ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών τ R, η πί ικνπιεί τη σχέση () (t + )dt =, γι κάθε R ) N πδείξετε ότι () + () = +, γι κάθε R β) Ν πδείξετε ότι η ντιστρέφετι κι ν ρίσετε τη συνάρτηση γ) Ν υπλγίσετε τ εμβδόν τυ χωρίυ πυ περικλείετι πό τη γρφική πράστση C, της συνάρτησης κι τυς άξνες κι y y δ) Ν βρείτε την εξίσωση της εφπτμένης της C, πυ διέρχετι πό τ σημεί Α(,) ) Γι κάθε R έχυμε: () () (t + )dt = t + t = άρ () + () = () + () = + () β) Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στ R, άρ κι η πργωγίζντς κι τ δύ μέλη της () έχυμε: είνι πργωγίσιμη στ R, πότε () () + () = () ( () + ) = () = () () + Είνι () = > γι κάθε R, επμένως η είνι γνησίως ύξυσ στ R, () + άρ είνι κι, πότε ντιστρέφετι Ισχύει η ισδυνμί () y = (y) = με,y R, φύ R = R Η () ισδύνμ γράφετι y y (y) (y) y y + = + = +, y R Άρ :R R με () = + () 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

2 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ γ) ς τρόπς: Είνι () =, άρ ( ) =, πότε τ Κ(,) είνι τ κινό σημεί της C με τν άξν Είνι () =, άρ () =, πότε τ Λ(,) είνι τ κινό σημεί της C με τν άξν y y T εμβδόν τυ χωρίυ Ω πυ περικλείετι πό τη Ε(Ω ) = () d Θέτυμε y= () άρ (y) y y C κι τυς άξνες κι y y είνι: = = + πότε = ( + ) = ( + ) d y y dy y dy Επίσης ισχύυν ι ισδυνμίες = y = κι = y =, πότε έχυμε: ς τρόπς: Ε (Ω ) () d y y dy y y dy = = ( + ) = ( + ) = 4 y 7 = ( y + y) dy = + y = + = τ μ Τ κινά σημεί της C με τυς άξνες κι y y είνι ντίστιχ τ Κ(,) κι Λ(,) Τ συμμετρικά των Κ, Λ ως πρς την ευθεί δ:y= είνι τ σημεί Κ (, ) κι Λ (, ) Είνι () ( ) Λόγω συμμετρίς των = + = + +, πότε στ διάστημ [ ], είνι () C κι C ως πρς την ευθεί δ:y= τ ζητύμεν εμβδόν είνι: 4 Ε(Ω ) = 7 () d = ( + ) d = + 4 = 4 + = 4 δ) ς τρόπς: Έστω τμ M, τ σημεί επφής κι ε η εφπτμένη της + C στ σημεί Μ, τότε η εξίσωση της εφπτμένης είνι: ε :y () = ()( () ) ε :y = ( ) Επειδή η ευθεί ε διέρχετι πό τ σημεί Α(,), θ ισχύει: = ( + = + ) + () + + = = + = = Από την () έχυμε ( ) + ( ) = + = ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4

3 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Άρ η εξίσωση της εφπτμένης της C στ σημεί M( 6, ) είνι: ε :y ( ) = ( ( 6) ) ε :y= + ( ) ς τρόπς: Τ συμμετρικό τυ σημείυ Α(,) ως πρς την ευθεί δ :y= είνι τ σημεί Β(, ) Βρίσκυμε την εξίσωση της εφπτμένης της C πυ διέρχετι πό τ σημεί Β Έστω Ν(, ) εξίσωση της εφπτμένης είνι: τ σημεί επφής κι ζ η εφπτμένη της C στ σημεί Ν, τότε η () ζ :y () = ()( ) ζ :y + = + ( ) Επειδή η ευθεί ζ διέρχετι πό τ σημεί Β(, ), θ ισχύει: Γι κάθε R είνι ( + ) = ( + )( + = ) = = = Από τις σχέσεις () κι (4) γι () = + = + (4) = έχυμε Άρ η εξίσωση της εφπτμένης της ( ) = 6 κι C στ σημεί Ν(, 6) ζ :y ( 6) = 5 ( ) ζ :y= 5 είνι: ( ) = 5 Στη συνέχει βρίσκυμε τη συμμετρική της ζ :y= 5, ως πρς την ευθεί δ :y=, πυ είνι η ευθεί ε Αντιμετθέτντς τις μετβλητές, y έχυμε ε := 5y ε :y= ΘΕΜΑ 6 : Δίνντι ι μιγδικί ριθμί z = + i, () = z ) N πδείξετε ότι η () =, β) Ν βρείτε τν μιγδικό ριθμό z με τ μέγιστ μέτρ γ) Ν πδείξετε ότι: i ) Η ντιστρέφετι κι η συνάρτηση ii ) Η γρφική πράστση C της συνάρτησης κι η ευθεί y = έχυν κριβώς έν κινό σημεί με τετμημένη (, ) iii ) Ν υπλγίσετε τ λκλήρωμ I ()d = 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 44

