Ανάθεση εργασίας για το εργαστηριακό μέρος του μαθήματος «Μηχανική των Ρευστών» u x. x x x. x y y

Transcript

1 Ανάθεση εργασίας για το εργαστηριακό μέρος του μαθήματος «Μηχανική των Ρευστών» : Στρωτό οριακό στρώμα σε επίπεδη πλάκα Συντάκτες: Α. Φιλιός, Κ.-Σ. Νίκας, Κ. Μουστρής Αντικείμενο της εργαστηριακής άσκησης Αντικείμενο της άσκησης είναι η πειραματική μελέτη του στρωτού οριακού στρώματος σε ε- πίπεδη πλάκα που προσβάλλεται από παράλληλη ροή υπό μηδενική γωνία προσβολής. Ειδικότερα μετρούνται οι κατατομές ταχύτητες σε δύο θέσεις κατά μήκος της πλάκας και από αυτές προσδιορίζονται τα ολοκληρωματικά μεγέθη του στρωτού οριακού στρώματος και τα αποτελέσματα συγκρίνονται με τα αντίστοιχα της λύσης Blasis. Συνοπτική θεωρία e Οι εξισώσεις του οριακού στρώματος για μόνιμη, ασυμπίεστη, δισδιάστατη και ισοθερμοκρασιακή ροή (δηλαδή ρ=constant, μ=constant) σε επίπεδη πλάκα (Σχήμα ) με μηδενική βαθμίδα πίεσης dp d 0 και με ν=μ/ρ, απλοποιούνται σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων, την εξίσωση της συνέχειας και την εξίσωση της ορμής κατά τη -διεύθυνση. Ειδικότερα, οι εν πλάκα με μηδενική γωνία προσβολής. Σχήμα : Οριακό στρώμα σε επίπεδη λόγω εξισώσεις είναι (Schlichting and Gersten 003): e = δ() 0 () και αυτές υπόκεινται στις ακόλουθες δύο οριακές συνθήκες: () Για =0, ==0 και για, e= (3) Το προαναφερόμενο σύστημα εξισώσεων επιλύθηκε το 908 από τον Blasis ο οποίος έδειξε ότι η εξίσωση () μπορεί να μετατραπεί σε μία συνήθη διαφορική εξίσωση με την εισαγωγή των ακολούθων δύο αδιάστατων μεταβλητών: (4), (5) όπου Ψ(,) είναι η συνάρτηση ροής που ικανοποιεί την εξίσωση της συνέχειας () και από την οποία προσδιορίζονται οι συνιστώσες της ταχύτητας ροής.,,, (6) FM-EA-.doc, 07-Μαϊ-09 Page o 7

2 Χρησιμοποιώντας τις δυο παραπάνω μεταβλητές (η είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και είναι η εξαρτημένη μεταβλητή), σε συνδυασμό με τις εξισώσεις (6), η εξίσωση () γίνεται (Schlichting and Gersten 003): '' ''' 0 (7) ' '' ''' 3 3 όπου d d, d d, d d και αυτή υπόκειται στις ακόλουθες ο- ριακές συνθήκες: Για η=0, ' 0 και για η, ' (8) H εξίσωση (7) επιλύθηκε από τον Blasis με τη βοήθεια σειρών, ενώ ο Toeper (9) για πρώτη φορά πρότεινε την αριθμητική επίλυση της με τη μέθοδο Rnge-Ktta (Carnahan, Lther, and Wilkes 969). Η μέθοδος Rnge- Ktta 4ης τάξης χρησιμοποιείται στον υπολογιστικό κώδικα Blasis (Φιλιός 995) με τον οποίο υπολογίζονται οι τιμές,, και (/)(/ν) / (βλ. Παράρτημα Α: Πίνακας λύσης Blasis και Σχήμα ). Τα ολοκληρωματικά μεγέθη του στρωτού ο- ριακού στρώματος (σ.ο.σ.) κατά τη λύση Blasis υπολογίζονται με τις εξισώσεις του α- κολούθου πίνακα. Πίνακας : Εξισώσεις υπολογισμού ολοκληρωματικών μεγεθών οριακού στρώματος σύμφωνα με τη λύση Blasis. η Σχήμα : Κατατομή ταχυτήτων και διατμητικών τάσεων σε στρωτό οριακό στρώμα επίπεδης πλάκας, σύμφωνα με τη λύση Blasis Αριθμός Renolds: Re (9) Πάχος οριακού στρώματος σ.ο.σ.: 5 (0) Re Πάχος μετάθεσης σ.ο.σ.: d.7 () Re 0 Πάχος απώλειας ορμής σ.ο.σ.: d () Re 0 Συντελεστής τριβής σ.ο.σ.: c (3) / Re w Page o 7

