1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

Transcript

1 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ (κ, λ). ) Γι κάθε έχουµε f () 5( κ) 4 ( κ) ( λ) ( κ) 5 ( κ) ( λ), άρ γι κάθε {κ, λ} έχουµε 4 f () f() 5( κ) (λ) 5 ( κ) (λ) ( κ) (λ) 5 ( κ) (λ) 5 f () f() 5 κ λ. ) Γι κάθε (κ, λ) ισχύει κ < < λ κ > λ < f() <, άρ g() ln f() ln(- f()), εποµένως g () f () f() f () f() 5 κ λ κι 5 g () ( κ) ( λ) <. Άρ η g στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο (κ, λ).. Η συνάρτηση f:, είνι πργωγίσιµη κι ισχύει ότι f () >, γι κάθε. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση F() f( ) d, µε, πργµτικούς ριθµούς, είνι πργωγίσιµη κι ότι ν υπάρχει µε F ( ), τότε F() γι κάθε. Θέτουµε u u d - du, άρ F() f( ) d - - f(u) du u F() f(u) du (). - - f(u) du F() f(u) du - - f(u) du

2 Η f είνι συνεχής στο (φού είνι πργωγίσιµη στο ) έτσι λόγω της () η F είνι πργωγίσιµη στο ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων µε F () f( ) ( ) f( ) ( ) F () f( ) f( ) (). Έχουµε f () >, γι κάθε, άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο, εποµένως είνι κι στο. Αν υπάρχει µε F ( ), η () γι γράφετι f( ) f( ) f( ) f( ), οπότε η () γίνετι " " - F() f(u) du - f(u) du F(), γι κάθε.. Θεωρούµε τους πργµτικούς ριθµούς, µε < <, τη συνεχή συνάρτηση f: (, ) γι την οποί f() d κι τη συνάρτηση g() f() d, (, ). Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ν ισχύουν: ) Η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης g στο σηµείο (, g( )) ν είνι πράλληλη στον άξον. ) g( ) f( ). ) Οι συνρτήσεις,, f() d είνι πργωγίσιµες στο (, ) άρ κι η συνάρτηση g() f() d είνι πργωγίσιµη (εποµένως κι συνεχής) στο (, ). Επειδή η g είνι συνεχής στο [, ] (, ), η g είνι πργωγίσιµη στο (, ), µε g () ( ) f() d ( f() d ) - (, ). g() g(), φού f() d f(), g() f() d. g() f() d.

3 Εφρµόζετι το θεώρηµ Roll γι την g στο [, ], άρ υπάρχει έν τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε g ( ), δηλδή η εφπτοµένη της C g στο (, g( )) είνι πράλληλη στον άξον. ) Από το ) ερώτηµ έχουµε g ( ) - g( ) Η () λόγω της () γράφετι: - ( g( ) ) f() d f( ) (), κόµη f() d f() d g( ) (). f( ) - (g( ) ) f( ) - (g( ) f( )) g( ) f( ). 4. Ν ρείτε τη συνάρτηση f: (- π, π ) µε συνεχή δεύτερη πράγωγο γι την οποί ισχύουν: f() 995, f (), f () συν d συν f () ηµ d. Πργωγίζοντς κι τ δύο µέλη έχουµε ( f () συν d ) (συν f () ηµ d ) f () συν (συν ) f () ηµ f () συν f () (συν) (συν ) (f () συν) (συν ) f () συν συν c (), c. Από την () γι πίρνουµε f () συν συν c c c, οπότε η () γράφετι f () συν συν f () συν, φού συν >, γι κάθε (- π, π ). Άρ f () (ηµ) Από την () γι πίρνουµε f() ηµ c f() ηµ c (), όπου c. 995 c c 995. Άρ γι κάθε (- π, π ), έχουµε f() ηµ 995.