4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ) Είνι z = + i = + =, φύ Άρ (), = [,] β) Γι κάθε (, ) είνι: = [( ) ] = + ( ) = ( ) Η είνι συνεχής στ [, ] ως γινόμεν συνεχών κι () < στ (,), άρ η είνι γνησίως φθίνυσ στ [, ] Επμένως η πρυσιάζει μέγιστ στ = Άρ μιγδικός ριθμός με τ μέγιστ μέτρ είνι z = i γ) i ) Η είνι γνησίως φθίνυσ στ [, ] άρ είνι κι, πότε ντιστρέφετι ii ) Αρκεί ν πδείξυμε ότι η C με την ευθεί δ :y=, έχυν έν μόν κινό σημεί, φύ η ευθεί δ είνι άξνς συμμετρίς των C κι C Τ κινά σημεί των C κι της ευθείς δ: y=, πρκύπτυν πό τη λύση της εξίσωσης () = = Θεωρύμε τη συνάρτηση g() = (), [,] Η συνάρτηση g είνι συνεχής στ [, ], ως πράξεις συνεχών g()g() = ()( ) < Ισχύει λιπόν τ Θεώρημ Blzan, πότε η εξίσωση g() = έχει μι τυλάχιστν ρίζ στ διάστημ (, ) Γι κάθε [,] είνι: g = [ ] = + = () { < 44 < Άρ η συνάρτηση g είνι γνησίως φθίνυσ, πότε η ρίζ είνι μνδική iii ) Είνι I = ()d Θέτυμε () = u = (u), άρ d = (u)du : Γι = έχυμε u = () (u) = (u) = () u = : Γι = έχυμε u = () (u) = (u) = () u = Άρ έχυμε: u I = ()d = u (u)du = u (u) (u)du = () () + ( u) du = u u u u u = + ( u)( ) du = + ( u) ( u) du = + du = = 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 45

5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 7 : Δίνετι μιγδικός ριθμός z = + βi γι τν πί ισχύει: z z+ i, γι κάθε R Α Ν πδείξετε ότι ι εικόνες τυ z στ μιγδικό επίπεδ νήκυν στν κύκλ με κέντρ τ σημεί Κ (, ) κι κτίν ρ = Β Ν βρείτε την ελάχιστη τιμή τυ μέτρυ z + i Γ Μι συνάρτηση είνι ρισμένη στ (, ),δυ φρές πργωγίσιμη στ διάστημ υτό κι ικνπιεί τις σχέσεις () + = κι () γι κάθε, ) Ν πδείξετε ότι η C δεν έχει σημεί κμπής β) Ν πδείξετε ότι η C είνι τμήμ τυ κύκλυ στν πί νήκυν ι εικόνες τυ z γ) Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της συνάρτησης G() = (t)dt Α Θεωρύμε τη συνάρτηση Γι κάθε R είνι: z- z+i ln g() = +, R z- z- z+i z+i + + g() g() g() Άρ η συνάρτηση g πρυσιάζει ελάχιστ στ εσωτερικό σημεί = τυ πεδίυ ρισμύ της Επίσης η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στ R με g() = z+ i +, επμένως είνι πργωγίσιμη κι στ σημεί = Άρ ισχύει τ Θεώρημ Frmat, πότε z z g() = = = z = Άρ ι εικόνες τυ z στ μιγδικό επίπεδ νήκυν στν κύκλ με κέντρ τ σημεί Κ (, ) κι κτίν ρ = z+ i z Β Τ μέτρ z + i ισύτι με την πόστση της εικόνς τυ z πό τ σημεί Α(, ) min z + i = AΒ = ΑΚ R= + 9 = 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 46

