ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ Α Α. Τι ονομάζετι διάμεσος δ ενός δείγμτος ν πρτηρήσεων που έχουν διτχθεί σε ύξουσ σειρά; Ορισμός σχολικό ιλίο σελ.:8 Μονάδες 6 Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή ή τη λέξη Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη. ) Αν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είνι πργωγίσιμη στο x 0. (Μονάδες ) Σωστό ) Το εύρος ως πράμετρος δισποράς εξρτάτι μόνο πό τις κρίες τιμές της μετλητής. (Μονάδες ) Σωστό

2 γ) Έστω συνάρτηση συνεχής στο [,]. Τότε ισχύει η κόλουθη ιδιότητ γι το ορισμένο ολοκλήρωμ: γ γ f(x)dx f(x)dx f(x)dx, με <γ<. (Μονάδες ) Λάθος δ) Ισχύει ότι: (x ) =x -, *, x>0 (Μονάδες ) Σωστό ε) Έστω δύο συνεχείς συνρτήσεις f, g: [, ] με συνεχείς πργώγους f, g. Τότε ισχύει ότι: f '(x) g(x)dx f(x)g(x) f(x)g'(x)dx, (Μονάδες ) Σωστό Α. Ν μετφέρετε κι ν συμπληρώσετε στο τετράδιό σς τις πρκάτω ισότητες: ) dx... με >>0 (Μονάδες ) x dx lnx ln ln x ) Έστω συνρτήσεις f: Α κι g: Β με f(a) B. Αν η f είνι πργωγίσιμη σε κάθε x Α κι η g πργωγίσιμη σε κάθε f(x) Β, τότε η σύνθεσή τους g f : A είνι πργωγίσιμη στο Α κι ισχύει ότι: (gof) (x)=... (Μονάδες ) (gof) (x)= g' f(x) f '(x)

3 γ)... με c στθερά κι, (Μονάδες ) cdx cdx c x c ΘΕΜΑ B Στον πρκάτω πίνκ δίνοντι οι ημερήσιες ώρες διάσμτος 5 μθητών μις τάξης ενός ΕΠΑ.Λ. Ημερήσιες ώρες διάσμτος x i Μθητές ν i Αθροιστική Συχνότητ N i Σχετική συχνότητ (%) f i % κ 5 κ+ Σύνολ ν=5 00 x i ν i Β. Ν υπολογίσετε τον ριθμό κ. Μονάδες 4 Ισχύει ότι: v v v v4 v5 v κ κ 5 6 κ 5 κ 9 κ.

4 Β. Γι κ= ν μετφέρετε κι ν συμπληρώσετε στο τετράδιό σς τον πρπάνω πίνκ. Μονάδες 8 Ημερήσιες ώρες Αθροιστική Σχετική διάσμτος Μθητές Συχνότητ συχνότητ (%) x x ν i i N i f i % i ν i Σύνολ ν= Β. Γι κ= ν υπολογίσετε τη μέση τιμή x κι ν ρείτε τη διάμεσο δ των πρτηρήσεων. Μονάδες 0 Η μέση τιμή είνι: x x v x v x v x v x v v x 75 5 x ώρε ς. Επειδή το δείγμ είνι μεγέθους ν=5, που είνι περιττός, η διάμεσος ισούτι με την μεσί πρτήρηση. Άρ η δ πρτήρηση δ ώρες.

5 Β4. Γι κ= ν υπολογίσετε το ποσοστό των μθητών που διάζουν τουλάχιστον ώρες ημερησίως. Μονάδες Από τον πίνκ πρτηρούμε ότι τουλάχιστον ώρες ημερησίως διάζει το: f % f 4 % f 5 % 56% των μθητών. ΘΕΜΑ Γ Δίνετι η συνάρτηση f: με τύπο: x, x fx x x x, x, Γ. Ν υπολογίσετε το lim f x x Μονάδες 5 Το όριο είνι: lim f x lim x x x x Γ. Ν υπολογίσετε το lim f x x Μονάδες 0 Το όριο είνι: x x x x x x lim f x lim lim x x x

6 x x x x lim lim x x 4 x x x lim x 4 Γ. Ν υπολογίσετε τ κι, ώστε η f ν είνι συνεχής στο x 0 = κι η γρφική πράστση της f ν διέρχετι πό το σημείο Α(-,). Μονάδες 0 Η f είνι συνεχής στο x0. Άρ lim f x lim f x f x x 4 4 () Η γρφική πράστση της f(x) διέρχετι πό το σημείο Α,, δηλδή: f () Λύνουμε το σύστημ των () κι (): Άρ = κι =

7 ΘΕΜΑ Δ Δίνετι η συνάρτηση f: με τύπο: f x x x Δ. Ν ρείτε την πράγουσ F της f, ν F(0)=. Μονάδες 5 Απάντηση: Επειδή f x x x ν F είνι μι πράγουσ της f με F(0)= τότε: x x F(x) x c x x x c, c με F(0)= Άρ F(0)= c c επομένως η ζητούμενη πράγουσ είνι: F(x) x x x. Δ. Αν Fx x x x, x ν μελετήσετε τη μονοτονί κι ν ρείτε τ τοπικά κρόττ της F. Μονάδες 8 Η F είνι πργωγίσιμη στο με f(x) 0 x x 0 x ή F'(x) f(x) x x. Έχουμε : x. Το πρόσημο της πργώγου κι η μονοτονί της συνάρτησης φίνοντι στον πρκάτω πίνκ:

8 Γι την μονοτονί της F: Η F είνι ύξουσ γι Η F είνι φθίνουσ γι x (, ] κι γι x [, ) x [,] Γι τ κρόττ της F: Η F προυσιάζει τοπικό μέγιστο στο κι τοπικό ελάχιστο στο x, το x, το F 0. F 7 Δ. Ν συγκρίνετε τις τιμές F(0) κι F(0) κι ν ιτιολογήσετε την πάντησή σς. Μονάδες 5 Η F είνι γνησίως ύξουσ γι κάθε x [, ) κι φού 0, 0 [, ) είνι : F 00 F 0 F 0. Δ4. Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον x x κι τις ευθείες με εξισώσεις x=0 κι x=. Μονάδες 7 Αφού F'(x) f(x),κι γι κάθε x [,], είνιf'(x) 0 f(x) 0

9 γι κάθε x 0,. Άρ το ζητούμενο εμδόν είνι : E(Ω) f(x) dx f(x)dx F'(x)dx F(x) F() F(0) τ.μ. 0