3 3 Πειραματική διάταξη και μετρήσεις Η πειραματική μελέτη του στρωτού οριακού στρώματος σε επίπεδη πλάκα πραγματοποιείται στο θάλαμο μετρήσεων της υποηχητικής αεροσήραγγας του Εργαστηρίου. Η αεροσήραγγα και διάγραμμα της μετρητικής διάταξης φαίνονται στο Σχήμα 3. Δp Σχήμα 3: Εκπαιδευτική αεροσήραγγα (αριστερά) και σκαρίφημα μετρητικής διάταξης (δεξιά). Αρχικά ελέγχεται η εγκατάσταση αναφορικά με τη σωστή τοποθέτηση και λειτουργία των μετρητικών οργάνων και στη συνέχεια γίνεται ανάγνωση της ατμοσφαιρικής πίεσης και της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος από τη βαρομετρική στήλη και το θερμόμετρο που βρίσκονται στον εργαστηριακό χώρο. Μετά την εκκίνηση του ηλεκτροκινητήρα της αεροσήραγγας, με ρύθμιση των θυρίδων ελέγχου (dampers), επιλέγεται η ταχύτητα στην έξοδο του ακροφυσίου με ανάγνωση της διαφορικής πίεσης στην είσοδο του θαλάμου μετρήσεων. Για τον προσδιορισμό των χαρακτηριστικών του στρωτού οριακού στρώματος κατά μήκος της επίπεδης πλάκας, επιλέγονται δύο θέσεις μετρήσεων κατά τη διαμήκη διεύθυνση της πλάκας. Στην κάθε θέση, ο σωλήνας Prandtl με βήμα 0.5 mm μετακινείται σε διεύθυνση κάθετα στην πλάκα. Η σάρωση στην κάθε -θέση ξεκινά με το σωλήνα Prandtl σε επαφή με την επιφάνεια της πλάκας και επειδή η διάμετρος του σωλήνα είναι 3 mm, το πρώτο σημείο μέτρησης απέχει από την πλάκα απόσταση =.5 mm. Μετά τη σάρωση κατά τη -διεύθυνση στη θέση, ελέγχεται η ατμοσφαιρική πίεση και η θερμοκρασία περιβάλλοντος και εφόσον υπάρχει οποιαδήποτε διαφορά αυτή καταγράφεται. Επίσης ελέγχεται η ταχύτητα ροής στην έξοδο του ακροφυσίου και εφόσον υπάρχει μεταβολή, επαναλαμβάνονται οι μετρήσεις. Τα ανωτέρω επαναλαμβάνονται για τη θέση. Οι πειραματικές μετρήσεις συμπληρώνονται στο φαίνονται στο φύλλο μετρήσεων (βλ. Παράρτημα Β). 4 Επεξεργασία των μετρήσεων και αποτίμηση Με συμπληρωμένους τον πίνακα του φύλλου μετρήσεων (βλ. Παράρτημα Β), η επεξεργασία των μετρήσεων διεξάγεται κατά την ακόλουθη σειρά: Βήμα : Υπολογισμός των φυσικών ιδιοτήτων του αέρα και υπολογισμός των χαρακτηριστικών αριθμών Renolds με χρήση των εξισώσεων του ακολούθου πίνακα. Page 3 o 7

4 Πίνακας : Εξισώσεις υπολογισμού φυσικών ιδιοτήτων αέρα και αριθμών Renolds. patm 3 Πυκνότητα του αέρα:, kg m R T (4) air atm T Δυναμικό ιξώδες του αέρα:.8 0 atm, Pa s (5) Κινηματικό ιξώδες του αέρα:, m s (6) Αριθμοί Renolds: Re και Re (7) όπου patm είναι η μετρούμενη βαρομετρική πίεση σε Pa, Tatm είναι η θερμοκρασία περιβάλλοντος σε o C, Rair είναι η ειδική σταθερά του αέρα, είναι η ταχύτητα ροής στην είσοδο του θαλάμου μετρήσεων και, είναι οι αποστάσεις από το χείλος προσβολής της πλάκας σε m (βλ. Σχήμα 3). Οι αριθμοί Renolds θα πρέπει να είναι μικρότεροι από τον κρίσιμο αριθμό Renolds για τη μελέτη του στρωτού οριακού στρώματος. Βήμα : Υπολογισμός των διαστατικών και αδιάστατων ταχυτήτων, του πάχους του οριακού στρώματος (ο.σ.), του πάχους μετάθεσης και του πάχους απώλειας ορμής του ο.σ. στις θέσεις και, από τις εξισώσεις που αναφέρονται στον ακόλουθο πίνακα. Διαστατική ταχύτητα: p (8) Αδιάστατη ταχύτητα: (9) Πάχος ο.σ.: όταν 0.99 (0) Πάχος μετάθεσης ο.σ.: d () 0 Πάχος απώλειας ορμής ο.σ.: d () 0 Σημείωση: Οι συναρτήσεις στα ολοκληρώματα των εξισώσεων () και () είναι διακριτά σημεία και επομένως οι ολοκληρώσεις εκτελούνται αριθμητικά με τον κανόνα του τραπεζίου ή τον κανόνα του Simpson (Billo 007, Mathispower4). Page 4 o 7