6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ) Γι κάθε (, ) είνι: () () + = () + () () + = () + () () + = () Έστω ότι η C έχει σημεί κμπής στ, τότε Γι ( ) = = πό την () πρκύπτει ( () ) + = ( () ) =, πυ είνι άτπ Άρ η C δεν έχει σημεί κμπής β) Γι κάθε (, ) είνι: () = y () + = y + = y + + = + y = () Η συνάρτηση είνι συνεχής κι δε μηδενίζετι στ (, ), επμένως διτηρεί στθερό πρόσημ, άρ πό τη σχέση () έχυμε: () = ( ), (, ) ή () = ( ), (, ) Επμένως η C είνι τμήμ τυ κύκλυ με κέντρ τ σημεί Κ (, ) κι κτίν ρ = γ) Η συνάρτηση είνι ρισμένη κι συνεχής στ (, ) κι ι συνρτήσεις h() = κι φ() = l n, ρίζντι ντίστιχ στ R κι στ (,+ ) Επμένως: Ah I Aϕ AG h(), φ() νήκυν στ ίδι διάστημ τυ πεδίυ ρισμύ της RI, +, +, + < < φ(), < ln < < < ΘΕΜΑ 8 : Δίνετι μιγδικός ριθμός z = + yi, y με z + i = z i Άρ A = G, ) Ν πδείξετε ότι ι εικόνες τυ μιγδικύ z είνι σημεί της γρφικής πράστσης της συνάρτησης () =, β) Ν πδείξετε ότι γι κάθε R ισχύυν: i ) ( )() = κι ii ) Im(i z ) ( )() = γ) Έστω τυχί σημεί M,( ( ) ) της C Ν πδείξετε ότι τ εμβδόν τυ τριγώνυ πυ σχημτίζετι πό την εφπτμένη της είνι στθερό δ) Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της συνάρτησης G() = C στ σημεί Μ κι τυς άξνες κι y y () t dt 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 47

7 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ) Είνι: ( + )( ) = ( )( + ) z + i = z i z + i = z i z i z i z i z i z z iz + iz + = z z z= + iy ( z z ) + iz iz + 9 4iz 4iz 8 = i = i 4yi = y =, Άρ () =, β) i ) Έχυμε: { } { } / / A = A () A = = R Γι κάθε είνι: ( )() = ( () ) = = =, () R ii ) Γι κάθε είνι: R iz = i( + yi) = y + i, άρ = = Επμένως Im(i z ) ( )() = = Ιm(iz) () γ) Η εξίσωση της εφπτμένης ε της γρφικής πράστσης C της συνάρτησης στ σημεί M,() είνι: ε :y ( ) = ( )( ) y = ( ) H ευθεί ε τέμνει τυς άξνες κι y y ντιστίχως στ σημεί ( ) Τ εμβδόν τυ τριγώνυ ΜΑΒ είνι: δ) Η συνάρτηση g(t) = συνρτήσεις h() = κι E = = = τμ A,, B, είνι ρισμένη κι συνεχής στ A g = (, ) U (,+ ) κι ι t () =, ρίζντι ντίστιχ στ R κι στ R Επμένως: Ah I A A G h(), () νήκυν στ ίδι διάστημ τυ πεδίυ ρισμύ της g R R RI R < < () (, + ) > > Άρ A G = ( ), 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 48

8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 9 : Θεωρύμε τη συνάρτηση t F() = dt, > t ) Ν βρείτε τ πεδί ρισμύ της συνάρτησης F β) Ν πδείξετε ότι η συνάρτηση F είνι πργωγίσιμη με F() =, > γ) Αν F() γι κάθε >, ν πδείξετε ότι: i ) = κι ii) ) Η συνάρτηση g(t) συνρτήσεις h() = κι t dt ln t = είνι ρισμένη κι συνεχής στ A (,+ ) g t =, U κι ι φ() =, ρίζντι ντίστιχ στ R κι στ R Επμένως: Ah I Aϕ AF h(), φ() νήκυν στ ίδι διάστημ τυ πεδίυ ρισμύ της g R RI R R (, + ) φ() (, + ) > > Άρ A F = (, + ) β) Η συνάρτηση F είνι πργωγίσιμη ως σύνθεση των πργωγισίμων συνρτήσεων φ() = κι T() = g(t)dt, η πί είνι πργωγίσιμη ως ρχική της συνεχύς συνάρτησης g Γι κάθε (, ) + έχυμε: F() = =,> = γ) Γι κάθε (, + ) είνι F() F() F() Πρτηρύμε ότι η συνάρτηση F πρυσιάζει στ εσωτερικό σημεί = > τυ πεδίυ ρισμύ της ελάχιστ κι φύ η F είνι πργωγίσιμη ισχύει Θεώρημ Frmat, πότε: F() = = = = = 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 49

