ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

Transcript

1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή σς. Ερώτηση Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο [,], πργωγίσιµη στο (,) κι γι όλ τ (,), τότε. Αν σύµφων µε το Θεώρηµ Roll θ υπάρχει, : ΑΤΟΠΟ Ερώτηση Αν η συνάρτηση πργωγίζετι στο [, β] µε ( β) ( ), (, β) τέτοιο, ώστε ( ). Σύµφων µε το Θεώρηµ Μέσης Τιµής υπάρχει ( β), : ( ) β β Ερώτηση Αν οι g β g β τότε υπάρχει, είνι συνρτήσεις πργωγίσιµες στο [, β], µε ( ) g( ), τότε υπάρχει (, β) τέτοιο, ώστε στ σηµεί (, ( ) ) ( g ) Β, οι εφπτόµενες ν είνι πράλληλες. κι Α κι Θεωρώντς h g ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήµτος Roll στο [ β], β : h g g., οπότε υπάρχει Ερώτηση 4 γι κάθε R, τότε: Αν ) το είνι τοπικό µέγιστο της β) το είνι τοπικό ελάχιστο της. Τηλ./Fa:.6.9.7, Τηλ: mail:ino@apolito.gr Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης, 4565 ΑΓΙΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ

2 Απάντηση: ) Ψευδής, β) Αληθής ( ) Τ.Ε. Ερώτηση 5 ) Η γρφική πράστση µις πολυωνυµικής συνάρτησης άρτιου βθµού έχει πάντοτε οριζόντι εφπτοµένη. β) Η γρφική πράστση µις πολυωνυµικής συνάρτησης περιττού βθµού έχει πάντοτε οριζόντι εφπτοµένη. Απάντηση: ) Αληθής, β) Ψευδής )Αφού η θ είνι πολυωνυµική συνάρτηση περιττού βθµού κι θ έχει οπωσδήποτε µι πργµτική ρίζ. β)αφού η θ είνι πολυωνυµική συνάρτηση άρτιου βθµού οπότε µπορεί ν µην έχει πργµτική ρίζ. Ερώτηση 6 Η συνάρτηση + β + γ+ δ σηµείο κµπής. + β+ γ 6 + β β β 6 µε, β, γ, δ R κι έχει πάντ έν Τηλ./Fa:.6.9.7, Τηλ: mail:ino@apolito.gr Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης, 4565 ΑΓΙΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ

3 - β Σ.Κ. Ερώτηση 7 Αν οι συνρτήσεις σηµείο κµπής. Απάντηση: Ψευδής, g έχουν στο σηµείο κµπής, τότε κι η 6 Προφνώς π.χ. g h h g έχει στο Ερώτηση 8 ίνετι ότι η συνάρτηση πργωγίζετι στο R κι ότι η γρφική της πράστση είνι πάνω πό τον άξον. Αν υπάρχει κάποιο σηµείο Α (, ( ) ) της C του οποίου η πόστση πό τον άξον είνι µέγιστη (ή ελάχιστη), τότε σε υτό το σηµείο η εφπτοµένη της C είνι οριζόντι. Αφού η πόστση της C πό τον εκφράζετι πό την κι προυσιάζει σε κάποιο κρόττο κι είνι πργωγίσιµη σύµφων µε το Θεώρηµ Frmat οριζόντι εφπτόµενη. Ερώτηση 9 Η ευθεί είνι κτκόρυφη σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης: + ) + β) g Τηλ./Fa:.6.9.7, Τηλ: mail:ino@apolito.gr Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης, 4565 ΑΓΙΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ

4 Απάντηση: ) Ψευδής, β) Αληθής + ) β) + ( ) ( ) ( ) ( ) + + Ερώτηση Αν γρφική πράστση της συνάρτησης δίνετι πό το πρκάτω σχήµ, τότε: i. το πεδίο ορισµού της ii. το πεδίο ορισµού της,4,4 : iii. γι κάθε iv. υπάρχει είνι το (,4 ) είνι το [,4 ] Απάντηση: i) Ψευδής, ii) Ψευδής, iii) Ψευδής, iv) Αληθής i) Προφνώς υπάρχει (,4) : ii) Οµοίως,4 iii) Αφού η δεν είνι στο [ ] iv) Από το (i) (Θεώρηµ Roll γι την στο [,4] Ερώτηση Η συνάρτηση + + έχει: ) µι, τουλάχιστον, ρίζ στο (,) β) µι, κριβώς, ρίζ στο (-,) γ) τρεις πργµτικές ρίζες Τηλ./Fa:.6.9.7, Τηλ: mail:ino@apolito.gr Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης, 4565 ΑΓΙΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ

5 Απάντηση: ) Ψευδής, β) Αληθής γ) Ψευδής ) Αφού + δηλδή η οπότε το Σ.Τ. [ ( ), ] [,] β) Αφού πό το Θεώρηµ Bolzano έχει µι τουλάχιστον ρίζ στο, κι επειδή η υτή είνι µονδική. γ) Αφού η πό το (β) θ έχει µι µόνο ρίζ. Ερώτηση Αν γι τις πργωγίσιµες στο R συνρτήσεις, g ισχύουν ( ) 4,, g g ( 5 ) 6, g 5, g, g ( 4), τότε ( ) [ ( g )] ( g ) g [ g ( )] g ( ) ( g) ( ) g g 5 6 g g g 4 6 ( ) 6 II Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε τη σωστή πάντηση. Ερώτηση π π εϕ + h εϕ 6 6 Το ισούτι µε: h Α) h Β) 4 Απάντηση: (Β) π π εϕ + h εϕ 6 6 π h h 6 εϕ, συν π 4 6 π συν 6 Γ) ) Ε) 4 Τηλ./Fa:.6.9.7, Τηλ: mail:ino@apolito.gr Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης, 4565 ΑΓΙΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ

6 Ερώτηση Το + h ισούτι µε: h h Α) Β) Γ) - ) Ε) Απάντηση: (Γ) + h h h Ερώτηση 5 Αν τότε η ισούτι µε: Α) 5 Β) 5 Γ) ln 5 5 ) 5 Ε) 5 ln5 Απάντηση: (Ε) 5 5 ln5 5 ln 5 5 ln5 5 Ερώτηση 4 + ln5. Αν συν τότε η ( π) ισούτι µε: Α) συν ( π + ) ηµ ( π + ) Β) συν ( π + ) Γ) συν ( π + ) ηµ ( π + ) ) πσυν ( π + ) Απάντηση: (Γ) [ ] ( + ) ( + ) συν ( + ) συν ( π) συν ( π + ) ηµ ( + ) ηµ π Ερώτηση 5 Αν ( ) τότε η έβδοµη πράγωγος υτής στο ισούτι µε: Α) Β) - Γ) ) 7 Ε) δεν υπάρχει Απάντηση: (Γ) ( 7 ) ( ) φού είνι πολυωνυµική συνάρτηση 6 ου βθµού. Τηλ./Fa:.6.9.7, Τηλ: mail:ino@apolito.gr Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης, 4565 ΑΓΙΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ

7 Ερώτηση 6 Αν οι εφπτόµενες των συνρτήσεων ln κι τετµηµένη είνι πράλληλες, τότε το είνι: Α) Β) Γ) ) Ε) 4 g στ σηµεί µε Απάντηση: (Γ) ( ) g ( ) 4 4. Ερώτηση 7 β Αν g ισούτι µε: Α) Απάντηση: (Ε) g g, κι Β) + [ g ] β β β ( ) ( β ) β β β g β g β g + Γ) ( β ) β β β ( ) β Ερώτηση 8 Αν β, τότε το β ως συνάρτηση του ) Ε) γι κάθε [,] κι ( ), τότε: Α) Β) ( ) Γ) ( ) ) ( ) Τηλ./Fa:.6.9.7, Τηλ: mail:ino@apolito.gr Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης, 4565 ΑΓΙΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ

8 Απάντηση: (Γ) Εφρµόζω Θ.Μ.Τ. στ [, ][,,] ξ (,), ξ (,) ( ) ξ, ξ ( ) ( ξ ) ( ), ( ξ ) φού, (,) τότε ( ), ( ),. γι την οπότε υπάρχουν III. Ν ντιστοιχίσετε κθεµιά πό τις συνρτήσεις,β,γ,δ σε εκείνη πό τις συνρτήσεις Α,Β,Γ,,Ε,Ζ που νοµίζετε ότι είνι η πράγωγός της. Τηλ./Fa:.6.9.7, Τηλ: mail:ino@apolito.gr Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης, 4565 ΑΓΙΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ

9 β γ δ ( Ε) ( Α) ( Β) ( ) Τηλ./Fa:.6.9.7, Τηλ: mail:ino@apolito.gr Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης, 4565 ΑΓΙΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ

10 . Κθεµιά πό τις πρκάτω συνρτήσεις ν ντιστοιχίσετε στην ευθεί που είνι σύµπτωτη της γρφικής της πράστσης στο +. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ Α. y Β. y Γ. y +. y Ε. y Απάντηση. ( ) + + λ β + y ( Γ) + + +β y λ ( Α) y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΠΑΤΖΑΚΑΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Τηλ./Fa:.6.9.7, Τηλ: mail:ino@apolito.gr Λεωφόρος Μρθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης, 4565 ΑΓΙΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