4 5. ίνετι η συνάρτηση f() 4,. ) Αν A(, f( )), B(, f( )), Γ(, f( )) είνι τοπικά κρόττ της γρφικής πράστσης της f κι < <, ν ποδείξετε ότι η ευθεί ΑΒ είνι κάθετη στην ευθεί ΒΓ. ) Αν < <, ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f() έχει κριώς µί λύση στο διάστηµ (-, ). ) Έχουµε f () 4 4 4( )( ) κι f () 4( )( ) ή ή -. Από το πίνκ έχουµε ότι στις θέσεις -,, η f προυσιάζει τοπικά κρόττ f ( ) - 4 / -/ 4 f () f() Γι -, το f(- ) είνι τοπικό ελάχιστο, άρ Α(-, ), γι, το f() είνι τοπικό µέγιστο, άρ Β(, ), γι, το f() είνι τοπικό ελάχιστο, άρ Γ(, ). Εποµένως λ ΑΒ λ ΒΓ ( ) ( ) (- ) -, άρ ΑΒ ΒΓ. ) Γι κάθε (-, ) έχουµε f () 4( )( ) >. Εποµένως η f είνι γνησίως ύξουσ στο [-, ], άρ η εξίσωση f() έχει το πολύ µί ρίζ στο (-, ). Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [-, ] ως πολυωνυµική κι f(- ) f() ( ) <, φού < <, άρ πό το θεώρηµ Bolzano η εξίσωση f() έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο (-, ). Τελικά η εξίσωση f() έχει κριώς µί λύση στο (-, ). 6. ίνετι η συνάρτηση f, δύο φορές πργωγίσιµη στο, γι την οποί ισχύει f () γι κάθε κι η συνάρτηση g τέτοι ώστε g() f () f(), γι κάθε. Ν ποδείξετε ότι, ν η γρφική πράστση της f έχει σηµείο κµπής το Α(, f( )) τότε η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της g στο σηµείο Β(, g( )) είνι πράλληλη στην ευθεί y 5. Επειδή f () γι κάθε έχουµε

5 g() f() f () κι g () (f ()) f() f (). (f ()) Εφόσον η f είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο κι το Α(, f( )) είνι σηµείο κµπής της C f έχουµε f ( ), οπότε (f ( )) f( ) f ( ) (f ( )) g ( ) g ( ) (f ( )) (f ( )) g (). Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς y 5 y 5 είνι λ Ο συντελεστή διεύθυνσης της εφπτοµένης της C g στο Β είνι g ( ). Επειδή g ( ) λ, η εφπτοµένη της C g στο Β είνι πράλληλη στην ευθεί y 5.. Η ξί µις µηχνής που εκτυπώνει ιλί µειώνετι µε το χρόνο, σύµφων µε τη συνάρτηση f() A 8 4,, όπου Α ένς θετικός ριθµός. Ο ρυθµός µετολής του κέρδους K(), πό την πώληση των ιλίων που εκτυπώνει η συγκεκριµένη µηχνή, δίνετι πό τη συνάρτηση K () A 4, κι υποθέτουµε ότι Κ(). Ν ρεθεί η χρονική στιγµή κτά την οποί πρέπει ν πουληθεί η µηχνή, έτσι ώστε το συνολικό κέρδος P() πό τ ιλί που πουλήθηκν συν την ξί της µηχνής ν γίνετι µέγιστο. Γι κάθε έχουµε P() K() f() οπότε P () K () f () P () A 4 A 8 4 (- 8 4 ) P () A 4 A P () A 4 ( 8 4 ). Έχουµε: P () P () > 8 4 > > > - 8 < 8. P () < > 8.

6 Άρ η συνάρτηση P() προυσιάζει µέγιστο στη θέση 8, εποµένως η χρονική στιγµή κτά την οποί πρέπει ν πουληθεί η µηχνή, έτσι ώστε το συνολικό κέρδος πό τ ιλί που πουλήθηκν συν την ξί της µηχνής ν γίνετι µέγιστο, είνι η Αν G() f() d, όπου f() ) την G (). u du κι >, > ν ρείτε: u ) το G (). ) Η f είνι πργωγίσιµη (άρ κι συνεχής) µε f () (), >. Επειδή η f είνι συνεχής, η G είνι πργωγίσιµη µε G () f(), >. Οπότε G () f (), >, εποµένως ) Έχουµε: G (). G () DLH ( ) ( ) (6 ) 6 6.