9 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ δ) Γι = έχυμε t dt F() = t Γι κάθε > είνι F(), πότε t t t F() dt dt dt dt dt t t t t t t t [ ] dt lnt dt ln ln dt ln dt l n ΘΕΜΑ : 4 Δίνετι η συνάρτηση () =, ± Α) Ν βρείτε: ) Τ σύνλ τιμών της β) Τις σύμπτωτες της C Β) Ν υπλγίσετε τ εμβδόν τυ χωρίυ πυ περικλείετι πό τη C, τν άξν κι τις ευθείες = κι = κ 5 g(κ) d ()d κ Γ) Θεωρύμε τη συνάρτηση = ) Ν λύσετε την εξίσωση g(κ) =6 β) Ν πδείξετε ότι γι κάθε (,) = έχυμε: Α) ) Γι κάθε A R {,} ισχύει () συνd = ( ) ( ) ( ) ( + ) (4) (4) 4 (4) 4 () = = = < Τ πρόσημ της κι η μντνί της φίνντι στ διπλνό πίνκ + Είνι: () < στ (, ), άρ η είνι γνησίως φθίνυσ στ (, ) < στ (,), άρ η είνι γνησίως φθίνυσ στ (,) () () < στ (,+ ), άρ η είνι γνησίως φθίνυσ στ (,+ ) 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

10 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Βρίσκυμε τ όρι στ άκρ των διστημάτων τυ Είνι: lim () = lim = lim = lim = lim () = lim = lim = lim = lim () = lim = lim =, + γιτί 4 4 lim () lim lim =+, = = γιτί 4 4 lim () lim lim =, + = = γιτί 4 4 lim () lim lim =+, = = γιτί A 4 lim = > κι 4 lim = > κι + 4 lim = > κι + 4 lim = > κι + + Άρ τ σύνλ τιμών της συνάρτησης είνι τ ( A ) = (, + ) lim = + lim =+ + + lim = β) Η ευθεί με εξίσωση y= είνι ριζόντι σύμπτωτη της C στ, φύ Η ευθεί με εξίσωση y= είνι ριζόντι σύμπτωτη της C στ +, φύ Η ευθεί με εξίσωση = είνι κτκόρυφη σύμπτωτη της C, φύ Η ευθεί με εξίσωση = είνι κτκόρυφη σύμπτωτη της C, φύ Β) Η συνάρτηση είνι συνεχής στ [, ] κι () > γι κάθε [, ] lim =+ + lim () = lim () = + = lim () lim () =, πότε τ εμβδόν τυ χωρίυ πυ περικλείετι πό τη C, τν άξν κι τις ευθείες = κι =, είνι: 4 ( ) E = ()d = d = d = d = ( ) = ln = n l n l = n l τμ Γ) ) Η συνάρτηση g γράφετι: κ κ κ κ κ g(κ) = d d= d+ d= d= d κ Η συνάρτηση είνι συνεχής στ (, ) U(,) U (, + ) Επειδή τ (, + ) γι ν ρίζετι η g ρκεί τ κ (, + ) Άρ Α g = (, + ) 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

