Ανάθεση εργασίας για το εργαστηριακό μέρος του μαθήματος «Μηχανική των Ρευστών» : Στρωτή και τυρβώδης ροή σε λείο σωλήνα Συντάκτες: Α. Φιλιός, Κ. Μουστρής, Κ.-Σ. Νίκας 1 Αντικείμενο της εργαστηριακής άσκησης Αντικείμενο της εργαστηριακής άσκησης είναι: H μέτρηση της πτώσης πίεσης κατά τη ροή νερού σε οριζόντιο λείο σωλήνα συναρτήσει της ογκομετρικής παροχής για στρωτή και τυρβώδη ροή. Ο πειραματικός υπολογισμός του συντελεστή τριβής συναρτήσει του αριθμού Reynolds καθώς και ο προσδιορισμός της κρίσιμης ζώνης. Ο υπολογισμός του συντελεστή τριβής σε λείους σωλήνες με χρήση εμπειρικών εξισώσεων και η συγκριτική αξιολόγηση τους. Σύγκριση των πειραματικών αποτελεσμάτων με αντίστοιχα θεωρητικά και ο σχολιασμός αυτών. Συνοπτική θεωρία Με την παραδοχή μόνιμης, ασυμπίεστης και μονοδιάστατης ροής νερού σε σωλήνα διαμέτρου D και μήκους (Σχήμα 1), το ύψος των υδραυλικών απωλειών μπορεί να προσδιορισθεί από την εξίσωση της ενέργειας και αυτό είναι: D 1 h h h 1 (1) όπου h1 και h είναι το ύψος πίεσης στις θέσεις 1 και, αντίστοιχα. Το ύψος απωλειών, υπολογίζεται από την εξίσωση Darcy-Weisbach [Benedict (1980), Παπαϊωάννου (00), Wikipedia]: 1 U h = U = () D g g όπου είναι ο συντελεστής τριβής (γνωστός και ως συντελεστής τριβής Darcy), g είναι η επιτάχυνση της ταχύτητας, U είναι η μέση ταχύτητα ροής και ζ=(/d) είναι ο συντελεστής αντίστασης του σωλήνα. Επιλύοντας την εξίσωση () ως προς το συντελεστή τριβής και σε συνδυασμό με την εξίσωση (1), προκύπτει: 5 gh π gd h1 h = D U (3) 8 Q Σχήμα 1: Ροή σε σωλήνα. Η εξίσωση (3) χρησιμοποιείται για τον πειραματικό υπολογισμό του συντελεστή τριβής και ισχύει για στρωτή και τυρβώδη ροή. Γενικά, συντελεστής τριβής είναι συνάρτηση του αριθμού Reynolds και της σχετικής τραχύτητας (ε/d) και δεν πρέπει να συγχέεται με το συντελεστή Fanning (F), ο οποίος είναι: U FM-EA-06.docx, 31-Μαρ-019 Page 1 o 7
= F 4 (4).1 Εξισώσεις υπολογισμού του συντελεστή τριβής Ο συντελεστής τριβής σε λείους σωλήνες εξαρτάται μόνο από τον αριθμό Reynolds, όπως αυτός ορίζεται από την εξίσωση (4) στον ακόλουθο πίνακα εξισώσεων (Πίνακας 1). Στον ίδιο πίνακα δίδεται η εξίσωση του συντελεστή τριβής για στρωτή ροή (5) όπως αυτή προκύπτει από τη ροή Hagen-Poiseuille και μερικές εμπειρικές εξισώσεις για τον υπολογισμό του συντελεστή τριβής στην περίπτωση τυρβώδους ροής [εξίσωση (6), (7), (8), (9) και (10)]. Πίνακας 1: Εξισώσεις υπολογισμού συντελεστή τριβής σε λείους σωλήνες [Benedict, (1980)]. Αριθμός Reynolds UD Re (4) όπου ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού, U είναι η μέση ταχύτητα ροής, D είναι η διάμετρος του σωλήνα και μ είναι το δυναμικό ιξώδες του ρευστού. Στρωτή ροή (Re < Recrit 300) Ροή Hagen-Poiseuille 64 (5) Re Τυρβώδης ροή (Blasius, 1933) 0.3164 ; 5 10 3 Re 10 5 0.5 Re (6) (Prandtl, 1933) 1 Re log10 0.8 ; Re > 4 10 (7) (Nikuradse, 1930) 0.37 0.0033 0.1 Re ; Re > 4 10 3 (8) (Eck, 1973) Re 0.309 log 10 7 ; 4 10 3 Re 10 8 (9) (Techo et al, 1965) Re 0.86859 ln 1.964 ln Re 3.815 ; Re > 4 103 (10) Page o 7
