ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Μονάδες 7 A. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]; Μονάδες 4 A3. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο œa τοπικό μέγιστο; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα β) Μια συνάρτηση f είναι -, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f()=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς ( ) γ) Αν είναι lim f = +, τότε f()< κοντά στο ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δ) (σφ) =, œ { ημ=} ημ β β ε) f()g ()d = β [f()g()] + f ()g()d, όπου f,g είναι α α α συνεχείς συναρτήσεις στο [α,β] Μονάδες ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: _ + + = 4 () w _ 5 w = () B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = B. Αν, είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς με _ = τότε, να βρείτε το. + Μονάδες 7 B3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη y με εξίσωση + = και στη συνέχεια να βρείτε τη 9 4 μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς,w που επαληθεύουν τις σχέσεις () και () να αποδείξετε ότι: w 4 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΘΕΜΑ Γ ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ίνεται η συνάρτηση f()=( ) ln, > Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα =(,] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα =[,+ ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της f 3 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση =, > έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Γ3. Αν, με < είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος Γ, να αποδείξετε ότι υπάρχει œ(, ) τέτοιο, ώστε () + f( ) = f - Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g()=f()+ με >, τον άξονα και την ευθεία = Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(,+ ), η οποία για κάθε > ικανοποιεί τις σχέσεις: f() + f(t)dt l n = nt t l dt + f(t) f(). Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της. Μονάδες ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Αν είναι f() = ( ln ), >, τότε:. Να υπολογίσετε το όριο: lim ( f( ) ) + ημ f ( ) f ( ) Μονάδες 5 3. Με τη βοήθεια της ανισότητας ln, που ισχύει για κάθε >, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση F ( ) α = f(t) dt, >, όπου α>, είναι κυρτή (μονάδες ). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: F() + F(3) > F(), για κάθε > (μονάδες 4). 4. ίνεται ο σταθερός πραγματικός αριθμός β>. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξœ(β,β) τέτοιο ώστε: F(β) + F(3β) = F(ξ) Μονάδες 4 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης:.3 π.μ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A. Απόδειξη Σελ. 53 Α. Ορισμός Σελ 9 Α3. Ορισμός Σελ 58 Α4. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β. 4 4 4. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι κύκλος με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ=. Β. Αφού οι εικόνες των μιγαδικών, ανήκουν στο κύκλο επομένως. Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε Είναι επίσης Άρα αφού. Β3. Θέτουμε w yi. Επομένως, w 5w yi 5 5yi 4 6yi 6 36y 44
y 9 4. Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι έλλειψη με a 3,, 9 4 5 5 και εστίες 5,, 5,. Η μέγιστη τιμή του w είναι α=3 ενώ η ελάχιστη είναι α=. Επομένως είναι και w 3. Β4. ος τρόπος Γεωμετρικά έχουμε, Η μέγιστη τιμή του. Άρα w 4 ος τρόπος w είναι a 3 4 και η ελάχιστη τιμή του είναι Είναι w 3 w 3 3 w 4. Επίσης είναι w w 3 3 w 3 w και άρα w. Τέλος είναι και w 3 w 3 w 3 3 Από τριγωνική ανισότητα και τις σχέσεις (), (), (3) έχουμε,
w w w w w, 3 w w 4. ΘΕΜΑ Γ Γ. Η συνάρτηση f είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσμη στο, με f ln ln. Προφανής ρίζα η αφού f. Είναι f και επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Το πρόσημο της συνάρτησης f είναι για f f άρα f f για f f είναι f. f, ενώ Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο,. Η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση το f. Είναι lim f lim ln Επίσης lim f lim ln Επομένως είναι f f, lim f f f, f, lim f, f., και άρα το σύνολο τιμών είναι A, f. Γ. Η εξίσωση γίνεται, 3 ln 3 f 3 f 3 ln ln f και η συνάρτηση f γνησία μονότονη στο τότε η f έχει μοναδική ρίζα στο. Ομοίως η εξίσωση Αφού το εξίσωση 3
f έχει μοναδική ρίζα στο. Άρα η εξίσωση ακριβώς δύο θετικές ρίζες. 3 έχει Γ3. Θεωρούμε την συνάρτηση h f,. Η h συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων Η h παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με h f f. Είναι και h f και h f Άρα από το θεώρημα Roll υπάρχει ένα τουλάχιστον, h f f f f, έτσι ώστε Γ4. Είναι g f ln, Λύνουμε την εξίσωση ln ή ln ή. Οπότε. g άρα Για κάθε είναι ln Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι, οπότε g ln στο,. E gd gd ln 4 ln d... 3 4 ln d. ln d 4
ΘΕΜΑ Δ Δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g f t dt συνεχής άρα ολοκληρώσιμη. Επομένως η h f t άρα η f. Η συνάρτηση f είναι dt είναι παραγωγίσιμη, h είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων με h. Είναι g g για κάθε. Το εσωτερικό σημείο του A, ακρότατο στο. Άρα η συνάρτηση g παρουσιάζει τοπικό. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη με g f. Επομένως από θεώρημα Frmat είναι g f f. Επειδή η f είναι συνεχής στο, και f για κάθε, τότε η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, και αφού f, τότε f για κάθε. Θεωρούμε την συνάρτηση s με τύπο s ln, s είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με s g. Η συνάρτηση s + - s Η συνάρτηση s παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση ίσο με s. Άρα ln t t s s ln. Επομένως dt f, άρα f t ln t t ln dt, επομένως f. Άρα αφού το δεύτερο μέρος f t ln t t dt f t είναι πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο,. 5
ln ln t t Άρα dt f f t ln παραγωγίσιμη με G. Οπότε, f G G G G. Θεωρούμε τη συνάρτηση G G ln t t f t dt G G G για κάθε και επομένως c G c. Για είναι G επομένως c και άρα G G με ln G. Συνεπώς ο τύπος της συνάρτησης είναι f f ln,. Δ. ln Είναι lim f lim και lim f, Επομένως lim f. Είναι lim f f. Θέτουμε t. Για τότε t. f f Άρα το όριο γίνεται lim f f f t t t lim lim lim t t t t t D. L. H. Δ3. Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη αφού η f είναι συνεχής και επομένως F f. ολοκληρώσιμη με ln F αφού ln Άρα f ln από υπόθεση και για κάθε. Επομένως F για κάθε, και άρα η συνάρτηση F είναι κυρτή και άρα η F γνησίως αύξουσα. Η F είναι παραγωγίσιμη στο, και στο, 3 Θ.Μ.Τ υπάρχουν, και με, Άρα εφαρμόζοντας το F F, 3 F και 6
3 F F F. Είναι και επειδή η συνάρτηση F γνησίως αύξουσα είναι και F F F F F3 F F F3 F Δ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση F F F 3 στο,. Η συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών. Είναι F F3 και F F F3 Είναι F f άρα η συνάρτηση F είναι γνησίως φθίνουσα στο, Επομένως για 3 F F και άρα F F F3 από το Δ3... Επίσης Άρα τουλάχιστον ένα, με. Όμως f και επομένως από το θεώρημα Bolano υπάρχει, άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, και επομένως το ξ είναι μοναδικό. 7