11 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Γι κάθε κ (, + ) έχυμε: κ κ κ ( ) κ κ κ 4 g(κ) = d = d = d = = = = = = = ± κ 4 Η εξίσωση g(κ) = 6 ισδύνμ γράφετι 6 κ 4 κ 6 κ 4 Η λύση κ = 4 είνι δεκτή, ενώ η λύση κ= 4 πρρίπτετι γιτί κ (, + ) β) Η συνάρτηση 4συν φ() = () συν = Πράγμτι, γι κάθε (,) έχυμε: Είνι Θέτυμε (,) είνι ρισμένη στ (,) κι είνι περιττή 4συν 4συν φ( ) = = = φ() φ()d = φ()d + φ() d = I + I = u, πότε d = du Γι = τ u =, ενώ γι = τ u = I = φ()d = φ( u)( du) = φ( u)du = Είνι φ:περιττή = φ( u)du = φ(u)du = φ(u)du = I φ()d = I + I = I + I = ΘΕΜΑ : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση :R () ( t ) + dt =, γι κάθε R ) N πδείξετε ότι () + () =, γι κάθε R R με ( R)= R, η πί ικνπιεί τη σχέση β) Ν πδείξετε ότι η ντιστρέφετι κι ν ρίσετε τη συνάρτηση γ) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση ως πρς την κιλότητ κι ν βρείτε τ πρόσημό της δ) Ν υπλγίσετε τ εμβδόν τυ χωρίυ πυ περικλείετι πό τη γρφική πράστση C της συνάρτησης, τν άξν κι τις ευθείες με εξισώσεις = κι = + ε) N πδείξετε ότι ( ) () < () <, γι κάθε (, + ) 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

12 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ) Γι κάθε R είνι: () t ( ) () t + dt = + t = ) () () + () ( + = + () = () β) Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στ R, άρ κι η () είνι πργωγίσιμη στ R, ως σύνθεση πργωγισίμων, πότε πργωγίζντς κι τ δύ μέλη της () έχυμε: () () () ( + ()) = () + () = ( + ) () = () = () () + Είνι () = () + > γι κάθε R, επμένως η είνι γνησίως ύξυσ στ R, άρ είνι κι, πότε ντιστρέφετι Ισχύει η ισδυνμί () y = (y) = με,y R, φύ R = R Η () ισδύνμ γράφετι y y + y= ( y) ( y) = + y, y R Άρ :R R με () = + () γ) Η είνι πργωγίσιμη στ R, πότε κι η () είνι πργωγίσιμη στ R, ως σύνθεση πργωγισίμων, άρ κι η είνι πργωγίσιμη στ R ως πηλίκ πργωγισίμων, () + () () πότε η συνάρτηση είνι δυ φρές πργωγίσιμη στ R με () = <, () ( + ) άρ η συνάρτηση είνι κίλη στ R Γι = πό τη σχέση () έχυμε () = άρ () = (4) Η είνι γνησίως ύξυσ στ R, πότε: Γι < () < () () < Γι > () > () () > δ) Η συνάρτηση είνι συνεχής στ [,+ ] κι () γι κάθε [, ] +, επμένως τ εμβδόν τυ χωρίυ πυ περικλείετι πό τη γρφική πράστση C της συνάρτησης, τν άξν κι τις ευθείες με εξισώσεις = κι = + είνι: 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5

13 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Είνι + u u Ε(Ω) = ()d Θέτυμε () = u = (u) = + u, άρ d = ( + ) du Γι = έχυμε = (u) () = (u) u = Γι = + έχυμε + = (u) () = (u) u = Άρ έχυμε: + u u u Ε(Ω) = ()d = u ( + ) du = u du + udu = u ( ) du + udu = u u u u u = u (u) du + = du + = + = ( ) + = τμ ε) Η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη στ [, ], άρ ισχύει τ ΘΜΤ, πότε θ υπάρχει έν (4) () () () τυλάχιστν ξ (, ) τέτι, ώστε (ξ) = (ξ) = (5) Η συνάρτηση είνι κίλη στ R, άρ η είνι γνησίως φθίνυσ στ R, επμένως γι < ξ < () > (ξ) > () () < (ξ) < () (6) (4) Γι = πό τη σχέση () έχυμε () = = () = (7) + + (5),(7) () > Η (6) () < < ( ) () < () < ΘΕΜΑ : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση : [, + ) R με () =, η πί ικνπιεί τις σχέσεις 4 () () + = κι () γι κάθε [ + ), ) Ν μελετήσετε τη συνάρτησης ως πρς τη μντνί κι την κυρτότητ β) Ν πδείξετε ότι () =, + γ) Ν βρείτε την εξίσωση της εφπτμένης ε της γρφικής πράστσης C της συνάρτησης στ σημεί Α(,() ) δ) Ν υπλγίσετε τ εμβδόν τυ χωρίυ, πυ περικλείετι πό τη γρφική πράστση C της συνάρτησης, τν άξν, την εφπτμένη ε κι την ευθεί με εξίσωση = 7 π ε) Ν πδείξετε ότι ( συν ) < () + ( συν) με, 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 54