3 Εργαστηριακή συσκευή και μετρήσεις Για την εκτέλεση της πειραματικής άσκησης χρησιμοποιείται εργαστηριακή συσκευή που α- παρτίζεται από ένα χάλκινο σωλήνα, εσωτερικής διαμέτρου D=3 mm, με δύο οπές στατικής πίεσης που απέχουν μεταξύ τους =54 mm και ένα μανόμετρο το οποίο μπορεί να λειτουργήσει είτε ως διάταξη δύο πιεζομετρικών σωλήνων (ανεστραμμένο U μανόμετρο με την πίεση να ρυθμίζεται στις ελεύθερες επιφάνειες του νερού μέσω αεροβαλβίδας και με τη χρήση χειροκίνητης αεραντλίας) είτε ως U μανόμετρο υδραργύρου (Σχήμα ). Οι Κορωνάκης Π. (004) και Τόκης Ι. (1983) παρέχουν λεπτομερή περιγραφή της συσκευής καθώς και οδηγίες για την προετοιμασία της και τη διεξαγωγή των μετρήσεων. Σχήμα : Συσκευή μέτρησης υδραυλικών απωλειών σε λείο σωλήνα (=54 mm, D=3 mm). Για την πειραματική διερεύνηση των υδραυλικών απωλειών και τον προσδιορισμό του συντελεστή τριβής στο σωλήνα της συσκευής, τόσο για στρωτή ροή όσο και τυρβώδη ροή, ακολουθείται σειρά ενεργειών ή βημάτων, όπως αυτά περιγράφονται στη συνέχεια: Βήμα 1: Τοποθέτηση της συσκευής επί της υδραυλικής τράπεζας και προετοιμασία της υπό τις οδηγίες και επίβλεψη του διδάσκοντα. Βήμα : Μέτρηση ατμοσφαιρικών μεγεθών (πίεση, patm & θερμοκρασία, Tatm), μέτρηση θερμοκρασίας του νερού στη δεξαμενή τροφοδοσίας στην έναρξη του πειράματος (TW,start) και καταχώρηση της στο αντίστοιχο πεδίο του Πίνακα πληροφοριακών στοιχείων του πειράματος στο φύλλο μετρήσεων (βλ. Παράρτημα Α). Βήμα 3: Για τις μετρήσεις στην περιοχή της στρωτής ροής, ο σωλήνας τροφοδοτείται με νερό από την υπερυψωμένη πλαστική δεξαμενή και η βαλβίδα επιλογής του μανομέτρου τίθεται στη θέση για στρωτή ροή (μέτρηση υψών νερού σε πιεζομετρικούς σωλήνες). Βήμα 4: Με τη βελονοειδή βαλβίδα ρύθμισης της παροχής, στην έξοδο του σωλήνα, λαμβάνονται έντεκα (11) ομάδες μετρήσεων που αφορούν τον όγκο του νερού (V σε ml) που συλλέγεται στον ογκομετρικό σωλήνα, τον αντίστοιχο χρόνο πλήρωσης (t σε sec) με νερό του ογκομετρικού σωλήνα και τα ύψη των στηλών νερού (ha και hb σε mm) στους πιεζομετρικούς σωλήνες. Οι μετρήσεις καταχωρούνται στον Πίνακα Ι του φύλλου μετρήσεων του πειράματος (βλ. Παράρτημα Α). Βήμα 5: Για τις μετρήσεις στην περιοχή της τυρβώδους ροής, ο σωλήνας τροφοδοτείται με νερό από την αντλία τροφοδοσίας και η βαλβίδα επιλογής του μανομέτρου τίθεται στη θέση για τυρβώδη ροή (μέτρηση υψών νερού στις στήλες του υδραργυρικού μανομέτρου U). Page 3 o 7
