) κι ( ) Ν ρείτε τον τύπο της f. () tf t f = + dt, > = tf t dt + Είνι: f( ) () ( ) ( ) f tf tdt = ' tf () t dt = ( n) () tf t dt = n + c

26 46. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 3 ο Γι = := c,άρ tf () t dt = n. Από () ( ) f = + n = + n 9. Αν ισχύει () f t dt, γι κάθε R στο R. Ν δείξετε ότι υπάρχει: ξ (, ):f ( ξ) =. κι η f είνι πργωγίσιμη Αρκεί ν ποδείξουμε ότι ισχύει γι την f το θεώρημ Rolle στο [, ] κι συγκεκριμέν ρκεί ν ποδείξουμε ότι f() = f() (φού η f είνι πργωγίσιμη στο R). Έχουμε: () () () f t dt + f t dt+ f t dt + f() t dt () f t dt g ( ) + +, R Θέτουμε: g( ) = f() t dt+ f() t dt +, R() Πρτηρούμε ότι g () = κι g () =.Τότε η σχέση () γράφετι: g( ) g() κι g( ) g( ), γι κάθε R Άρ η g προυσιάζει στις θέσεις = κι = τοπικά ελάχιστ κι σύμφων με το θ. Fermat είνι g ( ) Όμως ( ) ( ) ( ) = κι g () =. g = f + f +,γι κάθε R. Οπότε έχουμε : ( ) ( ) ( ) g = f + = f = κι κι g () = f() + f() = f() = Δηλδή f() = f(),οπότε ισχύει το θεώρημ Rolle γι την f στο [,] κι συνεπώς υπάρχει ξ (, ):f ( ξ) =.

27 Βήμ 4 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 47.. Έστω η συνάρτηση f με ( ) nt f = dt, >. Ν δείξετε ότι: t+ ( ) f + f = ( n ), >. Αν f συνεχής στο R με f( ) > κι ( ) ( ) f + tf t dt = () : i. N δείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο R. ii. Ν ρείτε την f. iii. Ν δείξετε ότι: + t / lim te dt =

28 48. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 4 ο 3. Έστω f συνεχής [,3 ], f( [,3] ) [,3] = κι η εξίσωση f() t dt = 4 3 () Ν ποδείξετε πως η () έχει μί ρίζ στο διάστημ (,3) Έστω συνάρτηση g( ) ( ) = f t dt όπου f συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (,+ ). Ν δείξετε ότι η g είνι γνησίως ύξουσ στο (,+ ). 5. Δίνετι η συνάρτηση: f( ) = e Ν δειχθεί ότι ο άξονς είνι η μονδική σύμπτωτη της C f. Στη συνέχει ν υπολογιστεί το εμδόν που περικλείετι πό την C f, την

29 Βήμ 4 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 49. σύμπτωτη, τον άξον y y κι την ευθεί = λ, λ >. Ν ρείτε το όριο του πρπάνω εμδού κθώς λ Δίνετι συνάρτηση f:r R ( ( )), της οποίς η κλίση στο τυχίο σημείο,f είνι 4 κι η C f τέμνει τον y y στο σημείο 3. Ν ρεθούν:. Οι εξισώσεις των εφπτομένων της C f στ σημεί που η C f τέμνει τον.. Το εμδόν που περικλείετι πό την C f κι της προηγούμενες εφπτόμενες. 7. Έστω f, g συνρτήσεις ορισμένες κι συνεχείς στο [,]. Αν f( ) g( ) κάθε (,) κι f ( ) = g( ), f ( ) g( ) = με (,) < γι =, ν δειχθεί ότι υπάρχει μον-, η οποί ν χωρίζει το χωρίο που περι- δική ευθεί κλείετι πό την C f κι τη C g σε δύο ισοδύνμ μέρη (σε δύο εμδικά χωρί).

30 5. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 4 ο 8. Το διπλνό διάγρμμ είνι μις συνάρτησης f. Ν ρεθεί ο τύπος της συνάρτησης F( ) = f() t dt κι ν εξετστεί ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ. 9. Αν f συνεχής στο [,], ν δειχθεί ότι:. ( f ) d= f( ) d. Υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε: ξf ( ξ ) = f () ξ. Αν f συνεχής στο [,] κι ( ) f d=. Ν δειχθεί ότι η εξίσωση

31 Βήμ 4 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 5. ( ) f = + έχει λύση στο [,].. Έστω f συνεχής στο R κι () e + f t dt λ γι κάθε R. Ν ρεθεί ο λ ν η C f διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. f = +. Ν μελετηθεί ως προς την μονοτονί κι τ κρόττ.. Δίνετι η συνάρτηση: ( ) + κ+. Ν υπολογιστεί το: im f () t dt, κ > + + κ

32 5. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 5 ο Θέμ ο Α. Αν G είνι μι πράγουσ της συνεχούς συνάρτησης f στο διάστημ [,], ποδείξτε ότι: () t dt = G( ) G( ) f (Μονάδες 6) Β. Ν ντιστοιχίσετε σε κθέν πό τ γράμμτ Α, Β, Γ, Δ ένν ριθμό πό το έως το 6 ώστε κάθε συνάρτηση της πρώτης στήλης ν τιριάζει με την πράγωγό της στη δεύτερη στήλη. Στήλη Α Α. f () t dt Β. ημ( t + ) dt Γ. t dt Δ. dt t Στήλη Β. f ( ) f. () t dt + f ( ) 3. ημ( + ) 4. ημ( + ) A B Γ Δ (Μονάδες )

33 Βήμ 5 ο Ολοκληρωτικός λογισμός 53. Β. Ν χρκτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις με την ένδειξη Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος).. Αν f () g(), γι κάθε [,], τότε f ( ) d g( ) d (Μονάδες 4). Αν f () >, γι κάθε [,] f κι ( ) d =, τότε = (Μονάδες 5) Θέμ Α. Στο διπλνό σχήμ φίνετι η πράγουσ μις συνάρτησης f, ποι πό τις επόμενες γρφικές πρστάσεις μπορεί ν πριστάνει την f ;

34 54. Ολοκληρωτικός λογισμός Βήμ 5 ο (Μονάδες ) 4 εφ Β.Υπολογίστε το ολοκλήρωμ: d συν (Μονάδες 3) + Θέμ 3 Α. Ν ρεθεί το όριο: im dt + t (Μονάδες ) Β. Το εμδόν του γρμμοσκισμένου χωρίου του διπλνού σχήμτος είνι ίσο με: 7 7 Α. f ( ) d Β. f ( ) d

35 Βήμ 5 ο Ολοκληρωτικός λογισμός Γ. ( f ( ) )d Δ. ( f ( ) ) d + ( f ( ) ) d Ε. ( f ( ) )d (Μονάδες 5) Θέμ 4 Αντλί της πυροσεστικής ντλεί ποσότητ νερού πό πλημμυρισμένο υπόγειο με ( t + ) ρυθμό μετολής N' () t = + σε λίτρ νά λεπτό, όπου t τ λεπτά t + t + λειτουργίς της ντλίς.. Ν ρεθεί η ποσότητ του νερού που ντλήθηκε πό το υπόγειο τ 6 τελευτί λεπτά της λειτουργίς της, ν είνι γνωστό ότι η ντλί λειτουργεί επί λεπτά. (Μονάδες ). Ν προσδιοριστεί η ποσότητ του νερού που μπορεί ν ντλήσει η ντλί ν λειτουργήσει επί 3 ώρες. (Μονάδες 5)