14 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ) Γι κάθε [, ) + είνι: 4 () = () <, φύ (), + φθίνυσ στ [ ) γι κάθε [, ) () = () () = () () = () 9 +, πότε η συνάρτηση είνι γνησίως Η είνι συνεχής στ [, + ) κι γι κάθε [, ) πρόσημ στ [,+ ) Επειδή = >, συμπερίνυμε ότι > γι κάθε [, ) Άρ () > γι κάθε [, + ), πότε η είνι κυρτή στ [, + ) β) Γι κάθε [, + ) έχυμε: Είνι () =, άρ c () () () () () () +, άρ η διτηρεί στθερό + = = =, άρ 4 () () ()d d c c = = + () = + () + =, πότε = + = = + +, [, ) γ) Η εξίσωση εφπτμένης ε της A, είνι: y () = () ( ) y = y = + () δ) Γι y= πό την () έχυμε στ σημεί (,) C στ σημεί της + + = = Άρ η εφπτμένη ε τέμνει τν άξν Β T εμβδόν τυ χωρίυ Ω πυ περικλείετι πό τη γρφική πράστση C της συνάρτησης, τν άξν, την εφπτμένη ε κι την ευθεί με εξίσωση = 7, είνι: 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 55

15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ E(Ω) = d (ΟΑΒ) = + d (ΟΑ)(ΟΒ) = ( + ) = ( ) ( 4 ) = + = = + τμ ε) Γνωρίζυμε ότι: συν = συν, άρ συν συν = συν > γι κάθε π, Η συνάρτηση ικνπιεί τις πρϋπθέσεις τυ ΘΜΤ σε κθέν πό τ διστήμτ συν, συν κι συν,, πότε θ υπάρχει: ξ ( συν, συν ) τέτι, ώστε ξ συν τέτι, ώστε (,) ( συν ) ( συν ) ( συν ) ( συν ) ξ = = συν συν συν ( συν ) ( συν ) ξ = = συν συν κι Η συνάρτηση είνι κυρτή στ [,+ ), άρ η είνι γνησίως ύξυσ στ [,+ ) Άρ γι ξ <ξ είνι ξ < ξ πότε έχυμε: συν συν < συν συν < + συν ΘΕΜΑ : Θεωρύμε την πργωγίσιμη συνάρτηση :R R, η πί γι κάθε R ικνπιεί τη σχέση () + () = + () ) Ν πδείξετε ότι (), R = β) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση φ() = (), R ως πρς τη μντνί κι τ () κρόττ γ) Ν πδείξετε ότι d + ()d < () δ) Ν πδείξετε ότι η συνάρτηση την πράγωγό της ε) Ν πδείξετε ότι h()d = 4 h() = dt (t) είνι πργωγίσιμη στ R κι ν βρείτε 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 56

16 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ) Θεωρύμε τη συνάρτηση g(), R = +, πότε η () γράφετι g( () ) = g( ) Η g είνι πργωγίσιμη στ R με g = + > γι κάθε R Άρ η g είνι γνησίως ύξυσ στ R, πότε είνι Επμένως πό τη σχέση () έχυμε β) Γι κάθε R είνι: φ() = () = =, R () () =, R = = + Η συνάρτηση φ είνι πργωγίσιμη στ R, με φ () Είνι: φ () = + = = ( ) ( ) φ () > + > > Τ πρόσημ της φ, η μντνί κι τ κρόττ της φ φίνντι στ διπλνό πίνκ + φ + φ ελάχ Έχυμε: Η φ είνι συνεχής στ (,] κι φ () < στ (,) φθίνυσ στ (, ] Η φ είνι συνεχής στ [,+ ) κι φ () > στ ύξυσ στ [,+ ) Η φ πρυσιάζει ελάχιστ στ =, με ελάχιστη τιμή φ() = γ) Αρκεί ν δείξυμε ότι, άρ η φ είνι γνησίως,+, άρ η φ είνι γνησίως d+ d< d d< d< φ()d < Η συνάρτηση φ είνι συνεχής κι γνησίως ύξυσ στ [, ], άρ γι κάθε [,] φ() φ() φ() Είνι φ() Είνι φ() φ() = = κι, γι κάθε [,] είνι φ() = =, άρ φ() κι η ισότητ ισχύει μόν γι = Επμένως [ ] φ() d > ()d φ()d > ( )d > φ()d φ()d < ( )d φ()d < 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 57