Βήμα 6: Με τη βελονοειδή βαλβίδα ρύθμισης της παροχής, στην έξοδο του σωλήνα, λαμβάνονται έντεκα (11) ομάδες μετρήσεων που αφορούν τον όγκο του νερού (V σε ml) που συλλέγεται στον ογκομετρικό σωλήνα, τον αντίστοιχο χρόνο πλήρωσης (t σε sec) με νερό του ογκομετρικού σωλήνα και τα ύψη των στηλών υδραργύρου (hat και hbt σε mm) στο μανόμετρο U. Οι μετρήσεις καταχωρούνται στον Πίνακα ΙI του φύλλου μετρήσεων του πειράματος (βλ. Παράρτημα Α). Βήμα 7: Μέτρηση της θερμοκρασίας του νερού στη δεξαμενή τροφοδοσίας στο τέλος του πειράματος (TW,end) και καταγραφή της στο αντίστοιχο πεδίο του πίνακα πληροφοριακών στοιχείων του πειράματος, στο φύλλο μετρήσεων (βλ. Παράρτημα Α). Βήμα 8: Αποσύνδεση της συσκευής από την υδραυλική τράπεζα και τοποθέτηση στο χώρο φύλαξης της, υπό την επίβλεψη του διδάσκοντα. 4 Επεξεργασία των μετρήσεων και αποτίμηση τους Με συμπληρωμένους τους πίνακες του φύλλου μετρήσεων, η επεξεργασία των μετρήσεων διεξάγεται κατά την ακόλουθη σειρά: Βήμα 1: Υπολογισμός της πυκνότητας και του ιξώδους του νερού καθώς και της πυκνότητας του υδραργύρου με τη χρήση των εξισώσεων του ακόλουθου πίνακα [Φιλιός (017)]. Πίνακας : Εξισώσεις υπολογισμού φυσικών ιδιοτήτων νερού και υδραργύρου. Θερμοκρασίες αναφοράς : T W T T W, start W, end THg (11) Πυκνότητα νερού: 3 T 1.7 3 W 10 0.0178 W 4 ; kg m (1) 1.788 73 73 Ιξώδες νερού: W exp 1.704 5.306 7.003 ; 3 Pa s 10 TW 73 TW 73 (13) 3 3 Πυκνότητα υδραργύρου: Hg 13.595 10.4579 THg ; kg m (14) Βήμα : Για κάθε ομάδα μετρήσεων από τον Πίνακα Ι του φύλλου μετρήσεων του πειράματος (βλ. Παράρτημα Α), δηλαδή για την περίπτωση στρωτής ροής, υπολογίζονται (Πίνακας 3) η ογκομετρική παροχή, εξίσωση (15), η ταχύτητα ροής, εξίσωση (16), ο αριθμός Reynolds, εξίσωση (17) και ο συντελεστής τριβής, εξίσωση (18) και η υδραυλική βαθμίδα, εξίσωση (0). Τα αποτελέσματα των υπολογισμών καταχωρούνται σε πίνακα για τη χάραξη διαγραμμάτων. Βήμα 3: Για κάθε ομάδα μετρήσεων από τον Πίνακα ΙΙ του φύλλου μετρήσεων του πειράματος (βλ. Παράρτημα Α), δηλαδή για την περίπτωση τυρβώδους ροής, υπολογίζονται (Πίνακας 3) η ογκομετρική παροχή, εξίσωση (15), η ταχύτητα ροής, εξίσωση (16), ο αριθμός Reynolds, εξίσωση (17) και ο συντελεστής τριβής, εξίσωση (19) και η υδραυλική βαθμίδα, εξίσωση (1). Τα αποτελέσματα των υπολογισμών καταχωρούνται σε πίνακα για τη χάραξη διαγραμμάτων. Page 4 o 7
Βήμα 4: Για τη στρωτή ροή και για τους αριθμούς Reynolds των μετρήσεων υπολογίζονται ο συντελεστής τριβής, εξίσωση (5), και η υδραυλική βαθμίδα, εξίσωση (3). Τα αποτελέσματα των υπολογισμών καταχωρούνται σε πίνακα για τη χάραξη διαγραμμάτων. Βήμα 5: Για την τυρβώδη ροή και για τους αριθμούς Reynolds των μετρήσεων, υπολογίζονται ο συντελεστής τριβής, επιλέγοντας τρεις (3) τουλάχιστον εκ των εξισώσεων (6) έως (10), και η υδραυλική βαθμίδα, εξίσωση (3). Τα αποτελέσματα των υπολογισμών καταχωρούνται σε πίνακα για τη χάραξη διαγραμμάτων. Πίνακας 3: Πίνακας εξισώσεων για τον πειραματικό προσδιορισμό του συντελεστή τριβής. Στρωτή ροή (πειραματικές μετρήσεις από τον Πίνακα Ι του φύλλου μετρήσεων) Τυρβώδης ροή (πειραματικές μετρήσεις από τον Πίνακα ΙΙ του φύλλου μετρήσεων) V Q t ml s (15) U 4Q D ; m/s (16) UD Re (17) g h h DU a b exp = (18) Hg g 1hbT hat W exp T = (19) DU h h a b (0) bt at h h h h (1) 5 Παραδοτέο Παραδοτέο της εργαστηριακής άσκησης είναι μια έκθεση (ab Report) κατά το πρότυπο συγγραφής ομαδικής εργαστηριακής έκθεσης η οποία θα περιλαμβάνει: Τον τίτλο της άσκησης, τα ονοματεπώνυμα των φοιτητών της ομάδας κατ αλφαβητική σειρά, τη δήλωση περί μη λογοκλοπής συμπληρωμένη και υπογεγραμμένη, το φύλλο α- ξιολόγησης στην οποία θα έχουν συμπληρωθεί τα αιτούμενα στοιχεία των φοιτητών και τον πίνακα περιεχομένων της εργασίας. Το κύριο σώμα της εργασίας, στο οποίο περιλαμβάνονται: o Το αντικείμενο της άσκησης και το φύλλο μετρήσεων πλήρως συμπληρωμένο. Page 5 o 7
o Οι πίνακες επεξεργασίας των πειραματικών μετρήσεων. o Οι πίνακες υπολογισμού των συντελεστών τριβής με εφαρμογή θεωρητικών ή ε- μπειρικών εξισώσεων και η συγκριτική αξιολόγηση τους. o Το διάγραμμα μεταβολής των υδραυλικών απωλειών με την παροχή (για στρωτή και τυρβώδη ροή, σύγκριση πειραματικών μετρήσεων με θεωρητικές προλέξεις). o Το διάγραμμα (λογαριθμικό) μεταβολής του συντελεστή τριβής με τον αριθμό Reynolds με απεικόνιση τόσο των πειραματικών δεδομένων με αντίστοιχες θεωρητικές εμπειρικές εξισώσεις. o Ο υπολογισμός της πειραματικής αβεβαιότητας στον προσδιορισμό του συντελεστή τριβής. o Ο σχολιασμός των αποτελεσμάτων και τα τελικά συμπεράσματα της εργασίας. o Οι βιβλιογραφικές πηγές που χρησιμοποιήθηκαν για την εκπόνηση της εργασίας. 6 Βιβλιογραφικές πηγές 1) Benedict, RP (1980). Fundamentals o pipe low. Wiley. ) Wikipedia, Darcy Weisbach equation, http://en.wikipedia.org/wiki/darcy_riction_actor, Accessed 8.03.019. 3) Κορωνάκης Π. (004). Εργαστηριακή Ρευστομηχανική Ι. Εργαστηριακή άσκηση: Υ- δραυλικές απώλειες κατά τη ροή νερού σε κλειστό αγωγό, σελ. 101-110. Εκδόσεις ΙΩΝ. 4) Παπαϊωάννου, Α. (00). Μηχανική των Ρευστών. Τομ., Κεφ. 4: Ροή σε αγωγούς. Γ. Γκέλμπεσης. 5) Τόκης Ι. (1983). Εργαστηριακές Ασκήσεις Μηχανικής Ρευστών Ι και Υδραυλικής Ι. Ά- σκηση 1: Απώλειες λόγω τριβών σε σωλήνα, σελ. 176-193. Εκδόσεις ΟΕΔΒ. 6) Φιλιός, Α. (017). Τυπολόγιο Μηχανικής των Ρευστών. https://sites.google.com/a/teeg.net/ae/home/education/luid-mechanics/contents/annexes/typologio, Accessed 31.03.019. Page 6 o 7
7 Παράρτημα Α: Φύλλο μετρήσεων εργαστηριακής άσκησης : Στρωτή και τυρβώδης ροή σε λείο σωλήνα Πίνακας πληροφοριακών στοιχείων πειράματος Ατμοσφαιρική πίεση, patm hpa Εργαστηριακή ομάδα: Ατμοσφαιρική θερμοκρασία, Tatm o C Ημερομηνία: Θερμοκρασία νερού, TW, start o C Ώρα: Θερμοκρασία νερού, TW, end o C Πίνακας Ι: Μετρήσεις στην περιοχή της στρωτής ροής α/α Όγκος νερού V (ml) 1 400 400 3 400 4 400 5 300 6 300 7 300 8 00 9 150 10 100 11 50 Χρόνος t (s) Ύψη στηλών νερού στους πιεζομετρικούς σωλήνες ha hb Πίνακας ΙΙ: Μετρήσεις στην περιοχή της τυρβώδους ροής α/α Όγκος νερού V (ml) 1 900 900 3 900 4 900 5 900 6 900 7 600 8 600 9 600 10 300 11 300 Χρόνος t (s) Ύψη στηλών Ηg στο μανόμετρο U hat hbt Page 7 o 7