5 Βήμα 3: Με χρήση του κώδικα Blasis (Φιλιός 995) και δεδομένα τις συνθήκες του πειράματος υπολογίζονται οι διαστατικές κατατομές των ταχυτήτων στις θέσεις και προκειμένου να συγκριθούν με τις αντίστοιχες πειραματικές. 5 Παραδοτέο Παραδοτέο της εργαστηριακής άσκησης είναι μια έκθεση (Lab Report) κατά το πρότυπο συγγραφής ομαδικής εργαστηριακής έκθεσης η οποία θα περιλαμβάνει: Τον τίτλο της άσκησης, τα ονοματεπώνυμα των φοιτητών της ομάδας κατ αλφαβητική σειρά, τη δήλωση περί μη λογοκλοπής συμπληρωμένη και υπογεγραμμένη, το φύλλο αξιολόγησης στην οποία θα έχουν συμπληρωθεί τα αιτούμενα στοιχεία των φοιτητών, και τον πίνακα περιεχομένων της εργασίας. Το κύριο σώμα της εργασίας, στο οποίο περιλαμβάνονται: o Το αντικείμενο της άσκησης και το φύλλο μετρήσεων πλήρως συμπληρωμένο. o Οι πίνακες επεξεργασίας των πειραματικών μετρήσεων. o Διαγράμματα των κατατομών των μετρηθέντων ταχυτήτων στις δύο -θέσεις σε διαστατική, =(; =constant) και αδιάστατη μορφή, / = (/δ())/, από τα οποία μπορεί να εξαχθούν συμπεράσματα αφενός για την ανάπτυξη του οριακού στρώματος και αφετέρου για την ικανοποίηση της «ομοιότητας» στις κατατομές των ταχυτήτων. o Διαγράμματα σύγκρισης των πειραματικών κατατομών με τις αντίστοιχες θεωρητικές που αφορούν τη λύση Blasis. o Σύγκριση των πειραματικών ολοκληρωματικών μεγεθών (δ και δ) με τα αντίστοιχα της λύσης Blasis. o Ο σχολιασμός των αποτελεσμάτων και τα τελικά συμπεράσματα της εργασίας. o Οι βιβλιογραφικές πηγές που χρησιμοποιήθηκαν για την εκπόνηση της εργασίας. 6 Βιβλιογραφικές πηγές ) Billo, E.J Ecel or Scientists and Engineers, Nmerical Methods. J. Wile & Sons, Inc. ) Carnahan, B., H.A. Lther, and J.O. Wilkes Applied Nmerical Methods. st ed. Wile. 3) Mathispower4, E: Simpson's Rle sing a Table o Vales, Accessed ) Schlichting, H. and K. Gersten Bondar-Laer Theor. Springer Science & Bsiness Media. 5) Toeper, C. 9. Bemerkngen Z Dem Asatz von H. Blasis: Grenzschich-ten in Flssigkeiten Mit Kleiner Reibng. Z. Math. Phs. 60: ) Φιλιός, Α.Ε Υπολογιστικός κώδικας Blasis (κώδικας σε Fortan 77). Accessed Page 5 o 7

6 7 Παράρτημα Α: Πίνακας λύσης Blasis Τα αποτελέσματα έχουν ληφθεί με τον υπολογιστικό κώδικα Blasis (Φιλιός 995). Page 6 o 7

7 8 Παράρτημα Β: Φύλλο μετρήσεων Εργαστηριακή Άσκηση : Στρωτό οριακό στρώμα σε επίπεδη πλάκα Ημερομηνία Ώρα Κωδικός ομάδας Βαρομετρική πίεση (patm), [Torr] Θερμοκρασία περιβάλλοντος (Τatm), [ o C] Ταχύτητα ροής στην είσοδο του θαλ. μετρήσεων (), [m/s] =.. mm =.. mm α/α Re=,56E+05 Re= 3,84E+05 (mm) Δp (Pa) (mm) Δp (Pa) Page 7 o 7