17 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ δ) Γι κάθε R είνι: Η συνάρτηση t t (t) h () = dt h () = dt h () = dt t είνι συνεχής στ R, η συνάρτηση ρίζετι στ R κι είνι πργωγίσιμη στ R, πότε κι η συνάρτηση h είνι πργωγίσιμη στ R, με ε) Είνι: ΘΕΜΑ 4 : t () 4 h = dt = () = 4 h()d = () h()d = h() h ()d = h d = [ ] 4 4 = d 4 = 4 = 4 = 4 Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση :R Rμε () =, η πί γι κάθε R ικνπιεί τις σχέσεις: ( ) () () > () κι d = () + c + ) Ν πδείξετε ότι () =, R + β) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση, ως πρς τη μντνί γ) Ν βρείτε τ σύνλ τιμών της συνάρτησης < 4 δ) Ν λύσετε την νίσωση ln + l n ) Γι κάθε R έχυμε + () d () = + c, άρ, c R () () () () () + () + () = = = = + () + () + () + + () () = ( ln() ) = ( ln( + ) ) ln() = l n( + ) + c () + Γι = έχυμε ln() = l n+ c c = Επμένως γι κάθε R έχυμε: ln () = ln( + ) ln () = ln ln( + ) ln () = l n () = ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 58

18 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ β) Γι κάθε R έχυμε: Είνι: + () () = = + + () = = () > (,) U (, + ) Τ πρόσημ της κι η μντνί της φίνντι στ διπλνό πίνκ Η συνάρτηση είνι συνεχής στ R κι () > γι κάθε (,) U (, + ), άρ η είνι γνησίως ύξυσ στ R γ) Η συνάρτηση είνι συνεχής κι γνησίως ύξυσ στ R, πότε τ σύνλ τιμών της είνι: ( lim (), lim ()) R = + Έχυμε: lim () = lim = lim =, γιτί + + lim = κι lim = lim = ( ) + lim () = lim = lim = lim = lim = DLH + + DLH + ( + ) Επμένως τ σύνλ τιμών της συνάρτησης είνι τ ( R) = (, + ) δ) Είνι: < < < l ( + ) + l ( + ) + l ( + ) n ln ln n ln ln n < l n < < < ( ) < () 4 + ( ) + Γι τυς ριθμύς κι υπάρχυν ι εξής περιπτώσεις : ή >, ή =, ή < Αν υπθέσυμε ότι > κι με δεδμέν ότι η είνι γνησίως ύξυσ στ R, πρκύπτει > πυ είνι άτπ λόγω της () Αν υπθέσυμε ότι συνάρτησης πρκύπτει = πυ επίσης είνι άτπ λόγω της () =, τότε πό τν ρισμό της Άρ πό τη σχέση () πρκύπτει < Έχυμε λιπόν < < < < 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 59

19 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η συνεχής κι γνησίως ύξυσ συνάρτηση : [, β ] R κι ι μιγδικί ριθμί = + [, β] z () i, με > ) Αν R( z) = Im( zβ) κι R( z β) = Im( z), ν πδείξετε ότι η γρφική πράστση C της συνάρτησης τέμνει τν άξν, σε έν κριβώς σημεί με τετμημένη (, β ) β) Αν ()d= κι β ()d=, τότε: i) N βρείτε τ εμβδόν τυ χωρίυ πυ περικλείετι πό τη γρφική πράστση C, της συνάρτησης, τν άξν κι τις ευθείες με εξισώσεις = κι = β ii) Ν πδείξετε ότι υπάρχυν ξ, ξ (, β) τέτιι, ώστε ν ισχύει = β (ξ ) (ξ ) ) Έχυμε z = ( ) + i κι z β = () β β i Είνι: =, πότε ( ) =β<, R z Im zβ R( z ) Im ( z ) β =, πότε ( β ) = >, φύ < <β Η συνάρτηση είνι συνεχής στ [, β ] κι ( β ) =β< Ισχύει λιπόν τ Θεώρημ Blzan, πότε θ υπάρχει έν (, β ) κι μάλιστ μνδικό, φύ η είνι γνησίως ύξυσ στ [, β ] τέτι, ώστε ( ) = β) i) Η συνάρτηση είνι συνεχής κι γνησίως ύξυσ στ [, β ], πότε: Γι (), άρ () Γι (), γι κάθε [ ] β, άρ γι κάθε [, ] β Επμένως τ εμβδόν τυ χωρίυ πυ περικλείετι πό τη γρφική πράστση C, της συνάρτησης, τν άξν κι τις ευθείες με εξισώσεις β E = () d = () d + ()d = + = 4 τμ β = κι = β, είνι: 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

20 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ γ) Θεωρύμε τη συνάρτηση Η g είνι πργωγίσιμη στ [, ] [, β ] με g() = (t)dt, [, β ] β, ως ρχική συνάρτηση της συνεχύς συνάρτησης στ g () = (t)dt = () Άρ η συνάρτηση g ικνπιεί τις πρϋπθέσεις τυ, κι [, β ], πότε θ υπάρχυν ξ (, ) ΘΜΤ σε κθέν πό τ διστήμτ [ ] κι ξ (, β ) τέτι, ώστε: (t)dt (t)dt g g g ( ξ ) = = = = κι g β (t)dt (t)dt (t)dt + (t)dt (t)dt g( β) g ξ = = = = = β β β β β β β Άρ έχυμε: g ( ξ ) = ( ξ ) = = ( ξ ) κι g ξ = ( ξ ) = β = β β ξ Πρσθέτντς κτά μέλη τις () κι () έχυμε () =β ( ξ ) ( ξ ) ΘΕΜΑ 6 : Δίνετι συνάρτηση :, R δυ φρές πργωγίσιμη, με ()= κι (), = η πί ικνπιεί τη σχέση () = () (), γι κάθε, ) Ν πδείξετε ότι () = () +, γι κάθε, β) Ν πδείξετε ότι η συνάρτηση g() = dt είνι στ R + t γ) Ν πδείξετε ότι η συνάρτηση h() = g( () ) g( εφ) είνι στθερή στ, κι στη συνέχει ν βρείτε τν τύπ της δ) Ν πδείξετε ότι () = εφ, γι κάθε, ε) Αν Ε είνι τ εμβδόν τυ χωρίυ πυ περικλείετι πό τη γρφική πράστση C g, της συνάρτησης g, τν άξν κι τις ευθείες με εξισώσεις = κι =, ν πδείξετε n ότι g() = E+ l 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6

21 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ) Γι κάθε, έχυμε: = = + c () () () () Όμως () = () + c = + c c= Άρ () = () +,, β) Η συνάρτηση g είνι πργωγίσιμη στ R, ως ρχική της συνεχύς συνάρτησης, με + t g() = dt = Είνι g() = > γι κάθε R, άρ η συνάρτηση g είνι + t + + γνησίως ύξυσ στ R, άρ η g είνι κι γ) Γι κάθε, έχυμε: h () = g () () g ( εϕ)( εϕ) h() = + () +εϕ = = ( ) + () +εϕ Επμένως η συνάρτηση h είνι στθερή Έστω h() = c,, Γι h() = c g () g εϕ = c g() g() = c c = = έχυμε Άρ h() =,, δ) Γι κάθε, έχυμε: g: h() = g () g( εϕ ) = g () = g( εϕ) () = εϕ ε) Η συνάρτηση g είνι συνεχής κι γνησίως ύξυσ στ [, ], άρ γι κάθε [,] g() g() g(), πότε g, γι κάθε [,] είνι Επμένως τ εμβδόν τυ χωρίυ πυ περικλείετι πό τη γρφική πράστση C g, της συνάρτησης g, τν άξν κι τις ευθείες με εξισώσεις = κι =, είνι: E = g()d () = g()d = [ g() ] g ()d g() d = = + l = g() d = g() n + = g() ln l n = g() n l + Είνι n E = g() l, πότε g() = E + ln 5-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6